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Résistance des Matérieaux

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Par Dr.Vong Seng (PhD. Civil Eng.)

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Résistance des Matérieaux

  1. 1. R.D.M.Résistance des Matériaux Institut de Technologie du Cambodge 2007-2008 Vong Seng
  2. 2. Plan du Cours1- Introduction 2- Actions 3- Contraintes 4- Déformation 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 7- Types d’Appuis 8- Eléments de Réduction 9- Traction et Compression Simple 10- Flexion pure 11- Flexion Cisaillante 12- Flexion Gauche 13- Flexion Composée 14- Flexion des Pièces Courbes 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 16- Calcul des Déplacements de la Poutre 17- Flambement des Pièces Longes 18- Torsion 19- Concentration des Contraintes 20- Critère de Défaillance et Contraintes Permises
  3. 3. 1- Introduction 1.1- Le but L’étude de la résistance des matériaux a pour but d’assurer qu’on utilise dans une pièce donnée, une quantité minimale de matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes : - Résistance : la pièce doit pouvoir supporter et transmettre les charges externes qui lui sont imposées ; - Rigidité : la pièce ne doit pas subir de déformation excessive lorsqu’elle est sollicitée ; - Stabilité : la pièce doit conserver son intégrité géométrique afin que soient évitées des conditions d’instabilité (flambement) ; - Endurance : la pièce, si elle est soumise à un chargement répété, doit pouvoir tolérer sans rupture un certain nombre de cycles de sollicitation variable (fatigue) ; - Résilience : enfin, dans le cas où un chargement dynamique est à prévoir (impact), la pièce doit pouvoir absorber une certaine quantité d’énergie sans s’en trouver trop endommagée.
  4. 4. 1- Introduction 1.2- Hypothèses de base Les hypothèses de bas que nous posons sont les suivantes : - Un matériau continu n’a ni fissures ni cavités. - Un matériau homogène a les mêmes propriétés en tout point. - Un matériau isotrope a, en un point donné, les mêmes propriétés dans toutes les directions. - Les forces internes à l’état initial, dites « résiduelle », sont souvent présentes dans les matériaux. Si ces forces ne sont pas suffisamment faibles pour être jugées négligeables, il faut soit tenir compte en les mesurant expérimentalement, soit les réduire par les techniques spéciales (par exemple le traitement thermique). 1.3- Méthode de résolution On résout un problème de résistance des matériaux selon une démarche systématique qui comporte les trois étapes fondamentales suivantes :
  5. 5. 1- Introduction - L’étude des forces et des conditions d’équilibre ; - L’étude des déplacements et de la compatibilité géométrique ; - L’application des relations forces/déplacements Les conditions d’exigences pour études des équilibres du corps sont équilibre de translation et équilibre de rotation 0F =∑ 0M =∑ Dans un système de coordonnées cartésiennes (axes des x, des y et des z), ces équations vectorielles sont équivalentes aux six scalaires ci-dessous: Équilibres de translation : Suivante axe X : ΣFx = 0 Suivante axe Y : ΣFy = 0 Suivante axe Z : ΣFz = 0 Équilibres de rotation : Autour de l’axe X : ΣMx = 0 Autour de l’axe Y : ΣMy = 0 Autour de l’axe Z : ΣMz = 0
  6. 6. 2- Actions 2.1- Types des actions On distingue les actions suivantes : a.) leur mode d’action : - Action direct : (les charges en général) forces concentrées ou réparties - Actions indirectes : déformations imposées ou entravées b.) leur variation dans le temps : - Actions permanentes, désignées par G ou g : poids propre des structures, poids propre des éléments non structuraux, poussée des terres, déformations imposées par leur mode de construction de la structure, tassements,... - Actions variables, désignée par Q ou q : charge d’exploitation, poids de certains éléments en phase constructive, charge de montage, charge mobiles et leurs effets, vent, déformations imposées par les variations de températures,... - Actions accidentelles : chocs et explosions, incendie, affaissements accidentels, tremblements de terre, ...
