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クレームモデル②

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Rで学ぶ損保数理 クレームモデル②

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クレームモデル②

  1. 1. Rで学ぶ損害保険数理②
  2. 2. クレームモデル • 料率、支払備金の算出の基礎 • 支払い保険金(クレーム総額)の推定 • FD法 S = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋 𝑁 「𝑁, 𝑋1, 𝑋2, ⋯ , 𝑋 𝑁は互いに独立である」 支払保険金総額=Sを • 頻度(frequency)=N • 個別額(damageability)=X (Xiは独立同分布) に分ける なぜ?⇒①詳しい推定のため、得られるデータをできるだけ利用 ②再保険、免責金額の設定ため
  3. 3. Sの期待値、分散、モーメント母関数 • 𝐸 𝑆 = 𝐸 𝐸 𝑆|𝑁 • = 𝑛=0 ∞ 𝐸 𝑆|𝑁 = 𝑛 × 𝑃 𝑁 = 𝑛 • = 𝑛=0 ∞ 𝐸 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋 𝑛 × 𝑃 𝑁 = 𝑛 • = 𝑛=0 ∞ 𝑛 × 𝐸 𝑋 × 𝑃 𝑁 = 𝑛 • = 𝐸 𝑁 × 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑁 • 𝑉 𝑆 = 𝑉 𝐸 𝑆|𝑁 + 𝐸 𝑉 𝑆|𝑁 • = 𝑉 𝑁 × 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑁 × 𝑉 𝑋 = 𝑉 𝑁 𝐸 𝑋 2 + 𝐸 𝑁 𝑉 𝑋 • 𝑀𝑆 𝑡 = 𝐸 𝑒 𝑡𝑆 = 𝐸 𝐸 𝑒 𝑡𝑆 |𝑁 • = 𝐸 𝐸 𝑒 𝑡𝑋 𝑁 = 𝐸 𝑀 𝑋 𝑡 𝑁 = 𝐺 𝑁 𝑀 𝑋 𝑡 = 𝑀 𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑀 𝑋 𝑡
  4. 4. N~NB(1,0.1),X~Exp(0.1)のケース • 𝐸 𝑆 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑁 = 10 ∗ 9 = 90 • 𝑉 𝑆 = 𝑉 𝑁 𝐸 𝑋 2 + 𝐸 𝑁 𝑉 𝑋 = 90 ∗ 102 + 9 ∗ 102 = 9900 • 𝑀𝑆 𝑡 = 𝐸 𝑒 𝑡𝑆 = 𝐸 𝐸 𝑒 𝑡𝑆|𝑁 • = 𝐸 𝐸 𝑒 𝑡𝑋 𝑁 = 𝐸 𝑀 𝑋 𝑡 𝑁 = 𝐺 𝑁 𝑀 𝑋 𝑡 = 𝑀 𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑀 𝑋 𝑡 • 𝐹𝑆 𝑥 = P 𝑆 ≤ 𝑥 = 𝑃 𝑁 = 0 + 𝑘=1 ∞ 𝑃 𝑆 ≤ 𝑥 𝑁 = 𝑘 𝑃(𝑁 = 𝑘) • = 𝑝 + 𝑘=1 ∞ 0 𝑥 パラメータ 𝑘, λ のガンマ関数の𝑝𝑑𝑓 𝑑𝑦 𝑃(𝑁 = 𝑘) • (サメンションとインテグラルの順序変更) • = 𝑝 + 𝑞 × (1 − exp −𝑝λ𝑥 ) • = 1 − 0.9 × exp −0.01𝑥 )
  5. 5. Sの分布関数を得る方法① • Xに離散(化させた)分布を用いる – パンジャーの再帰式(claim_model_2.R) • Sのpdfについて以下の漸化式が成立 • 𝑓𝑠(𝑥) = 𝑖=1 min 𝑥,𝑚 𝑎+ 𝑏 𝑥 𝑖 𝑓 𝑋 𝑖 𝑓𝑠(𝑥−𝑖) 1−𝑎𝑓 𝑋(0) (x≠0の場合) – X=0ならば、 𝑓𝑠 0 = 𝐺 𝑁 𝑓𝑋 0 – a,bは𝑃𝑟 𝑁 = 𝑛 = (𝑎 + 𝑏 𝑛 ) 𝑃𝑟 𝑁 = 𝑛 − 1 をみたす – mはXの分布の最大値 – 導出のカギ » 𝑓𝑠 𝑥 = 𝑛=0 ∞ 𝑝∗𝑛 𝑥 𝑃𝑟 𝑁 = 𝑛 » 𝑝∗𝑛 𝑥 = 𝑖=0 min 𝑥,𝑚 𝑓𝑋 𝑖 𝑝∗(𝑛−1) 𝑥 − 𝑖 » 𝑝∗𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑖=0 min 𝑥,𝑚 𝑖𝑓𝑋 𝑖 𝑝∗(𝑛−1) 𝑥 − 𝑖
  6. 6. claim_model_2.R 黒線:パンジャーの再帰式による近似、赤線:理論値
  7. 7. Sの分布関数を得る方法② • Xに離散(化させた)分布を用いる – 高速フーリエ変換(FFT)(claim_model_3.R) • フーリエ変換と逆変換 – 𝜑 𝑡 = 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 – 𝑓 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒−𝑖𝑡𝑥 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 • 離散フーリエ変換と逆変換 – 𝜑 𝑘 = 𝑗=𝑜 𝑛−1 exp( 2𝜋𝑖 𝑛 𝑗𝑘) 𝑓𝑗 – 𝑓𝑗 = 1 𝑛 𝑘=𝑜 𝑛−1 exp(− 2𝜋𝑖 𝑛 𝑘𝑗) 𝜑 𝑘 – 畳み込みや複合分布のpdfを求めるのに便利
  8. 8. 10 claim_model_3.R 独立な2つの一様分布の和の確率密度関数
  9. 9. claim_model_3.R 独立な3つの一様分布の和の確率密度関数
  10. 10. claim_model_3.R 黒線:フーリエ変換、赤線:理論値 左図:pdf、右図:cdf
  11. 11. claim_model_3.R 黒:パンジャーの再帰式、青:フーリエ変換、赤:理論値
  12. 12. クレームモデルまとめ • Sの分布は得られた… – 保険料はいくらもらう?? ⇒保険料算出原理 – 集団内のパラメータってほんとに同一?? ⇒経験料率、クラス料率 – 既に発生した事故に対していくら備える?? ⇒支払備金 – 将来会社が倒産する可能性は?? ⇒危険理論 • クレームモデルを基礎として 様々なテーマが展開

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