Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)

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Grado Volumen IISUSTITUIRLibroparaelmaestro1erGradoVolumenIIMAT1 LM Vol2 portada.indd 1 9/3/07 3:14:10 PM
  2. 2. Libro para el maestromatemáticas I1er Grado Volumen II
  3. 3. Matemáticas I. Libro para el maestro. Volumen II, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericanode la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAJosefina Vázquez MotaSUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICAJosé Fernando González SánchezDirección General de Materiales EducativosMaría Edith Bernáldez ReyesDirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales EducativosSubdirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos para la Educación SecundariaDirección EditorialINSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVADirección GeneralManuel Quintero QuinteroCoordinación de Informática EducativaFelipe Bracho CarpizoDirección Académica GeneralEnna Carvajal CantilloCoordinación AcadémicaArmando Solares RojasAsesoría AcadémicaMaría Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)AutoresAna Laura Barriendos Rodríguez,Ernesto Manuel Espinosa Asuar,Diana Violeta Solares PinedaColaboradoresMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña,José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero,Verónica Rosainz BonillaApoyo técnico y pedagógicoCatalina Ortega NúñezMaría Padilla LongoriaCoordinación editorialSandra Hussein DomínguezPrimera edición, 2006Primera edición revisada y corregida, 2007(ciclo escolar 2007-2008)D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.ISBN 968-01-1200-4 (obra completa)ISBN 968-01-1214-4 (volumen II)Impreso en MéxicoDistribución gratuita-Prohibida su ventaServicios editorialesDirección de arte:Rocío Mireles GavitoDiseño:Zona gráficaIconografía:Cynthia ValdespinoDiagramación:Bruno ContrerasIlustración:Imanimastudio, Curro Gómez,Gabriela Podestá, Cecilia VarelaFotografía:Ariel Carlomagno, Pablo González de Alba,Pável Ramírez
  4. 4. Mapa-índiceClave de logos Bloque 3secuencia 17 División de números decimalessecuencia 18 Ecuaciones de primer gradosecuencia 19 Existencia y unicidadsecuencia 20 Áreas y perímetrossecuencia 21 Porcentajessecuencia 22 Tablas de frecuenciasecuencia 23 Gráficas de barras y circularessecuencia 24 Nociones de probabilidad Bloque 4secuencia 25 Números con signosecuencia 26 Raíz cuadrada y potenciassecuencia 27 Relación funcionalsecuencia 28 Construcción de círculos y circunferenciassecuencia 29 El número Pisecuencia 30 El área de los círculossecuencia 31 Relaciones de proporcionalidadsecuencia 32 Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad Bloque 5secuencia 33 Cuentas de números con signosecuencia 34 Áreas de figuras planassecuencia 35 Juegos equitativossecuencia 36 Gráficas, tablas y expresiones algebraicassecuencia 37 Proporcionalidad inversasecuencia 38 Medidas de tendencia centralPropuesta de examen bimestral bloque 3Propuesta de examen bimestral bloque 4Propuesta de examen bimestral bloque 5Bibliografía491222324050607284104114126140150158164172184200204218224232241255265280Índice
  5. 5. SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosAulademediosHojasdetrabajoArchivo1. Sistemasdenumeración.• Identificarlaspropiedadesdelsistemadenumeracióndecimalycontrastarlasconlasdeotrossistemasnuméricosposicionalesynoposicionales.1.1 Acertijosarqueológicos1.2 OtrosistemadenumeraciónLosnúmerosmayasSistemadenumeraciónmaya1.3 Elsistemadecimal2. Fraccionesydecimalesenlarectanumérica.• Representarnúmerosfraccionariosydecimalesenlarectanuméricaapartirdedistintasinformaciones,analizandolasconvencionesdeestarepresentación.2.1 ElsaltodealturaElsaltodealtura2.2 DensidadyfraccionesLarectanumérica:Fracciones2.3 ElsaltodelongitudylosnúmerosdecimalesLarectanumérica:Fraccionesdecimales3. Sucesionesdenúmerosyfiguras.• Construirsucesionesdenúmerosapartirdeunaregladada.• Determinarexpresionesgeneralesquedefinenlasreglasdesucesionesnuméricasyfigurativas.3.1 FigurasquecrecenFigurasquecrecenPatronesysecuencias13.2 NúmerosquecrecenSucesiones3.2 Númerosquecrecen (Hojadecálculo)Sucesión3.3 ReglasdesucesionesPatronesysecuencias1Patronesysecuencias24. Geometríayexpresionesalgebraicas.• Explicarenlenguajenaturalelsignificadodealgunasfórmulasgeométricas,interpretandolasliteralescomonúmerosgeneralesconlosqueesposibleoperar.4.1 FórmulasyperímetrosFórmulasyperímetrosCuadradoHexágono4.2 FórmulasyáreasRectángulo4.2Fórmulasyáreas (Hojadecálculo)Cuadrado1Cuadrado5. Simetría.• Construirfigurassimétricasrespectoauneje,analizarlasyexplicitarlaspropiedadesqueseconservanenfigurastalescomo:triángulosisóscelesyequiláteros,rombos,cuadradosyrectángulos.5.1 ComosifueraunespejoSimetríadepuntos5.2 PapelpicadoSimetríadepolígonos5.2.Papelpicado (Geometríadinámica)PapelSimétrico5.3 LosvitralesVitrales5.4 Algomássobresimetría5.4Algomássobresimetría (Geometríadinámica)Aprendido6. Proporcionalidad.• Identificaryresolversituacionesdeproporcionalidaddirectadeltipo“valorfaltante”,utilizandodemaneraflexiblediversosprocedimientos.6.1 Lascantidadesdirectamenteproporcionales6.2 ElvalorunitarioEscalasymaquetasenarquitectura6.2Valorunitario (Hojadecálculo)Escalas6.3 LaproporcionalidadenotroscontextosVariaciónproporcional17. Repartoproporcional.• Elaboraryutilizarprocedimientospararesolverproblemasderepartoproporcional.7.1 LakermésRepartoproporcionalVariaciónproporcional27.2 Mássobrerepartoproporcional8. Problemasdeconteo.• Resolverproblemasdeconteoutilizandodiversosrecursosyestrategias,comotablas,diagramasdeárbolyotrosprocedimientosdeenumeración.8.1 ¿Cuántoscaminoshay?Mapadecalles8.2 ¿Decuántasformas?Diagramadeárbol8.3 ¿Cuántosviajeshay…?¿Sabencuántoscaminoshay?Diagramadeárbol8.4 OtroscontextosDiagramadeárbolEVALUACIÓNBloque1
  6. 6. Bloque2SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosHojasdetrabajo9. Problemasaditivosconnúmerosfraccionariosydecimales.• Resolverproblemasaditivosconnúmeros fraccionariosydecimalesendistintoscontextos.9.1 Elfestivaldefindecursos¿Dóndeseutilizanfracciones?Númerosfraccionarios9.1 Elfestivaldefindecursos(Hojadecálculo)9.2 Marcasatléticas9.3 Lospreciosdelacafetería10. Multiplicaciónydivisióndefracciones.• Resolverproblemasqueimpliquenla multiplicaciónydivisiónconnúmeros fraccionariosendistintoscontextos.10.1 Decomprasenelmercado10.2 SuperficiesyfraccionesMultiplicacióndefracciones110.3 ¿Cómoseríanlasmarcasatléticasenelespacio?Elsistemasolar ylafuerzadegravedadMultiplicacióndefracciones1Multiplicacióndefracciones210.4 Hayteladedondecortar10.5 ¿Cuántasbotellasdejugosenecesitan?11. Multiplicacióndenúmerosdecimales.• Resolverproblemasqueimpliquenla multiplicacióndenúmerosdecimalesen distintoscontextos.11.1 TresvecesymediaMásdetres,pero menosdecuatroMultiplicacióndenúmerosdecimalesEscalasynúmerosdecimales11.2 ElpuntoeselasuntoÁreasynúmerosdecimales11.3 ¿Endóndeseusalamultiplicacióndedecimales?12. Mediatrizybisectriz.• Utilizarlaspropiedadesdelamediatrizdeun segmentoylabisectrizdeunángulopara resolverdiversosproblemasgeométricos.12.1 AlamismadistanciaMediatriz12.1 Alamismadistancia (Geometríadinámica)Mediatrices12.2 UnproblemageométricoMitadesdeángulosBisectriz12.2 Unproblemageométrico (Geometríadinámica)Bisectrices12.3 Apliquemosnuestrosconocimientosdemediatricesybisectrices12.3 Apliquemosnuestroconocimientodemediatricesybisectrices(Geometríadinámica)13. Polígonosregulares.• Construirpolígonosregulares apartirdedistintasinformaciones.13.1 TarjetasdefelicitaciónFelicidadesPolígonosregularesángulocentral13.1 Tarjetasdefelicitación (Geometríadinámica)13.2 MosaicosPolígonosregularesángulointerior13.2 Mosaicos(Geometríadinámica)13.3 Mássobrepolígonosregulares13.3 Mássobrepolígonosregulares (Geometríadinámica)14. Fórmulasparacalculareláreadepolígonos.• Justificarlasfórmulasparacalcularel perímetroyeláreadetriángulos,cuadriláteros ypolígonosregulares.14.1 Rompecabezas114.2 Rompecabezas214.3 Descomposicióndefiguras14.3 Descomposicióndefiguras(Geometríadinámica)14.4 OtrasformasdejustificarlasfórmulasJustificaciónFórmulasgeométricas14.4 Otrasformasdejustificar(Geometríadinámica)15. Laconstantedeproporcionalidad.• Identificarsituacionesdeproporcionalidad directaendiversoscontextos,yresolverlasmedianteprocedimientosmáseficientes.15.1 LacanchadebásquetbolVariaciónproporcional315.1 Lacanchadebásquetbol(Hojadecálculo)15.2 MapasyescalasCentroHistórico delaCiudaddeMéxico15.3 Rutasytransporte16. Aplicaciónsucesivadeconstantesdeproporcionalidad.• Interpretarelefectodelaaplicaciónsucesivadefactoresconstantesdeproporcionalidadendiversoscontextos.16.1 MicroscopioscompuestosMicroscopioscompuestosVariaciónproporcional416.1 Microscopioscompuestos(Hojadecálculo)16.2 EscalasyreduccionesVariaciónproporcional516.3 ConsomérancheroEVALUACIÓNAulademediosArchivosFraccionesSegmentoMediatricesFigura1Ángulo1BisectricesEjesCentrosMedidaÁngulo2Ángulo3PolígonoCentralHexágonoApotemaFórmulasCanchaMicroscopios
