SlideShare a Scribd company logo
1 of 20
Download to read offline
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr
Μάρκος Βασίλης
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Οι βασικές ταυτότητες
Ας θυμηθούμε τις βασικές ταυτότητες που είδαμε στο γυμνάσιο:
I (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
I (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
I (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
I (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
I a2 − b2 = (a + b)(a − b)
I (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Δύο νέες ταυτότητες
I a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).
Απόδειξη
΄Εχουμε:
(a − b)(a2
+ ab + b2
) = a3
+ a2
b + ab2
− a2
b − ab2
− b3
= a3
− b3
.
I a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2).
Απόδειξη
΄Εχουμε:
(a + b)(a2
− ab + b2
) = a3
− a2
b + ab2
+ a2
b − ab2
+ b3
= a3
+ b3
.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Δευτεροβάθμιες εξισώσεις
Για μία δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής:
αx2
+ βx + γ = 0, α 6= 0,
ονομάζουμε διακρίνουσα την παράσταση ∆ = β2 − 4αγ και:
I Αν ∆ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές
πραγματικές ρίζες (λύσεις) που δίνονται από τη σχέση:
x1,2 =
−β ±
√
∆
2α
.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Δευτεροβάθμιες εξισώσεις
I Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα
(λύση) που δίνεται από τη σχέση:
x = −
β
2α
.
I Αν ∆ < 0 η εξίσωση δεν έχει καμία πραγματική ρίζα
(λύση).
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Παραδείγματα
I Για την εξίσωση x2 − 3x + 2 = 0 έχουμε α = 1, β = −3,
γ = 2 και:
∆ = β2
− 4αγ = 9 − 8 = 1 > 0.
΄Αρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις:
x1,2 =
−β ±
√
∆
2α
=
3 ± 1
2
= 2 ή 1.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Παραδείγματα
I Για την εξίσωση 9x2 − 6x + 1 = 0 έχουμε α = 9, β = −6,
γ = 1 και:
∆ = β2
− 4αγ = 36 − 36 = 0,
άρα η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα, την:
x = −
β
2α
= −
−6
18
=
6
18
=
1
3
.
I Για την εξίσωση −2x2 + x − 3 = 0 έχουμε α = −2, β = 1,
γ = −3 και:
∆ = β2
− 4αγ = 1 − 4(−2)(−3) = −23 < 0,
άρα η εξίσωση δεν έχει καμία πραγματική ρίζα.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Ορισμός;
Η αλήθεια είναι ότι τα σύνολα για τα μαθηματικά αποτελούν
αυτό που λέμε αρχική έννοια, δηλαδή, δεν ορίζονται σαφώς με
κάποιον αυστηρό ορισμό, αλλά περιγράφονται μέσα από τις
ιδιότητές τους. Ωστόσο, μπορούμε, «χαλαρά», να έχουμε στο
μυαλό μας τα σύνολα ως συλλογές αντικειμένων που,
ενδεχομένως περιγράφονται από κάποια ιδιότητα.
Παράδειγμα
Η συλλογή Φ όλων των φωνηέντων του ελληνικού αλφαβήτου
είναι ένα σύνολο.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Αναπαράσταση συνόλων
I Με αναγραφή: Καταγράφουμε όλα τα στοιχεία του
συνόλου μέσα σε «μουστάκια» — {·}:
A = {−2, 3, 6, 9, 0}.
Πολλές φορές χρησιμοποιούμε «αναγραφή» για σύνολα με
άπειρα στο πλήθος στοιχεία, όταν είναι ευνότητο ποια είναι
αυτά:
B = {2, 4, 6, 8, . . .}.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Αναπαράσταση συνόλων
