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クレームモデル①

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Rで学ぶ損保数理①

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クレームモデル①

  1. 1. Rで学ぶ損害保険数理①
  2. 2. 1 クレームモデル • 料率、支払備金の算出の基礎 • 支払い保険金(クレーム総額)の推定 • FD法 S = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋 𝑁 前提:「𝑁, 𝑋1, 𝑋2, ⋯ , 𝑋 𝑁は互いに独立である」 支払保険金総額=Sを • 頻度(frequency)=N • 個別額(damageability)=X (Xiは独立同分布) に分ける なぜ?⇒①詳しい推定のため、得られるデータをできるだけ利用 ②再保険、免責金額の設定ため
  3. 3. 2 クレームモデルによく用いられる分布 • クレーム頻度(N)(離散) • ポアソン分布 ⇒ S:複合ポアソン分布 • 負の二項分布 ⇒ S:複合負の二項分布 • 負の二項分布は集団内リスクが均質でない場合に用いる • クレーム額(X)(連続、離散) • ガンマ分布 • 正規分布 • 対数正規分布(実務でよく利用) • その他離散分布
  4. 4. 3 確率分布の確認 • 負の二項分布 𝑁𝐵(𝛼, 𝑝) • 表が出る確率pのコインを投げる時の表が𝛼回出るまでに裏が出る回数 • 𝛼に再生性あり。𝛼 = 1の時は幾何分布 • 𝑓 𝑥 = 𝛼+𝑥−1 𝑥 𝑝 𝛼 𝑞 𝑥 = −𝛼 𝑥 𝑝 𝛼 (−𝑞) 𝑥 • 𝐸 X = 𝛼 𝑞 𝑝 , 𝑉 𝑋 = 𝛼 𝑞 𝑝2 , 𝑀 𝑡 = 𝑝 1−𝑞𝑒 𝑡 𝛼 • 対数正規分布 𝐿𝑁(𝜇, 𝜎) • 𝑋 = 𝑒 𝑌 or logX=Y (ただしY~N(μ, σ)) • 期待値、分散は正規分布のモーメント母関数を用いると容易 • 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑒 𝑌 = 𝑒𝑥𝑝(𝜇 + 𝜎2 2 ) • 𝑉 𝑋 = 𝑉(𝑒 𝑌 ) = 𝐸 𝑒2𝑌 − 𝐸 𝑒 𝑌 2 = 𝑒𝑥𝑝(2𝜇+2𝜎2 ) − 𝑒𝑥𝑝(2𝜇+𝜎2 )
  5. 5. 確率分布の例 5 10 15 20 0.000.050.100.15 Indexdpois(0:20,5) 5 10 15 20 0.000.040.080.12 Index dnbinom(0:20,5,1/2) 0 200 400 0.0000.0010.0020.003 x dgamma(x,2,0.01) 0 200 400 0.0000.0020.0040.0060.008 x dnorm(x,200,50) 0 200 400 0.0000.0020.0040.006 x dlnorm(x,4.7,1.094)
  6. 6. 5 Sの分布を知りたい… • Rでシミュレーションしてみる • claim_model_1.R • 期待値、分散を求める E(S),V(S) • モーメント母関数を求める Ms(t) • 条件付き期待値、分散を利用すると容易 • 𝐹𝑠 𝑥 を解析的に求める • Xに加法性があることを利用できる場合は容易
  7. 7. 6 Rでのシミュレーション
  8. 8. 7 Sの期待値、分散、モーメント母関数 • 𝐸 𝑆 = 𝐸 𝐸 𝑆|𝑁 • = 𝑛=0 ∞ 𝐸 𝑆|𝑁 = 𝑛 × 𝑃 𝑁 = 𝑛 • = 𝑛=0 ∞ 𝐸 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋 𝑛 × 𝑃 𝑁 = 𝑛 • = 𝑛=0 ∞ 𝑛 × 𝐸 𝑋 × 𝑃 𝑁 = 𝑛 • = 𝐸 𝑁 × 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑁 • 𝑉 𝑆 = 𝑉 𝐸 𝑆|𝑁 + 𝐸 𝑉 𝑆|𝑁 • = 𝑉 𝑁 × 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑁 × 𝑉 𝑋 = 𝑉 𝑁 𝐸 𝑋 2 + 𝐸 𝑁 𝑉 𝑋 • 𝑀𝑆 𝑡 = 𝐸 𝑒 𝑡𝑆 = 𝐸 𝐸 𝑒 𝑡𝑆 |𝑁 • = 𝐸 𝐸 𝑒 𝑡𝑋 𝑁 = 𝐸 𝑀 𝑋 𝑡 𝑁 = 𝐺 𝑁 𝑀 𝑋 𝑡 = 𝑀 𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑀 𝑋 𝑡
  9. 9. 8 N~NB(1,0.1),X~Exp(0.1)のケース • 𝐸 𝑆 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑁 = 10 ∗ 9 = 90 • 𝑉 𝑆 = 𝑉 𝑁 𝐸 𝑋 2 + 𝐸 𝑁 𝑉 𝑋 = 90 ∗ 102 + 9 ∗ 102 = 9900 • 𝑀𝑆 𝑡 = 𝐸 𝑒 𝑡𝑆 = 𝐸 𝐸 𝑒 𝑡𝑆|𝑁 • = 𝐸 𝐸 𝑒 𝑡𝑋 𝑁 = 𝐸 𝑀 𝑋 𝑡 𝑁 = 𝐺 𝑁 𝑀 𝑋 𝑡 = 𝑀 𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑀 𝑋 𝑡 • 𝐹𝑆 𝑥 = P 𝑆 ≤ 𝑥 = 𝑃 𝑁 = 0 + 𝑘=1 ∞ 𝑃 𝑆 ≤ 𝑥 𝑁 = 𝑘 𝑃(𝑁 = 𝑘) • = 𝑝 + 𝑘=1 ∞ 0 𝑥 パラメータ 𝑘, λ のガンマ関数の𝑝𝑑𝑓 𝑑𝑦 𝑃(𝑁 = 𝑘) (サメンションとインテグラルを順序変更して計算) • = 𝑝 + 𝑞 × (1 − exp −𝑝λ𝑥 ) • = 1 − 0.9 × exp −0.01𝑥
  10. 10. 8 SCC(1000,2,1,0.1,1,1,0.1) の実行例

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