  7. 7. SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosAulademediosHojasdetrabajoArchivos17. Divisióndenúmerosdecimales. (12-21)• Resolverproblemasqueimpliquenladivisióndenúmerosdecimalesendistintoscontextos.17.1 ElmetrobúsElmetrobúsDivisióndenúmerosdecimales17.2 Cambiodedinero17.3 Númerosdecimalesenlaciencia18. Ecuacionesdeprimergrado. (22-31)• Resolverproblemasqueimpliquenelplanteamientoylaresolucióndeecuacionesdeprimergradodelasformasx+a=b;ax=b;ax+b=c,utilizandolaspropiedadesdelaigualdad,cuandoa,bycsonnúmerosnaturalesydecimales.18.1 ArepartirnaranjasEcuaciones118.1 Arepartirnaranjas (Hojadecálculo)Ecuación18.2 ElpaseoescolarElterrenoyelríoEcuaciones218.3 ResolucióndeecuacionesmixtasEcuacionesdeprimergrado19. Existenciayunicidad. (32-39)• Construirtriángulosycuadriláteros.• Analizarlascondicionesdeexistenciayunicidad.19.1 ¿Existeonoexiste?Desigualdadtriangular19.2 ¿Esunoosonmuchos?¿Esunoosonmuchos?19.2 ¿Esunoosonmuchos?(Geometríadinámica)RombosConstrucciones20. Áreasyperímetros. (40-49)• Resolverproblemasqueimpliquencalcularelperímetroyeláreadetriángulos,romboidesytrapecios,yestablecerrelacionesentreloselementosqueseutilizanparacalculareláreadecadaunadeestasfiguras.• Realizarconversionesdemedidasdesuperficie.20.1 Problemasdeaplicación20.2 Relacionesimportantes20.3 MedidasdesuperficieMedidasdesuperficie21. Porcentajes. (50-59)• Resolverproblemasqueimpliquenelcálculodeporcentajesutilizandodemaneraadecuadalasexpresionesfraccionariasodecimales.21.1 MéxicoenelINEGIPorcentajes121.2 ElIVA21.2 ElIVA(Hojadecálculo)IVA21.3 MisceláneadeporcentajesLosmigrantesPorcentajes222. Tablasdefrecuencia. (60-71)• Interpretarycomunicarinformaciónmediantelalectura,descripciónyconstruccióndetablasdefrecuenciaabsolutayrelativa.22.1 ¿Quiénllegóprimero?Unrecorridoporelorigen delaestadística22.1 ¿Quiénllegóprimero?(Hojadecálculo)AtletismoEdades22.2 Tabladefrecuenciarelativa22.2 Tabladefrecuenciarelativa(Hojadecálculo)Frecuencias22.3 Latablarepresenta…22.3 Latablarepresenta…(Hojadecálculo)Matrículas23. Gráficasdebarrasycirculares. (72-83)• Interpretarinformaciónrepresentadaengráficasdebarrasycircularesdefrecuenciaabsolutayrelativa,provenientedediariosorevistasydeotrasfuentes.• Comunicarinformaciónprovenientedeestudiossencillos,eligiendolaformaderepresentaciónmásadecuada.23.1 Quédicenlasgráficas23.2 Gráficasdebarras23.3 GráficacircularElratingenlatelevisión24. Nocionesdeprobabilidad. (84-101)• Enumerarlosposiblesresultadosdeunaexperienciaaleatoria.Utilizarlaescaladeprobabilidadentre0y1yvinculardiferentesformasdeexpresarla.• Establecercuáldedosomáseventosenunaexperienciaaleatoriatienemayorprobabilidaddeocurrir;justificarlarespuesta.24.1 ProbabilidadfrecuencialLanzamonedas24.1 Probabilidadfrecuencial(Hojadecálculo)Laruleta24.2 ProbabilidadclásicaBolsaconcanicas24.3 ComparacióndeprobabilidadesI¿Quéesmásprobable?24.4 ComparacióndeprobabilidadesIIEVALUACIÓNBloque3
  8. 8. SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosAulademediosHojasdetrabajoArchivos25. Númerosconsigno. (104-113)• Plantearyresolverproblemasqueimpliquenlautilización denúmerosconsigno.25.1 Niveldelmar25.2 DistanciayordenTemperaturasambientalesTemperaturas25.3 Valorabsolutoysimétricos 26. Raízcuadradaypotencias. (114-125)• Resolverproblemasqueimpliquenelcálculodela raízcuadradaylapotenciadeexponentenatural, ambasdenúmerosnaturalesydecimales.26.1 Cuadrosymáscuadros26.1 Cuadrosymáscuadros(Hojadecálculo)Cuadrado226.2 CálculoderaícescuadradasLosbabiloniosylaraízcuadradaMétodobabilónico26.3 ¿Cuántostatarabuelos?Diagramadeárbol27. Relaciónfuncional. (126-139)• Analizarensituacionesproblemáticaslapresenciade cantidadesrelacionadasyrepresentarestarelación medianteunatablayunaexpresiónalgebraica.27.1 LaexpansióndeluniversoLaexpansióndeluniverso27.2 Loshusoshorarios27.3 Cocinanavideña27.3. Cocinanavideña (Hojadecálculo)Pavo27.4 Elrecibodeteléfono28. Construccióndecírculosycircunferencias. (140-149)• Construircírculos quecumplancondicionesdadasa partirdediferentesdatos.28.1 LascircunferenciasquepasanpordospuntosLascircunferenciasquepasan pordospuntos28.2 CuerdasycircunferenciasConstruccióndecircunferencias28.3 TrespuntosyunacircunferenciaConstruccióndecircunferenciasconlamediatriz28.3 Trespuntosyunacircunferencia(Geometríadinámica)ComunidadesComunidadAplicación29. ElnúmeroPi. (150-157)• Determinarelnúmerocomolarazónentrela longituddelacircunferenciayeldiámetro.• Justificaryusarlafórmulaparaelcálculodela longituddelacircunferencia.29.1 LarelaciónentrecircunferenciaydiámetroRelaciónentrecircunferencia ydiámetro¿DedóndesalióPi?29.1 Relaciónentrecircunferenciaydiámetro(Geometríadinámica)ElnúmeroPi29.2 Perímetrodelcírculo30. Eláreadeloscírculos. (158-163)• Resolverproblemasqueimpliquencalcularel áreayelperímetrodeuncírculo.30.1 ÁreadelcírculoÁreadelcírculoCálculodeláreadelcírculo deArquímedes30.1 Áreadelcírculo(Geometríadinámica)CírculosPolígonosÁreadelcírculo30.2 Áreasyperímetros31. Relacionesdeproporcionalidad. (164-171)• Formularlaexpresiónalgebraicaquecorrespondaa larelaciónentredoscantidadesquesondirectamenteproporcionales.• Asociarlossignificadosdelasvariablesenlaexpresióny=kxconlascantidadesqueintervienenendicharelación.31.1 CambiodemonedaHistoriadelamonedaVariaciónproporcional631.2 Expresionesalgebraicasyrelacionesde proporcionalidadendistintoscontextos32. Gráficasasociadasasituacionesdeproporcionalidad. (172-181)• Explicarlascaracterísticasdeunagráficaquerepresente unarelacióndeproporcionalidadenelplanocartesiano.32.1 GráficasysuscaracterísticasGráficas32.2 ComparacióndegráficasVariaciónproporcionalygráficasEVALUACIÓNBloque4
  9. 9. SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosAulademediosHojasdetrabajoArchivos33. Cuentasdenúmerosconsigno. (184-199)• Utilizarprocedimientosinformalesyalgorítmicosdeadiciónysustraccióndenúmerosconsignoendiversassituaciones.33.1 LosátomosLosátomosLosátomos133.2 SumasdenúmerosconsignoLosátomos233.3 RestasdenúmerosconsignoLosátomos333.4 Detodounpoco34. Áreasdefigurasplanas. (200-203)• Resolverproblemasqueimpliquenelcálculodeáreasdediversasfigurasplanas.34.1 Áreasdefigurasformadas porrectasGeometríaandaluza34.1 Áreasdefigurasformadasporrectas(Geometríadinámica)Figura2Figuras34.2 Áreasdefigurasformadas porcírculos34.2. Áreasdefigurasformadasporcírculos(Geometríadinámica)Región35. Juegosequitativos.  (204-217)• Reconocerlascondicionesnecesariasparaqueunjuegodeazarseajusto,conbaseenlanociónderesultadosequiprobablesynoequiprobables.35.1 ¿Cuáleslamejoropción?35.2 RuletasLaruleta35.3 Juegoscondados35.4 QuinielasPronósticosnacionalesLanzamonedas36. Gráficas,tablasyexpresionesalgebraicas. (218-223)• Calcularvaloresfaltantesapartirdevariasrepresentaciones relacionandolasquecorrespondenalamismasituación,eidentificarlasquesondeproporcionalidaddirecta.36.1 Gráficas,tablasyexpresiones algebraicasasociadasaproblemas deproporcionalidaddirectaElementosdela proporcionalidaddirecta36.1 Gráficas,tablasyexpresionesalgebraicasasociadasaproblemasdeproporcionalidaddirecta(Hojadecálculo)Años36.2 Delagráficaalproblema37. Proporcionalidadinversa. (224-231)• Identificaryresolversituacionesdeproporcionalidadinversamediantediversosprocedimientos.37.1 El agua37.2 LavelocidadLavelocidadconstanteVariaciónproporcionalinversaygráficas137.3 LahipérbolaVariaciónproporcionalinversaygráficas237.3 Lahipérbola (Hojadecálculo)RectángulosPintores38. Medidasdetendenciacentral. (232-239)• Compararelcomportamientodedosomásconjuntosdedatosreferidosaunamismasituaciónofenómenoapartirdesusmedidasdetendenciacentral.38.1 PromediosPromedios38.2 ¿Quéprefierencomer?EVALUACIÓNBloque5EJE1:SentidonuméricoypensamientoalgebraicoEJE2:Forma,espacioymedidaEJE3:Manejodelainformación
  10. 10. Clave de logosTrabajo individualEn parejasEn equiposTodo el grupoConexión con otras asignaturasGlosarioConsulta otros materialesCD de recursosSitios de InternetBibliotecaVideoPrograma integrador EdusatInteractivoAudiotextoAula de MediosOtros Textos
  11. 11. BLOQUE   3
  12. 12. 12secuencia 1712EL mEtrOBúsPara empezarEn la Ciudad de México hay un transporte llamado metrobús. Es un autobús más largoque lo normal, que transita por una avenida llamada Insurgentes.Para subirse al metrobús se usan tarjetas, las cuales se pasan por un aparato que permi­te el acceso.En el aparato se marca el dinero disponible en la tarjeta, es decir, el saldo. El costo porviaje en el metrobús es de $3.50.sEsión 1División de númerosdecimalesEn esta secuencia resolverás problemas que impliquen la división denúmeros decimales en distintos contextos.Propósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1El metrobúsDar sentido a lo que significa dividir entre un númerocon punto decimal, descubrir que el cociente no siemprees mayor que el dividendo y que hay varias maneras deresolver algunas divisiones entre números decimales.VideoEl metrobúsInteractivo“División denúmeros decimales”2Cambio de dineroConocer y practicar la técnica para dividir entre unnúmero con punto decimal.3Números decimales en la cienciaResolver diversos problemas que implican operacionesde números con punto decimal.EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.TemaSignificado y uso de los números.AntecedentesLos alumnos aprendieron en la escuelaprimaria a resolver divisiones:- en las que dividendo y divisor sonnaturales, hallando el cociente hastacentésimos; y- en las que el dividendo tiene cifrasdecimales.En esta secuencia los alumnos aprenderán aresolver divisiones en las que el dividendo o eldivisor tengan cifras decimales.Propósito de la sesión. Dar sentidoa lo que significa dividir entre unnúmero con punto decimal, descubrirque el cociente no siempre es mayorque el dividendo y que hay variasmaneras de resolver algunasdivisiones entre números decimales.Organización del grupo. Se sugieretrabajar en parejas durante toda lasesión, con algunos momentos deconfrontación grupal.