I Με περιγραφή: Παρουσιάζουμε όλα τα στοιχεία μέσω
κοινών χαρακτηριστικών ιδιοτήτων τους:
B = {x : x άρτιος και θετικός}.
Παρατήρηση
Το σύμβολο : διαβάζεται «τέτοιο/έτσι ώστε» και πολλές φορές
χρησιμοποιούμε το σύμβολο | αντί για αυτό:
B = {x | x άρτιος και θετικός}.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Ανήκειν και περιέχεσθαι
Ορίζουμε δύο σχέσεις σχετικές με τα σύνολα:
I τη σχέση του ανήκειν που θα τη συμβολίζουμε με ∈ και
υποδηλώνει ότι το αριστερό μέλος ανήκει στο δεξί:
3 ∈ {1, −4, 5, 2, 3, 7},
5 ∈ {a : a περιττός}.
I τη σχέση του περιέχεσθαι που θα τη συμβολίζουμε ⊆ και
υποδηλώνει ότι τα στοιχεία του αριστερού μέλους ανήκουν
στο δεξί και λέμε ότι το αριστερό μέλος είναι υποσύνολο του
δεξιού:
{1, 2, 3} ⊆ {0, 3, −1, 2, 6}.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Το «σύμπαν»
Από εδώ και στο εξής θα θεωρούμε ότι όλα τα σύνολα στα
οποία αναφερόμαστε θεωρούμε ότι «ζουν» μέσα σε ένα
μεγαλύτερο «σύμπαν» το οποίο θα ονομάζουμε αρχικό σύνολο
και συνήθως θα συμβολίζουμε με Ω.
Δηλαδή, κάθε σύνολο A θα θεωρούμε ότι είναι υποσύνολο του
αρχικού συνόλου Ω, δηλαδή A ⊆ Ω.
Παρατήρηση
Σε ό,τι αφορά την ύλη μας, τις περισσότερες φορές το σύνολο Ω
θα είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Επώνυμα σύνολα
Θα χρησιμοποιούμε τα εξής σύμβολα για τα παρακάτω σύνολα:
I ∅, για το κενό σύνολο — το σύνολο που δεν περιέχει
κανένα στοιχείο.
I N, για το σύνολο των φυσικών αριθμών, N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
I Z, για το σύνολο των ακεραίων αριθμών,
Z = {0, ±1, ±2, . . .}.
I Q, για το σύνολο των ρητών αριθμών,
Q =
nµ
ν
: µ ∈ Z, ν ∈ N, ν 6= 0, μκδ(µ, ν) = 1
o
.
I R, για το σύνολο των παραγματικών αριθμών.
Παρατήρηση
Η συνθήκη μκδ(µ, ν) = 1 εξασφαλίζει ότι το κλάσμα µ
ν = 1 είναι
ανάγωγο.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Πράξεις μεταξύ συνόλων
I Τομή: A ∩ B = {x ∈ Ω : x ∈ A και x ∈ B}.
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Πράξεις μεταξύ συνόλων
I ΄Ενωση: A ∪ B = {x ∈ Ω : x ∈ A ή x ∈ B}.
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Πράξεις μεταξύ συνόλων
I Διαφορά: A − B = {x ∈ Ω : x ∈ A και x 6∈ B}.
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Πράξεις μεταξύ συνόλων
I Συμπλήρωμα: A0 = {x ∈ Ω : x 6∈ A}.
Ω
A
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Παραδείγματα
I Το διάγραμμα Venn για το (A ∪ B)0 είναι το εξής:
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Παραδείγματα
I Το διάγραμμα Venn για το A ∪ B0 είναι το εξής:
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Παραδείγματα
Ας πάρουμε δύο σύνολα A = {0, 1, 2, 3, 7} και B = {−2, 4, 1, 6, 7}
και ας πάρουμε για σύμπαν το σύνολο Ω = {−3, −2, . . . , 11}.
Τότε:
I A ∪ B = {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7},
I A ∩ B = {1, 7},
I A − B = {0, 2, 3},
I B − A = {−2, 4, 6},
I A0 = {−3, −2, −1, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11}.
Παρατήρηση
Το συμπλήρωμα θα μπορούσαμε να το εκφράσουμε και ως
A0 = Ω − A αφού παίρνουμε ακριβώς τα στοιχεία του Ω που δεν
ανήκουν στο A.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου

