Ecuación de bernoulli 2012

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Ecuación de bernoulli 2012

  1. 1. Tema 1) Ecuaciones fundamentales de la hidráulica1.1) Ecuación de continuidad y definición del gastoEsta ecuación tiene por objetivo determinar en el tiempo el volumen de agua que hay en un depósito, enuna red de tuberías a presión, en una red de canales, de arroyos conectados a un rio, en pozos y otrosrecipientes.Problema 1.1) De un deposito (1) se sacaagua a través de una bomba centrifuga paraalimentar a un silo (2) que a través de latubería de descarga alimenta a una red deagua potable (3).A las 9:00 el nivel del agua se encuentra a7.0m de altura y a las 9:15 la altura en el siloserá de 9.0m, si el gasto Q2 que entra por (2)es el doble del que sale por (3) determine elvalor de Q2 y Q3.Además, determine la veloci-dad con la queaumenta el nivel del agua en el silo (Va).Resolución: el volumen de agua en el silo (que es un cilindro) es: Vol = Área·altura por lo tanto:Vol(9:00) = 1.0m2·7.0m = 7.0m3 y el Vol(9:15) = 1.0m2·7.0m = 9.0m3Este incremento (Δ) del volumen se obtiene como:Vol(9:15) = Vol(9:00) + Q2·15minutos – Q3·15minutosComo 15 minutos = 900s el gasto Q2 y Q3 se obtienen de la siguiente forma:Q2 – Q3 = [Vol(9:15) - Vol(9:00)]/900s = [9.0 – 7.0m3]/900s = 0.00222m3/sComo, Q3 = ½·Q2: Q2 – Q3 = Q2 – ½·Q2 = ½·Q2 = 0.00222m3/s y por lo tanto:Q2 = 0.00444 m3/s y Q3 = 0.00222m3/sEl gasto neto que entra en el silo se calculó comoQ2 – Q3 = QNETO = ΔVol(en 15 minutos)/900 sy como el área del silo es constante Área = A = 1m2 el incremento del volumen es ΔVol = Área·(9 – 7m) yentonces Area  9.0  7.0m  m QNETO   A  0.00222  A  Va 900s s
  2. 2. Sobre la base de este ejemplo numérico las formulas generales para cualquier tiempo Δt y cualquier formageométrica (no es necesario que sea un cilindro) son las siguientes:La ecuación de continuidad o de la conservación de la masa/1Vol(t + Δt) = Vol(t) + Qentra·Δt – Qsale·Δt (1.1)El caso más común de la ecuación (1) es en su aplicación en tuberías a presión o en canales donde seconsidera que el tubo siempre tiene la misma cantidad de agua esto es: Vol(t + Δt) = Vol(t) y por lo tanto seobtiene;La ecuación de continuidad para un flujo permanenteQentra = Qsale (1.2)La definición del gasto (2 definiciones) ΔVol(Δt)Q (1.3) ΔtQ = V·A (1.4)Problema 1.2) Agua fluye por una tubería de8 pulgadas que siempre está llena (flujo per-manente) a una velocidad de 1.5m/s y al finalse coloca una boquilla de 2 pulgadas, conestos datos determine cuál es la velocidaddel chorro a la salida de la boquilla (sección2).Resolución: como el flujo es permanente (la tubería siempre está llena) el gasto que entra (Q 1) es igual algasto que sale (Q2) y como Q = V·A se tiene:Q1 = Q2 = V1·A1 = V2·A2Despejando V2; A1V2  V1 (1.5) A2Como las áreas son la de un circulo, A = π·D2/4, al eliminar π y 4 se obtiene;V2 = V1·(D12/D22) = 1.5m/s(8/2)2 = 1.5·16 = 24 m/sEl objetivo de este problema es mostrar la obtención de la ec. (1.5) que es muy común en los cálculos delos problemas de hidráulica./1 Para calcular la masa de agua que entra al silo es necesario multiplicar por la ec. (1) por la densidad del agua quees: ρ = γ/g = (1000 Kg/m3) / (9.81 m/s2 ).
