부울 대수와 컴퓨터 논리
7.1  부울 대수 구조 <ul><li>주어진 수학적 구조가 불 대수인지를 결정 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>불대수에 관한 성질 증명 </li></ul><ul><li>  </li>...
부울 대수의 정의  <ul><li>  두개의 이항연산자  + 와  · 그리고 하나의 단항 연산자  ` 가 정의되고 ,  두개의 독특한 원소인  0 과  1 이 존재하며 ,  그리고 모든  x,y,z∈B 에 대해서 다음의...
예제  3  멱등 (idempotent)  성질의 증명 <ul><li>예제 3) </li></ul><ul><li>x+x = x </li></ul><ul><li>x+x = (x+x)·1          항등 법칙 </li...
보수 (complement) <ul><li>x' 은  x+x'=1  과  x·x'=0 를 만족하는 유일한 원소 . </li></ul><ul><li>증명  </li></ul><ul><li>이러한 두 성질을 만족시키는  x...
모델 또는 추상화 &  수학적 구조의 불대수로 결정 <ul><li>공통된 성질이나 표현들을 모델이나 추상화 하여 때때로 수학적 구조로 표현 ! </li></ul><ul><li>ex)  추론을 모델링 하기 위해 술어 논리...
동형 사상 <ul><li>모냥 만 틀리고 본질적으로 같은 구조의 값  ->  동형  (isomorphic) </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>그 같은 값을 한쪽에서 같은 다른 값으로 변...
불대수에 대한 동형사상 <ul><li>+,·,' 와 같은 세개의 이항연산자 , 단항 연산자를 통해  &quot; 연산과 사상  =  사상과 연상 &quot; 을 만족시키면 동형사상 </li></ul><ul><li>  <...
동형함수 예 <ul><li>양의실수  R+  실수  R </li></ul><ul><li>logb:R+->R </li></ul><ul><li>전단사사상 </li></ul><ul><li>(R+,X) 는 다음을 만족함 </l...
7.2  논리 회로망 <ul><li>부울식을 표현하는 논리 회로망 </li></ul><ul><li>논리 회로망을 표현하는 부울식 작성 </li></ul><ul><li>부울식이나 논리 회로망의 진리 함수 작성 </li><...
7.2  논리 회로망 <ul><li>or  게이트  =  불연산  += </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>and 게이트  =  불연산  · =  </li></ul><ul><li>  </...
7.2 half-adder 의 진리함수 ,   부울식 ,   회로망 <ul><li>A B | C S </li></ul><ul><li>0 0  | 0 0  </li></ul><ul><li>0 1  | 0 1 </li></...
실제  ic 에서는 주로  nand,nor 를 씀으로 <ul><li>562p </li></ul><ul><li>inverter(not) 와  or,and 를  not 으로 변환  ( 불수식은 드모르간 법칙으로 도출 가능 ...
7.3  최소화 <ul><li>  </li></ul><ul><li>  최소화의 방법 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>대수학적 방법 </li></ul><ul><li>x1x2x3 + x1...
  <ul><li>http://princess.kongju.ac.kr/DigitalMain/dvlec/textbook/chap03/digital03_3_frame.htm   </li></ul><ul><li>  </li>...
마무리 퀴즈 ! <ul><li>swap!  </li></ul><ul><li>dummy = a; </li></ul><ul><li>a = b; </li></ul><ul><li>b = dummy; </li></ul><ul><...
