2. 1. Упростить выражение и найти его точное значение при и
3. 2) Из 30 учащихся во время урока математики отсутствовало 20% учащихся. Известно что от общего числа отсутствующих были девушки, что составляло 20% от общего количества девушек класса. Сколько юношей присутствовало на уроке математики? Всего 30 уч. - от отсут. дев. – 20% общ. кол-ва дев. 30 ∙ 0,2 = 6(ч) - отсутствуют 6 ∙ = 2 (ч) - отсутствующие девушки 6 – 2 = 4 (ч) – отсутствующие юноши 30 – 10 = 20 (ч) - всего в классе юношей 20 – 4 = 16 (ч) – присутствующих юношей 2 ч. – 20% Х ч. – 100% (ч) – девочек в классе всего
4. На том же самом уроке к доске вызываются учащиеся. Какова вероятность того, что а) один случайно вызванный учащийся окажется девушкой всего присутствуют -24 чел. 24 – 16 = 8(ч) - девушек 16(ч) - юношей А – вызов девушки к доске n = 24 – всего вариантов k = 8 – благоприятных исходов Р(А) = - вероятность вызова девушки к доске
5. Какова вероятность того, что б) случайно вызванные двое учащихся окажутся девушкой и юношей I вариант II вариант всего вариантов выбора двух учеников из 24 присутствующих всего вариантов выбора одного юноши и одной девушки В – вызов к доске юноши и девушки Возможные варианты: ЮиД или ДиЮ С – вызов к доске юноши D – вызов к доске девушки
6. Какова вероятность того, что в) из четырёх случайно вызванных учащихся будет не менее 3 юношей всего вариантов выбора четырёх учеников из 24 присутствующих возможные варианты: 3ю и 1д или 4ю Е – из четверых вызванных учащихся будет не менее 3 юношей
7. 3) Дана функция f (x)=(2x+1)( ) Найдите 1) нули функции
8. Дана функция f (x)=(2x+1)( ) Найдите 2) о бласть положительности x f(x) -2 2 I II III IV I x (-∞ ; -2 ) х = -3 (2∙(-3)+1)(9 -4)= − ∙ + = − − + − + I V x ( 2 ;+ ∞) х = 3 (2∙ 3+1)(9 -4)= + ∙ + = + II x (- 2; - ) х = -1 (2∙(-1)+1)(1 -4)= − ∙ −= + I I I x ( ; 2 ) х = 0 (2∙ 0+1)(0 - 4)= +∙ −= −
9. Дана функция f (x)=(2x+1)( ) Найдите 3) производную функции I вариант II вариант ( u∙v ) =u v + uv
10. Дана функция f (x)=(2x+1)( ) Найдите 4 ) Координаты точки минимума функции Найдём критические точки D =4 – 4 ∙ 6 ∙ (-8)= 4+192=196 Определим вид этих точек min (1 ;-9 )
11. 4 ) Две машины скорой помощи выезжают одновременно из больницы к двум местам происшествий и движутся по шоссе в противоположных направлениях. В первую минуту каждая машина проезжает путь длиной 1 км. В каждую следующую минуту первая машина проезжает путь на 1/12 км, а вторая машина на 1/6 км длиннее, чем за предыдущую минуту. Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и какова скорость (км/ч) машин в этот момент? 1 км 1 км 23 км II машина I машина п = t – время движения п = t – время движения
12. 4 ) Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в этот момент? D =225+4∙184=225+736=961 Через 8 мин рассто-яние между маши-нами будет 23 км
13. 4 ) Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в этот момент? Скорость – это расстояние, проходящее телом за единицу времени Расстояние проходящее за 8-мую минуту движения II машина I машина