  7. 7. 2- Actions 2.2- Forces externes Ce sont les charges appliquées (ou sollicitations) sur un système par des forces ou des couples, ce qui permet de quantifier et d’idéaliser l’interaction entre deux systèmes mécaniques. Par exemples les charges d’exploitation, les pressions, le vent, son poids propre,... etc.
  8. 8. 2- Actions - Forces de surface (ou forces surfaciques) : Elles sont causées par le contact entre deux corps. Pour le cas particulier, la surface de contact est beaucoup plus petite par rapport à la surface totale du corps, on peut les idéaliser comme une force concentrée (ou charge concentrée) telle que cette force est appliquée en un point. Et on peut encore les idéaliser comme une force répartie linéaire (ou charge répartie linéaire) si la force est appliquée au long une surface étroite. - Forces de volume (ou forces volumiques) Un corps est exercé par une force sans contact physiquement en direct avec un autre corps. Cette force due à la gravité ou au champ électromagnétique et elle représente normalement une force concentrée exercée au centre de gravité du corps s’appelant le poids propre.
  9. 9. 2- Actions 2.3- Forces internes L’étude des matériaux relève qu’il existe des forces d’attraction et de répulsion intermoléculaire, forces qui sont en équilibre et qui maintiennent un certain espacement entre les molécules. Sous l’action de sollicitations externes, cet équilibre est modifié, ce qui entraîne la déformation du matériau. Les forces engendrées par l’action des sollicitations sont appelées forces internes. Le matériau doit être suffisamment résistant pour supporter l’action des forces internes sans se détériorer : c’est là l’essence même de l’étude de la résistance des matériaux.
  10. 10. 2- Actions Effort normal (N) : C’est la force interne exercée normale à la facette considérée. Effort tranchant (T) : C’est la force interne exercée tangente à la facette considérée. Moment fléchissant ou moment de flexion (Mf) : C’est le couple interne exercé autour de l’axe perpendiculaire au plan de structure étudiée. Moment de torsion (Mt) : C’est le couple interne exercé autour de l’axe de la poutre étudiée.
  11. 11. 3- Contraintes En chaque point M d'un solide, il existe des forces intérieures que l'on met en évidence en effectuant une coupure du solide, par une surface S, en deux parties A et B. La partie A est en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont directement appliquées et des forces intérieures réparties sur la coupure. Considérons un point M de S. Soit dS un élément infinitésimal de la surface S entourant M et le vecteur unitaire, perpendiculaire en M à S et dirigé vers l'extérieur de la partie A. Nous appellerons cet ensemble facette en M. n n
  12. 12. ( , ) d F T M n dS = Soit la force qui s'exerce sur cette facette. On appelle vecteur contrainte sur la facette en M, la quantité :n 3- Contraintes ( , ) ( , )T M n T M n− = − Le vecteur contraint peut être décomposé en sa composante suivant et sa projection sur la facette n
  13. 13. 3- Contraintes x xy xz yx y yz zx zy z σ τ τ τ σ τ τ τ σ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ i j k ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ ( , ) ( , ) ( , )T M i T M j T M k Composantes sur
  14. 14. 3- Contraintes 3.1- Equations d’équilibre Plan de contrainte xy 0xz zxτ τ= = 0yz zyτ τ= = 0zσ =
  15. 15. 3- Contraintes Equilibre de translation selon x Equilibre de translation selon y Equilibre de translation selon y
  16. 16. 3- Contraintes 0xyx xz xf x y z τσ τ∂∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ 0yx y yz yf x y z τ σ τ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ 0zyzx z zf x y z ττ σ∂∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ xy yxτ τ= xz zxτ τ= yz zyτ τ= Equilibre de l'état de contrainte en trois dimensions Equilibre de translation Equilibre de rotation
  17. 17. 3- Contraintes 3.2- L’état de contrainte dans un plan selon des directions arbitraires
  18. 18. 3- Contraintes x y x y x' xy x y x y y' xy x y x'y' xy cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 sin 2 cos2 2 σ + σ σ − σ σ = + θ + τ θ σ + σ σ − σ σ = − θ − τ θ σ − σ τ = − θ + τ θ
  19. 19. 3- Contraintes Cercle de Mohr
  20. 20. 3- Contraintes
  21. 21. 3- Contraintes Direction et contrainte principale Dans le plan de contrainte , il existe 2 directions telles que – la contrainte normale est extrémale (max ou min) – les contraintes tangentielles sont nulles
  22. 22. 3- Contraintes – directions principales valeurs principales – directions valeurs
  23. 23. 4- Déformation Sous l'action des forces appliquées, les points du solide se déplacent. Il en résulte, pour des fibres infinitésimales de matière, des variations de longueur et des variations d'angle appelées déformations.