More Related Content

What's hot

Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΕρωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΜάκης Χατζόπουλος
 
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητες
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητεςΓραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητες
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητεςΜάκης Χατζόπουλος
 
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17Μάκης Χατζόπουλος
 
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019Μάκης Χατζόπουλος
 
κυριακόπουλος ολοκληρώματα
κυριακόπουλος  ολοκληρώματακυριακόπουλος  ολοκληρώματα
κυριακόπουλος ολοκληρώματαgorgiakourtesi
 
Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου
Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίουΑπαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου
Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίουΜάκης Χατζόπουλος
 
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)Δημήτρης Μοσχόπουλος
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]Μάκης Χατζόπουλος
 
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015Christos Loizos
 
μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)
μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)
μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)Christos Loizos
 
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ ΛυκείουΧρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικώνΧριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικώνBillonious
 

What's hot (20)

Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΕρωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
 
ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ
 
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητες
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητεςΓραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητες
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητες
 
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
 
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
 
κυριακόπουλος ολοκληρώματα
κυριακόπουλος  ολοκληρώματακυριακόπουλος  ολοκληρώματα
κυριακόπουλος ολοκληρώματα
 
Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου
Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίουΑπαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου
Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου
 
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
 
Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη
 
Typologio 2003
Typologio 2003Typologio 2003
Typologio 2003
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
 
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
 
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
 
Bg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_telikoBg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_teliko
 
μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)
μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)
μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)
 
Πεδίο ορισμού της παραγώγου
Πεδίο ορισμού της παραγώγουΠεδίο ορισμού της παραγώγου
Πεδίο ορισμού της παραγώγου
 
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ ΛυκείουΧρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
 
Synedrio parousiash v5
Synedrio parousiash v5Synedrio parousiash v5
Synedrio parousiash v5
 
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικώνΧριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
 

Similar to Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 1ο

Γ Γυμνασίου παράγρ 1.2 -1.5 σχ. έτος 2014 15
Γ Γυμνασίου παράγρ 1.2 -1.5 σχ. έτος 2014 15Γ Γυμνασίου παράγρ 1.2 -1.5 σχ. έτος 2014 15
Γ Γυμνασίου παράγρ 1.2 -1.5 σχ. έτος 2014 15Μάκης Χατζόπουλος
 
Οι διαφάνειες των πρώτων έξι (6) μαθημάτων στις συναρτήσεις
Οι διαφάνειες των πρώτων έξι (6) μαθημάτων στις συναρτήσειςΟι διαφάνειες των πρώτων έξι (6) μαθημάτων στις συναρτήσεις
Οι διαφάνειες των πρώτων έξι (6) μαθημάτων στις συναρτήσειςVassilis Markos
 
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησειςα' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησειςΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdfΓέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdfΓιάννης Πλατάρος
 
Eisigisi - Διδασκαλία Μαθηματικών με Η/Υ
Eisigisi - Διδασκαλία Μαθηματικών με Η/ΥEisigisi - Διδασκαλία Μαθηματικών με Η/Υ
Eisigisi - Διδασκαλία Μαθηματικών με Η/ΥA Z
 
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15Μάκης Χατζόπουλος
 
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
ThemataeisagwgikwnmathimatikwnThemataeisagwgikwnmathimatikwn
ThemataeisagwgikwnmathimatikwnChristos Loizos
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Christos Loizos
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Μάκης Χατζόπουλος
 
α 2 πολυωνυμα προσθεση αφαιρεση
α 2 πολυωνυμα προσθεση αφαιρεσηα 2 πολυωνυμα προσθεση αφαιρεση
α 2 πολυωνυμα προσθεση αφαιρεσηΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
Α 1.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ
Α 1.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗΑ 1.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ
Α 1.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFMBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFPETER638359
 
β΄ γυμνασίου χρωματιστό
β΄ γυμνασίου χρωματιστόβ΄ γυμνασίου χρωματιστό
β΄ γυμνασίου χρωματιστόThemis Vakrinas
 
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021Μάκης Χατζόπουλος
 
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15gorgiakourtesi
 

Similar to Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 1ο (20)