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부울 대수와 컴퓨터 논리

  1. 1. 부울 대수와 컴퓨터 논리
  2. 2. 7.1 부울 대수 구조 <ul><li>주어진 수학적 구조가 불 대수인지를 결정 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>불대수에 관한 성질 증명 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>이진 연산의 결과나 다른 성질을 보존하는 동형 함수의 의미 이해 </li></ul>
  3. 3. 부울 대수의 정의 <ul><li>  두개의 이항연산자 + 와 · 그리고 하나의 단항 연산자 ` 가 정의되고 , 두개의 독특한 원소인 0 과 1 이 존재하며 , 그리고 모든 x,y,z∈B 에 대해서 다음의 성질을 만족하는 집합 B 이다 . </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>불대수에 적용되는 법칙들 </li></ul><ul><li>1a. x + y = y + x                      1b. x · y = y · x </li></ul><ul><li>commutative properties 교환 법칙 </li></ul><ul><li>2a. (x + y) + z = x + (y + z)     2b. (x · y) z = x · (y · z) </li></ul><ul><li>associative properties 결합 법칙 </li></ul><ul><li>3a. x + (y · z) = (x + y) (x + z) 3b. x · (y + z) = x · y + x · z </li></ul><ul><li>distributive properties 분배 법칙 </li></ul><ul><li>4a. x + 0 = x                            4b. x · 1 = x     </li></ul><ul><li>identity properties 항등 법칙 </li></ul><ul><li>5a. x + x' = 1                           5b. x · x' = 0     </li></ul><ul><li>complement properties 보수 법칙 </li></ul>
  4. 4. 예제 3 멱등 (idempotent) 성질의 증명 <ul><li>예제 3) </li></ul><ul><li>x+x = x </li></ul><ul><li>x+x = (x+x)·1          항등 법칙 </li></ul><ul><li>        = (x+x)·(x+x') 보수 법칙 </li></ul><ul><li>        = x+(x·x')        분배법칙 </li></ul><ul><li>        = x + 0            보수법칙 </li></ul><ul><li>         = x                 항등법칙 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  쌍대 (dual) 란 + 과 ·, 1 과 0 을 교체함으로 얻어질 수 있다 . </li></ul><ul><li>  예제 4) </li></ul><ul><li>     x·x=x 가 예제 3 의 쌍대로 어떠한 부울 대수에서도 참이다 . </li></ul>
  5. 5. 보수 (complement) <ul><li>x' 은 x+x'=1 과 x·x'=0 를 만족하는 유일한 원소 . </li></ul><ul><li>증명 </li></ul><ul><li>이러한 두 성질을 만족시키는 x1 이 있다고 가정 . </li></ul><ul><li>x1=x1·1 </li></ul><ul><li>     = x1· (x+x') </li></ul><ul><li>     = (x1·x)+(x1·x') </li></ul><ul><li>     = 0 + (x'·x1) </li></ul><ul><li>     = (x·x')+(x'·x1) </li></ul><ul><li>     = (x'·x')+(x'·x1) </li></ul><ul><li>     = x'·(x+x1) </li></ul><ul><li>     = x'·1 </li></ul><ul><li>     = x' </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>보수의 유일함에 관한 공리 </li></ul><ul><li>부울 대수의 임의의 x 에 대해서 x+x1 =1 과  x·x1=0 을 만족하는 원소 x1 이 존재하면 x1=x' 이다 . </li></ul>
  6. 6. 모델 또는 추상화 & 수학적 구조의 불대수로 결정 <ul><li>공통된 성질이나 표현들을 모델이나 추상화 하여 때때로 수학적 구조로 표현 ! </li></ul><ul><li>ex) 추론을 모델링 하기 위해 술어 논리 , </li></ul><ul><li>       5 장에서 봐왔떤 다양한 그래프와 트리의 예제들 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  부울 대수 구조 또한 모델링 , 추상화의 형식화 . </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  집합은 논리합 / 논리곱 / 부정  = 합집합 / 교집합 / 여집합 </li></ul><ul><li>                         0/1 = 0/S 로 대응하여 불대수의 성질을 만족함 </li></ul><ul><li>이러한 모든 특징이 존재할 때마다 부울 대수를 가지고 있다고 말할 수 있음 </li></ul>