  13. 13. 1313MATEMÁTICAS IPlatiquen con su grupo los resultados y la manera en que llegaron a ellos. Si utilizaronoperaciones digan cuáles y cómo las usaron.Manos a la obraI. Hallar el número de viajes que se puede hacer con cierta cantidad de dinero, equiva­le a dividir esa cantidad entre el costo de un viaje. Utilicen los resultados que encontraron en el problema anterior y completen la tabla.División Cociente (número de viajes) Residuo (lo que sobra)24.00 ÷ 3.5037.50 ÷ 3.5075.00 ÷ 3.50115.50 ÷ 3.50Observen que al calcular el número de viajes, están calculando cuántas veces cabe elcosto de cada viaje en el saldo.Consideremos lo siguienteEn cada caso anoten para cuántos viajes alcanza el saldo de la tarjeta y cuánto sobra.Recuerden que el costo de un viaje es $3.50.Saldo $24.00Número de viajes:Sobra:Saldo $37.50 Saldo $75.00 Saldo $115.50Número de viajes:Sobra:Número de viajes:Sobra:Número de viajes:Sobra:Propósito de la actividad. Lafinalidad es que los alumnosinterpreten la división como laoperación que permite saber cuántasveces cabe un número en otro. En estecaso, deberán calcular “cuántas vecescabe” el número 3.50 en cada una delas cantidades indicadas como saldo.Es importante que en este momentolos alumnos no utilicen la calculadorapara que puedan hacer uso de otrasestrategias.Posibles procedimientos.- Sumar varias veces 3.50 hastallegar al número más cercano alsaldo indicado.- Restar 3.50 al saldo indicado lasveces que sea necesario hastaagotarlo o hasta que ya no alcanceel dinero para un viaje más.- Multiplicar 3.50 por diferentesnúmeros hasta obtener un productoque se aproxime al saldo indicado.- Dividir el saldo entre 3.50.Sugerencia didáctica. Mientras lasparejas resuelven, trate de identificarqué procedimientos utilizan para,posteriormente, recuperaralgunos de ellos durante laconfrontación. 6$3.00 10$2.50 21$1.50 33 03Sugerencia didáctica. Es importanteque el algoritmo de la división seaconsiderado como una manera más deresolver el problema, no es la única yno siempre la mejor; por ejemplo, si elsaldo es $37.50 se puede calcular másrápidamente sabiendo que de 10 viajesson $35.00 y sobran $2.50.Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos identifiquenque la actividad que resolvieron en elapartado Consideremos lo siguientepuede solucionarse mediante unadivisión. Por eso es importante queutilicen los datos que encontraronanteriormente para completar la tabla.
  14. 14. 14Sugerencia didáctica. Mientraslas parejas resuelven, usted puedeplantear algunas preguntas para quelos alumnos vayan reflexionandosobre aspectos interesantes querevisarán en las siguientesactividades; por ejemplo, para queidentifiquen cómo varía el cociente enfunción del divisor: si el saldo es de $4¿a cuál destino se puede ir más veces,a uno cuyo viaje cuesta$0.50 o a otro que cuesta $0.20?Posibles procedimientos. Losalumnos podrían ir completandocantidades “redondas”: si el costodel viaje es de $2.50, con $5.00 sehacen 2 viajes; si el costo esde $0.20, con $1.00, se hacen 5 viajes.También pueden recurrir al cálculomental para resolver varias de lasdivisiones, pues los números que seponen en juego son relativamentesencillos de manejar.Invite a los alumnos a que completenla tabla utilizando los procedimientosque ellos quieran; en este momentono es necesario que todos usen elalgoritmo de la división, aunque síes importante que sepan que estánresolviendo divisiones.Recuerde que. 4 6 27 3 Propósito de la actividad. Hay dosaspectos interesantes que los alumnostrabajan:- Reconocer que al dividir no siempreel cociente resulta menor que eldividendo; por ejemplo, al dividir 4entre 0.50 el resultado es 8 (8 4).- Al analizar en qué casos el cocientees mayor o menor que el dividendo,los alumnos podrán desarrollar,gradualmente, estrategias paraestimar resultados.Respuestas.a) Cuando el costo del viaje (divisor)es mayor que uno.b) Cuando el costo del viaje (divisor)es menor que uno.secuencia 1714ii. Imaginen ahora un lugar donde el precio de cada viaje varía y hay costos muy bajos.Completen la tabla.Saldo ($)(dividendo)Costo del viaje ($)(divisor)DivisiónNúmero de viajes(cociente)9 4.50 90 ÷ 4.5015 2.504.50 1.504.80 1.209 1.804 0.508.50 0.504 0.255.25 0.254 0.204.30 0.10iii. Analicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas:a) ¿En cuáles casos el cociente es menor que el dividendo?b) ¿En cuáles casos el cociente es mayor que el dividendo?c) Encuentren qué tienen en común aquellas divisiones en las que el cociente esmayor que el dividendo y anoten sus observaciones:iV. Anoten el resultado al que llegaron al dividir4 ÷ 0.50 =Observen que este resultado equivale a multiplicar 4 por un número, ¿por cuál número?DivisorDividendoResiduoCociente
  15. 15. 15Propósito del interactivo: Mostrargráficamente la división de decimalespor medio de la idea cuántas vecescabe en.Propósito de la actividad. Quelos alumnos se den cuenta de que elresultado de una división tambiénpuede obtenerse multiplicando por elinverso del divisor. Por ejemplo, parahallar el resultado de dividir 4 ÷ 0.1 sepuede también multiplicar 4 × 10.En algunos casos, una manera esmás sencilla que otra, y se esperaque los alumnos vayan adquiriendohabilidades para decidir cuál lesconviene, dependiendo de lascircunstancias. Este tipo de prácticasson muy importantes porquedesarrollan el sentido numérico delos alumnos.Sugerencia didáctica. Invite alos alumnos a que multipliquen losnúmeros de la primera y segundacolumnas. Por ejemplo, 0.5 × 2; 0.25× 4; 0.125 × 8. En todos los casos seobtiene 1. Pregunte: ¿Por qué creenque sucede esto?Integrar al portafolios. Recupereesta actividad y analice las respuestasde los alumnos. Si lo consideranecesario, revisen la secuencia 11,en ella se llena una tabla en la quese observa que dividir una fracciónes lo mismo que multiplicarla por surecíproco.Sugerencia didáctica. El cálculomental es una herramienta quepermite, además de obtener algunosresultados de manera rápida,desarrollar habilidades, como elestablecimiento de relaciones entre losdatos y la anticipación de resultados.Invite a los alumnos a que resuelvanmentalmente estas operaciones, sedarán cuenta de lo eficaz que es estetipo de cálculo y de las múltiplesrelaciones que pueden darse entre losnúmeros.15MATEMÁTICAS IAlgunas divisiones entre un número con punto decimal pueden calcularse más fácilmen­te con una multiplicación. Completen la siguiente tabla.Dividir entre:Es lo mismo quemultiplicar por:Ejemplo resueltocon divisiónEjemplo resueltocon multiplicación0.50 2 3 ÷ 0.5 = 6 3 × 2 = 60.250.200.100.1250.01V. Resuelvan mentalmente las siguientes divisiones:2 ÷ 0.5 = 1 ÷ 0.125 =3 ÷ 0.01 = 4 ÷ 0.25 =1.5 ÷ 0.5 = 3 ÷ 0.1 =12. 5 ÷ 2.5 = 9 ÷ 0.2 =VI. Platiquen a sus compañeros cómo resolvieron mentalmente alguna de las operacio­nes de la actividad anterior. Elijan una operación y anoten en el pizarrón varios pro­cedimientos para resolverla mentalmente. Comenten cuál procedimiento es mejor ypor qué.Dividir una cantidad entre un número equivale a calcular cuántas veces cabe esenúmero en dicha cantidad.Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse más rápida-mente con una multiplicación, por ejemplo, 10 ÷ 0.25 puede escribirse como 10 ÷ ,que como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 10 × 4 = 40.Al dividir una cantidad entre un número menor que la unidad, el resultado será mayorque la cantidad, por ejemplo, 5 ÷ 0.2 = 25, 25 es mayor que 5.A lo que llegamosSugerencia didáctica. Pida a losalumnos que escriban en su cuaderno2 ejemplos diferentes a los que seplantean en el recuadro de cada unode los puntos. 4 3 ÷ 0.25 = 12 3 × 4 = 12 5 3 ÷ 0.20 = 15 3 × 5 = 15 10 3 ÷ 0.10 = 30 3 × 10 = 30 8 3 ÷ 0.125 = 24 3 × 8 = 24 100 3 ÷ 0.01 = 300 3 × 100 = 300
  16. 16. 16Propósito del video. Observarel planteamiento y la solución deproblemas que involucren la divisiónentre un número decimal. Observarqué sucede cuando se divide entre unnúmero menor o mayor que la unidad.Propósito de la sesión. Conocer ypracticar la técnica para dividir entreun número con punto decimal.Organización del grupo. Inicie lasesión trabajando con el grupo enconjunto; posteriormente organiceparejas para resolver el apartadoConsideremos lo siguiente.Sugerencia didáctica. Dé tiempopara que los alumnos lean el apartadoPara empezar y después comentecon el grupo la información que sepresenta. Repasen las divisionescon punto decimal en el dividendoresolviendo algunas en el pizarrón.Es necesario que los alumnos sepanresolver este tipo de divisiones paraque puedan continuar con la sesión.3Sugerencia didáctica. Anime alos alumnos para que expliquen susintentos y escuchen los de otros. Encaso de que alguna pareja sí hayapodido resolver la división, pida a susintegrantes que muestren al grupocómo lo hicieron. Si nadie logróresolverla, invítelos a que continúentrabajando la sesión.Sugerencia didáctica. Es probable quelos alumnos no sepan cómo resolverlas.Invítelos a que lo intenten, recuerdeque en estos momentos se trata decrear en los alumnos un conflicto aldarse cuenta de que estas divisionesson distintas a las que ya conocen, asícomo la necesidad de hallar la manerade resolverlas.secuencia 1716El metrobúsVean el video y realicen lo que ahí se pide. Cuando terminen, reúnanse en parejas y jun­tos hagan un resumen que se titule “La división con números decimales”. Después lean elresumen ante su grupo.CamBiO dE dinErOPara empezarSe van a repartir $29.60 entre 4 amigos, ¿cuánto le toca a cada uno? En la primariaaprendiste que este problema se resuelve con la siguiente división:7.404 29.601600El resultado es $7.40. Estas divisiones se resuelven igual que con números enteros, peroal momento de bajar el 6 se sube el punto. ¿Saben por qué se hace así?a) Cuando se divide 29 entre 4 se están dividiendo 29 enteros, por eso el resultado esentero.b) Al bajar el 6 junto al 1 ya se están dividiendo 16 décimos entre 4, por eso hay queponer un punto, para indicar que el resultado corresponde a décimos.Ahora aprenderás cómo se resuelve una división cuando el punto decimal está en eldivisor.Consideremos lo siguienteAraceli tiene $19.40 y le va a dar a cada uno de sus amigos $2.50. ¿Para cuántos amigosle alcanza y cuánto le sobra?Esta situación también se resuelve con una división. Encuentren una manera de hallar elresultado de la siguiente división que resuelve el problema.2.5 19.4Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicie­ron así.sEsión 21Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos manejen latécnica para dividir números con puntodecimal. Por ello deberán resolver elproblema utilizando una división y nomediante otros procedimientos (aunquesean correctos).
