1.
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (
►Με 0 και 1
α α
> ≠ ισχύει: 1 2
2 1
x x
x x
α α
= ⇒ =
(Λέμε ότι η εκθετική συνάρτηση ( ) x
f x α
= είναι 1-1 διαβάζουμε «ένα προς ένα»)
Απόδειξη:
Θα κάνουμε την απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο.Θα θεωρήσουμε ότι α>1.Η απόδειξη είναι παρόμοια
και για 0<α<1
►Εστω ότι 1 2
x x
α α
= .
Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει 1 2
x x
= .
Τότε θα ισχύει ή 1 2
x x
< ή 1 2
x x
> .
● Αν όμως ίσχυε 1 2
x x
< , τότε επειδή η συνάρτηση ( ) x
f x α
= για α>1 είναι γνησίως αύξουσα, θα
έχουμε ότι 1 2
x x
α α
< που έρχεται σε αντίθεση με τα δεδομένα ( 1 2
x x
α α
= ) (άτοπο).
● Αν ίσχυε ότι 1 2
x x
> τότε επειδή η συνάρτηση ( ) x
f x α
= για α>1 είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε
ότι 1 2
x x
α α
> που επίσης έρχεται σε αντίθεση με τα δεδομένα ( 1 2
x x
α α
= ) (άτοπο).
Φτάσαμε σε άτοπο επειδή υποθέσαμε ότι δεν ισχύει 1 2
x x
= .Αρα τελικά 1 2
x x
= .
Επειδή η 1
( ) x
f x α
= είναι συνάρτηση έχουμε και 1 2
2 1
x x
x x α α
= ⇒ = οπότε τελικά την ισοδυναμία
1 2
2 1
x x
x x
α α
= ⇔ =
►Να λυθούν οι εξισώσεις:
Υπόδειξη : Προσπαθούμε και στα δύο μέλη να δημιουργήσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση και μετά
εξισώνουμε σύμφωνα με την πιο πάνω ιδιότητα τους εκθέτες.
Χρήσιμα:
1
ν
ν
α
α
−
=
ν ν
α β
β α
−
   
=  
 
 
 
5 1 7
3 3
x x
− +
= ⇔ (Απ :x=2)
Α2 i) 2 64
x
= ⇔ .... (Απ :x=6)
(προσθήκη μου) 2 4
x
=
− ⇔ ....
ii)
1 1
2 8
x
 
= ⇔
 
 
.... (Απ :x=3iii)
1
4
2
x
 
= ⇔
 
 
.... (Απ :x= -2)
4/20
https://newteambigbrains.blogspot.com/ 1

2.
iv)
1
3
81
x
−
= ⇔ .... (Απ :x=4)
v)
3 64
4 27
x
 
= ⇔
 
 
.... (Απ :x = -3)
vi)
4 1
27 9
x x+
= ⇔ .... (Απ :
1
5
x = )
]vii)
1
32 16
x x
−
= ⇔ .... (Απ :
4
9
x = )
viii)
2
2
3 1
x x
− −
= ⇔ .... (Απ :x=2 ή x = -1)
A3. Να λύσετε τις εξισώσεις:
i)
2 1
2 4 2 0
x x
+
− ⋅ = ⇔ (Απ :x = 1)
ii) 2 4 5 2 2 0
x x
⋅ − ⋅ + = ⇔ (Απ :x=1 ή x = -1)
iii)
2 1
3 26 3 9 0
x x
+
− ⋅ − = ⇔ SOS 0
x
α > (Απ : x = 2)
Α5. Να λύσετε τα συστήματα:
i)
2 1 4 1
2 1
8 32 4
5 5 5
x y
x y y
+ −
− +
 = ⋅


⋅ =


Απ :
0
0
x
y
=
=



ii)
3 2 11
3 2 7
x y
x y
 + =


− =


Απ :
2
1
x
y
=
=



4/20
https://newteambigbrains.blogspot.com/ 2