Ley de senos y cosenos

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Ley de senos y cosenos

  1. 1. 1 INTRODUCCIÓN LEY DE SENOS Y COSENOS LEY DE SENOS LEY DE COSENOS PROBLEMA 1b PROBLEMA 1a PROBLEMA 2a PROBLEMA 2b PROBLEMA 4b PROBLEMA 4a PROBLEMA 3b PROBLEMA 3a RESUME L. SENOS RESUMEN L. COSENOS Estándar 19 TERMINAR PANTALLA COMPLETA PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  2. 2. 2 Estándar 19: Los estudiantes usan funciones trigonometricas para resolver un triángulo rectángulo con un lado desconocido dados un ángulo y la longitud de un lado. PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  3. 3. 3 55° 64° 61° 110° 21° 49° Triángulo Rectángulo Triángulo Acutángulo Triángulo Obtusángulo Clasificación de triángulos por sus ángulos: PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  4. 4. 4 Estándar 19 o u i C B A Tan C= i o Tan C= Lado adyacente Lado opuesto TANGENTE Sen C= i u Sen C= Hipotenusa Lado opuesto SENO Cos C= o u Cos C= Hipotenusa COSENO Lado adyacente PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved Para triángulos rectangulos tenemos…
  5. 5. 5 ? ? Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved ¿Cómo resolver este tipo? … con la Ley De Senos Y Ley De Cosenos.
  6. 6. 6 = C B A b ac a b Sen A Sen B LEY DE SENOS Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  7. 7. 7 = C B A b ac a c Sen A Sen C LEY DE SENOS Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  8. 8. 8 = C B A b ac c b Sen C Sen B LEY DE SENOS Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  9. 9. 9 Sen A Sen B a b = C B A b ac LEY DE SENOS Sen C c = Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  10. 10. 10 m A = 67°, a=14, b=9 C B A b=9 a=14c 67° RESOLVER: Sen A Sen 67° Sen B Sen B a 14 b 9 = = (9)(9) Sen 67° Sen B 14 =(9) .9205 Sen B 14 =(9) Sen B= .5917 m B = Sen( ) -1 .5917 m B = 36.3° 36.3° m C = 180°-67°-36.3°= 76.7° 76.7° Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  11. 11. 11 C B A b=9 a=14c 67° 36.3° 76.7° Sen 67° Sen76.7° 14 c = Sen 67°c = Sen76.7°14 Sen 67° Sen76.7°14c = Sen 67° Sen 67° (.9731) (.9205) 14 c = c = 14.79 14.79= m A = 67°, a=14, b=9RESOLVER: Sen A Sen 67° Sen B Sen B 14 b 9 = = (9)(9) Sen 67° Sen B 14 =(9) .9205 Sen B 14 =(9) Sen B= .5918 m B = Sen( ) -1 .5918 m B = 36.3° m C = 180°-67°-36.3°= 76.7° a Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  12. 12. 12 m A = 58°, a=11, b=8 C B A b=8 a=11c 58° RESOLVER: Sen A Sen 58° Sen B Sen B a 11 b 8 = = (8)(8) Sen 58° Sen B 11 =(8) .8480 Sen B 11 =(8) Sen B= .6167 m B = Sen( ) -1 .6167 m B = 38° 38° m C = 180°-58°-38°= 84° 84° Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  13. 13. 13 Sen A Sen B a b = C B A b=8 a=11c m A = 58°, a=11, b=8 58° RESOLVER: Sen 58° Sen B 11 8 = Sen 58° Sen B 11 = (8)(8) (8) .8480 Sen B 11 =(8) Sen B= .6167 m B = Sen( ) -1 .6167 m B = 38° 38° m C = 180°-58°-38°= 84° 84° Sen 58° Sen 84° 11 c = Sen 58°c = Sen 84°11 Sen 58° Sen 84°11c = Sen 58° Sen 58° (.9945) (.8480) 11 c = c= 12.9 12.9= Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  14. 14. 14 79° c C B A b a=1563° 38° Sen 79°c = Sen 38°15 Sen 79° Sen 38°15c = Sen 79° Sen 79° (.6157) (.9816) c 15 = c = 9.40 9.40 = a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER: Sen 79° Sen A Sen 38° Sen C c c 15 a m A = 180°-63°-38°= 79° = = Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  15. 15. 15 C B A b a=15c 79° 63° 38° 9.4 = a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER: =Sen 79°b Sen 63°15 Sen 79° Sen 63°15b = Sen 79° Sen 79° (.8910) (.9816) 15 b= b = 13.61 Sen 79° Sen A Sen 63° Sen B b b = = 15 a =13.61 Sen 79°c = Sen 38°15 Sen 79° Sen 38°15c = Sen 79° Sen 79° (.6157) (.9816) c 15 = c = 9.4 Sen 79° Sen A Sen 38° Sen C c c 15 a m A = 180°-63°-38°= 79° = = Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  16. 16. 