  17. 17. 17Sugerencia didáctica. Los alumnosya estudiaron esta propiedad enla escuela primaria, por lo que laactividad puede ser considerada comoun repaso; no obstante, usted puedeenriquecerla comentando al grupo que,si se parte de que una división puedeescribirse como fracción, al multiplicardividendo y divisor por el mismonúmero, lo que se está haciendoes calcular fracciones equivalentes.Observe:17MATEMÁTICAS Ia) ¿Cómo son los resultados entre sí?b) Observen que el dividendo (8) y el divisor (4) de la primera división se multi­plicaron por 10 para obtener la segunda división (80 y 40).c) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera divisiónpara obtener la tercera división?d) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera divisiónpara obtener la cuarta división?II. Consideren que se tiene esta división2.5 20 Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y re­suélvanla.Esta división es más sencilla que 20 ÷ 2.5 y, por la propiedad que recordaron en laactividad I, saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas.Manos a la obraI. Resuelvan las siguientes divisiones:Al multiplicar unnúmero con puntodecimal por 10, serecorre el punto unlugar a la derecha.Recuerden que:Si en una división semultiplica el dividendoy el divisor por elmismo número, elresultado de ladivisión no cambia.4 8 40 80400 800 4 000 8 000Sugerencia didáctica.Puede pedir a los alumnos que:1. Estimen el resultado antes de quepasen al inciso a). Por ejemplo, siestá entre 1 y 10, entre 10 y 100 oentre 100 y 1 000.2. Calculen mentalmente el resultadoantes de que pasen al inciso a).3. Resuelvan la división y verifiquensu resultado en la calculadora.4. Una vez resuelta, inventen unproblema que se resuelva con esaoperación.Si lo considera necesario, plantee másoperaciones de este tipo para que losalumnos las resuelvan en su cuaderno.2 4 = wR = wR T = qW pP = 10 20Esto implica que:2 4 = 10 20××
  18. 18. 18Respuestas.• Se multiplica por 10,480 ÷ 12 = 40 y no sobra.• Se multiplica por 1 000,3 500 ÷ 125 = 28 y no sobra.• Se multiplica por 100,450 ÷ 32 = 14 y sobra. 2. Si algunosalumnos continúan dividiendoobtendrán 14.0625.Si lo considera pertinente, comentecon sus alumnos lo que sucede conel residuo en esta división. Si bien escierto que al multiplicar por un mismonúmero el dividendo y el divisor,el cociente no se altera, no pasa lomismo con el residuo. Éste aumentatantas veces como el número porel cual se multiplicó. Por ejemplo,mientras que en la división original(4.5 ÷ 0.32) el residuo es 0.02, en ladivisión transformada (450 ÷ 32) elresiduo es 2. El residuo de la divisióntransformada es 100 veces mayor queel de la división original.Propósito de la actividad. Estaactividad permite que los alumnosvaliden el resultado que obtuvieronen el problema inicial. Si es necesariopídales que corrijan.Puede haber discrepancia en losresultados si algunos alumnos dejaronel residuo y si otros continuaron ladivisión. Es buen momento para quelos anime a terminar la división.Sugerencia didáctica. Resuelvan enel pizarrón más divisiones y aclare lasposibles dudas.secuencia 1718iii. Transformen cada división en una cuyo divisor no tenga punto decimal y resuélvanla;elijan bien el número por el que tienen que multiplicar cada una.1.2 480.125 3.50.32 4.5iV. Resuelvan la división del problema inicial (19.4 2.5) transformándola en una divi­sión sin punto en el divisor. Comparen este resultado con el que obtuvieron al princi­pio de la sesión.Comenten los resultados que han obtenido hasta este momento. Pasen al pizarrón a re­solver las 3 divisiones de la actividad III y expliquen por cuál número multiplicaron eldividendo y el divisor de cada una y por qué.A lo que llegamosPara resolver una división con punto decimal en el divisor:1. Primero se transforma la división en otra que no tenga puntodecimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y eldivisor por 10, 1 00, 1 000, ... según el divisor tenga 1, 2, 3, ...cifras decimales.2. Después se resuelve.Por ejemplo, para resolver:0.12 2.4se multiplican por 100 el dividendo y eldivisor para transformar la división en12 240Y se resuelve: 2012 240000El resultado de dividir 240 ÷ 12 es el mismo que el resultado dedividir 2.4 ÷ 0.12. Compruébenlo con una calculadora.
  19. 19. 19Respuestas. Araceli tiene 100monedas (50.00 ÷ 0.50). Necesita 5monedas para hacer cada montónde $2.50, así que puede hacer 20montones.Luis tiene 100 monedas(500.00 ÷ 5.00). Necesita 5 monedaspara hacer cada montón de $25.00,así que también puede hacer 20montones.Entonces la respuesta correcta es c).Respuestas. El número de envasessiempre debe ser 14, entonces lacantidad de litros de leche a repartirhay que dividirla entre 14 para obtenerla capacidad de cada envase.Si lo que conocemos es la capacidadde cada envase, entonces ese númerose multiplica por 14 para hallar lacantidad de litros a repartir.Respuestas. El resultado es 4.6.Se obtendría el mismo cociente connúmeros como:92 entre 20,920 entre 200,9 200 entre 2 000,92 000 entre 20 000,920 000 entre 200 000,etcétera.19MATEMÁTICAS ILo que aprendimos1. Araceli tiene $50.00 en monedas de $0.50 y quiere hacer montones de $2.50; Luistiene $500.00 en monedas de $5.00 y quiere hacer montones de $25.00.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?a) Araceli hará más montones.b) Luis hará más montones.c) Ambos harán el mismo número de montones.d) No puede calcularse quién hará más montones.Justifica la respuesta que elijas.2. Don Fernando va a repartir 7 de leche en envases de 0.5 . ¿Cuántos envases ocu­pará?Completa la tabla de tal manera que el número de envases siempre sea el mismo que losque ocupará don Fernando.Litros a repartirCapacidad de cada envase( )Número de envases141.5285103. Resuelve la división 9.2 entre 2 = Inventa 5 divisiones que, partiendo de los mismos números que la anterior, tengan igualcociente. 1 14 21 14 2 14 70 14 140 14
  20. 20. 20Propósito de la sesión. Resolverdiversos problemas que implicanoperaciones de números con puntodecimal.Organización del grupo. Formeequipos para que resuelvan losproblemas.1Propósito de la actividad. Aunquela secuencia se refiere a la división denúmeros con punto decimal, en la seriede problemas que aquí se presentanno siempre usaránla división, también harán uso deotras operaciones que ya hanestudiado.Sugerencia didáctica. En algunosproblemas puede solicitar a losalumnos que antes de haceroperaciones, den una respuestaaproximada del resultado y la anotenen una hoja. Al término, compararánsus estimaciones con los resultadosobtenidos.Respuestas.El diamante es 4 veces más duro quela plata y 6.6666666… veces másduro que el azufre (se divide 10 entre2.5 y 10 entre 1.5).La diferencia de temperatura es de22.5 ˚C. Es la distancia de 4.5 a18.5 ˚C bajo cero. Aun cuando elproblema involucra números consigno, se espera que los alumnospuedan resolverlo mediante susconocimientos sobre las temperaturasbajo cero. Si nota dificultades, puedeauxiliarlos.La ballena es 22 veces más larga queuna salamandra gigante y 117.857veces más larga que una araña Goliat(se divide 33 entre 1.5 y 33 entre0.28).Invite a los alumnos a que leanatentamente la pregunta del problemade la estrella Sirio; no se pide elresultado, sino las operaciones queresuelven el problema. Hay variasmaneras de expresar la respuesta, unaposible es:- Multiplicar 60 × 60 × 24 × 365 ×8.8 para saber cuántos segundoshay en 8.8 años y el resultadomultiplicarlo por 300 000 parasaber la distancia que se pide.Si surgen varias respuestas seráinteresante analizarlas en laconfrontación y determinar si son o noequivalentes.secuencia 1720sEsión 3La estrella más brillante que vemos en el cielo esSirio, que se ve durante las noches de invierno. ¡Laluz de Sirio tarda 8.8 años en llegar a la Tierra!Si la luz viaja a 300 000 km/s, ¿qué operacionestendríamos que hacer para conocer la distancia a laque está Sirio?El animal más grande del mundo es la ballena azul,llega a medir hasta 33 m de largo. El anfibio másgrande es la salamandra gigante de Japón, con1.5 m de largo. La araña más grande es la Goliath,puede medir 0.28 m de longitud. ¿Cuántas veceses más larga una ballena azul que una salamandragigante?,¿Y que una arañaGoliath?El crecimiento de las bacterias a menos de 10 oCes muy lento, por ello los alimentos en el refrige­rador se conservan más tiempo. La temperaturadel congelador se conserva alrededor de los 18 oCbajo cero y en el refrigerador puede estar alrede­dor de 4.5 oC. ¿Cuáles la diferencia entrela temperatura delcongelador y la delrefrigerador?La dureza de un mineral puede medirse de acuerdocon la facilidad para rayarlo. El mineral más duroes el diamante y su dureza es de 10. La mínimadureza de la plata es 2.5 y la del azufre es 1.5.¿Cuántas veces es más duro el diamante que laplata?¿Y que el azufre?númErOs dECimaLEs En La CiEnCiaLo que aprendimosEn esta sesión aplicarán varios de los conocimientos que han adquirido a lo largo detodas las secuencias sobre números con punto decimal. En cada caso, respondan la pre­gunta planteada.
  21. 21. 21Respuestas.Los porcentajes de los elementosque forman el cuerpo humano suman97.4, hace falta 2.6%, que es lo quecorresponde a otros elementos.La Tierra recorre 1 830 km en unminuto (60 segundos). Se divide 1 830entre 30.5.Neptuno tarda 165 años, 4 meses y 26días (porque 0.4 de año son 146 días).Urano tarda 83 años, 8 meses y 12.5días (porque 0.7 de año son 255.5días).La persona pesa 65 kg (se divide 6.305entre 0.097); y tendría que caminardurante 79.302 minutos (se divide 500entre 6.305).Integrar al portafolios. Seleccione3 problemas de esta sesión y pidaa los alumnos que los resuelvan enuna hoja aparte. En caso de habererrores, analice si tienen que ver conlas divisiones con decimales, conla comprensión del problema o conambas.21MATEMÁTICAS IAl caminar rápidamente se queman0.097 calorías por cada kilogramo depesoporminuto.Siunapersonacami­nando rápidamente quemó 6.305calorías en un minuto, ¿cuánto pesa?¿Cuánto tiempo, aproximadamente,tendría que caminar rápido esa per­sona para quemar 500 calorías?Comenten con otros equipos los resultados de estos problemas. Comparen los proce­dimientos que muestren los diferentes equipos y elijan aquellos que les parezcan másfáciles.Para saber másSi el tiempo que tardan los planetas en dar la vuelta al Solse mide en años, se tiene que: Neptuno tarda 165.4 años yUrano 83.7 años. ¿Cuál es la duración en años, meses y díasdel tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol?¿Y Urano?La Tierra, al viajar alrededor del Sol, re­corre 30.5 kilómetros en un segundo.¿En cuánto tiempo recorre 1 830 kiló­metros?El cuerpo humano está formadopor varios elementos: 63% de hi­drógeno, 23.5% de oxígeno, 9.5%de carbono, 1.4% de nitrógenoy el resto de otros elementos.¿Cuál es el porcentaje que corres­ponde en total a esos otros ele­mentos?Sobre la división de números decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en Relacionando multiplicación y división.
