1. PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES
ÁREA DE CIENCIAS
Matemática Aplicada
a los Negocios
2. PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES
ÁREA DE CIENCIAS
Aplicaciones de la integral definida:
área de una región plana
➢ Aplicaciones de la integral definida en los negocios: Área de regiones planas
➢ Ejercicios resueltos
Contenido de la clase virtual
Objetivo de la clase virtual
➢ Aplicar la integral definida de funciones en el cálculo de áreas de regiones
planas
3.
4.
5.
6.
7. Área de una región plana
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas en el intervalo cerrado
𝑎; 𝑏 tales que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para cada 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 . Si ℛ es
una región limitada por las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔,
y por las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, entonces
Á𝑟𝑒𝑎 ℛ = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
ℛ
Gráfica de la región 𝓡
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8. Dibuje la región limitada por las gráficas de las curvas que se indican y calcule su área:
𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 , el eje X
Para determinar los puntos de intersección de las curvas, debemos resolver el sistema:
𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥
El eje X: 𝑦 = 0
𝛼 = (𝛽): 𝑥2
− 2𝑥 = 0
𝑥 𝑥 − 2 = 0
Puntos de intersección: 𝐵(2; 0)
𝐴 0; 0 ,
(Pág. 77 - 14a)
La región está limitada por las gráficas de las curvas
ቊ
𝑥2
− 2𝑥 ⋯ (𝛼)
𝑦 = 0 ⋯ (𝛽)
1
Solución.
Ejercicios resueltos
→ 𝑥 = 0 , 𝑥 = 2
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9. = อ
−
𝑥3
3
+ 𝑥2
0
2
Área ℛ = න
0
2
0 − (𝑥2
− 2𝑥) 𝑑𝑥
Gráfica de la región:
ℛ
= න
0
2
−𝑥2
+ 2𝑥) 𝑑𝑥 = −
8
3
+ 4 − 0 =
4
3
𝑢2
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10. Dibuje la región limitada por las gráficas de las curvas que se indican y calcule su área:
𝑥2
= 2𝑦 , 𝑦 = 𝑥 + 4 (Pág. 77 - 14b)
2
11. Dibuje la región limitada por las gráficas de las curvas que se indican y calcule su área:
𝑥2
= 2𝑦 , 𝑦 = 𝑥 + 4
𝑥2
= 2𝑦
𝑦 = 𝑥 + 4
𝛽 en 𝛼 : 𝑥2
= 2(𝑥 + 4)
𝑥2
− 2𝑥 − 8 = 0
Puntos de intersección: 𝐴(−2; 2),
(Pág. 77 - 14b)
La región está limitada por las gráficas de las curvas
Para determinar los puntos de intersección de las curvas, debemos resolver el sistema:
ቊ
𝑥2
= 2𝑦 ⋯ (𝛼)
𝑦 = 𝑥 + 4 ⋯ (𝛽)
2
Solución.
→ 𝑥 + 2 𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = −2, 𝑥 = 4
𝐵(4; 8)
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12. Dibuje la región limitada por las gráficas de las curvas que se indican y calcule su área:
𝑥2
= 2𝑦 , 𝑦 = 𝑥 + 4
(Pág. 77
- 14b)
2
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13. = อ
𝑥2
2
+ 4𝑥 −
𝑥3
6
−2
4
Área ℛ = න
−2
4
𝑥 + 4 −
𝑥2
2
𝑑𝑥
Gráfica de la región:
= න
−2
4
𝑥 + 4 −
𝑥2
2
𝑑𝑥
ℛ
= 8 + 16 −
32
3
− 2 − 8 +
4
3
= 18 𝑢2
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14. Dibuje la región limitada por las gráficas de las curvas que se indican y calcule su área:
𝑦 = 25 − 𝑥2
, 𝑦 = (5 − 𝑥)2
𝑦 = 25 − 𝑥2
𝑦 = (5 − 𝑥)2
𝛽 = 𝛼 : 25 − 𝑥2
= (5 − 𝑥)2
2𝑥2
− 10𝑥 = 0
Puntos de intersección: 𝐴(0; 25),
(Pág. 77 - 14e)
La región está limitada por las gráficas de las curvas
Para determinar los puntos de intersección de las curvas, debemos resolver el sistema:
൝
𝑦 = 25 − 𝑥2
⋯ (𝛼)
𝑦 = (5 − 𝑥)2
⋯ (𝛽)
3
Solución.
