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Cours d'analyse fonctions plusieurs variables - leçon 3 - t.masrour

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Cours d'analyse fonctions plusieurs variables - leçon 3 - t.masrour

  1. 1. Chapitre : Fonctions plusieurs variables - Caclul différentiel et dérivées partielles. Leçon 3 2. Différentielle Définition de la Différentiabilité. Définition 6 ( Différentiabilité ). On dit que tq pour est différentiable en un point assez petit en une certaine norme et L’ lc ’l on ait : lc l quand appelée la différentielle de en a on la note où Remarques 38 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  2. 2. Exercice : Soit la fonction Montrer que est différentiable. Lien entre différentielle et dérivées partielles. On définit les projections : Chacune de ces projections est linéaire , et est donc différentiable. Notation , On a ainsi une base canonique pour les différentielles. Si Théorème Soit et . 1. Si est différentiable an et on a : 2. Si est sur alors , 39 http://tawfik-masrour.blogpost.com alort est définie en alors : admet des dérivées partielles du 1er ordre au point est différentiable sur et on a alors T. Masrour - Analyse 2
  3. 3. Preuve du théorème. Exemple = admet des dérivées partielles en l Alors l n’est pas différentiable. 40 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  4. 4. Généralisation : Définition Soit un ouvert. Et On dit que est différentielle au point a. s’il existe Une application linéaire Avec On dit que , est : (une matrice quand sur . si chaque est L’application est la différentielle de Jacobienne de en . ) sur . au point , on la note = matrice associé à = Matrice Et Exemples : 1. .......... 41 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  5. 5. 2. .......... .......... 3. si est differentiable en un point a. .......... .......... 4. ; .......... 5. .......... 42 http://tawfik-masrour.blogpost.com .......... T. Masrour - Analyse 2
  6. 6. Théorème . 1. Si est différentiable en un point 2. Si f est alors alors admet des dérivées partielles. Et on a est différentiable et on a (*) Fonctions composées Soit et , ; ; ; . Théorème Si est différentiable en un point différentiable en et ; différentiable en alors est Lemme Si est linéaire de Soit sa matrice canonique (qui lui est associée dans la base canonique). Soit : Alors Preuve 43 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  7. 7. .......... Preuve du Théorème .......... .......... .......... Corollaire Sous les mêmes hypothèses que le théorème que le théorème. ; . alors Exemple 1. 44 http://tawfik-masrour.blogpost.com et . T. Masrour - Analyse 2
  8. 8. 2. Cordonnées polaires dans .......... .......... .......... 3. Coordonnées cylindriques 4. Coordonnées sphériques 45 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  9. 9. Formules de Taylor à l’ordre On ne considère que les fonctions numériques : . Généralisation du TAF Soit Soit Théorème des Accroissements Finis est , Il existe tels que , telle que Preuve : 46 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2

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