Z                                                                                                             ZZ          ...
−−                                                        −→   2. ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2       /   ∀ε ∈]0, +∞[        ||M1 M2 |...
La proposition T est-elle vraie ?                                                                         [000115]Exercice...
12. f est inférieure à g ; 13. f n’est pas inférieure à g.Correction                                                      ...
Exercice 25Soit E et F des ensembles. Si A ⊂ E et B ⊂ F montrer que A × B ⊂ E × F.                                        ...
3. Pour tout n ∈ N, on note nZ l’ensemble des entiers relatifs multiples de n : nZ = {np | p ∈ Z}. Simplifier       2Z ∩ 3Z...
Exercice 39Montrer que A ∩ B = A ∩C ⇔ A ∩ B = A ∩ C.                                                                      ...
100.04 RécurrenceExercice 49Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisible par 111 quel qu...
Exercice 54Soit X un ensemble. Pour f ∈ F (X, X), on définit f 0 = id et par récurrence pour n ∈ N f n+1 = f n ◦ f .   1. M...
[000162]Exercice 60Démontrer que pour n ≥ 1, le produit de n entiers impairs est un entier impair.                        ...
1. Démontrer par récurrence :                                                        n                                    ...
1. Calculer Fn pour 1  n  10.   2. Montrer que l’équation x2 = x + 1 admet une unique solution positive a que l’on calcule...
Indication        Correction                                                                                     [000209]E...
Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. On définit sur P(E)  {0} la relation R par XRY ssi (X = Y ou ∀x ∈ X ∀y ∈                  ...
[003033]Exercice 93 Relation d’équivalence quotientSoient R et S deux relations d’équivalence sur un ensemble E, telles qu...
[003039]Exercice 99 Distance entre un point et une partiePour A ⊂ R non vide et bornée, et x ∈ R, on note :               ...
[003045]Exercice 105 Borne supérieure parmi les intervallesSoit E l’ensemble des intervalles de R (y compris ∅) ordonné pa...
100.99 AutreExercice 110Quels sont les entiers n tels que 4n ≤ n! ?                                                       ...
101.01 ApplicationExercice 115Soient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1. A-t-on f ◦ g = g ◦...
[002892]Exercice 121 Propriétés des applications A → f (A) et B → f −1 (B)Soit f : E → F. On considère les applications   ...
[002897]Exercice 126 Ensembles équipotents                                         E est moins puissant que F            s...
Exercice 131Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?   1. f : N → N, n → n + 1   2. g :...
iii. ∀A, B ⊂ X A ∩ B = 0                         /           f (A) ∩ f (B) = 0.                                           ...
Exercice 145          f     g     hSoient A → B → C → A. Montrer que si h ◦ g ◦ f et g ◦ f ◦ h sont injectives et f ◦ h ◦ ...
Exercice 153Montrer que, pour p et n entiers naturels non nuls tels que 1 ≤ p ≤ n, on a :                                 ...
m    m     m−1   2. Cn = Cn−1 +Cn−1 ,       m    m       m−1   m−2   3. Cn = Cn−2 + 2Cn−2 +Cn−2 .Correction               ...
[000234]Exercice 164 Calcul de sommes                        Cn     kCalculer ∑n kCn et ∑n k+1 .          k=0             ...
[002908]Exercice 173 Formule de Vandermonde                                       k c−kSoient a, b, c ∈ N. Démontrer que ∑...
4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?                                ...
3. Combien ont un élément neutre ?   4. Combien sont commutatives et ont un élément neutre ?Correction                    ...
1. Montrer que ce sont des relations d’équivalence.    2. Montrer que f ∼ g ⇒ f ≡ g.    3. On suppose f ≡ g. Montrer que f...
Exercice 198Soit pn (k) le nombre de permutations de {1, ..., n} ayant k points fixes, montrer alors que :                 ...
[003051]Exercice 203 Parties dénombrablesSoit (nk ) une suite d’entiers naturels. On dit que la suite est :- presque nulle...
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