→ 25 − 𝑥2
= 25 − 10𝑥 + 𝑥2
→ 2𝑥 𝑥 − 5 = 0 → 𝑥 = 0, 𝑥 = 5
𝐵(5; 0)
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15. = อ
−
2𝑥3
3
+ 5𝑥2
0
5
Área ℛ = න
0
5
25 − 𝑥2
− (5 − 𝑥)2
𝑑𝑥
Gráfica de la región:
= න
0
5
−2𝑥2
+ 10𝑥 𝑑𝑥
= −
250
3
+ 125 − 0 =
125
3
𝑢2
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16. Dibuje la región limitada por las gráficas de las curvas que se indican y calcule su área:
𝑦 = 𝑥2
, 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑦 = 18 − 3𝑥 (en el primer cuadrante)
𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 𝑥 + 2 ,
𝛼 = 𝛽 : 𝑥2= 𝑥 + 2
→ 𝑥 + 6 𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3, 𝑥 = −6
𝑦 = 18 − 3𝑥
→ 𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = 2, 𝑥 = −1
Punto de intersección en el primer cuadrante: 𝐴(2; 4)
𝛼 = 𝛾 : 𝑥2= 18 − 3𝑥
Punto de intersección en el primer cuadrante : 𝐵(3; 9)
𝛽 = 𝛾 : 𝑥 + 2 = 18 − 3𝑥 → 4𝑥 = 16 → 𝑥 = 4
Punto de intersección en el primer cuadrante : 𝐶(4; 6)
(Pág. 77 - 14e)
La región está limitada por las gráficas de las curvas
Para determinar los puntos de intersección de las curvas, debemos resolver el sistema:
൞
𝑦 = 𝑥2 ⋯ 𝛼
𝑦 = 𝑥 + 2 ⋯ 𝛽
𝑦 = 18 − 3𝑥 ⋯ 𝛾
4
Solución.
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17. Gráfica de la región:
ℛ
Área ℛ = න
2
3
𝑥2
− (𝑥 + 2) 𝑑𝑥 + න
3
4
(18 − 3𝑥) − (𝑥 + 2) 𝑑𝑥
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19. Un terreno tiene la forma de la región ℛ ubicada en el primer cuadrante y está
limitada por las gráficas de
, 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑥 = 0
𝛼 = 𝛽 :
135
2𝑥+1
= 𝑥 + 2 → 135 = 𝑥 + 2 2𝑥 + 1 = 0 → 2𝑥2 + 5𝑥 − 133 = 0
Punto de intersección: 𝐴(7; 9)
a) Grafique la región ℛ.
b) Si el área del terreno se mide en metros cuadrados, calcule dicha área. Presente su
respuesta con dos cifras decimales.
c) Si el valor del metro cuadrado del terreno es de 1000 dólares, calcule el valor del
terreno.
→ 2𝑥 + 19 𝑥 − 7 = 0 → 𝑥 = 7, 𝑥 = −9,5
(Examen final 2018-2)
𝑦 =
135
2𝑥 + 1
Para determinar los puntos de intersección de las curvas,
debemos resolver el sistema:
𝑦 =
135
2𝑥 + 1
⋯ 𝛼
𝑦 = 𝑥 + 2 ⋯ 𝛽
𝑥 = 0 ⋯ 𝛾
5
Solución.
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20. a) Gráfica de la región ℛ
7
Área ℛ = න
0
7
135
2𝑥 + 1
− (𝑥 + 2) 𝑑𝑥
ℛ
b) El área del terreno se calcula mediante la integral:
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21. Área ℛ = න
0
7
135
2𝑥 + 1
− (𝑥 + 2) 𝑑𝑥
= อ
135
2
𝑙𝑛 2𝑥 + 1 −
𝑥2
2
− 2𝑥
0
7
b) El área del terreno se calcula mediante la integral:
El área del terreno es aproximadamente de 144,29 𝑚2
.
c) El valor del terreno es aproximadamente de 144290 dólares.