  22. 22. 22Propósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primergrado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad,cuando a, b y c son números naturales y decimales.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1A repartir naranjasInterpretar la ecuación como una expresión quesintetiza las relaciones entre los datos y la cantidaddesconocida del problema.Resolver problemas que implican plantear y resolverecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.Interactivo“Ecuaciones”Aula de medios“A repartir naranjas”(Hoja de cálculo)2El paseo escolarResolver problemas que implican plantear y resolverecuaciones algebraicas del tipo ax = b.Video“El terreno y el río”Interactivo“Ecuaciones”3Resolución de ecuaciones mixtasResolver problemas que implican plantear y resolverecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.Interactivo“Ecuaciones deprimer grado”EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.TemaSignificado y uso de las operaciones.AntecedentesEn las secuencias 3 y 4 los alumnos seiniciaron con la utilización de literales paraexpresar patrones y fórmulas geométricas. Enesta secuencia usarán literales para traducir eltexto de un problema al código algebraico ypara resolver ecuaciones.Propósito de la sesión. Interpretar laecuación como una expresión que sintetizalas relaciones entre los datos y la cantidaddesconocida del problema.Resolver problemas que implican planteary resolver ecuaciones algebraicas aditivasdel tipo x + a = b.Organización del grupo. Se sugiere quetrabajen todas las actividades organizadosen parejas.Propósitos de la actividad. Se tratade un problema sencillo que se resuelvecon la suma 24 + 8. Se espera que losalumnos identifiquen cuáles son losdatos conocidos y cuál es la operaciónque resuelve el problema. Es importanteque identifiquen como una igualdad laexpresión en la que aparece el signoigual. En este momento no es necesarioque definan el concepto de igualdad,sino sólo que empiecen a reconocer y autilizar el término.Posibles dificultades. Dado queaparecen las palabras “tenía”, “vendió”,algunos alumnos podrían pensar queel problema se resuelve con la resta24 – 8. Si bien está implícita una resta,el problema se resuelve mediante unasuma (cantidad final de naranjas máscantidad de naranjas vendidas).Sugerencia didáctica. En caso deque algunos alumnos presenten unarespuesta distinta a 32 kg, pídalesque comenten cómo lo obtuvieron.Posteriormente invite al grupo a queresuelvan la actividad I del apartadoManos a la obra para verificar si larespuesta que dieron es correcta o no.secuencia 1822En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamien-to y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b;ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a,b y c son números naturales o decimales.A RepARtiR nARAnjAsPara empezarEn la primaria resolviste problemas en los que tenías que encontrar la solución haciendooperaciones aritméticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuenciaaprenderás una nueva manera de resolver problemas: usarás expresiones algebraicaspara representar y encontrar valores desconocidos.Consideremos lo siguienteUn comerciante de naranjas quiere saber cuántos kilogramos de naranjas tenía al princi-pio del día si vendió 24 kg y al final se quedó con 8 kg.a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo:• Los kilogramos de naranjas que vendió.• Los kilogramos de naranjas que tenía al principio.• Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final.b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un número que debe estaren el recuadro azul:− 24 = 8c) ¿Cuál es el número que debe estar en el recuadro azul?Comparen sus respuestas y comenten:a) ¿Qué operación hicieron para encontrar el número que va en el recuadro azul?b) ¿Cuántos kilogramos tenía el comerciante al principio del día?sesión 1Ecuaciones deprimer grado
  23. 23. 23Propósito de la actividad. Que losalumnos logren expresar medianteuna igualdad, un problema que seles presenta de manera verbal. Estoimplica identificar cuáles son los datosconocidos y desconocidos, y cómo serelacionan entre ellos:+ 110 = 221Posibles procedimientos. Puedehacerse restando 221 – 110 opensando cuánto le falta a 110 parallegar a 221.Propósito de la actividad. Ensecuencias anteriores los alumnoshan utilizado letras para expresarfórmulas y patrones numéricos; enesta secuencia se pretende que losalumnos utilicen una letra (en estecaso la x) para representar al datodesconocido (incógnita) en unaigualdad. Es importante que losalumnos identifiquen a la x no comouna letra, sino como un número delque se desconoce su valor.Propósito del interactivo. Resolverecuaciones de primer grado utilizandolas propiedades de la igualdad.Propósito de la actividad. Que losalumnos continúen identificando losdatos conocidos y los desconocidosde un problema, y que resuelvanproblemas de suma o resta mediantela operación inversa.Recuerde que. Los problemas aditivosson aquellos que implican tanto ala suma como a la resta. Cuando enuna suma se desconoce uno de losdatos, se puede encontrar el datofaltante mediante una resta, que es laoperación inversa de la suma.En este caso, el dato desconocido dela suma se encuentra mediante unaresta: 124 – 57 = 67. Los alumnos iránidentificando estas relaciones en eltranscurso de las actividades de esteapartado y podrán formalizarlo al finalde esta sesión.Propósito de la actividad. Quelos alumnos analicen la estructuradel problema (los datos y la formaen que están relacionados) paraidentificar cómo está conformadauna igualdad. Aproveche diferentesmomentos para que los alumnos sevayan familiarizando con el término“igualdad”; insista en que unaigualdad comprende las expresionesque están de uno y del otro lado delsigno igual.Sugerencia didáctica. Es importanteque se comente cómo se obtiene elresultado. Algunos restarán 124 – 57,otros lo harán pensando cuánto lehace falta a 57 para llegar a 124;ambas formas de resolver implican ala resta.23MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Escriban el número que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:− 24 = 8II. Hay que encontrar un número que, al sumarle 57, dé como resultado 124.a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?En la siguiente igualdad, el número desconocido del problema es un número que debeestar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los números conocidos:+ =b) ¿Cuál es el número que va en el recuadro?c) Comprueben la solución que encontraron:En lugar del recuadro morado escriban el número que encontraron y hagan las operaciones:+ =Comparen sus respuestas y comenten:¿Cuál es el número que al sumarle 57 da como resultado 124?III. Representen con una igualdad el siguiente problema: ¿Cuál es el número que al su-marle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el númerodesconocido.+ =a) ¿Cuál es el número que debe ir en el recuadro rojo?b) ¿Qué operación hicieron para encontrarlo?IV. Generalmente, en las matemáticas se utilizan letras para representar los valores des-conocidos. Si en el problema anterior:¿Cuál es el número que al sumarle 110 da como resultado 221?se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarsemediante la siguiente igualdad:x + 110 = 221Esta igualdad es la misma que: + 110 = 221sólo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo
  24. 24. 24Sugerencia didáctica. Si los alumnostienen dificultades para completarla ecuación, se les puede pedir quecompleten lo siguiente:x = 221 –x =Sugerencia didáctica. Si los alumnosmuestran facilidad para realizar estosejercicios, puede proponerles queverifiquen el valor de x sustituyéndoloen la ecuación: x + 110 = 221 111 + 110 = 221 221 = 221Sugerencia didáctica. Lea y comenteesta información con sus alumnos.Destaque las siguientes ideas:- Las igualdades que aparecieron enlas actividades anteriores teníansólo números, ahora se presentanigualdades en las que se utilizanletras para representar un datodesconocido (incógnita).- Estas igualdades se llaman“ecuaciones”.Puede pedirles que en su cuadernorespondan a la pregunta “¿Qué es unaecuación?”. Pida a algunos alumnosque lean sus respuestas y, a partirde ellas, usted puede ampliarlasincorporando otros términos que lasenriquezcan. Por ejemplo: “Es unaigualdad en la que hay una incógnitaque se representa con una letra”. “Esuna expresión algebraica en la quehay una incógnita”. Una vez que sehayan leído y comentado algunasrespuestas, los alumnos puedenhacer correcciones o ampliar lo queinicialmente habían escrito.Propósito del interactivo. Resolverecuaciones de primer grado utilizandolas propiedades de la igualdad.secuencia 1824a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x?Complétenla:221 −¿Cuánto vale x? x =b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en laigualdad:+ 110 = 221Comparen sus respuestas.A lo que llegamosLas igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas enlas que hay un valor desconocido o incógnita que generalmente serepresenta con una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.V. En la ecuación m − 1 = 7, ¿cuál es el valor desconocido o incógnita? Subráyenlo:• 1• m• 7a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de m?b) ¿Cuánto vale m? m =c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron:− 1 = 7A lo que llegamosPara resolver la ecuación x + 110 = 221, en la que se está sumando,se puede hacer una resta: x = 221 – 110. La solución de esta ecuaciónes x = 111.Para resolver la ecuación m – 1 = 7, en la que se está restando,se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La solución de esta ecuaciónes m = 8.Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas.Sugerencia didáctica. Aclare alos alumnos que, en general, puedeutilizarse cualquier letra pararepresentar un valor desconocido oincógnita (no siempre es la letra x ).Para el inciso c), comente que unacaracterística fundamental de todaigualdad es que lo que aparece dellado izquierdo del signo igual, debetener el mismo valor que lo que estáen el lado derecho, por lo que esimportante verificar que el valor quese le ha asignado a las incógnitas escorrecto.Sugerencia didáctica. Una formamás de ejemplificar esta información,es “Lo contrario de sumar, es restar: sia un número le sumo 5 y al resultadole resto 5, obtenemos el mismonúmero”. Puede preguntar a losalumnos lo siguiente:- Si en una adición se desconoce unsumando ¿qué operación se realizapara calcularlo?- Si en una sustracción se desconoceel minuendo ¿qué operación serealiza para calcularlo?
  25. 25. 25Integrar al portafolios. Si identifica que losalumnos tienen dificultades para plantear lasecuaciones, repase con el grupo las actividadesIII y IV del apartado Manos a la obra y el II delapartado A lo que llegamos, con la finalidadde enfatizar cuáles son las operaciones quepermiten encontrar el número buscado una vezque se ha planteado la ecuación.Respuestas.a) x + 27 = 138x = 138 – 27x = 111b) x – 2.73 = 5.04x = 5.04 + 2.73x = 7.7725MATEMÁTICAS IVI. El comerciante quiere saber ahora cuántos kilogramos de naranja tenía al principio,si en esta ocasión vendió primero 13 kg de naranja, después vendió 11 kg y finalmen-te se quedó con 5 kg.a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema?• x – 13 – 11 + 5• x – 13 + 11 = 5• x – 24 = 5• x – 13 – 11 = 5b) Resuelvan la ecuación, ¿cuánto vale x? x =Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten:a) ¿Cuántos kilogramos de naranja tenía el comerciante al principio?b) Hay dos ecuaciones que representan el problema, ¿por qué creen que la soluciónde estas dos ecuaciones es la misma?Comprueben su solución sustituyéndola en las dos ecuaciones:– 13 – 11 = 5 – 24 = 5Lo que aprendimos1. Un camión que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Reco-ge 21 más en otro pueblo, deja 56 en una tienda, después deja 34 en otra tien-da. Al acabar su recorrido se quedó con 15 de leche.a) En este problema hay 4 valores conocidos, ¿cuáles son?b) La ecuación x + 21 – 56 – 34 = 15 permite resolver el problema. Resuélvanla ensus cuadernos.c) ¿Cuántos litros tenía el camión al salir del establo?d) Comprueben si la solución que encontraron es correcta.2. Para los siguientes problemas plantea una ecuación y resuélvela.Hazlo en tu cuaderno.a) ¿Cuál es el número que al sumarle 27 da como resultado 138?b) ¿Cuál es el número que al restarle 2.73 da como resultado 5.04?Comprueba tus soluciones.Propósito de la actividad. A lacantidad inicial, que es la incógnitadel problema, se le aplican dosoperaciones sucesivas y se obtieneun resultado determinado. A partir deesas transformaciones y del resultado,que son los datos conocidos, debeobtenerse el valor de la incógnita.Respuesta. Las dos últimas ecuacionesrepresentan el problema.Sugerencia didáctica. Pida que pasenalgunos alumnos al pizarrón a resolvercada una de las ecuaciones elegidasy que identifiquen cuáles ecuacionesplantean el problema de maneraadecuada. Es importante destacar queen el caso de la primera expresiónalgebraica no se plantea ningunaigualdad, a diferencia de las otras tres.Sugerencia didáctica. Subraye elhecho de que con las dos últimasecuaciones se obtiene la mismasolución porque plantean el mismoproblema: restar primero 11 kg ydespués 13 kg, es lo mismo que restar24 kg en una sola operación.Posibles procedimientos. Puedenresolver el problema de distintasmaneras. Una de ellas es partirde los 15 con los que se quedó,e ir agregando los litros que fueentregando en cada tienda:15 + 34 + 56 = 105 Y después serestan los 2 que había recogido enotro pueblo:105 – 21 = 84 Otra forma es sumarlas cantidades de litros entregados(56 + 34 = 90), restarles los 21 que seagregaron en otro pueblo (esos litrosno salieron del primer establo):90 – 21 = 69, y sumar después los 15que sobraron: 69 + 15 = 84Sugerencia didáctica. Ayúdeles acomprender cómo fueron variandolas cantidades haciéndoles preguntascomo: ¿Sabemos con cuántos litrosde leche salió el camión del primerpueblo? ¿Qué pasó después, entregó orecibió más litros de leche? ¿A qué serefiere el número 21? ¿A qué se refiereel número 56?Posteriormente puede pedir a losalumnos que comenten por qué lasecuacionesx + 21 – 56 – 34 = 15yx – 69 = 15tienen la misma solución.