  7. 7. 동형 사상 <ul><li>모냥 만 틀리고 본질적으로 같은 구조의 값  -> 동형 (isomorphic) </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>그 같은 값을 한쪽에서 같은 다른 값으로 변환하는 걸 전단사 함수 또는 동형사상이라고 한다 . </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>연산과 사상 = 사상과 연산  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  8. 8. 불대수에 대한 동형사상 <ul><li>+,·,' 와 같은 세개의 이항연산자 , 단항 연산자를 통해 &quot; 연산과 사상 = 사상과 연상 &quot; 을 만족시키면 동형사상 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>ex) </li></ul><ul><li>B={0,1,a,a'} </li></ul><ul><li>S={1,2} </li></ul><ul><li>f:B->P(S) </li></ul><ul><li>f(0) = {} , f(1) = {1,2} , f(a) = {1} , f(a') = {2} </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>f(x+y) = f(x) U f(y) </li></ul><ul><li>f(x·y) = f(x)∩f(y) </li></ul><ul><li>f(x')=(f(x))' </li></ul>
  9. 9. 동형함수 예 <ul><li>양의실수 R+ 실수 R </li></ul><ul><li>logb:R+->R </li></ul><ul><li>전단사사상 </li></ul><ul><li>(R+,X) 는 다음을 만족함 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>logb(x X y) = logbx + logby </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>로그함수는 (R+,X) 군 에서 (R,+) 군 로의 동형사상이다 </li></ul>
  10. 10. 7.2 논리 회로망 <ul><li>부울식을 표현하는 논리 회로망 </li></ul><ul><li>논리 회로망을 표현하는 부울식 작성 </li></ul><ul><li>부울식이나 논리 회로망의 진리 함수 작성 </li></ul><ul><li>주어진 진리 함수의 곱의합 정규형 부울식 작성 </li></ul><ul><li>논리 회로망 구성하기 위해 AND,OR, 그리고 NOT 게이트 뿐만 아니라  NAND 게이트와 NOR 게이트 사용 </li></ul><ul><li>논리 제어 장치의 기술로부터 진리 함수 작성 </li></ul>
  11. 11. 7.2 논리 회로망 <ul><li>or 게이트 = 불연산 += </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>and 게이트 = 불연산 · = </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>인버터 = 불연산 ' = </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>진리함수 </li></ul><ul><li>진리함수는 어떤 정수 n>=1 에 대해 f:{0,1}n -> {0,1} 인 함수 f 이다 . 표기 {0,1}n 는 0 들과 1 들의 n 튜플의 집합을 표시한다 . 진리 함수는 이러한 각 n 튜플에 0 과 1 의 값을 지정한다 . </li></ul><ul><li>( 뭐 결국엔 truth table) </li></ul>
  12. 12. 7.2 half-adder 의 진리함수 ,  부울식 ,  회로망 <ul><li>A B | C S </li></ul><ul><li>0 0  | 0 0  </li></ul><ul><li>0 1  | 0 1 </li></ul><ul><li>1 0  | 0 1 </li></ul><ul><li>1 1  | 1 0 </li></ul><ul><li>S = A xor B </li></ul><ul><li>C = A·B </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>559p 7.7,7.8 </li></ul><ul><li>560p 7.14 </li></ul><ul><li>진리 함수 <-> 부울식 <-> 논리 회로망 </li></ul><ul><li>곱의 합 (sum of products) 을 이용하면 </li></ul><ul><li>S = A'B + AB' ( 진리표 -> 부울식 ) </li></ul>
  13. 13. 실제 ic 에서는 주로 nand,nor 를 씀으로 <ul><li>562p </li></ul><ul><li>inverter(not) 와 or,and 를 not 으로 변환 ( 불수식은 드모르간 법칙으로 도출 가능 ) </li></ul>
  14. 14. 7.3 최소화 <ul><li>  </li></ul><ul><li>  최소화의 방법 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>대수학적 방법 </li></ul><ul><li>x1x2x3 + x1'x2x3 + x1'x2x3' </li></ul><ul><li>= x2(x1x3+x1'x3+x1'x3') </li></ul><ul><li>= x2x3 + x2x1' </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>곱의 합을 최소화 하는데 유용한 식 </li></ul><ul><li>: x1x2 + x1'x2 = x2 , x1+x1'x2 = x1 + x2 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>karnaugh 맵을 사용하여 논리 회로망과 부울식 단순화 </li></ul><ul><li>Quine-McCluske 방법을 사용하여 부울식과 논리 회로망 단순화 </li></ul>
  15. 15.   <ul><li>http://princess.kongju.ac.kr/DigitalMain/dvlec/textbook/chap03/digital03_3_frame.htm   </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>http://princess.kongju.ac.kr/DigitalMain/dvlec/textbook/chap03/flash/Q_M.htm </li></ul>
  16. 16. 마무리 퀴즈 ! <ul><li>swap! </li></ul><ul><li>dummy = a; </li></ul><ul><li>a = b; </li></ul><ul><li>b = dummy; </li></ul><ul><li>dummy 없이 a,b 만으로 swap 구현 </li></ul>

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