UNIVERSIDAD NACIONAL
TECNOLOGICA DEL CONO SUR
UNTECS
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ELECTRICA
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físicasfísicas
por su naturaleza
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Vectoriales
MagnitudesMagnitudes
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Vectoriales
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caracterizadas a través d...
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trabajo, etc
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origen
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Notación A
Módulo A > 0
A
Dirección ϕθ,
x
y
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PropiedadesPropiedades
de Vectoresde Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar para...
Suma deSuma de
VectoresVectores
B
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Ley del polígono
El vector resultante es
aquel vector que va desde
el origen del primer vector
hasta el extremo del ultimo
vector
A
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B
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C
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
Entonces si se tiene los
siguientes vectores
El vector resultante
de la suma de todos
ellos será:
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C
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
PropiedadesPropiedades
de Vectoresde Vectores
A
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Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario A
A


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PropiedadesPropiedades
de la suma dede la suma de
VectoresVectores
Ley
Conmutativa
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Ley Asociativa
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Ley conmutativa
¿Como se explica esta regla?
Los vectores A y B pueden ser
desplazados paralelamente para
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Multiplicación de un vector por un
escalar
Dado dos vectores ByA
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Se dicen que son paralelos si BA

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Ejemplo :
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores
A B
C
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Vectores unitarios en el plano
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y
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Vectores unitarios en el espacio
x
y
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RepresentaciónRepresentación
de un vectorde un vector
x
y
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Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector ...
Determínese la resultante de los
siguientes vectores
+
A
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¿Que sucede si l...
4u
3u
A
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(x2,y2,z2)
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
Dados los puntos
indicados el vector que
los une esta
representado por
x
y
z
(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
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
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ProductoProducto
escalar de dosescalar de dos
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
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Proyección de A sobre B
cosθBBA =
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1ˆˆ =⋅ii
1ˆˆ =⋅ jj
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
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
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ProductoProducto
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vectoresvectores BAC

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
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
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0ˆˆ

=×kk
...
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
YZZYX BABAC −=
zxxzy BABAC −=
xyyxz BABAC −=
Demostrar:
Determinese la suma de los siguientes vectores:
Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ ++=

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=

kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=

Ejemplo 2:
8m
10m
5m
A

B

C

Determine la suma de los
vectores indicados
x
y
z
Ejemplo 3
Dados los vectores:
kˆ3jˆ5iˆ4B
kˆ5jˆ3iˆ3A
−+=
−+=


Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b)el produ...
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Semana 1 estatica dinamica