  26. 26. 26Propósito de la sesión. Resolverproblemas que implican plantear yresolver ecuaciones algebraicas deltipo ax = b.Organización del grupo. Formeparejas para que trabajen de esamanera durante toda la sesión.Propósito de la actividad. Elproblema que ahora se plantea es detipo multiplicativo: implica a la divisióny a la multiplicación. Encontrar elresultado es relativamente sencillo,pues los alumnos pueden identificarrápidamente que el problema seresuelve con una división, y losnúmeros que se dividen son enteros ycon pocas cifras. La parte central de laactividad es que los alumnos traten deplantear –y resolver– una ecuación querepresente el problema; no importa sien este momento no logran hacerlo demanera correcta, lo importante es queexploren distintas posibilidades.Sugerencia didáctica. Es posibleque la mayoría de los alumnoshaya logrado encontrar el resultadodel problema mediante la división280 ÷ 8, pero que no todos hayanlogrado plantear la ecuación. Pida aestos alumnos que expliquen cómoresolvieron el problema, aunque nohayan podido plantear la ecuación;después pida a quienes sí lo hayanpodido hacer, que muestren al gruposus respuestas. Pregunte al grupo:¿Cómo podemos saber cuál es larespuesta correcta?Respuesta. 8y = 280. Esta ecuaciónrepresenta que en cada camión hay“y” niños; como hay 8 camiones, con8y se obtiene la cantidad total deniños, que es de 280.Respuesta. Para encontrar el valorde y se divide 280 ÷ 8.Propósito del interactivo. Resolverecuaciones de primer grado utilizandolas propiedades de la igualdad.Sugerencia didáctica. En caso de que algunas parejas hayanelegido ecuaciones que no corresponden con el problema, pidaque hagan la comprobación en el pizarrón. Los alumnos puedencomentar por qué esa ecuación no permite obtener el resultadocorrecto. Asimismo, es importante que se contraste con laecuación correcta y que se muestre su comprobación. Destaqueel hecho de que la ecuación plantea una multiplicación, y laoperación con la que se resuelve es una división:8y = 280y = 280 ÷ 8y = 35secuencia 1826eL PAseO esCOLARConsideremos lo siguientePara un paseo al que asistirán 280 niños se van a rentar 8 autobuses. Todos los autobu-ses van a llevar el mismo número de niños. Se quiere saber cuántos niños debe llevarcada autobús.a) ¿Cuál es el valor desconocido en el problema? Subráyenlo.• El número de niños que asisten al paseo.• El número de autobuses que se rentan.• El número de niños que van en cada autobús.b) Usando la letra y escriban una ecuación que describa este problema:c) Encuentren el valor de yComparen sus ecuaciones y sus resultados.Manos a la obraEn esta actividad se usará algo que aprendieron en la secuencia 4. Recuerden que 8y eslo mismo que 8 por y; el símbolo de la multiplicación aquí no se pone para no confun-dirlo con la letra x.i. Una de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior. Subráyenla:• 280 y = 8• 280 + y = 8• y + 8 = 280• 8 y = 280a) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de y?• 8 ÷ 280• 8 × 280• 280 – 8• 280 ÷ 8b) Usando la operación que señalaron encuentren el valor de y.y =c) Comprueben su solución sustituyendo el valor de y en la ecuación que escogieron.Háganlo en sus cuadernos.Comparen sus respuestas y comenten:¿Cuántos niños debe llevar cada autobús?sesión 2
  27. 27. 272Sugerencia didáctica. Lea y comenteesta información con los alumnos.Puede pedirles que busquen en estamisma sesión otros ejemplos en losque la ecuación se resuelva medianteuna división o una multiplicación.La idea de que la multiplicación yla división son operaciones inversaspuede ejemplificarse de la siguientemanera: “Lo contrario de multiplicar esdividir: si un número lo multiplicamospor 6 y el resultado lo dividimos entre6, obtenemos el mismo número”. Yviceversa.Propósito de la actividad. Seespera que los alumnos establezcanrelaciones entre los distintosmomentos por los que han transitadoen estas dos sesiones para encontrarel valor de una incógnita: elplanteamiento verbal del problema, suexpresión algebraica y la resoluciónaritmética.Sugerencia didáctica. Mientraslas parejas resuelven, reproduzcala tabla en el pizarrón para quepuedan comparar sus respuestas.Pida a algunos alumnos que pasena completar la tabla. Es posible queaparezcan distintas formas correctasde expresar las ecuaciones, si no esasí, es conveniente que usted lasproponga, por ejemplo:En el segundo renglón, x ÷ 6 = 48 eslo mismo que y = 48.En el tercer renglón, m × 25 = 165es lo mismo que 25m = 165 (de hecho,esta última expresión es más adecuadaque la anterior, pues el signo demultiplicación podría confundirse conla literal x).En el cuarto renglón, la ecuaciónpuede ser:y ÷ 7 = 12.5 o u = 12.5Respuesta. Las ecuaciones quecorresponden al problema son lasegunda y la tercera.Posibles procedimientos. Algunosalumnos quizá resuelvan el problemasin plantear la ecuación, aun cuandola hayan identificado. Pueden sumar3 veces 4, o multiplicar 3 × 4, quees una forma correcta de resolver,pues para encontrar el valor de J esnecesario realizar la multiplicación3 × 4. Trate de identificar qué alumnossí recurren a la ecuación y quiénes no.Sugerencia didáctica. Pida a dosalumnos que resuelvan en el pizarrónlas ecuaciones que correspondenal problema, y que sustituyan laincógnita para hacer la comprobación.Pregunte a los alumnos por qué lasexpresiones J ÷ 3 = 4 y e = 4 danel mismo resultado. Aclare que si bienambas ecuaciones expresanuna división, en el lenguaje algebraicose utiliza más la raya ( e = 4) paraindicar una división y se usa poco elsigno de la división.27MATEMÁTICAS III. Se quiere conocer la edad de Julián y se sabe que la tercera parte de su edad es iguala la edad de Diego, que tiene 4 años.a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a este problema? Se usa la letraJ para representar a la edad de Julián.• J × 3 = 4• J ÷ 3 = 4• J ÷ 4 = 3• = 4b) ¿Cuántos años tiene Julián?c) En sus cuadernos, comprueben su solución sustituyendo el valor de J en la ecua-ción que escogieron.Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.a) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que corresponden a este problema?b) ¿Qué operación hicieron para encontrar la edad de Julián?c) ¿La edad de Julián que encontraron es la cuarta parte de la edad de Diego?III. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas, sus ecuaciones correspondien-tes y las operaciones con las que se pueden resolver. Complétenla.Problema EcuaciónOperación que se hacepara encontrar laincógnitaValor de la incógnita¿Cuál es el número que almultiplicarlo por 3 da 57?¿Cuál es el número que aldividirlo entre 6 da 48?x ÷ 6 = 48¿Cuál es el número que almultiplicarlo por____ da ____? m× 25 = 165 165 ÷ 25¿Cuál es el número que aldividirlo entre 7 da 12.5? 12.5 × ______ 87.5Comparen sus tablas.JA lo que llegamosEn la ecuación 2y = 16, el número 2 está multiplicando a la incógnita y. Para encontrar elvalor de y se puede hacer una división: 16 ÷ 2. La solución de la ecuación es y = 8.En la ecuación s ÷ 5 = 6, el número 5 está dividiendo a la incógnita s. Para encontrar elvalor de s se puede hacer una multiplicación: 6 × 5. La solución de la ecuación es s = 30.Se dice entonces que la multiplicación y la división son operaciones inversas.xyJJ
  28. 28. 28Propósito del video. Observarel planteamiento y la solución deproblemas con un valor desconocido.Propósito de la actividad. Seconoce la medida del largo y lasuperficie total, la incógnita es lamedida del ancho. Pueden resolver elproblema dividiendo la superficieentre la medida del largo sin recurrira una ecuación. Lo relevante es quelogren plantear la ecuación y queencuentren el valor de la incógnitaresolviendo la ecuación.Sugerencia didáctica. Pida a uno odos de los alumnos que resuelvan enel pizarrón la ecuación que plantearony que hagan la comprobación.Respuesta.17y = 238y = 238 ÷ 17 (o también y = W q E u I )y = 14Propósito de la sesión. Resolverproblemas que implican plantear yresolver ecuaciones algebraicas deltipo ax + b = c.Organización del grupo.Se sugiereresolver todas las actividades enparejas, a excepción del apartado Loque aprendimos, que puede resolversede manera individual.Propósito de la actividad. Esteproblema implica dos transformacionessucesivas de la cantidad inicial:primero se multiplica y luego se resta.Posibles dificultades. Si algunosalumnos siguen utilizando el signode la multiplicación, usted puedesugerirles que lo cambien por laexpresión 3x para evitar confusiones.Podrían tener mayores dificultadespara resolver la ecuación en la que seaplican dos operaciones a la cantidadinicial: una multiplicación y una suma.¿Qué se resuelve primero? Permita quelos alumnos exploren la manera deencontrar el valor de laincógnita cuando la ecuación implicauna operación aditiva.Sugerencia didáctica. Mientras losalumnos resuelven, identifique doso tres procedimientos que puedanapoyar a los demás alumnos en elplanteamiento de la ecuación y en suresolución. Pida a esos alumnos quemuestren su solución a todoel grupo. En las actividadesdel siguiente apartado tendránoportunidad de encontrar una formacorrecta de plantear y resolver laecuación.Propósito de las actividades. Losalumnos podrán identificar los datosconocidos y la incógnita, así como lasrelaciones que se establecen entreellos; esto les permitirá identificarla ecuación que corresponde alplanteamiento del problema.Respuesta. La incógnita es elnúmero que pensó Juan, y laecuación correcta es 3x – 5 = 10secuencia 1828sesión 3Lo que aprendimosEl terreno y el ríoEl terreno rectangular que se muestra en la figura de la iz-quierda está atravesado por un río y no es posible medir suancho. ¿Cómo se puede calcular el ancho si se sabe que elterreno mide de largo 17 m y el área que ocupa es 238m2?a) Escriban una ecuación para resolver el problema anterior:b) Encuentren el valor de la incógnita.c) Comprueben el valor que encontraron para la incógnita.ResOLUCión De eCUACiOnes MiXTAsConsideremos lo siguienteJuan pensó un número. Lo multiplicó por 3 y a lo que le salió le restó 5. Al final obtuvo 10.a) Escriban una ecuación para encontrar el número que pensó Juan.Usen la letra x para representarlo.b) ¿Cuál es el número que pensó?Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten:¿Qué operaciones hicieron para resolver la ecuación?Manos a la obrai. ¿Cuál es la incógnita en el problema?• El resultado de multiplicar por 3.• El resultado que obtuvo Juan al final.• El número que pensó Juan.Juan hizo dos operaciones con el número que pensó.a) ¿Cuál fue la primera operación que hizo?b) ¿Cuál fue la segunda operación que hizo?17 mComparen sus respuestas y comenten:¿Cuánto mide el ancho del terreno?