  24. 24. 4- Déformation Déformation normale Déformation de cisaillement
  25. 25. 4- Déformation L'état de déformation en trois dimensions
  26. 26. 4- Déformation L’état plan de déformation 0zε = 0yz zyγ γ= = 0xz zxγ γ= =
  27. 27. 4- Déformation x y A B C A’ B’ C’ v u dy dx dx x v ∂ ∂ xd x u u ∂ ∂ + dy y u ∂ ∂ dy y v v ∂ ∂ + 1β 2β x u x v tan βtan βββ)B'A'(C'angle 2 π y v dy dyvdy y v vdy AC ACC'A' x u dx dxudx x u udx AB ABB'A' 2121 ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ +≈+=−= ∂ ∂ = −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ++ = − = ∂ ∂ = −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ++ = − = xy y x γ ε ε 4.1- Relation entre déplacement et déformation 2D
  28. 28. 4- Déformation 3D x w z u y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = γ γ γ ε ε ε
  29. 29. 4- Déformation 4.2- L’état de déformation dans un plan selon des directions arbitraires
  30. 30. 4- Déformation Composants de dx' sur axes x et y
  31. 31. 4- Déformation
  32. 32. 4- Déformation Déformation selon des directions x' et y'
  33. 33. 4- Déformation Cercle de Mohr 2 xy xy γ ε =
  34. 34. 4- Déformation Direction et déformation principale Dans le plan de déformation , il existe 2 directions telles que – la déformation normale est extrémale (max ou min) – les déformations de cisaillements sont nulles
  35. 35. 4- Déformation – directions principales valeurs principales – directions valeurs
  36. 36. 4- Déformation Jauge de déformation Wheatstone Bridge
  37. 37. 4- Déformation Quarter-Bridge Circuit Half-Bridge Circuit Full-Bridge Circuit Use of Dummy Gauge to Eliminate Temperature Effects
  38. 38. 4- Déformation Rosette
  39. 39. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 5.1- Essais de traction Matériaux ductiles : acier doux Matériaux ductiles : aluminium x xEσ ε=
  40. 40. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux Striction Matériaux fragiles exemples : verre, béton, fonte
  41. 41. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux On se souvient que la déformation est la "variation de longueur d'une longueur originellement unitaire" f i i i L L L L L ε − Δ = = fL iL longueur final longueur initial Cette déformation, appelé déformation norminale, est d'une grande utilité dans les applications courants Déformations réelles Pour de grandes déformation, cependand, on a quelquefois à la déformation réelle, qu'on définit comme étant la somme des déformations "instantanées" L L ε ε Δ = Δ =∑ ∑ L longueur instantané LΔ Lallongement de 0LΔ → 0 ln f i L f L i LdL d L L ε ε ε= = =∫ ∫ on obtientLorsque
  42. 42. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 5.2- Essais divers Essai de compression Essai de fatigue courbe de Wöhler Essai de fluage sur métal à haute température fluage d'une éprouvette de béton comprimé Essai brésilien
  43. 43. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux Rupture par fluage fluage Recouvrance Relaxation - Essai de résilience
  44. 44. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 5.3- Relations générales entre contraintes et déformations dans le domaine élastique Coefficient de Poisson y z x x ε ε ν ε ε = − = − x xEσ ε= 0 0,5ν≤ ≤ 0,3ν = La valeur accordée à bon nombre de matériaux métalliques est x y z E σ ε ε ν= = − Relations générales
  45. 45. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux Déformation normale selon x due à xσ Déformation normale selon x due à yσ Déformation normale selon x due à zσxσ Déformation normale selon x due à zσ yσ Déformation normale selon x,y et z et Déformation de cisaillement selon x,y et z