  3. 3. Problema 1.3) Tres tuberías (T1, T2 y T3) se unen a través deuna conexión en T, por la tubería 1 fluye un gasto de 10 lts/sy 6 lts/s se van por la tubería T2, determine cuál es el gastoen la tubería T3.El objetivo de este problema es mostrar que la aplicaciónde la ecuación de gasto y de continuidad es muy sencillaen la mayoría de los problemas de hidráulica aplicada.Tema 1.2) Ecuación de Bernoulli o de la Energía obtenida a través de la 2ª Ley de Newtonaplicada al movimiento de un bloque de agua en un canal de sección rectangular.Figura 1.1) Corte longitudinal del canal. Bloque de agua entre las Figura 2.2) Corte de la sección transversal delsecciones 1 y 2 resbalando por el fondo del canal inclinado un canal, con un área de conducción: A = b·yángulo θ, impulsado por la diferencia de fuerzas de presiónhidrostática F1 – F2 , la componente del peso del bloque de aguaW·sin(θ) y la Fuerza de fricción Ff que es contraria a la velocidaddel bloque V1 y V2.La ecuación de Bernoulli es resultado de un análisis de las fuerzas que intervienen en el movimiento de unbloque de agua a través de un canal/2 como el que se indica en la Figura 1.1. De acuerdo a la 2ª Ley deNewton la sumatoria de fuerzas en el eje x es la siguiente: Fx   F1  F 2 Wsen    Ff  m·a  W / g ·a (1.6)Si la ec. (1.6) se multiplica por Δx la ecuación de FUERZA se convierte en una ecuación de TRABAJO (Fuerzax distancia = Newton-metro) y se divide entre el peso del agua W se obtiene una ecuación de TRABAJO/Wpor cada Newton de agua cuyas unidades son Newton-metro/Newton = metros, con esto la ecuación (1.6)resulta;  F1  F2  Δx W  Δx  sen  θ   FfΔx W   a g  Δx/2 Una demostración más general se obtiene del análisis de un bloque de tamaño diferencial movién-dose a través de una líneade corriente, sin embargo, este análisis tiene la desventaja de ser un tanto abstracto (el bloque diferencial es una figuraabstracta) por esto es preferible referirse a una figura real como la propuesta en la figura 1.2.
  4. 4. donde: a = aceleración = ΔV/Δt = V·ΔV/Δx, V = (V2 + V1)/2, ΔV = V2 – V1, W = Volumen·γ, Vol =A·Δx = (b·y)Δx, γ = peso especifico del agua = 9,810Nw/m3 = 1000Kg/m3, m = masa = W/g, F lafuerza de presión F = ∫p·dA, p = presión hidrostática del agua = γ·y y el sen(θ) = (z1 – z2)/Δx,sustituyendo estas definiciones en la ecuación anterior; F1  F2  Δx  Δx  z1  z2  FfΔx   V2  V1 V2  V1  Δx Δx    W W  2  gOmitiendo el cálculo de la fuerzas de presión (F1 – F2) que es complicado ya que se requiere de unaintegración y agrupando las variables con subíndice 1 a la izquierda y con 2 a la derecha de la igualdad seobtiene la ecuación de Bernoulli o de la Energía; p1 V12 p2 V2 Ff x 2  z1    z2   (1.7) γ 2g γ 2g W Tipo de Fuerza en la 2ª Ley de Tipo de energía en la Ecuación de Newton y su símbolo en la Bernoulli y su símbolo. Unidades Figura 2.1. Unidades Newton Nwt-mt/Nwt = metros. Fuerza formula Energía formula De presión F1 – F2 De Flujo (p1 – p2)/γ Peso del agua W·sin(θ), Potencial z1 – z2 De fricción Ff Trabajo negativo Ff·Δx/W = h12 De inercia m·a Cinética (V22 – V12)/2g Figura 1.2) Tabla de equivalencias entre la ecuación de la 2ª Ley de Newton (1.6) multiplicada por Δx/W y la ecuación de Bernoulli o de la Energía.En Hidráulica de canales y sus estructuras la ecuación de Bernoulli (1.7) aplicada a problemas reales, estoes, las