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Cours d’analyse topologie leçon 3 - t. masrour

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Cours d’Analyse - Topologie Leçon 2 - T. Masrour - ENSAM

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Cours d’analyse topologie leçon 3 - t. masrour

  1. 1. Leçon 3 Remarques  ouverts (en general) ouvert Par exemples : ouvert.  fermés (en general) fermé En efet , on sait que A= or si la topologie est t.q les singletons soient des fermés et si la reunion qcq était fermée alors n’importe quell ensemble serait fermé ! Par exemples : L’ouvert et pourtant les sont des fermés dans . Exercice Montrer que est un fermé. (à faire en séance de cours) Correction : M.q. est un ouvert. Soit , on alors on pourra considerer, par exemples, condition ci-dessus. , on définit un rayon ou n’importe quelle autre valeur vérifiant la Montrons, alors que, Soit . cqfd. Exercice Montrer que si alors toutes les distances engendrent la même topologie (voisinages, ouverts, fermés) (à faire en séance de T.D) 12 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  2. 2. Exercice Soit sont topologiquement équivalentes (à faire en séance de T.D) , montrer que Définition (intérieur) Soit L’interieur de , est un point intérieur à noté ssi contient une (ie. est voisinage de ). = l’ensemble de tous les points interieurs à . Proposition = le plus grand ouvert . Preuve , ouvert si Si et ouvert ouvert tq . est un point de l’interieur ie . Propriété ouvert . Preuve (en cours ) Exemples : 13 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  3. 3. Propriété Si alors Définition « adhérence » Soient un espace métrique, est adhérent à l’ensemble ssi On définit et note l’adhérence de et alors : par : Exercice. Montrer que : Si et si est adhérent à , alors pour tout voisinage de on a est infini. 14 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  4. 4. 7. Suites dans un espace métrique. Soit un espace métrique, on définit une suite dans dans qui à chaque fait associer et qu’on note comme une application de 7.1. Définition (suites convergentes). Soit une suite dans , on dit que converge vers un certain ssi Ou d’une manière équivalente : 7.2. Définition (suites de Cauchy). Soit une suite dans , on dit que est de Cauchy dans ssi ou d’une manière équivalente : 7.3. Proposition Toute suite convergente dans (E,d) est de Cauchy dans (E,d). Preuve : La preuve est immédiate, soit et soit convergente dans (E,d) vers un certain on sait qu’il existe un rang t.q. et Or cqfd. 15 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  5. 5. 7 P Soient c c l’ un espace métrique, h c et l , on a alors l’équivalence suivante : Preuve (exercice en séance de cours). Supposons qu’il existe suite dans t.q. , alors Ou d’une manière équivalente Donc : cqfd. Supposons maintenant que et construisons une suite dans manière suivante : on choisit un élèment quelconque qui converge vers de la on choisit un élèment quelconque …….. La suite Soit alors on choisit un élèment quelconque est par construction dans et vérifie : pour que il suffit que ce qui est vrai pour tout entier . Donc la suite converge vers . cqfd. 16 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  6. 6. 7.5. Proposition. Soient un espace métrique, , on alors la caractérisation suivante : Preuve. Montrons que . n’est pas adherent à Or = le plus grand ouvert inclu dans = cqfd. 7.6. Définition (Frontière). Propriétés Soient   un espace métrique et , alors : est un fermé. et la réunion est disjointe. 17 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  7. 7.  Soit , alors et  Si est ouvert alors on a (On peut chercher des exemples où , , et sont tous disjoints. Preuve.( exercice en séance du cours). 18 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2

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