  46. 46. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 0x y zσ σ σ= = = Relation entre E et G 0x yε ε= =
  47. 47. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
  48. 48. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 6.1- Le centroïde de la section x A y A S ydA S xdA = = ∫ ∫ Moment statique ou premier moment de section Lorsqu'une section A dont le contour est de forme complexe peut être décompée en plusieur sous-sections simples Le centroïde de la section x y
  49. 49. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 6.2- Moment d'inertie de section Moment d'inertie ou seconde moment de section par rapport à l'axe des x et à l'axe des y Produit d'inertie Moment d'inertie polaire
  50. 50. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 6.3- Transfer d'axes parallèles
  51. 51. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section ( ) ( ) ( )( ) 22 ' 22 ' ' ' ' cos sin ' cos sin ' ' cos sin cos sin x A A y A A x y A A I y dA y x dA I x dA x y dA I x y dA x y y x dA θ θ θ θ θ θ θ θ = = − = = + = = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6.4- Rotation d'axes
  52. 52. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 6.5- Axes principaux Cercle de Mohr
  53. 53. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section x i i i x A x A = ∑ ∑ 2 ix iix I I y A= +∑ ∑ 2 iy iyi I I x A= +∑ ∑ ixy iixi yi I I x y A= +∑ ∑ ii i y A y A = ∑ ∑ 2 x ix I I y A= − ∑ 2 y iy I I x A= − ∑ xy ix y I I xy A= − ∑ 6.6- Applications ( ) 2 i iix x I I y y A= + −∑ ∑ ( ) 2 i iy yi I I x x A= + −∑ ∑ ( )( )i iix y xi yi I I x x y y A= + − −∑ ∑ 2 2 i i iix x I I y A y A= + −∑ ∑ ∑ 2 2 i i i iy y I I x A x A= + −∑ ∑ ∑ i i iix y xi yi I I x y A xy A= + −∑ ∑ ∑ ou bien y x y
  54. 54. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section ? n 1 2 3 ix iy iA i ix A iiy A i iix y A 2 i ix A 2 iiy A ix I iy I i ix y I i i i x A x A = ∑ ∑ ii i y A y A = ∑ ∑ i ix A∑iA∑Σ 2 i ix A∑iiy A∑ 2 iiy A∑ iixy A∑ ix I∑ iy I∑ i ix y I∑ 2 2 i i iix x I I y A y A= + −∑ ∑ ∑ 2 2 i i i iy y I I x A x A= + −∑ ∑ ∑ i i iix y xi yi I I x y A xy A= + −∑ ∑ ∑ tan 2 ( ) / 2 x y x y I I I θ − = − 2 2 max min 2 2 x y x y x y I I I I I I + −⎛ ⎞ = ± +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Tableau de calcul
  55. 55. 7- Types d’Appuis 7.1- Système Plans a.) Encastrement b.) Articulation ou rotule 0 degré de liberté 3 composantes de réaction 1 degré de liberté 2 composantes de réaction
  56. 56. 7- Types d’Appuis c.) Glissière - Glissière avec articulation d.) Rouleau 1 degré de liberté 2 composantes de réaction 2 degré de liberté 1 composante de réaction 2 degré de liberté 1 composante de réaction
  57. 57. 7- Types d’Appuis e.) Appui déformable, appui élastique Un appui est dit déformable lorsqu'il peut subir des déplacements suivant les directions de certaines composantes de réaction Un appui déformable est dit élastique lorsque la composante de déplacement considérée est une fonction linéaire de la composante de réaction correspondante
  58. 58. 7- Types d’Appuis f.) Appui concordants, appui non concordants On dit que les appuis sont concordants lorsque les composantes de réaction sont toutes nulles en l'absence de sollicitations extérieures Pour les systèmes hyperstatiques, le manque de concordance d'un appui est représenté par le déplacement (translation ou rotation) qu'il subit depuis la position concordante jusqu'à la position réelle Pour les systèmes isostatiques quant à leurs appuis, les réactions de liaison sont obtenus uniquement grâce aux équations d'équilibre et les appuis sont toujours concordants