16 75° c C B A b a=1765° 40° Sen 75°c = Sen 40°17 Sen 75° Sen 40°17c = Sen 75° Sen 75° (.6428) (.9659) c 17 = c = 11.31 11.31 = a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER: Sen 75° Sen A Sen 40° Sen C c c 17 a m A = 180°-65°-40°= 75° = = Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  17. 17. 17 C B A b a=17c 75° 65° 40° Sen 75° Sen 40° 17 c = Sen 75°c = Sen 40°17 Sen 75° Sen 40°17c = Sen 75° Sen 75° (.6428) (.9659) 17 c = c = 11.31 11.31 = a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER: Sen A Sen C c = a m A = 180°-65°-40°= 75° =Sen 75°b Sen 65°17 Sen 75° Sen 65°17b = Sen 75° Sen 75° (.9063) (.9659) 17 b= b = 15.95 Sen 75° Sen A Sen 65° Sen B b b = = 17 a =15.95 Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  18. 18. 18 LEY DE SENOS 1. Dos lados conocidos y un ángulo opuesto a alguno de ellos. 2. Dos ángulos conocidos y un lado cualquiera Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  19. 19. CASO AMBIGUO: LA LEY DE SENOS para resolución de triángulos, tiene un caso ambiguo; donde dos triángulos distintos pueden ser construidos (Existen dos soluciones posibles para el triángulo). Dado un triángulo general ABC, las siguientes condiciones se necesitan cumplir para tener el caso ambiguo: a) La única información acerca de el triángulo es el ángulo A y dos de sus lados a, y b; para los cuales el ángulo A no esta incluido, en otras palabras el ángulo es opuesto a uno de los dos lados. b) El ángulo A es agudo, es decir menos de 90° y más de 0°. c) El lado a (opuesto a el ángulo A) es más corto que el lado b, o a < b. d) El lado a (opuesto al ángulo A) es más largo que la altitud de un triángulo rectángulo de altura a, e hipotenusa b, o a > b sin A. PRESENTATIONCREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  20. 20. Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas: PRESENTATIONCREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  21. 21. Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas: PRESENTATIONCREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  22. 22. Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas: PRESENTATIONCREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  23. 23. A B C b a Solución 1 Solución 2 A B’ b a C’ Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas: PRESENTATIONCREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  24. 24. Aplicando Ley De Senos: y BCB’ es un triángulo isósceles con bases congruentes A B C b a A B’ b a C’ Después conA y cada B y B’ encontrar C y C’ con la Suma De Los Ángulos Interiores De Un Triángulo. Finalizar aplicando Ley De Senos para encontrar AB y AB’ Si m  B + m  CBB’ = 180° entonces m  B + m  B’ = 180° y por ello Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas: SinB b  SinA a SinB  bSinA a SenB b  SenA a SenB  bSenA a mB  180o  Sen1 b SenA a       mB  Sen1 b SenA a       mB  180o  Sen1 b SenA a       mB  Sen1 b SenA a       ‘
  25. 25. El siguiente es un ejemplo de la Ley De Senos con dos soluciones. Los elementos de la figura en rojo son los datos de inicio.
  26. 26. Si a = b Sen A, entonces existe una solución. Un triángulo rectángulo. Si a < b Sen A, entonces no hay solución. Con A agudo: 0° < mA < 90° A B C b a = b Sen A A B C b a < b Sen A Si a > b, entonces hay una solución. A B C b a
  27. 27. Con A obtuso o recto: Si a = b o a < b, entonces no hay solución. Si a > b, entonces existe una solución. A B C b a A B C b a PRESENTATIONCREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  28. 28. 28 C B A b ac LEY DE COSENOS CosAa = 2 + - 2bb 2 cc 2 Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  29. 29. 29 C B A b ac LEY DE COSENOS CosBb = 2 a+ - 2a 2 cc 2 Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  30. 30. 30 C B A b ac LEY DE COSENOS Cos Cc = 2 a+ - 2a 2 bb 2 Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  31. 31. 