14. 5 ) Три хутора K , L и N расположены у прямолинейного участка шоссе. От каждого хутора прямая дорога ведёт к магазину N . В целях экономии средств местное самоуправление решило закрыть дороги КМ и N М для движения и сохранить только обслуживание дорог К N и L М. Известно, что на плане с масштабом 1:30 000 длина отрезка К N составляет 62 мм, расстояние К L и LN равны, а также М N К = 53 и N КМ = 25 . Определите, на сколько километров увеличится путь до магазина М для жителей хуторов К и N в связи с закрытием дорог. Ответ дайте с точностью до 0,01 км. 31 мм 31 мм Дано: KLM KN=62 мм К L =LN MNK=53 NKM=25 M=1 :30 000 Найти: KLM -KM или (KL+LM)-KM KLM- NM (NL+LM)-NM Решение: K L=LN (по условию) 62:2=31(mm) KMN=180 -53 -25 =102 (как сумма углов треугольника) (по теореме синусов) (по теореме косинусов) KL M=NLM=31+26,059=57,059(mm) KL M-KM=57,059-50,622=6,437(mm) N L M-KM=57,059-26,788=30,271(mm) 6,437∙30 000=193110(mm) =0,19011≈0,19(км) 30 , 271 ∙30 000= 908130 (mm) =0,90813≈0,91(км) К N M L 62 мм 25 53
16. 6 ) Даны функции f (x) = sin 2x и . 1) Докажите справедливость равенства g (x)= - cos x g (x)= - cos x
17. 6 ) Даны функции f (x) = sin 2x и . 2 ) Найдите решение уравнения f (x) = - c osx на промежутке [0 ;2 π ] f (x) = - c os x sin 2x = - c os x sin 2x + c os x = 0 2 sin x c os x + c os x = 0 c os x (2 sin x + 1) = 0 c os x = 0 2 sin x + 1 = 0 на промежутке [0 ;2 π ] если п = 0 [0 ;2 π ] если п = 1 [0 ;2 π ] если п = 2 [0 ;2 π ] Ответ: 2 sin x = - 1 если п = 0 [0 ;2 π ] если п = 1 [0 ;2 π ] если п = 2 [0 ;2 π ] если п = 3 [0 ;2 π ]
18. 6 ) Даны функции f (x) = sin 2x и . 3) В одной системе координат постройте графики функций у = f (x) и у = g (x). Используя данный чертёж, решите неравенство f (x) < g (x) на промежутке [ 0; 2 π ] . у = sin 2x х у 0 1 -1 π 2 π у = sin 2x g (x)= - cos x g (x)= - cos x на промежутке [ 0; 2 π ]. решите неравенство f (x) < g (x) sin 2x < - cos x х 0 π у 0 1 0 -1 0 0 х 0 π 2 π у -1 0 1 0 -1
19. 7 ) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВС D , вершина В расположена на оси Оу, а прямая С D параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0 1) Вычислите координаты вершины В, С и D прямоугольника АВС D и постройте прямоугольник АВС D в координатной плоскости. А(-4; 3) В(0; у В ) АВ || С D АВ ВС АВ || С D k AB = k CD С D : х – у + 1 = 0 С D : у = х+ 1 k CD =1 k АВ =1 АВ : k АВ =1 А(-4; 3) если а || в, то k а = k в если а в, то k а ∙ k в = - 1 у – у 1 = k (х – х 1 ) у – 3 = 1(х + 4) у – 3 = х + 4 х – у + 7 = 0 В АВ 0 - у В + 7 =0 у В = 7 В(0; 7) АВ ВС k AB ∙ k ВС = - 1 1 ∙ k ВС = - 1 k ВС = - 1 и В(0; 7) у – 7 = -1(х -0) у – 7 = - х ВС : х + у – 7 =0 С ВС х C + y C – 7= 0 С CD х C – y C + 1= 0 х C = 3 y C + 3 – 7 = 0 y C = 4 С(3; 4) А D || BC k AD = k BC k AD = - 1 и А(-4; 3) А D : у - 3 = -1(х + 4 ) у - 3 = -х - 4 х + у + 1 = 0 D AD х D + y D +1 = 0 D CD х D – y D + 1= 0 2 х D +2 = 0 х D = -1 2 х C - 6 = 0 -1 + y D + 1 = 0 y D = 0 D ( -1 ; 0 ) x y 0 2 4 6 8 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2 -4 -6 -8 A B C D
20.