  59. 59. 7- Types d’Appuis 7.2- Système Spatiaux Encastrement Articulation 0 degré de liberté 6 composantes de réaction 1 degré de liberté 5 composantes de réaction
  60. 60. 7- Types d’Appuis Appui sphéreique Rouleau 3 degré de liberté 3 composantes de réaction 5 degré de liberté 1 composantes de réaction
  61. 61. 7- Types d’Appuis 7.3- Détermination des réactions d'appuis Systéme plan Équilibres de translation : Suivante axe X : ΣFx = 0 Suivante axe Y : ΣFy = 0 Équilibres de rotation : Autour de l’axe Z : ΣMz = 0 = 1R 2R 3R
  62. 62. 8- Eléments de Réduction 8.1- Les hypothèses de RDM pour les poutres Une poutre est définie par le déplacement d'une aire de centre de gravité G le long d'une fibre moyenne G0G1. Cette section reste perpendiculaire à la fibre moyenne Après déformation de la poutre, les sections normales à la fibre moyenne reste planes et orthogonales à la fibre déformée Hypothèse de Navier-Bernoulli
  63. 63. 8- Eléments de Réduction Dans une section éliognée des points d'application des forces concentrées (forces données et réactions d'appuis), les contraintes et les déformations ne dépendent que de la résultante et du moment résultant du système de forces dans cette section Principe de Saint Venant
  64. 64. 8- Eléments de Réduction 8.2- Pricipe de la coupe - Eléments de réduction
  65. 65. 8- Eléments de Réduction
  66. 66. 8- Eléments de Réduction
  67. 67. 8- Eléments de Réduction Convention du sign N > 0 T > 0 M > 0
  68. 68. 8- Eléments de Réduction 8.3- Détermination des éléments de réduction Métode de coupure - Détermination des réactions En utilisant les équations d'équilibre - Coupe la structure En utilisant le pricipe de la coupe - Détermination des éléments de réduction En utilisant les équations d'équilibre
  69. 69. 8- Eléments de Réduction ; - Diagram des éléments de réduction
  70. 70. 8- Eléments de Réduction Métode d'intégration Relations entre q, T, M
  71. 71. 8- Eléments de Réduction Cas générale: relations entre n,N et q, T, M
  72. 72. 9- Traction et Compression Simple 9.1- Poutre sollicitée par son poids propre, en traction
  73. 73. 9- Traction et Compression Simple
  74. 74. 9- Traction et Compression Simple
  75. 75. 9- Traction et Compression Simple 9.2- Poutre de section variable et poutre d'égale résistance
  76. 76. 9- Traction et Compression Simple 9.3- Pièce formée de deux matériaux 1 i i i n k k k E N N E = Ω = Ω∑ Cas général (n matériaux différents)
  77. 77. 9- Traction et Compression Simple 9.4- Enveloppe cylindrique en paroi mince soumise à pression Formule des chaudiers
  78. 78. 10- Flexion Pure 10.1- Introduction
  79. 79. 10- Flexion Pure 10.2- Flexion pure en régime élastique
  80. 80. 10- Flexion Pure x y y ds a y s R R ε − = = = x x y Ey E R σ ε − = =
  81. 81. 10- Flexion Pure
  82. 82. 10- Flexion Pure 10.2.1- Relation moment fléchissant - courbure
  83. 83. 10- Flexion Pure 10.2.2- Relation moment fléchissant - contrainte x x y Ey E R σ ε − = = z x z C y I σ = − z x z M y I σ = (Equation de Navier) / M M I v W σ = = /W I v= Module de flexion élastique
  84. 84. 10- Flexion Pure
  85. 85. 10- Flexion Pure
  86. 86. 10- Flexion Pure
  87. 87. 10- Flexion Pure
  88. 88. 10- Flexion Pure
  89. 89. 10- Flexion Pure
  90. 90. 11- Flexion Cisaillante
  91. 91. 11- Flexion Cisaillante
  92. 92. 11- Flexion Cisaillante 11.1- Distribution des Contraintes de Cisaillement Théorie Approchée de Jourawski
  93. 93. 11- Flexion Cisaillante Contrainte de cisaillement Contrainte rasante
  94. 94. 11- Flexion Cisaillante
  95. 95. 11- Flexion Cisaillante