31 bc+ - 2 Cos Aa = 2 b 2 c 2 ac+ - 2 CosBb = 2 a 2 c 2 a b+ - 2 CosCc = 2 a 2 b 2 C B A b ac LEY DE COSENOS Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  32. 32. 32 Cos Cc = 2 a+ - 2a 2 bb 2 a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER: C B A b=42 a=29c 65° (29) (42)+ - 2 Cos (65°)c = 2 29 2 42 2 c = 2 (841) + (1764) - (2436) (.423) c = 2 (2605) - (1030.43) c = 2 1574.57 c = 39.7 39.7= c = 39.7 c = -39.7 Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  33. 33. 33 Cos Cc = 2 a+ - 2a 2 bb 2 C B A b=42 a=29c 65° 39.7= Sen C Sen 65° c 39.7 a 29 = = (29)(29) Sen 65° Sen A 39.7 =(29) .9063 Sen A 39.7 =(29) Sen A= .662 m A = Sen( ) -1 .662 m A = 41.5° m B = 180°-65°- 41.5°= 73.5° Sen A Sen A 73.5° 41.5° (29) (42)+ - 2 Cos (65°)c = 2 29 2 42 2 c = 2 (841) + (1764) - (2436) (.423) c = 2 (2605) - (1030.43) c = 2 1574.57 c = 39.7 c = 39.7 c = -39.7 a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER: Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  34. 34. 34 Cos Cc = 2 a+ - 2a 2 bb 2 a=30, b=40, m C = 70°RESOLVER: C B A b=40 a=30c 70° (30) (40)+ - 2 Cos (70°)c = 2 30 2 40 2 c = 2 (900) + (1600) - (2400) (.342) c = 2 (2500) - (820.85) c = 2 1679.15 c = 41 41= c = 41 c = -41 Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  35. 35. 35 Cos Cc = 2 a+ - 2a 2 bb 2 a=30, b=40, m C = 70°RESOLVER: (30) (40)+ - 2 Cos (70°)c = 2 30 2 40 2 c = 2 (900) + (1600) - (2400)(.342) c = 2 (2500) - (820.85) c = 2 1679.15 c =41 C B A b=40 a=30c 70° 41= c = c =41 -41 Sen C Sen 70° c 41 a 30 = = (30)(30) Sen 70° Sen A 41 =(30) .94 Sen A 41 =(30) Sen A= .688 m A = Sen( ) -1 .688 m A = 43.5° m B = 180°-70°- 43.5°= 66.5° Sen A Sen A 66.5° 43.5° Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  36. 36. 36 a=23, b=18, c = 35RESOLVER: + - 235 = 2 (23)23 2 (18)18 2 C B A b=18 a=23c35= + - 2c = 2 aa 2 bb 2 Cos C Cos C 1225 = 853 - Cos C(828) -853 -853 372 = Cos C-828 -828 -828 Cos C= -.4493 m C = Cos( ) -1 -.4493 m C = 116.7° 116.7° C1225 = (529) + (324) - (828)Cos Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved Siempre empezar buscando el ángulo opuesto al lado más largo.
  37. 37. 37 Cos Cc = 2 a+ - 2a 2 bb 2 C B A b=18 a=23 c35= 116.7° = = (18)(18) Sen 116.7° Sen B 35 =(18) .8934 Sen B 35 =(18) Sen B= .4595 m B = Sen( ) -1 .4595 m B = 27.4° m A = 180°-116.7°-27.4°= 35.9° Sen C Sen 116.7° Sen B Sen B b 1835 35 27.4° 35.9° a=23, b=18, c = 35RESOLVER: 35 = 2 (23)23 2 (18)18 2 Cos C+ - 2 1225 = 853 - Cos C(828) -853 -853 372 = Cos C-828 -828 -828 Cos C= -.4493 m C = Cos( ) -1 -.4493 m C = 116.7° C1225 = (529) + (324) - (828)Cos Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  38. 38. 38 a=21, b=16, c = 30RESOLVER: + - 230 = 2 (21)21 2 (16)16 2 C B A b=16 a=21c30= + - 2c = 2 aa 2 bb 2 Cos C Cos C 900 = 697 - Cos C(672) -697 -697 203 = Cos C-672 -672 -672 Cos C= -.3020 m C = Cos( ) -1 -.3020 m C = 107.6° 107.6° C900 = (441) + (256) - (672)Cos Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved Siempre empezar buscando el ángulo opuesto al lado más largo.
  39. 39. 39 Cos Cc = 2 a+ - 2a 2 bb 2 C B A b=16 a=21 (21) (16)+ - 2 Cos C 30 = 2 21 2 16 2 900 = (441) + (256) - (672) c30= Cos C 900 = 697 - Cos C(672) -697 -697 203 = Cos C-672 -672 -672 Cos C= -.3020 m C = Cos( ) -1 -.3020 m C = 107.6° 107.6° = = (16)(16) Sen 107.6° Sen B 30 =(16) .9532 Sen B 30 =(16) Sen B= .5084 m B = Sen( ) -1 .5084 m B = 30.6° m A = 180°-107.6°-30.6°= 41.8° Sen C Sen 107.6° Sen B Sen B b 1630 30 30.6° 41.8° Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved a=21, b=16, c = 30RESOLVER:
  40. 40. 40 LEY DE COSENOS 1. DOS LADOS CONOCIDOS Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS 2. TRES LADOS CONOCIDOS. Siempre tomar el lado más largo con el primer ángulo a encontrar para evitar el caso ambiguo descrito en la Ley De Senos. Estándar 19 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved

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