velocidades V1 y V2 son > 0 m/s se expresa de la siguiente manera: 1 Ff x 2 2  z1      z2    p1 Q 1 p2 Q      (1.7-1) γ  A1  2g γ  A2  2g WEl motivo de esto es simplificar la solución del problema que se plante:Problema 1.4) El Tubo de Pitot. Instrumento usados en los canales de los campos agrícolas para medir lavelocidad del flujo en los canales. Académicamente permite observar que la V12/2g se transforma en unaaltura hv.Agua fluye por un canal con una velocidad V1, al Figura 2.3entrar al tubo de Pitot por en el punto 2, el aguaasciende por el tubo arriba de la superficie unaaltura hv (altura de velocidad).En el punto 2 se forma una zona de estancamien-to (V2 = 0) y en el punto 3 el agua se bamboleacon una V3 promedio = 0.Planteando una ecuación entre 1 y 3 y suponien-do que las pérdidas de energía h13 = 0 obtenga lavelocidad en el punto 1.Resolución: Utilizando la ecuación de Bernoulli (1.7) en términos de la presión (p/γ)
  5. 5. p1 V2 p V2 + z1 + 1 = 3 + z3 + 3 + h13 γ 2g γ 2gLa interpretación de las variables de la ec. anterior es la siguiente: a) la presión en el punto 1 es p1/γ = h, b)como el punto 1 está situado sobre el nivel de referencia NR, entonces, z 1 = 0, c) en el punto 3 el agua estáen contacto con el aire de la atmósfera por lo tanto p3 = 0, d) la cota z3 = h + hv, e) la columna de agua (h +hv) se encuentra estática por lo tanto V3 = 0, f) el problema indica que h13 = 0. Al sustituir estos valoresrazonados en el ec. de Bernoulli se obtiene; V12 V12h + 0+ = 0 +  h + hv  + 0 + 0, = hv 2g 2gAl despejar V1 se obtiene V = 2g  hv 1El resultado anterior indica que la energía cinética V12/2g en el punto 1 se transforma en energía potencialhv en el punto 3.El objetivo del problema del tubo de Pitot es mostrar que la energía cinética V 2/2g es una altura hv ytambién la presión p/γ también es una altura h, o sea, en la ecuación de Bernoulli todo es altura. LaHidráulica tiene una gran relación con la topografía en particular la Hidráulica de Canales y sus estructurasde control.Tema 1.3) La ecuación de impulso y cantidad de movimiento.La 2ª Ley de Newton se conoce como F = m·a sin embargo la definición correcta es F = d(m·V)/dt donded(m·V) = cantidad movimiento si el diferencial de tiempo pasa al lado izquierdo se tiene que F·dt = impulsoy F·dt = d(m·V), de forma más simple se puede expresar como: FΔt  m  ΔV  m  Vfinal  Vinicial Para el caso de agua en movimiento la cantidad de masa que fluye por un canal o tubería se obtiene de laecuación: m = ρ·Q·Δt, al sustituir esta ecuación de la masa y eliminando Δt se obtiene: F  ρQ  Vfinal  Vinicial  (1.8)Si los valores iniciales = 1 se agrupan al lado izquierdo y los finales = 2 se agrupan a la izquierda y derechade la igualdad y se considera que el movimiento es en un solo eje (no es necesario el vector) la ecuación(1.8) queda de la siguiente forma: γ 2 γ 2 γ Q2 γ Q2F1  V1 A1  F2  V1 A2, o bien, F1   F2  (1.8-1 y 2) g g g A1 g A2Esta ecuación es conocida como de Momentum = F + M, donde, F = impulso y M = la cantidad demovimiento (γ/g·V2·A). Y tiene como objetivo simplificar la solución de los problemas.Con esto se obtienen la tres ecuaciones fundamentales de la hidráulica: Gasto y Continuidad (conservaciónde la masa), Conservación de la Energía (Bernoulli) y la Conservación del Impulso y Cantidad deMovimiento o del Momentum.