21. 7 ) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВС D , вершина В расположена на оси Оу, а прямая С D параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0 3) Вычислите точное значение периметра прямоугольника АВС D . Р = 2 (АВ + ВС) Р = 2 (а + в) А(-4; 3) С(3; 4) В(0; 7) (ед.)
22. 7 ) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВС D , вершина В расположена на оси Оу, а прямая С D параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0 4) Составьте уравнение окружности, описанного около прямоугольника АВС D . (x-x 0 ) 2 +(y – y 0 ) 2 = r 2 В(0; 7) D (-1; 0) А В С D О r
23. 8 ) Ведётся строительство здания, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, Объём которого равен V м 2 . Крыша здания является прямоугольником, одна сторона которого в 2 раза короче другой. Стоимость одного квадратного метра крыши стоит 1250 кроны. Стоимость одного квадратного метра одной из двух больших боковых стен здания равна 1000 крон, а стоимость одного квадратного метра остальных трёх боковых стен равна 2000 кроны. 1) Определите при каких значениях длины, ширины и высота, выраженных через объём здания V , стоимость данных строительных работ будет минимальной? Дано: АВС D D 1 А 1 B 1 C 1 AB<BC в 2 раза V м 2 - объём стоимость 1 м 2 крыши = 1250 еек стоимость 1 м 2 большей бок. стор. = 1000 еек стоимость 1 м 2 ост. бок. стор. = 2000 еек V = 1728 м 3 Найти: 1) минимальную стоимость 2) стоимость строительства B 1 А 1 D С В А C 1 D 1
24. Решение: пусть АВ = х ВС = 2х S крыши = х ∙ 2х = 2 х 2 (м 2 ) Стоим. = 2 х 2 ∙ 1250 = 2500х 2 (еек) Стоимость строительства всего здания: Найдём минимальную стоимость строительства всего здания: Найдём критические точки: 5000 х 3 – 5000 V = 0 5000 х 3 = 5000 V х 3 = V B 1 А 1 D С В А C 1 D 1
25. 2 ) Вычислите наименьшую стоимость строительных работ, если объём здания 1728 м 3 ? = 360000 + 720000 = 1 080 000 (еек)
26. 9 ) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является ромбом АВС D , тупой угол АВС которого равен и диагональ АС равна d . Диагональ прямого параллелепипеда D В 1 составляет с основанием угол . 1) Выразите площади диагональных сечений через углы и и диагональ d Дано: АВС D D 1 А 1 B 1 C 1 - прямой параллелепипед АВС = - тупой АС = d B 1 DB = Найти: S BBDD и S AACC Решение: ABCD – ромб АВС = А DC = - как противолежащие углы ромба - как углы ромба АС – биссектриса BCD – как диагональ ромба Рассм. АВС - по теореме синусов АВ = ВС – как стороны ромба Рассм. ВОС – прямоугольный, т.к. диагонали ромба перпендикулярны - по теореме Пифагора СО = АС : 2 (точкой пересечения диагонали делятся пополам) A 1 C 1 B 1 D 1 A B O D C d
27. = ВО BD = 2∙ ВО Рассм. В B 1 D – прямоугольный, т.к. В B 1 В D ( боковая поверхность основанию ) = Н A 1 C 1 B 1 D 1 A B O D C d
28. 2) В данный прямой параллелепипед вписана пирамида OB 1 KL , вершины K и L которой являются соответственно серединами рёбер А 1 D 1 и D 1 C 1 прямого параллелепипеда, а точка О является точкой пересечения диагоналей ромба АВС D . Найдите отношение объёмов пирамиды OB 1 KL и прямого параллелепипеда Рассмотрим ромб А 1 D 1 С 1 В 1 А 1 В 1 =В 1 С 1 -как стороны ромба А 1 K 1 =C 1 L- по условию А 1 = С 1 - как противоположные углы ромба A 1 C 1 B 1 D 1 A B O D C d K L A 1 D 1 C 1 B 1 K L
29.
30. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной 3) Докажите, что C 1 О перпендикулярна В D . C 1 С СО , т.к. боковая поверхность основанию C О BD , т.к. диагонали ромба C О BD по теореме о 3-х перпендикулярах A 1 C 1 B 1 D 1 A B O D C