Γ Γυμνασίου παράγρ 1.2 -1.5 σχ. έτος 2014 15
Γ Γυμνασίου παράγρ 1.2 -1.5 σχ. έτος 2014 15Γ Γυμνασίου παράγρ 1.2 -1.5 σχ. έτος 2014 15
Γ Γυμνασίου παράγρ 1.2 -1.5 σχ. έτος 2014 15
 
Οι διαφάνειες των πρώτων έξι (6) μαθημάτων στις συναρτήσεις
Οι διαφάνειες των πρώτων έξι (6) μαθημάτων στις συναρτήσειςΟι διαφάνειες των πρώτων έξι (6) μαθημάτων στις συναρτήσεις
Οι διαφάνειες των πρώτων έξι (6) μαθημάτων στις συναρτήσεις
 
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησειςα' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
α' λυκειου θεωρια παραδειγματα-ασκησεις
 
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdfΓέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdf
 
Eisigisi - Διδασκαλία Μαθηματικών με Η/Υ
Eisigisi - Διδασκαλία Μαθηματικών με Η/ΥEisigisi - Διδασκαλία Μαθηματικών με Η/Υ
Eisigisi - Διδασκαλία Μαθηματικών με Η/Υ
 
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
 
πραξεις.pdf
πραξεις.pdfπραξεις.pdf
πραξεις.pdf
 
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
ThemataeisagwgikwnmathimatikwnThemataeisagwgikwnmathimatikwn
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
 
G gymnasioy 2014_τελικο
G  gymnasioy 2014_τελικοG  gymnasioy 2014_τελικο
G gymnasioy 2014_τελικο
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
 
α 2 πολυωνυμα προσθεση αφαιρεση
α 2 πολυωνυμα προσθεση αφαιρεσηα 2 πολυωνυμα προσθεση αφαιρεση
α 2 πολυωνυμα προσθεση αφαιρεση
 
Α 1.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ
Α 1.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗΑ 1.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ
Α 1.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ
 
Ggumnasiou2007
Ggumnasiou2007Ggumnasiou2007
Ggumnasiou2007
 
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
 
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
 
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFMBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
 
β΄ γυμνασίου χρωματιστό
β΄ γυμνασίου χρωματιστόβ΄ γυμνασίου χρωματιστό
β΄ γυμνασίου χρωματιστό
 
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021
 
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
 

More from Vassilis Markos

Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 4ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 4οΣτατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 4ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 4οVassilis Markos
 
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 3ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 3οΣτατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 3ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 3οVassilis Markos
 
Στατιστική - Διαφάνεις - Μάθημα 2ο
Στατιστική - Διαφάνεις - Μάθημα 2οΣτατιστική - Διαφάνεις - Μάθημα 2ο
Στατιστική - Διαφάνεις - Μάθημα 2οVassilis Markos
 
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 1ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 1οΣτατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 1ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 1οVassilis Markos
 
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 29ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 29οΆλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 29ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 29οVassilis Markos
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 29ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 29οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 29ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 29οVassilis Markos
 
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 28οΆλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 28οVassilis Markos
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28οVassilis Markos
 
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 27ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 27οΆλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 27ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 27οVassilis Markos
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθμα 27ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθμα 27οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθμα 27ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθμα 27οVassilis Markos
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 3ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 3οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 3ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 3οVassilis Markos
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)Vassilis Markos
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 5ο (Συναρτήσεις «1-1»)
Συναρτήσεις - Μάθημα 5ο (Συναρτήσεις «1-1»)Συναρτήσεις - Μάθημα 5ο (Συναρτήσεις «1-1»)
Συναρτήσεις - Μάθημα 5ο (Συναρτήσεις «1-1»)Vassilis Markos
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 4ο (Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 4ο (Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων)Συναρτήσεις - Μάθημα 4ο (Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 4ο (Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων)Vassilis Markos
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 3ο (Σύνθεση και γραφική παράσταση συναρτησεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 3ο (Σύνθεση και γραφική παράσταση συναρτησεων)Συναρτήσεις - Μάθημα 3ο (Σύνθεση και γραφική παράσταση συναρτησεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 3ο (Σύνθεση και γραφική παράσταση συναρτησεων)Vassilis Markos
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 2ο (Σύνθεση και διάταξη συναρτήσεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 2ο (Σύνθεση και διάταξη συναρτήσεων)Συναρτήσεις - Μάθημα 2ο (Σύνθεση και διάταξη συναρτήσεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 2ο (Σύνθεση και διάταξη συναρτήσεων)Vassilis Markos
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))Vassilis Markos
 