  6. 6. Problema 1.5) Un chorro de agua sale de undepósito a través de un tubo de Bordaimpulsado por la fuerza de presión en elpunto 2 (F2). Se observa que el área delchorro (Ac) disminuye, o sea, es menor que elárea del tubo.A través de la ec. de Bernoulli (de 1 a 3)determine cuál es la velocidad V3 y con laecuación de Momentum de (2 a 3) determinecuál es el área del chorro Ac.Resolución: la ec. de Bernoulli de 1 a 3 es:p1 V12 p3 V32  z1    z3   h13γ 2g γ 2g V320  h 0  0  0  0 ,por lo tanto, V3  2gh 2gLa ec. de Momentum (1.8-1) de 2 a 3 γ γF2  V22 A2  F3  V32 A3 g gcomo F2 = γhAt, V2 = 0, F3 = 0 y el A3 = Ac la ec. se reduce a: γγh  At  V32 Ac , y al sustituir V3  2gh g γ   2γh  At  2gh Ac gAl despejar el área del chorro Ac tenemos: Achorro = ½ ·Atubo o sea que el área tiene una contracción yesto afecta el cálculo del gasto Q que a final de cuentas es:Q = ½·Atubo·V3, donde ½ es coeficiente de contracción = Cc.Objetivos del problema:  En la resolución de problemas de Hidráulica sobre: Orificios, boquillas, compuertas, vertedores el calculista deberá de tomar en cuenta que el agua se contrae y los cálculos teóricos deben ser corregidos por un coeficiente de Contracción Cc experimental o un coeficiente de Descarga Cd para obtener resultados reales. Ver capítulos 6 y 7 del texto de Hidráulica General de Sotelo Ávila G.  El 2º objetivo es plantear un problema donde se requirió de las 3 ecuaciones fundamentales de la Hidráulica para resolverlo (no son muy comunes pero existen). Más aún en Hidráulica hay problemas con más de 3 incógnitas y la solución para la 4ª, 5ª …. incógnita se obtiene en forma experimental.Problemas)
  7. 7. Problema 1.6) La energía Total en un punto se define como: p V2 ET   z  γ 2g Para el depósito donde el agua se encuentra estática (V = 0) determine cuál es la energía total en los puntos 1, 2 y 3. Seleccione el nivel de referencia (z = 0) en el fondo.El objetivo del problema es mostrar que la energía total ET es la misma en todos los puntos y por lo tantocuando se tiene un depósito en un problema por lo general es más fácil colocar el punto de análisis sobrela superficie libre ya que solo se requiere conocer la altura z de esta superficie. Problema 1.7) Un manómetro indica una presión en el punto 1 de: p1 = 3 Kg/cm2, si no hay contracciones ni perdidas de energía determine cuál es gasto Q que sale por la boquilla, la velocidad en el punto 3 y la altura máxima (teórica) a la que asciende el chorro de agua así como su área. El punto 2 y 3 se encuentran a la presión atmosférica p2 = p3 = 0. Respuestas: Q = 0.0506 m3/s, V3 = 24.57m/s, altura máxima = 31.99m con respecto al punto 1 y el área es infinita.El objetivo del problema es mostrar que cuando el agua se mueve en contacto con la atmosfera al cambiarla velocidad (se acelera o desacelera) cambia el área de conducción lo cual se llama flujo gradualmentevariado. Además, mostrar que un área infinita en el punto más alto es imposible lo que indica la diferenciaentre la física y la matemática.Problemas de compuertas:Figura 1.2) Vista longi-tudinal de una compuertaplana vertical con des-carga libre donde se pro-duce un salto hidráulico(ys).La contracción y2 se pro-duce a una distancia a/Ccsiendo a la abertura de lacompuerta.Número de Froude = Q2 TFr 2  g A3Problema 1.8 selección adecuada de la ecuación de Bernoulli) En una compuerta por lo común seplantean dos preguntas: ¿Cuál es el gasto Q? o ¿Cuál es la abertura de la compuerta?, sobre esta base