  96. 96. 11- Flexion Cisaillante
  97. 97. 11- Flexion Cisaillante 11.2- Exemple de répartion des Contraintes de Cisaillement
  98. 98. 11- Flexion Cisaillante
  99. 99. 11- Flexion Cisaillante 11.3- Déformations résultant des contraintes tangentielles
  100. 100. 11- Flexion Cisaillante 11.4- Contrainte induite par Ty et contrainte tangentielle résultante
  101. 101. 11- Flexion Cisaillante
  102. 102. 11- Flexion Cisaillante
  103. 103. 11- Flexion Cisaillante
  104. 104. 11- Flexion Cisaillante
  105. 105. 11- Flexion Cisaillante 11.5- Contrainte tangentielle dues à Ty dans les poutre en parois minces à section ouverte. Flux de cisaillement
  106. 106. 11- Flexion Cisaillante
  107. 107. 11- Flexion Cisaillante
  108. 108. 11- Flexion Cisaillante
  109. 109. 11- Flexion Cisaillante 11.6- Centre de cisaillement Flux de cisaillement
  110. 110. 12- Flexion Gauche 12.1- Etudes de la flexion gauche dans les axes principaux d'inertie
  111. 111. 12- Flexion Gauche
  112. 112. 12- Flexion Gauche 12.2- Etudes de la flexion gauche dans les axes orthogonaux quelconques
  113. 113. 12- Flexion Gauche 2 3 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 E E P I C R R E E I P C R R ⎧ − − =⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩
  114. 114. 12- Flexion Gauche ou 2/E R 3/E R
  115. 115. 13- Flexion Composée =
  116. 116. 13- Flexion Composée
  117. 117. 13- Flexion Composée
  118. 118. 13- Flexion Composée
  119. 119. 13- Flexion Composée 13.1- Centre de pression - Noyau central
  120. 120. 13- Flexion Composée 13.2- Détermination du noyau central
  121. 121. 13- Flexion Composée Tracé point par point du contour du noyau central
  122. 122. 13- Flexion Composée
  123. 123. 13- Flexion Composée
  124. 124. 13- Flexion Composée 13.3- Applications de la notion de noyau central - Les constructions réalisées en matériaux résistant mal en traction
  125. 125. 13- Flexion Composée - Béton précontraint
  126. 126. 13- Flexion Composée - Flexion composée des poutres en matériaux ne restant pas à la traction
  127. 127. 13- Flexion Composée
  128. 128. 13- Flexion Composée
  129. 129. 14- Flexion des pièces courbes
  130. 130. 14- Flexion des pièces courbes
  131. 131. 14- Flexion des pièces courbes
  132. 132. 14- Flexion des pièces courbes
  133. 133. 14- Flexion des pièces courbes
  134. 134. 14- Flexion des pièces courbes
  135. 135. 14- Flexion des pièces courbes
  136. 136. 14- Flexion des pièces courbes
  137. 137. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  138. 138. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  139. 139. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 15.1- Axe neutre plastic
  140. 140. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  141. 141. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  142. 142. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  143. 143. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  144. 144. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 15.2- Flexion élasto-plastique
  145. 145. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  146. 146. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  147. 147. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 15.3- Rotule plastique
  148. 148. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 15.4- Contraintes résiduelles dues à une flexion élasto-plastique
  149. 149. 16- Calcul des Déplacements de la Poutre Déplacement de translation : déplacement Déplacement Déplacement axial : allongement ou raccourcissement Déplacement transversal : flèche Déplacement de rotation : rotation
