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ディフィーヘルマン
鍵交換方式と
エルガマル暗号方式
馬目 華奈 @CanySugspi
鍵暗号方式
・共通鍵暗号方式
共通の秘密鍵が必要
暗号化鍵と複合鍵は常に一致
秘密鍵の交換が難しい
複数の相手とのやりとりに向かない
鍵暗号方式
・公開鍵暗号方式
暗号化に使用する公開鍵と
複合に使用する秘密鍵がある
公開鍵の共有や管理が簡単
相手の数に関係なく公開鍵は1つでよい
ディフィーヘルマン鍵交換方式
・一方向性関数の利用
離散対数の計算が困難
𝐴 ≡ 𝑔 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝑝は素数
𝑔は𝑝の原始根
𝑝, 𝑔生成アルゴリズム
・ 𝑝の生成
ミラーラビンテストを用いて素数を生成
・ 𝑔の生成
位数𝑎は𝑝 − 1でなければならない
位数とは𝑝 𝑘 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 を満たす
最小の正の整数
𝑝 − 1 の約数であるような
n ∈ 2,3, …...
ディフィーヘルマン鍵交換方式
𝐴 = 𝑔 𝑎
𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝐵 = 𝑔 𝑏
𝑚𝑜𝑑 𝑝
鍵 K
( 持っている鍵𝑎 ) ( 持っている鍵𝑏 )𝐵
𝐴
ディフィーヘルマン鍵交換方式
𝐴 𝑏
𝑚𝑜𝑑 𝑝 = 𝑔 𝑎𝑏
𝑚𝑜𝑑 𝑝
持っている鍵𝑎
交換した𝐵
持っている鍵𝑏
交換した𝐴
𝐵 𝑎
𝑚𝑜𝑑 𝑝 = 𝑔 𝑎𝑏
𝑚𝑜𝑑 𝑝
エルガマル暗号化方式
・ディフィーヘルマン問題に基づく
𝑝はランダムな素数
𝑔は𝑝の原始根
𝑎, 𝑏はランダムな整数
𝐴 = 𝑔 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝐵 = 𝑔 𝑏
𝑚𝑜𝑑 𝑝
エルガマル暗号化方式
公開鍵 (𝑝, 𝑔, 𝐴)𝐴 = 𝑔 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝐵 = 𝑔 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝑐 = 𝐴 𝑏
𝑚 𝑚𝑜𝑑 𝑝
平文 𝒎
暗号文 (𝐵, 𝑐)
復号化
秘密鍵 (𝑎)
復号化
指数 𝑥 = 𝑝 − 1 − 𝑎
秘密鍵 (𝑎)
𝐵 𝑥 𝑐
≡ (𝑔 𝑝−1
) 𝑏
(𝑔 𝑎
)−𝑏
𝐴 𝑏
𝑚
≡ 𝐴−𝑏 𝐴 𝑏 𝑚
≡ 𝑚 𝑚𝑜𝑑 𝑝
≡ 𝑔 𝑏(𝑝−1−𝑎) 𝐴 𝑏 𝑚
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JOIss2013_cipher

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Diffie-Hellman key exchange system /
ElGamal cryptosystem.
夏季セミで発表したスライド
暗号班でした。

Published in: Technology
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JOIss2013_cipher

  1. 1. ディフィーヘルマン 鍵交換方式と エルガマル暗号方式 馬目 華奈 @CanySugspi
  2. 2. 鍵暗号方式 ・共通鍵暗号方式 共通の秘密鍵が必要 暗号化鍵と複合鍵は常に一致 秘密鍵の交換が難しい 複数の相手とのやりとりに向かない
  3. 3. 鍵暗号方式 ・公開鍵暗号方式 暗号化に使用する公開鍵と 複合に使用する秘密鍵がある 公開鍵の共有や管理が簡単 相手の数に関係なく公開鍵は1つでよい
  4. 4. ディフィーヘルマン鍵交換方式 ・一方向性関数の利用 離散対数の計算が困難 𝐴 ≡ 𝑔 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑝は素数 𝑔は𝑝の原始根
  5. 5. 𝑝, 𝑔生成アルゴリズム ・ 𝑝の生成 ミラーラビンテストを用いて素数を生成 ・ 𝑔の生成 位数𝑎は𝑝 − 1でなければならない 位数とは𝑝 𝑘 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 を満たす 最小の正の整数 𝑝 − 1 の約数であるような n ∈ 2,3, … , 𝑝 − 2 が すべて 𝑔 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 にならなければ原始根である これをバイナリ法を利用して求める
  6. 6. ディフィーヘルマン鍵交換方式 𝐴 = 𝑔 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝐵 = 𝑔 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑝 鍵 K ( 持っている鍵𝑎 ) ( 持っている鍵𝑏 )𝐵 𝐴
  7. 7. ディフィーヘルマン鍵交換方式 𝐴 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑝 = 𝑔 𝑎𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑝 持っている鍵𝑎 交換した𝐵 持っている鍵𝑏 交換した𝐴 𝐵 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 = 𝑔 𝑎𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑝
  8. 8. エルガマル暗号化方式 ・ディフィーヘルマン問題に基づく 𝑝はランダムな素数 𝑔は𝑝の原始根 𝑎, 𝑏はランダムな整数 𝐴 = 𝑔 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝐵 = 𝑔 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑝
  9. 9. エルガマル暗号化方式 公開鍵 (𝑝, 𝑔, 𝐴)𝐴 = 𝑔 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝐵 = 𝑔 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑐 = 𝐴 𝑏 𝑚 𝑚𝑜𝑑 𝑝 平文 𝒎 暗号文 (𝐵, 𝑐) 復号化 秘密鍵 (𝑎)
  10. 10. 復号化 指数 𝑥 = 𝑝 − 1 − 𝑎 秘密鍵 (𝑎) 𝐵 𝑥 𝑐 ≡ (𝑔 𝑝−1 ) 𝑏 (𝑔 𝑎 )−𝑏 𝐴 𝑏 𝑚 ≡ 𝐴−𝑏 𝐴 𝑏 𝑚 ≡ 𝑚 𝑚𝑜𝑑 𝑝 ≡ 𝑔 𝑏(𝑝−1−𝑎) 𝐴 𝑏 𝑚

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