  8. 8. plantee la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 más adecuada para dar respuesta a estas dospreguntas:Resolución: como las preguntas son calcular Q o a entonces resulta más conveniente la ecuación 1.7-1.Como el área de conducción es A = b·y al sustituir tendremos 2 2p1  Q  1 p2  Q  1  z1      z2     h12γ  b·y1  2g γ  b·y2  2gComo en la superficie libre del agua la presión es cero (p1 = p2 = 0), z1 = y1, z2 = y2, considerandotemporalmente las pérdidas de energía h12 = 0 y definiendo Q/b = q que se llama gasto unitario o gastopor metro de longitud la ecuación resultante para la compuerta se reduce a lo siguiente: 1 q2 1 q2 y1  2  y2  (1.9) 2g y1 2g y 2 2La ecuación anterior se puede resolver calculando y2 y posteriormente la abertura de la compuerta secalcula con la formula experimental a = Cc·y2.Problema 1.9 de revisión = calcular una estructura ya construida) Una compuerta (como la indicada en lafigura 1.2) descarga por un canal rectangular de 2 pies de ancho (b = 0.61m), si la carga aguas arriba y 1 =2.0m y la abertura a es de 0.4m determine: a) la velocidad en la sección o punto 2 (V2) y el punto 1 (V1), b)el valor del gasto Q, c) el número de Froude en las secciones 1 y 2.Nota: Plante una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 asumiendo que las pérdidas son cero (h12 = 0)y para medir las alturas tome como nivel de referencia el fondo del canal (z = 0).Problema 1.10 de diseño = calcular una estructura antes de construirse) Una compuerta descarga por uncanal rectangular de 3 pies de ancho (b = 0.92m), si la carga aguas arriba y1 = 1.8m y el gasto es de 0.9m3/sdetermine: a) la altura y2; b) la velocidad en el punto 2; c) la abertura a de la compuerta, d) El número deFroude en las secciones 1 y 2.Problema 1.11) Si el gasto unitario (por metro de ancho b del canal) es q = Q/b, demuestre que la ecuaciónde Bernoulli entre los puntos 1 y 2 es: q2 q2y1  2  y2  2 Nota, considere que: p1 = p2 = 0, z1 = y1 y z2 = y2. 2gy1 2gy 2Además 1 1q 2  2  2   2g  y1  y 2  despejando el gasto unitario q.  y 2 y1 Problema 1.12, la fórmula para el gasto en una compuerta con descarga libre ya sea plana vertical oinclinada o compuerta radial) A través de un problema de binomios de la forma: [1 – x2 = (1 + x)·(1 – x)]demuestre que el gasto unitario q de la ultima ecuación del problema 1.11 se obtiene de la siguienteforma: y2 Cc  aq 2g  y1  2g  y1  CD  a 2g  y1 (1.9) y2 Cc  a 1 1 y1 y1Donde CD = coeficiente de descarga y se obtiene experimentalmente, este coeficiente contiene laspérdidas de energía (h12) generadas por la turbulencia al pasar el agua a través de la compuerta.
  9. 9. Problema 1.13 experimento para obtener CD) En un canal de laboratorio de sección rectangular de b = 0.076m de ancho y con un gasto Q = 0.0015 m3/s (q = Q/b = 0.01974 m3/s-m) se coloca una compuerta plana vertical y para aberturas de a = 0.03 m a 0.017m se miden los diferentes valores de y1. Sobre la base de la ecuación (1.11) se obtienen los valores del coeficiente de descarga de CD para diferentes relaciones de y1/a. Para relaciones de mayores y1/a > 10.5 se obtienen valores aproximados de CD = 0.6. Al graficar (y1/a , CD ) se obtiene la Figura 1.3, la cual incluye la ecuación de CD obtenida por el método de mínimos cuadrados.Problema 1.14, de investigación) Obtenga el numero de Froude en la sección 2 de la Figura 1.2.El número de Froude = Fr2 se define como la relación entre las Fuerzas de Inercia = m·a entre el peso delagua = W = m·g y la aceleración se define como la normal a = V2/y por lo tanto: Fuerza de inercia ma ma a V 2 y V2Fr 2       Fr 2  (1.12) Peso W mg g g gyDe la ecuación (1.9) la velocidad V2 se obtiene V2 = Q/(b·y2) = q/y2 =q 2g  y1 V2  V2  , y el numero de Froude como Fr22  2y2 y2 g  y2 1 y1por lo tanto; 2    Fr2  2 V22   2g  y1  1  2 g  y2  y2  g  y 2  y2  y2  1  1  y1  y1   y1   