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Semana 1 estatica dinamica

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR UNTECS CARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y ELECTRICA CURSO: ESTATICA Y DINAMICA CICLO:IV SEMANA : 1 SESION 1 TEMA: ANALISIS VECTORIAL Profesor: Ing. Jorge Cumpa Morales CICLO: 2012-I I
  2. 2. MAGNITUDES FÍSICASMAGNITUDES FÍSICAS.. • Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares ysicas escalares y vectoriales. Algebra vectorial.vectoriales. Algebra vectorial. •EjemplosEjemplos
  3. 3. MagnitudesMagnitudes físicasfísicas por su naturaleza Escalares Vectoriales
  4. 4. MagnitudesMagnitudes físicasfísicas Escalares Vectoriales Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección y su sentido
  5. 5. MagnitudesMagnitudes físicasfísicas Masa, densidad, temperatura, energía, trabajo, etc Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc. Escalares Vectoriales
  6. 6. Relacion entre (x,y) y (r,θ) y (m) x (m) O origen abcisa ordenada (x,y) θ r θcosrx = θrseny = θtan= x y22 yxr +=
  7. 7. VectoresVectores Notación A Módulo A > 0 A Dirección ϕθ, x y z θ ϕ Ap ϕ x y
  8. 8. PropiedadesPropiedades de Vectoresde Vectores • Dados A y B, si A = B entonces A = B • Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo A  B  C  CBA  ==
  9. 9. Suma deSuma de VectoresVectores B A R B A C C Ley del polígono
  10. 10. El vector resultante es aquel vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo vector
  11. 11. A  B  C  D  Entonces si se tiene los siguientes vectores El vector resultante de la suma de todos ellos será:
  12. 12. A  B  C  D  DCBAR  +++= R 
  13. 13. PropiedadesPropiedades de Vectoresde Vectores A Opuesto -A Nulo 0 = A + ( )-A Vector unitario A A   =μ µ µ= ˆAA 
  14. 14. PropiedadesPropiedades de la suma dede la suma de VectoresVectores Ley Conmutativa ABBAR +=+= Ley Asociativa C)BA)CBAR  ++=++= (( Diferencia B-AR  = )B(-AR  += A B A -B R
  15. 15. Ley conmutativa ¿Como se explica esta regla? Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma B R = A+B A B R = B+A (Método paralelogramo) B R = A+B
  16. 16. Multiplicación de un vector por un escalar Dado dos vectores ByA  Se dicen que son paralelos si BA  α= BAsi  ↑↑> 0α BAsi  ↑↓< 0α BAsi  ==1α
  17. 17. A  B  AB  2 1 = A  B  AB  4 1 −=
  18. 18. Ejemplo : Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores A B C A B CR = 2
  19. 19. Vectores unitarios en el plano iˆjˆ x y iˆ Vector unitario en la dirección del eje x+ jˆ Vector unitario en la dirección del eje y+
  20. 20. Vectores unitarios en el espacio x y z iˆ jˆ kˆ
  21. 21. RepresentaciónRepresentación de un vectorde un vector x y z θ ϕ A Ax Ay Az θsenAAx ϕcos= θsenAsenAy ϕ= θcosAAz = 222 zyx AAAAA ++==  kAjAiAA zyx  ++=
  22. 22. Observaciones: Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido. La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado
  23. 23. Determínese la resultante de los siguientes vectores + A  4u 3u B  BAR  += 7u
  24. 24. + A  B  8u 4u = BAR  += 4u
  25. 25. Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud ¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?
  26. 26. 4u 3u A  B  La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla BAR  +=
  27. 27. A  B  yA  xA  xB  yB  4u 3u 5u 6u 8u 10u
  28. 28. yA  xA  xB  yB  4u 3u 6u 8u yx AAA  += yx BBB  +=
  29. 29. yy BA  + xx BA  + 10u 5u yyxx BABAR  +++= uR 55510 22 =+=
  30. 30. yA  x A  xB  yB  xC y C  xD  y D 
  31. 31. yyyyy DCBAR  +++= xxxxx DCBAR  +++= x R  y R  15 u 5 u yx RRR  += 105R =
  32. 32. x y z (x1,y1,z1) (x2,y2,z2) A  Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por
  33. 33. x y z (x1,y1,z1) (x2,y2,z2) A  k)z(zj)y(yi)x(xA 121212 ˆˆˆ −+−+−= 
  34. 34. ProductoProducto escalar de dosescalar de dos vectoresvectores θABBA cos=⋅  cosθAAB = Proyección de A sobre B cosθBBA = Proyección de B sobre A
  35. 35. 1ˆˆ =⋅ii 1ˆˆ =⋅ jj 0ˆˆ =⋅ ji 0ˆˆ =⋅kj 0ˆˆ =⋅ki xAiA =⋅ ˆ  1ˆˆ =⋅kk yAjA =⋅ ˆ  zAkA =⋅ ˆ  ZZYYXX BABABABA ++=⋅ 
  36. 36. ProductoProducto vectorial de dosvectorial de dos vectoresvectores BAC  ×= θABC sen= 0iˆiˆ  =× 0ˆˆ  =× jj 0ˆˆ  =×kk kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =× jik ˆˆˆ =×
  37. 37. )kˆBjˆBiˆB()kˆAjˆAiˆA(BAC zyxzyx ++×++=×=  YZZYX BABAC −= zxxzy BABAC −= xyyxz BABAC −= Demostrar:
  38. 38. Determinese la suma de los siguientes vectores: Ejemplo 1: k5j8i3A ˆˆˆ ++=  kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=  kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−= 
  39. 39. Ejemplo 2: 8m 10m 5m A  B  C  Determine la suma de los vectores indicados x y z
  40. 40. Ejemplo 3 Dados los vectores: kˆ3jˆ5iˆ4B kˆ5jˆ3iˆ3A −+= −+=   Determine : a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambos e) el ángulo que forman entre sí.

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