≈ 144,29 𝑚2
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22. Al construir el croquis de un terreno, se ha determinado que tiene la forma de
la región ℛ que está limitada por las gráficas de la funciones
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 10𝑥 + 22 y 𝑔 𝑥 = −𝑥2
+ 8𝑥 − 6.
𝛼 = 𝛽 : 𝑥2
−10𝑥 + 22 = −𝑥2
+ 8𝑥 − 6 → 2(𝑥2
− 9𝑥 + 14) = 0
Puntos de intersección: 𝐴 2; 6 , 𝐵(7; 1)
a) Grafique ambas funciones y sombree la región ℛ.
b) Mediante integrales, calcule el área del terreno.
c) Si 𝑥 se mide en metros y un metro cuadrado vale 1000 dólares, calcule el valor
del terreno.
→ 2 𝑥 − 2 𝑥 − 7 = 0
(Examen final 2019-0)
Para determinar los puntos de intersección de las curvas, debemos resolver el sistema:
൝
𝑦 = 𝑥2
− 10𝑥 + 22 ⋯ (𝛼)
𝑦 = −𝑥2
+ 8𝑥 − 6 ⋯ (𝛽)
6
Solución.
→ 𝑥 = 2, 𝑥 = 7
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23. a) Gráfica de la región ℛ
ℛ
1
Área ℛ = න
2
7
−𝑥2
+ 8𝑥 − 6 − (𝑥2
− 10𝑥 + 22) 𝑑𝑥
b) El área del terreno se calcula mediante la integral:
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24. Área ℛ = න
2
7
−𝑥2
+ 8𝑥 − 6 − (𝑥2
− 10𝑥 + 22) 𝑑𝑥
= อ
−
2𝑥3
3
+ 9𝑥2
− 28𝑥
2
7
=
125
3
= 41,667 𝑚2
b) El área del terreno se calcula mediante la integral:
El área del terreno es de
125
3
𝑚2
.
c) El valor del terreno es de
125000
3
dólares.
= න
2
7
−2𝑥2
+ 18𝑥 − 28 𝑑𝑥
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25. La figura muestra el croquis de un terreno
que tiene la forma de la región ℛ del
primer cuadrante, que está limitada por las
gráficas de la funciones
𝑓 𝑥 = 8𝑥 + 3 y 𝑔 𝑥 = 36 − 𝑥2
.
a) Si las medidas están en metros, utilice
integrales para calcular el área de la región
sombreada ℛ.
b) Si el valor de un metro cuadrado de este
terreno es de 1200 dólares, calcule el valor
del terreno.
ℛ
(Examen final 2019-1)
7
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26. 𝛼 = 𝛽 : 8𝑥 + 3 = 36 − 𝑥2
→ 𝑥2
+ 8𝑥 − 33 = 0
Punto de intersección en el primer
cuadrante: 𝐴 3; 27
→ 𝑥 + 11 𝑥 − 3 = 0
Gráfica de la región ℛ
𝑥 = −11, 𝑥 = 3
Para determinar los puntos de intersección de
las curvas, debemos resolver el sistema:
ቊ
𝑦 = 8𝑥 + 3 ⋯ (𝛼)
𝑦 = 36 − 𝑥2
⋯ (𝛽)
Solución.
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27. a) De acuerdo a la figura, el área de la región se
calcula como:
Área ℛ = න
0
3
(8𝑥 + 3) − 0 𝑑𝑥 + න
3
6
(36 − 𝑥2
) − 0 𝑑𝑥
Gráfica de la región ℛ
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28. a) De acuerdo a la figura, el área de la región se calcula como:
El área de la región ℛ es terreno es de 90 𝑚2
.
b) Como un metro cuadrado tiene un costo de 1200 dólares , el valor del terreno
será de 108000 dólares.
Área ℛ = න
0
3
(8𝑥 + 3) − 0 𝑑𝑥 + න
3
6
(36 − 𝑥2
) − 0 𝑑𝑥
= ቚ
4𝑥2
+ 3𝑥
0
3
+ 36𝑥 −
𝑥3
3 3
6
= 36 + 9 − 0 + 216 − 72 − 108 − 9 = 90 𝑚2
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