  10. 10. Nota: para que los valores de de CD obtenidos en el canal modelo del laboratorio sean aplicables a los delprototipo (obra real) se requiere que el número de Froude sea el mismo en el modelo que en el prototipoy esto se logra según la última ecuación si se tiene la misma relación y2/y1 o a/y1 en modelo y prototipo poresto en la Figura 1.3 en el eje horizontal se mide la relación a/y1.Problema 1.15) Un canal trapecial tiene las características3 geométricas que se indican en la figura.Demuestre que el ancho superficie T es igual a T = dA/dy.Problema 1.16 sobre los vertedores) Por un vertedor de pared delgada (tiene un filo en la cresta ver Figura1.4) sale un chorro de agua, si en los puntos 1, 2, 3 y 4 la presión es cero determine cuales son lasvelocidades en los puntos 4, 3 y 2. Sugerencia plantee una ecuación de Bernoulli entre 1-4, 1-3 y 1-2 paraobtener las velocidades.Notas: 1) para simplificar la solución del problema se asume que la velocidad en el punto 1 es cero (V 1 = 0),2) así como las pérdidas que también se consideran cero, 3) El filo en la cresta del vertedor tiene elobjetivo de garantizar que la presión sea cero en toda la sección./3 Por facilidad en la Hidráulica de Canales la sección trapecial se calcula a partir de la pendiente del talud m en vez de usar elángulo φ o de reposo.
  11. 11. Problema 1.17) Para el vertedor trapecialmostrado en la figura determine el valor delgasto teórico Q que se descarga si lavelocidad varía de acuerdo a la siguientefórmula:v  2 g  h0  y  y = 0 en la cresta y y =h0 en la superficie libre.Resolucion: como la velocidad es variable el valor del gasto se debe de calcular a través de la integral Q = ∫dQ donde dQ = v·dA, en el problema 1.15 se demuestra que una diferencial de área para un canaltrapecial es, dA = T·dy y como el ancho superficial T es: T = b + 2·m·y esta integral resulta ser: 2 g  h0  y   b  2m  y  dy    8  h0 h0 2Q 0 vdA   0  3 2 g  b  h3/ 2     15 2 g  m  h5/ 2  ↑ ↑Resultado de la integración en dos secciones o Sección rectángula- Sección triangu-partes lar del trapecio. lar del trapecio.Para que la formula anterior de resultados reales acerca del valor de Q debe de multiplicarse por uncoeficiente de descarga Cd, μ este ultimo usando la nomenclatura del Texto de Hidráulica General deSotelo (Capítulo VII/4).Formula del vertedor de sección rectangular: (2/3·19.621/2 = 2.952 m1/2/s)q = Q/b = 2.952·μ·h3/2 (1.13)donde para un vertedor de pared delgada con (b/B > 1) o sin contracciones (b/B = 1), Ce es el coeficienteuniversal de Kindsvater-Carter. Coeficiente de Kindsvater-Carter Limite del coeficiente b/B μ 1.0 0.602 + 0.0750·h/w h/w = max. 2.5/4 Para información detallada de los vertedores se recomienda la lectura del Capítulo VII ya que estos operan bajo variantesgeométricas como son: de sección rectangular, triangular, trapecial, circulares, proporcionales, si operan con contraccioneslaterales o no, si son de pared gruesa o de pared delgada, si operan con descarga libre o descarga sumergida.