  150. 150. La courbure à point x du au moment fléchissant 1 M R EI = − La courbure de la courbe )(xfy = à point x 2/32 )'1( "1 y y R + = 'y 2 ' 0y ≈petit MEIy −=" " M y EI = − ou T dx dM EIy −=−=)'"( )()""( xq dx dT EIy =−= EI xq yIV )( = Equation différentielle du 4e ordre, elle demande 4 conditions aux limites pour résoudre 16- Calcul des Déplacements de la Poutre
  151. 151. 1- Conditions aux limites géométriques y est imposé θ='y est imposé 2- Conditions aux limites statiques "EIyM −= est imposé ou "y est imposé '''EIyT −= '''yest imposé ou est imposé 3- Conditions aux limites de passage Conditions de continuité et conditions d’équilibre d’un point 16- Calcul des Déplacements de la Poutre
  152. 152. 17- Flambement des Pièces Longes 17.1- Compression excentrée d'une tige droite tenant compte du déplacement du point d'application de la charge
  153. 153. 17- Flambement des Pièces Longes
  154. 154. 17- Flambement des Pièces Longes
  155. 155. 17- Flambement des Pièces Longes
  156. 156. 17- Flambement des Pièces Longes
  157. 157. 17- Flambement des Pièces Longes 17.2- Charge critique de flambement
  158. 158. 17- Flambement des Pièces Longes
  159. 159. 17- Flambement des Pièces Longes 17.3- Compression centrée d'une tige ayant une légère courbure initiale
  160. 160. 17- Flambement des Pièces Longes
  161. 161. 17- Flambement des Pièces Longes
  162. 162. 17- Flambement des Pièces Longes
  163. 163. 17- Flambement des Pièces Longes
  164. 164. 17- Flambement des Pièces Longes
  165. 165. 17- Flambement des Pièces Longes 17.4- Probleme d'Euler (Cas Idéal), Flambement par bifurcation de l'état d'éqilibre
  166. 166. 17- Flambement des Pièces Longes
  167. 167. 17- Flambement des Pièces Longes 17.4- Différents cas de conditions d'appuis, longueur de flambement et contrainte critique
  168. 168. 17- Flambement des Pièces Longes
  169. 169. 17- Flambement des Pièces Longes
  170. 170. 17- Flambement des Pièces Longes
  171. 171. 17- Flambement des Pièces Longes
  172. 172. 17- Flambement des Pièces Longes
  173. 173. 17- Flambement des Pièces Longes
  174. 174. 18- Torsion 18.1- Torsion d'un barreau cylindrique
  175. 175. 18- Torsion
  176. 176. 18- Torsion
  177. 177. 18- Torsion
  178. 178. 18- Torsion
  179. 179. 18- Torsion 18.2- Torsion d'un barreau non cylindrique
  180. 180. 18- Torsion
  181. 181. 19- Concentration des Contraintes due à la force de traction
  182. 182. 19- Concentration des Contraintes Les formules extraits de
  183. 183. 19- Concentration des Contraintes
  184. 184. 19- Concentration des Contraintes Pour le cas de réduction de section
  185. 185. 19- Concentration des Contraintes Les graphiques pour déterminer K
  186. 186. 19- Concentration des Contraintes
  187. 187. 19- Concentration des Contraintes Pour les matériaux ductiles
  188. 188. 19- Concentration des Contraintes ou à l'endroit de réduction de section due à la flextion
  189. 189. 19- Concentration des Contraintes Cas le trou percé au milieu de la poutre, par de problème de concentration des contraintes
  190. 190. 19- Concentration des Contraintes La distribution des contraintes à l'endroit de réduction de section due à la torsion
  191. 191. 20- Critères de déffaillance
  192. 192. 20- Critères de déffaillance
  193. 193. 20- Critères de déffaillance
  194. 194. 20- Critères de déffaillance += (*)
  195. 195. 20- Critères de déffaillance (*)
  196. 196. 20- Critères de déffaillance
  197. 197. 20- Critères de déffaillance
  198. 198. 20- Critères de déffaillance

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