  29. 29. 29Sugerencia didáctica. Asegúrese deque los alumnos efectivamente haganla comprobación en sus cuadernos;para ello, deben sustituir la incógnitapor el valor que encontraron:20 ÷ 4 + 6 = 5 + 6 = 113Sugerencia didáctica. Anime a losalumnos para que argumenten por quéesa ecuación no resuelve el problema(una posible respuesta es que ni lasoperaciones ni los números coincidencon los del problema planteado). Si losargumentos no son suficientes, puedensustituir la incógnita por el valor queya encontraron, y ver si obtienen elmismo resultado.Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que argumenten por quéesa ecuación no corresponde con elproblema. Deben darse cuenta deque en esta ecuación los números nocorresponden con las operacionesrealizadas. Puede pedir quesustituyan x por el valor encontradoanteriormente, para ver si obtienen elmismo resultado que con la ecuacióncorrecta.Propósito de la actividad. Paraencontrar el valor de la incógnitadeben considerar que la operacióninversa de la resta es la suma; por lotanto, para saber cuál fue el númeroque obtuvo Juan al hacer la operación3x, es necesario sumar 5 al resultadofinal: 10 + 5 = 15Propósito de la actividad. Laoperación inversa de la multiplicaciónes la división, por lo tanto, tendríanque dividir 15 ÷ 3 para encontrar elvalor de x.Sugerencia didáctica. Puede pedir aun alumno que haga la comprobaciónen el pizarrón. Pida a los alumnos queregresen a la solución que dieron almismo problema al inicio de la sesión,para que comparen la ecuación y lasolución que dieron en ese momentocon lo que obtuvieron ahora. Pídalesque hagan las correcciones necesarias.Propósito de la actividad. Aligual que en la actividad anterior,se pretende que los alumnosidentifiquen que en la ecuación haydos operaciones, una multiplicativa(en este caso la división y ÷ 4) y otraaditiva (en este caso, la suma + 56), yque primero se resuelve la operaciónaditiva mediante la operación inversa:al resultado final se debe restar 6, quees lo que se había agregado.Respuesta. Pueden utilizary ÷ 4 + 6 = 11 o también r + 6 = 1129MATEMÁTICAS Ic) Una de las siguientes ecuaciones sirve para encontrar el número que pensó Juan,¿cuál es?• 3x – 5x = 10• 3x + 10 = 5• 3x – 5 = 10Comparen sus ecuaciones y soluciones.Comenten: la ecuación 5 x – 3 = 10 no corresponde a este problema, ¿por qué?II. En la ecuación 3x – 5 = 10 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 3 por x,y después, al resultado se le resta 5.a) ¿Qué número creen que obtuvo Juan al hacer la operación: 3x?Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.b) En la ecuación 3x – 5 = 10, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encon-trar el valor de 3x?Completen:3x = 10 + =c) En la ecuación 3x = 15, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encontrarel valor de x?Completen:x = 15 ÷ =d) En sus cuadernos, comprueben el valor que encontraron para el número que pen-só Juan, sustituyéndolo en la ecuación.III. Ana pensó un número. Lo dividió entre 4 y después, a lo que le salió, le sumó 6. Alfinal obtuvo 11.a) ¿Cuál es la primera operación que hizo Ana?b) ¿Cuál es la segunda operación que hizo Ana?c) Escriban una ecuación para encontrar el número que Ana pensó. Usen la letra ypara representarlo.y ÷ 4 + =d) ¿Cuál es el valor de y?y =e) Comprueben la solución en sus cuadernos.Comparen sus ecuaciones y soluciones.Comenten: La ecuación y – (2 ÷ 8) no corresponde al problema, ¿por qué?Recuerden que:3x es lo mismo que3 por x. El símbolode la multiplicaciónno se pone para noconfundirlo con laletra x.y
  30. 30. 30Propósito de la actividad. Laincógnita de la ecuación quecorresponde a este problema estádeterminada por dos operaciones.Se espera que, a partir de lo quetrabajaron en la actividad anterior,los alumnos puedan identificar laecuación que corresponde alproblema y resolverla.Respuesta. La segunda ecuación(2a + 1 = 7.2) y la cuarta(a × 2 + 1 = 7.2) permiten encontrarel valor de la altura.Respuesta. La segunda y la cuartaecuación son las correctas. Convieneque aclare a los alumnos que larespuesta óptima es la segundaecuación, pues en la cuarta se estáutilizando el signo × para indicar lamultiplicación, lo cual podría resultarconfuso. En caso de que haya alumnosque hayan elegido otras ecuaciones,puede pedirles que las resuelvan y quedespués hagan la comprobación,para que de esa manera se percatendel error.secuencia 1830A lo que llegamosiV. En el rectángulo de la figura 1 la medida de la base es igual al doble de la medida dela altura más 1 cm.Figura 1De las siguientes ecuaciones señalen las que sirven para encontrar la altura.• a × 2 + 7.2 = 1• 2a + 1 = 7.2• (a ÷ 2) + 1 = 7.2• a × 2 + 1 = 7.2Comparen las ecuaciones que escogieron y comenten:a) ¿Cuáles son las operaciones que se hacen en este problema?b) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que permiten resolver el problema?7.2 cmaPara resolver ecuaciones en las que se hacen dos operaciones con la incógnita, como5x + 1 = 21, hay que respetar el orden de las operaciones. Una manera de resolver estasecuaciones es la siguiente:Primero. Encontrar el valor de 5x:5x = 21 – 15x = 20Segundo. Encontrar el valor de x:x = 20 ÷ 5x = 4En la ecuación (y ÷ 6) – 8 = 4 se pone un paréntesis para indicar que primero se divideentre 6 y después se resta 8. Nuevamente se resuelve la ecuación respetando el ordende las operaciones:Primero. Se encuentra el valor de y ÷ 6:y ÷ 6 = 4 + 8y ÷ 6 = 12Segundo. Se encuentra el valor de y:y = 12 × 6y = 72
  31. 31. 31Integrar al portafolios. Si identificadificultades para plantear la ecuación,pida a uno o dos alumnos que lo hayanhecho correctamente que la escribanen el pizarrón. Usted puede preguntar:¿Cuál es la incógnita? ¿Cómo fuecambiando el dinero que inicialmentetenía Eugenio? ¿Con cuánto dinerose quedó al final? ¿Cómo podemosplantear la igualdad?Si los alumnos tienen dificultades pararesolver la ecuación repase con ellosel apartado A lo que llegamos de lassesiones 2 y 3 de esta secuencia.Respuestas.3x – 150 = 300(3x – 150) ÷ 3 = 100Con el propósito de apoyar aaquellos alumnos que aún no hayancomprendido el problema, y pararevisar una forma más de resolverlosin plantear la ecuación, usted puedecomentar el siguiente procedimiento:Si repartió $100 a cada amigo quieredecir que a Eugenio le quedaban $300. Si gastó $150, entonces tenía$450 (considerando los $300); esafue la cantidad que retiró. Si esacantidad se obtuvo al triplicarse sudinero, entonces inicialmente habíadepositado $150.Propósito de la actividad. Seespera que los alumnos apliquen loaprendido en las sesiones anteriorespara resolver estos problemas. Unaparticularidad de los problemas queaquí se plantean, es que se hace usode números decimales.Sugerencia didáctica. Para cadauno de los siguientes problemassolicite a los alumnos que hagan lascomprobaciones en sus cuadernos.Recuérdeles también que pueden usarlas literales que quieran.Respuestas. w + 29 = 44. También(a ÷ 2) + 29 = 44. El número dealumnos es 30 (puede usar cualquierliteral).Respuestas.a) 2x – 3 = 15.82x = 18.8x = 9.4b) r + 23.5 = 117.7r = 94.2x = 376.8Respuestas.a) x = 3.3b) x = 112c) x = 21.2d) x = 6331MATEMÁTICAS IEncuentren el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación.Lo que aprendimos1. La mitad del número de alumnos que hay en primer año más 29 es igual a 44.a) Escribe una ecuación para este problema:b) ¿Cuántos alumnos hay en primer año?2. En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas. Puedes usar ecuaciones.a) Si pienso un número, lo multiplico por 2, a lo que me sale le resto 3 y al finalobtengo 15.8. ¿Cuál es el número que pensé?b) Si a la cuarta parte de un número le sumo 23.5 obtengo 117.7. ¿Cuál es elnúmero?3. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Escribe los procedimientos en tucuaderno.a) 3x + 0.1 = 10b) (x ÷ 2) + 44 = 100c) x + 23 − 15 = 29.2d) (x ÷ 3) + 25 = 464. Un reto. Resuelve el siguiente problema. Intenta hacerlo solo, pero si tienes dudas,puedes consultar a tu maestro o a otros compañeros.Eugenio abrió una cuenta en el banco con cierta cantidad inicial de dinero, pero norecuerda cuánto. Después de un tiempo esta cantidad inicial se triplicó. Eugenio re-tiró todo el dinero que tenía y gastó 150 pesos. El resto lo repartió entre tres amigos,de modo que a cada uno le tocaron 100 pesos. Ayúdale a Eugenio a recordar cuántodinero depositó en el banco.a) Escribe una ecuación que corresponda a este problema.b) Resuelve la ecuación en tu cuaderno.c) ¿Cuánto dinero depositó Eugenio en el banco?Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana,Libros del Rincón, 2003.Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Trad, Basilio Lozada. México: SEP/EditorialLimusa, Libros del Rincón, 2005.axxPropósito del interactivo. Resolverecuaciones mixtas de primergrado respetando el orden de lasoperaciones.