More from Vassilis Markos (17)

Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 4ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 4οΣτατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 4ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 4ο
 
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 3ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 3οΣτατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 3ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 3ο
 
Στατιστική - Διαφάνεις - Μάθημα 2ο
Στατιστική - Διαφάνεις - Μάθημα 2οΣτατιστική - Διαφάνεις - Μάθημα 2ο
Στατιστική - Διαφάνεις - Μάθημα 2ο
 
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 1ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 1οΣτατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 1ο
Στατιστική - Διαφάνειες - Μάθημα 1ο
 
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 29ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 29οΆλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 29ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 29ο
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 29ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 29οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 29ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 29ο
 
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 28οΆλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 28ο
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
 
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 27ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 27οΆλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 27ο
Άλγεβρα - Β' Λυκείου - Μάθημα 27ο
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθμα 27ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθμα 27οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθμα 27ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθμα 27ο
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 3ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 3οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 3ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 3ο
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 5ο (Συναρτήσεις «1-1»)
Συναρτήσεις - Μάθημα 5ο (Συναρτήσεις «1-1»)Συναρτήσεις - Μάθημα 5ο (Συναρτήσεις «1-1»)
Συναρτήσεις - Μάθημα 5ο (Συναρτήσεις «1-1»)
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 4ο (Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 4ο (Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων)Συναρτήσεις - Μάθημα 4ο (Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 4ο (Μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων)
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 3ο (Σύνθεση και γραφική παράσταση συναρτησεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 3ο (Σύνθεση και γραφική παράσταση συναρτησεων)Συναρτήσεις - Μάθημα 3ο (Σύνθεση και γραφική παράσταση συναρτησεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 3ο (Σύνθεση και γραφική παράσταση συναρτησεων)
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 2ο (Σύνθεση και διάταξη συναρτήσεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 2ο (Σύνθεση και διάταξη συναρτήσεων)Συναρτήσεις - Μάθημα 2ο (Σύνθεση και διάταξη συναρτήσεων)
Συναρτήσεις - Μάθημα 2ο (Σύνθεση και διάταξη συναρτήσεων)
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
 

Recently uploaded

Ταξίδι στα Γεωγραφικά Διαμερίσματα Ελλάδας.pptx
Ταξίδι στα Γεωγραφικά Διαμερίσματα Ελλάδας.pptxΤαξίδι στα Γεωγραφικά Διαμερίσματα Ελλάδας.pptx
Ταξίδι στα Γεωγραφικά Διαμερίσματα Ελλάδας.pptxΟΛΓΑ ΤΣΕΧΕΛΙΔΟΥ
 
metatheseis_deyterobathmias_ekpaideysis.pdf
metatheseis_deyterobathmias_ekpaideysis.pdfmetatheseis_deyterobathmias_ekpaideysis.pdf
metatheseis_deyterobathmias_ekpaideysis.pdfssuser5750e1
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη
 
Κυπροαρχαϊκή περίοδος ιστορία κοινου κορμού α λυκείου
Κυπροαρχαϊκή περίοδος ιστορία κοινου κορμού α λυκείουΚυπροαρχαϊκή περίοδος ιστορία κοινου κορμού α λυκείου
Κυπροαρχαϊκή περίοδος ιστορία κοινου κορμού α λυκείουEleni Dimopoulou
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptxMARIAPSARROU4
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36dimperist
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx7gymnasiokavalas
 