  12. 12. 0.9 0.598 + 0.0640·h/w h = min 0.03 m 0.8 0.596 + 0.0450·h/w w = min 0.10 m 0.7 0.594 + 0.0300·h/w b = min 0.15 m 0.6 0.593 + 0.0180·h/w 0.4 0.591 + 0.0058·h/w Nota:para b/B = 1 Henderson propone 0.2 0.588 - 0.0018·h/w μ = 0.611 + 0.08 h/w 0.0 0.587 - 0.0023·h/wNotas: A) Los coeficientes originales de Kindsvater-Carter incluyen pequeñas correcciones para el ancho b delvertedor y la altura h. B) La forma algebraica de estos coeficientes es consistente con la formula de Rehbock que esuna línea recta en términos de h/w.La inerpretacion fisica de los coeficientes de vertedor es la siguiente:La contracción) El primer termino refleja la contracción vertical y horizontal del chorro de agua al pasar porel vertedor lo cual se puede constatar en un laboratorio. Cuando b/B = 1 solo hay contracción vertical sib/B >1 se presenta ademas una contracción horizontal por esto, el coeficiente disminuye de 0.602 a 0.587.La velocidad) Para obtener la ecuacion 1.13) por facilidad en el calculo se información asumió que lavelocidad de llegada de V1 es igual a cero los cual es solo cierto si w >> h por esto la segunda parte delcoeficiente es la corrección a este supuesto, como la velocidad de arribo disminuye conforme B aumentala segunda parte del coeficiente disminuye de 0.75 a -0.0023 no quedando aclarado el porqué aparecennúmeros negativos.Problema 1.18, expresiones adimensionales) Si la altura total y = w + h (ver Figura 4) en el vertedor y elvalor de q = Q/b son conocidos la solucion de h y w de la ecuación 1.13 requiere de un método numéricopara su solución para superar esta dificultad en la antigüedad se usaba expresar la ecuación en términos denúmeros adimensionales con el objetivo de obtener una solución universal que pudiera graficarse y conesto eliminar el uso del método numérico demuestre que la ecuación 1.13 se puede expresar en términosde y y w de la siguiente forma:0.339·q  1 w y   1  w y  3/2 3/2  0.611  0.08 donde 0.339 = (1/2.952 m1/2/s) y  w y Sugerencia: en la ecuación 1.13 h se sustituye por h = y – w = y(1 – w/y).En el Anexo 1 se obtiene la grafica para valores h/w = 3 (o w/y = 0.25) que es un vertedor bajo hasta h/w = 0.1 (o w/y= 0.91) que es un vertedor alto. Los coeficientes de Kindsvater-Carter solo son validos para relaciones h/w ≤ 2.5.
  13. 13. Anexo 1Figura A1) Grafica de la ecuación;0.339·q  1 w y   1  w y  3/2 3/2  0.611  0.08 y  w y Dado que y > w la relación w/y toma valores de(0,1) y para efectos prácticos w/y se ubica en elrango de [0.25, 0.91] por lo tanto, sustituyendoestos valores en el lado derecho de la ecuaciónse obtiene: 0.339·q/y1.5 que es una relaciónadimensional que es válida para cualquiercombinación de q = Q/b y de y.Si en el eje horizontal se grafica 0.339·q/y1.5 yen el vertical w/y se obtiene la grafica A2.La curva de los valores w/y obtenida pormínimos cuadrados se presenta en la FiguraA2 como y’ = w/y, esta solo tiene errores de±1.5%.
  14. 14. el calculo   y1  0.0516 0.5316   , y1/a  10CD   a 0.6 , y1/a  10 CD y1/aFigura 1.3Coeficiente de descarga para una compuerta plana verticalNota, considere que: p1 = p2 = 0, z1 = y1 y z2 = y2. el valor del gasto Q. Plante una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 y para medir las alturas tomecomo nivel de referencia el fondo del canal (z = 0).Cc = 0.62y2 = Cc·amanómetromanometroProblemas de la Ecuación de Impulso y cantidad de movimiento:Un salto hidráulico se produce entre las secciones 1 y 2 de un canal rectangular de ancho b, si las fuerzashidrostáticas de presión F = γ·b·y2/2 y expresando a Q/b = q, usando la ecuación de impulso y cantidadde movimiento obtenga que la ecuación resultante es: 2 y1 q2 y2 q2   2 y además;, sugerencia multiplique la primera ecuación por 2·y1·y2 y factorize el 2 g  y1 2 g  y2binomio al cubo que resulta por (y1 – y2).A partir de la ultima ecuaciones demuestre que2q 2  y1  y2    y1  y2   y2y12  y2 y1 2 gTema 2) Ecuación de Chezy el flujo uniforme en canales.Anexo 1)

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