  32. 32. 32secuencia 1932En esta secuencia construirás triángulos y cuadriláteros, y analizaráslas condiciones de existencia y unicidad.¿ExistE o no ExistE?Para empezarCuando se pide construir una figura geométrica con ciertas condiciones, a veces es po-sible hacerlo y a veces no. Por ejemplo, ¿crees que sea posible trazar un triángulo cuyoslados midan 10 cm, 1 cm y 1 cm?; ¿por qué?Éste es el tipo de reflexiones que realizarás a lo largo de la secuencia. Es importante quehagas tus suposiciones o hipótesis y luego trates de comprobarlas.Consideremos lo siguienteRecorten popotes de las siguientes medidas.Traten de formar triángulos, usando como lados tres de los pedazos de popotes que cor-taron. Completen la siguiente tabla, anoten cuando sea posible formar el triángulo.Medida de los popotespara formar el triángulo¿Es posible formar el triángulo?8 cm, 3 cm, 2 cm8 cm, 6 cm, 4 cm8 cm, 4 cm, 2 cm6 cm, 4 cm, 3 cm6 cm, 3 cm, 2 cmsEsión 1Existenciay unicidad8 cm6 cm2 cm 3 cm 4 cm 5 cmPropósitos de la secuenciaConstruir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de existencia y unicidadSesión Título y propósitos de la sesión Recursos1¿Existe o no existe?Identificar que no siempre es posible construir untriángulo dadas 3 medidas.Conocer la propiedad que deben cumplir 3 medidaspara que sea posible trazar un triángulo.Interactivo“Desigualdadtriangular”2¿Es uno o son muchos?Analizar y explorar casos sencillos de existencia yunicidad en la construcción de cuadriláteros.Video¿Es uno o sonmuchos?Aula de medios“Es uno o sonmuchos” (Geometríadinámica)EjeForma, espacio y medida.TemaFiguras geométricas.AntecedentesA diferencia de las construcciones geométri-cas que se realizan en la escuela primaria, eneste grado se espera que con base enprocedimientos específicos los alumnos logrenanticipar, probar y justificar los datos que sonnecesarios y suficientes para llevar a cabo unaconstrucción. Para ello se apoyarán enprocedimientos que ya conocen:- Trazos con regla y compás de triángulos ycuadriláteros.- Trazo de ángulos dada su medida.Propósito de la sesión. Identificar queno siempre es posible construir untriángulo dadas 3 medidas. Conocer lapropiedad que deben cumplir 3 medidaspara que sea posible trazar un triángulo.Materiales. Popotes o tiras de cartoncillo,tijeras, regla y compás.Organización del grupo. Se sugiere queel problema inicial se resuelva en equipos,y el apartado Manos a la obra, en parejas.Propósito de la actividad. Que losalumnos desarrollen su capacidad paracuestionarse acerca de dos hechos:1) ¿Tiene solución este problema? Esdecir, ¿existe la solución?2) Si existe la solución, ¿es única o sonvarias las soluciones correctas?Se espera que los alumnos se den cuentade que, dadas 3 medidas, no siempre esposible construir un triángulo cuyos ladostengan, precisamente, esas medidas. Esdecir, se trabaja en torno de la existenciao no existencia de la solución de unproblema.Posibles procedimientos. Tal vezalgunos alumnos no necesiten manipularlos popotes para completar la tabla; sies así, pídales que los usen después paracomprobar sus hipótesis; esto permitiráque los integrantes del equipo validen losresultados obtenidos.Respuesta. Sólo es posible formartriángulos con las medidas 8, 6 y 4 cm,y con las medidas 6, 4 y 3 cm.
  33. 33. 3333MATEMÁTICAS Ia) ¿Siempre fue posible construir triángulos con las tres longitudes?b) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que creanque sí es posible construir un triángulo . , ,c) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que creanque no es posible construir un triángulo. , ,Comenten sus hallazgos y resultados con sus compañeros de grupo. Expliquen cuándocreen que dadas tres longitudes es posible construir un triángulo y cuándo no es posible.Manos a la obraI. Recuerden cómo se construye con regla y compás un triángulo si se conocen las me-didas de sus lados.Construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 4 cm y 3 cm.Paso 1. Se traza un segmento de cualquiera de lasmedidas dadas, por ejemplo, 6 cm.Paso 2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dosmedidas y con centro en un extremo del segmento, setraza un arco.Paso 3. Se abre el compás a la tercera medida ycon centro en el otro extremo del segmento, setraza un arco que cruce al anterior.Paso 4. Se unen los extremos del segmento con elpunto donde se cortan los arcos y se obtiene el trián-gulo pedido.Respuestas.a) No.b) La medida que los alumnospropongan para cada uno de loslados debe ser menor que la sumade los otros dos lados. Podránanotar cualquiera de las siguientesopciones: (8, 6, 5); (8, 6, 4);(8, 6, 3); (8, 5, 4); (6, 5, 4);(6, 5, 3); (6, 5, 2); (6, 4, 3);(5, 4, 3); (5, 4, 2); (4, 3, 2).c) Debe haber un lado que sea mayoro igual que la suma de los otrosdos. El alumno podrá contestarcualquiera de las siguientesopciones: (8, 6, 2); (8, 5, 3);(8, 5, 2); (8, 4, 3); (8, 4, 2);(8, 3, 2); (6, 4, 2); (6, 3, 2);(5, 3, 2).Sugerencia didáctica. Recomiendea los alumnos que para verificarrápidamente si las medidas propuestaspermiten formar un triángulo, sumenlas medidas de los lados menores. Esasuma debe ser mayor que la longituddel lado más grande.Cuando se comparen las respuestasde los incisos b) y c) invite a losalumnos a que las verifiquen usandolos popotes. Pregunte también cómopodrían saber si se puede o no formarel triángulo, pero sin usar los popotes.Esto tiene el propósito de que analicenlas ternas de números y traten deencontrar la relación entre ellospara determinar la existencia o noexistencia del triángulo.Sugerencia didáctica. Aunquelos alumnos estudiaron el trazo detriángulos en la primaria es probableque ya no lo recuerden, por ellocerciórese de que las parejas sigan demanera correcta los pasos enunciados.Permita que sean ellos quienesinterpreten las instrucciones; si notaque tienen dificultades, trate deauxiliarlos.
  34. 34. 34Propósito de la actividad. Conlos incisos c), d) y e) se promueveque los alumnos identifiquen quedadas dos magnitudes para loslados de un triángulo, éste no quedacompletamente definido, lo que dalugar a varias respuestas.Respuestas.a) y b) El triángulo con las medidas 6,3 y 2 cm es imposible de trazar.c) El tercer lado puede medir 8, 7, 6,5 o 4 cm, aunque también puedetener una medida no entera, como6.5, 7.5 cm; es probable que losalumnos no consideren estassoluciones, pero si alguno lo haceserá interesante comentarla en elgrupo.d) Si la tercera medida es un númeroentero, entonces hay 5soluciones: 8, 7, 6, 0 y 4.e) El triángulo que los alumnostracen deberá cumplir con lacondición de las medidas que sedan. El tercer lado deberá medirmás de 3 cm y menos de 9 cm.Propósito del interactivo. Explorarcómo deben ser las medidas de loslados de un triángulo para podertrazarlo.Sugerencia didáctica. Mientraslas parejas resuelven, observe quémedidas son las que propusieron,de tal manera que usted puedaidentificar si los alumnos hanelaborado ya alguna hipótesisrespecto de las condiciones para quesea posible el trazo de un triángulo.Asegúrese de que los alumnosefectivamente construyan el triánguloen sus cuadernos para que puedanverificar sus respuestas.Sugerencia didáctica. Es importanteque para completar esta tabla yano hagan uso de los popotes ni delos trazos, sino que atiendan a lasrelaciones entre los lados con el fin deque pongan en juego las conjeturasque fueron construyendo a lo largo delas actividades anteriores. En la puestaen común tendrán oportunidad devalidar sus respuestas.Respuestas. Sólo es posible trazar untriángulo con las siguientes medidas:8, 9 y 2 cm, y 2.5, 3 y 1.5 cm. En elcaso del primer renglón de la tabla,es la primera vez que se presenta uncaso en el que la suma de dos ladoses igual a la del lado mayor. Pida a losalumnos que comenten por qué no esposible trazar este triángulo.secuencia 1934ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno triángulos cuyoslados midana) 8 cm, 9 cm, 7 cm.b) 9 cm, 5 cm, 6 cm.c) 6 cm, 3 cm, 2 cm.iii. Respondan las preguntas:a) ¿Pudieron trazar los tres triángulos?b) ¿Cuál fue imposible trazar?c) Si dos lados de un triángulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitudpara el tercer lado, de manera que se pueda trazar el triángulo.d) Tracen en su cuaderno triángulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cmy el tercer lado tenga la longitud que ustedes indiquen.e) Si se pone la condición de que la medida del tercer lado sea un número entero,¿cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y3cm?iV. Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan trazarun triángulo.a) ¿Cuáles son esas medidas?b) Tracen el triángulo en su cuaderno y verifiquen su hipótesis; si no se puede trazar,intenten con otras medidas.V. Sin hacer trazos, anoten a los triángulos que sí pueden trazarse.Medida de los lados ¿Existe el triángulo?10 cm, 5 cm, 5 cm8 cm, 9 cm, 2 cm1 cm, 0.5 cm, 2 cm2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm4 cm, 3 cm, 9 cmComenten sus respuestas con sus compañeros de grupo, traten de concluir qué condi-ción deben cumplir las tres medidas de los lados de un triángulo.
  35. 35. 35Sugerencia didáctica. De manerabreve, haga un recordatorio sobrelo que es un cuadrilátero, solicitandoa los alumnos que mencionen lascaracterísticas principales de loscuadriláteros que aquí se muestran yde otros que conozcan.2Sugerencia didáctica.Además de leer la información, puedenreproducirla con sus propias palabrasde manera verbal o por escrito ensus cuadernos; también pueden darejemplos diferentes a los mostradoso localizar en el mismo libro algunaactividad que la identifique.Integrar al portafolios. Solicite alos alumnos que realicen el siguienteejercicio:a) Proponer unas medidas, distintas alas que se han dado anteriormente,con las cuales sea imposibleconstruir un triángulo. Escribir porqué no es posible construirlo.b) Proponer unas medidas (distintas alas de los ejercicios anteriores) conlas cuales sí sea posible construirun triángulo. Trazar el triángulo.Si los alumnos muestran dificultadespara establecer cuáles son lascondiciones para que esta figuraexista, revise nuevamente con ellosla información del apartado A lo quellegamos.Propósito de la sesión. Analizar yexplorar casos sencillos de existenciay unicidad en la construcción decuadriláteros.Organización del grupo. Se sugieretrabajar en equipos durante todala sesión, incluyendo momentos deintercambio con todo el grupo.Materiales.- Popotes o tiras de cartoncillocortados en las medidas que seindican.- Tachuelas o hilo y aguja.- Regla, compás, escuadras ytransportador.35MATEMÁTICAS I¿Es UnO O sOn MUCHOs?Para empezarEn la lección anterior te diste cuenta de que a veces es posible trazar triángulos con cier-tas medidas, y a veces no. En esta lección explorarás los cuadriláteros, ¿los recuerdas?Son figuras de cuatro lados.Se analizará si, dadas ciertas condiciones, es posible trazar uno o muchos cuadriláteros.Para que el triángulo exista, cada uno delos lados debe ser menor que la suma delos otros dos.Por ejemplo, sí existe un triángulo cuyoslados midan 7 cm, 4 cm y 5 cm, porque:7 es menor que 4 + 5.4 es menor que 7 + 5.5 es menor que 7 + 4.sEsión 2cuadradorectángulotrapecioromboromboideA lo que llegamosNo siempre es posible construir un trián-gulo cuando se dan tres medidas de loslados, por ejemplo, no existe un triángulocuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 2 cm.

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