Η δική μας θεατρική παράσταση
Η δική μας             θεατρική παράστασηΗ δική μας             θεατρική παράσταση
Η δική μας θεατρική παράστασηDimitra Mylonaki
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
Ο εθνικός διχασμός (1915-1922) α. Από την παραίτηση του Βενιζέλου έως τη Συνθ...
Ο εθνικός διχασμός (1915-1922) α. Από την παραίτηση του Βενιζέλου έως τη Συνθ...Ο εθνικός διχασμός (1915-1922) α. Από την παραίτηση του Βενιζέλου έως τη Συνθ...
Ο εθνικός διχασμός (1915-1922) α. Από την παραίτηση του Βενιζέλου έως τη Συνθ...MyrsiniChliaoutaki
 
εξεταστικά κέντρα πανελλαδικών του 2024.pdf
εξεταστικά κέντρα πανελλαδικών του 2024.pdfεξεταστικά κέντρα πανελλαδικών του 2024.pdf
εξεταστικά κέντρα πανελλαδικών του 2024.pdfSteliosTheodorou4
 
metatheseis_protovathmias_ekpaideusis.pdf
metatheseis_protovathmias_ekpaideusis.pdfmetatheseis_protovathmias_ekpaideusis.pdf
metatheseis_protovathmias_ekpaideusis.pdfssuser5750e1
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΔήμητρα Τζίνου
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxActforclimate
 
Ομάδες τροφίμων, μάθημα Οικιακής Οικονομίας.ppsx
Ομάδες τροφίμων, μάθημα Οικιακής Οικονομίας.ppsxΟμάδες τροφίμων, μάθημα Οικιακής Οικονομίας.ppsx
Ομάδες τροφίμων, μάθημα Οικιακής Οικονομίας.ppsxChristinaMoukata1
 

Recently uploaded (15)

Ταξίδι στα Γεωγραφικά Διαμερίσματα Ελλάδας.pptx
Ταξίδι στα Γεωγραφικά Διαμερίσματα Ελλάδας.pptxΤαξίδι στα Γεωγραφικά Διαμερίσματα Ελλάδας.pptx
Ταξίδι στα Γεωγραφικά Διαμερίσματα Ελλάδας.pptx
 
metatheseis_deyterobathmias_ekpaideysis.pdf
metatheseis_deyterobathmias_ekpaideysis.pdfmetatheseis_deyterobathmias_ekpaideysis.pdf
metatheseis_deyterobathmias_ekpaideysis.pdf
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
 
Κυπροαρχαϊκή περίοδος ιστορία κοινου κορμού α λυκείου
Κυπροαρχαϊκή περίοδος ιστορία κοινου κορμού α λυκείουΚυπροαρχαϊκή περίοδος ιστορία κοινου κορμού α λυκείου
Κυπροαρχαϊκή περίοδος ιστορία κοινου κορμού α λυκείου
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
 
Η δική μας θεατρική παράσταση
Η δική μας             θεατρική παράστασηΗ δική μας             θεατρική παράσταση
Η δική μας θεατρική παράσταση
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
Ο εθνικός διχασμός (1915-1922) α. Από την παραίτηση του Βενιζέλου έως τη Συνθ...
Ο εθνικός διχασμός (1915-1922) α. Από την παραίτηση του Βενιζέλου έως τη Συνθ...Ο εθνικός διχασμός (1915-1922) α. Από την παραίτηση του Βενιζέλου έως τη Συνθ...
Ο εθνικός διχασμός (1915-1922) α. Από την παραίτηση του Βενιζέλου έως τη Συνθ...
 
εξεταστικά κέντρα πανελλαδικών του 2024.pdf
εξεταστικά κέντρα πανελλαδικών του 2024.pdfεξεταστικά κέντρα πανελλαδικών του 2024.pdf
εξεταστικά κέντρα πανελλαδικών του 2024.pdf
 
metatheseis_protovathmias_ekpaideusis.pdf
metatheseis_protovathmias_ekpaideusis.pdfmetatheseis_protovathmias_ekpaideusis.pdf
metatheseis_protovathmias_ekpaideusis.pdf
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
 
Ομάδες τροφίμων, μάθημα Οικιακής Οικονομίας.ppsx
Ομάδες τροφίμων, μάθημα Οικιακής Οικονομίας.ppsxΟμάδες τροφίμων, μάθημα Οικιακής Οικονομίας.ppsx
Ομάδες τροφίμων, μάθημα Οικιακής Οικονομίας.ppsx
 

Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 1ο

  • 1. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 2. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Υπενθύμιση από το γυμνάσιο Οι βασικές ταυτότητες Ας θυμηθούμε τις βασικές ταυτότητες που είδαμε στο γυμνάσιο: I (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 I (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 I (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 I (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 I a2 − b2 = (a + b)(a − b) I (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 3. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Υπενθύμιση από το γυμνάσιο Δύο νέες ταυτότητες I a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2). Απόδειξη ΄Εχουμε: (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 + a2 b + ab2 − a2 b − ab2 − b3 = a3 − b3 . I a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2). Απόδειξη ΄Εχουμε: (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 − a2 b + ab2 + a2 b − ab2 + b3 = a3 + b3 . g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 4. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Υπενθύμιση από το γυμνάσιο Δευτεροβάθμιες εξισώσεις Για μία δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής: αx2 + βx + γ = 0, α 6= 0, ονομάζουμε διακρίνουσα την παράσταση ∆ = β2 − 4αγ και: I Αν ∆ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες (λύσεις) που δίνονται από τη σχέση: x1,2 = −β ± √ ∆ 2α . g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 5. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Υπενθύμιση από το γυμνάσιο Δευτεροβάθμιες εξισώσεις I Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα (λύση) που δίνεται από τη σχέση: x = − β 2α . I Αν ∆ < 0 η εξίσωση δεν έχει καμία πραγματική ρίζα (λύση). g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 6. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Υπενθύμιση από το γυμνάσιο Παραδείγματα I Για την εξίσωση x2 − 3x + 2 = 0 έχουμε α = 1, β = −3, γ = 2 και: ∆ = β2 − 4αγ = 9 − 8 = 1 > 0. ΄Αρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις: x1,2 = −β ± √ ∆ 2α = 3 ± 1 2 = 2 ή 1. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 7. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Υπενθύμιση από το γυμνάσιο Παραδείγματα I Για την εξίσωση 9x2 − 6x + 1 = 0 έχουμε α = 9, β = −6, γ = 1 και: ∆ = β2 − 4αγ = 36 − 36 = 0, άρα η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα, την: x = − β 2α = − −6 18 = 6 18 = 1 3 . I Για την εξίσωση −2x2 + x − 3 = 0 έχουμε α = −2, β = 1, γ = −3 και: ∆ = β2 − 4αγ = 1 − 4(−2)(−3) = −23 < 0, άρα η εξίσωση δεν έχει καμία πραγματική ρίζα. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 8. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Ορισμός; Η αλήθεια είναι ότι τα σύνολα για τα μαθηματικά αποτελούν αυτό που λέμε αρχική έννοια, δηλαδή, δεν ορίζονται σαφώς με κάποιον αυστηρό ορισμό, αλλά περιγράφονται μέσα από τις ιδιότητές τους. Ωστόσο, μπορούμε, «χαλαρά», να έχουμε στο μυαλό μας τα σύνολα ως συλλογές αντικειμένων που, ενδεχομένως περιγράφονται από κάποια ιδιότητα. Παράδειγμα Η συλλογή Φ όλων των φωνηέντων του ελληνικού αλφαβήτου είναι ένα σύνολο. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 9. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Αναπαράσταση συνόλων I Με αναγραφή: Καταγράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου μέσα σε «μουστάκια» — {·}: A = {−2, 3, 6, 9, 0}. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε «αναγραφή» για σύνολα με άπειρα στο πλήθος στοιχεία, όταν είναι ευνότητο ποια είναι αυτά: B = {2, 4, 6, 8, . . .}. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 10. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Αναπαράσταση συνόλων I Με περιγραφή: Παρουσιάζουμε όλα τα στοιχεία μέσω κοινών χαρακτηριστικών ιδιοτήτων τους: B = {x : x άρτιος και θετικός}. Παρατήρηση Το σύμβολο : διαβάζεται «τέτοιο/έτσι ώστε» και πολλές φορές χρησιμοποιούμε το σύμβολο | αντί για αυτό: B = {x | x άρτιος και θετικός}. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 11. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Ανήκειν και περιέχεσθαι Ορίζουμε δύο σχέσεις σχετικές με τα σύνολα: I τη σχέση του ανήκειν που θα τη συμβολίζουμε με ∈ και υποδηλώνει ότι το αριστερό μέλος ανήκει στο δεξί: 3 ∈ {1, −4, 5, 2, 3, 7}, 5 ∈ {a : a περιττός}. I τη σχέση του περιέχεσθαι που θα τη συμβολίζουμε ⊆ και υποδηλώνει ότι τα στοιχεία του αριστερού μέλους ανήκουν στο δεξί και λέμε ότι το αριστερό μέλος είναι υποσύνολο του δεξιού: {1, 2, 3} ⊆ {0, 3, −1, 2, 6}. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 12. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Το «σύμπαν» Από εδώ και στο εξής θα θεωρούμε ότι όλα τα σύνολα στα οποία αναφερόμαστε θεωρούμε ότι «ζουν» μέσα σε ένα μεγαλύτερο «σύμπαν» το οποίο θα ονομάζουμε αρχικό σύνολο και συνήθως θα συμβολίζουμε με Ω. Δηλαδή, κάθε σύνολο A θα θεωρούμε ότι είναι υποσύνολο του αρχικού συνόλου Ω, δηλαδή A ⊆ Ω. Παρατήρηση Σε ό,τι αφορά την ύλη μας, τις περισσότερες φορές το σύνολο Ω θα είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 13. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Επώνυμα σύνολα Θα χρησιμοποιούμε τα εξής σύμβολα για τα παρακάτω σύνολα: I ∅, για το κενό σύνολο — το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο. I N, για το σύνολο των φυσικών αριθμών, N = {0, 1, 2, 3, . . .}. I Z, για το σύνολο των ακεραίων αριθμών, Z = {0, ±1, ±2, . . .}. I Q, για το σύνολο των ρητών αριθμών, Q = nµ ν : µ ∈ Z, ν ∈ N, ν 6= 0, μκδ(µ, ν) = 1 o . I R, για το σύνολο των παραγματικών αριθμών. Παρατήρηση Η συνθήκη μκδ(µ, ν) = 1 εξασφαλίζει ότι το κλάσμα µ ν = 1 είναι ανάγωγο. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 14. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Πράξεις μεταξύ συνόλων I Τομή: A ∩ B = {x ∈ Ω : x ∈ A και x ∈ B}. Ω A B g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 15. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Πράξεις μεταξύ συνόλων I ΄Ενωση: A ∪ B = {x ∈ Ω : x ∈ A ή x ∈ B}. Ω A B g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 16. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Πράξεις μεταξύ συνόλων I Διαφορά: A − B = {x ∈ Ω : x ∈ A και x 6∈ B}. Ω A B g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 17. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Πράξεις μεταξύ συνόλων I Συμπλήρωμα: A0 = {x ∈ Ω : x 6∈ A}. Ω A g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 18. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Παραδείγματα I Το διάγραμμα Venn για το (A ∪ B)0 είναι το εξής: Ω A B g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 19. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Παραδείγματα I Το διάγραμμα Venn για το A ∪ B0 είναι το εξής: Ω A B g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
  • 20. Μάθημα 1ο — Επανάληψη & Σύνολα Σύνολα Παραδείγματα Ας πάρουμε δύο σύνολα A = {0, 1, 2, 3, 7} και B = {−2, 4, 1, 6, 7} και ας πάρουμε για σύμπαν το σύνολο Ω = {−3, −2, . . . , 11}. Τότε: I A ∪ B = {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}, I A ∩ B = {1, 7}, I A − B = {0, 2, 3}, I B − A = {−2, 4, 6}, I A0 = {−3, −2, −1, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11}. Παρατήρηση Το συμπλήρωμα θα μπορούσαμε να το εκφράσουμε και ως A0 = Ω − A αφού παίρνουμε ακριβώς τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο A. g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης ΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου