Μπαίνοντας στο Λύκειο, είναι μία καλή ευκαιρία να θυμηθούμε βασικές και χρήσιμες γνώσεις από το Γυμνάσιο.
Θυμάστε ποιες είναι οι βασικές αλγεβρικές ταυτότητες; Πόσο καλά τα πάτε με την παραγοντοποίηση;
Στις παραπάνω διαφάνειες, θα βρείτε επίσης και μία βασική εισαγωγή στα σύνολα και τις πράξεις τους, τις βασικές τους ιδιότητες, τα διαγράμματα Venn καθώς και μία σύντομη αναφορά στα βασικά και διάσημα σύνολα αριθμών που θα μας απασχολήσουν σε όλο το λύκειο - φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί και πραγματικοί αριθμοί.
2. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Οι βασικές ταυτότητες
Ας θυμηθούμε τις βασικές ταυτότητες που είδαμε στο γυμνάσιο:
I (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
I (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
I (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
I (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
I a2 − b2 = (a + b)(a − b)
I (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
3. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Δύο νέες ταυτότητες
I a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).
Απόδειξη
΄Εχουμε:
(a − b)(a2
+ ab + b2
) = a3
+ a2
b + ab2
− a2
b − ab2
− b3
= a3
− b3
.
I a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2).
Απόδειξη
΄Εχουμε:
(a + b)(a2
− ab + b2
) = a3
− a2
b + ab2
+ a2
b − ab2
+ b3
= a3
+ b3
.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
4. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Δευτεροβάθμιες εξισώσεις
Για μία δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής:
αx2
+ βx + γ = 0, α 6= 0,
ονομάζουμε διακρίνουσα την παράσταση ∆ = β2 − 4αγ και:
I Αν ∆ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές
πραγματικές ρίζες (λύσεις) που δίνονται από τη σχέση:
x1,2 =
−β ±
√
∆
2α
.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
5. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Δευτεροβάθμιες εξισώσεις
I Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα
(λύση) που δίνεται από τη σχέση:
x = −
β
2α
.
I Αν ∆ < 0 η εξίσωση δεν έχει καμία πραγματική ρίζα
(λύση).
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
6. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Παραδείγματα
I Για την εξίσωση x2 − 3x + 2 = 0 έχουμε α = 1, β = −3,
γ = 2 και:
∆ = β2
− 4αγ = 9 − 8 = 1 > 0.
΄Αρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις:
x1,2 =
−β ±
√
∆
2α
=
3 ± 1
2
= 2 ή 1.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
7. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Υπενθύμιση από το γυμνάσιο
Παραδείγματα
I Για την εξίσωση 9x2 − 6x + 1 = 0 έχουμε α = 9, β = −6,
γ = 1 και:
∆ = β2
− 4αγ = 36 − 36 = 0,
άρα η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα, την:
x = −
β
2α
= −
−6
18
=
6
18
=
1
3
.
I Για την εξίσωση −2x2 + x − 3 = 0 έχουμε α = −2, β = 1,
γ = −3 και:
∆ = β2
− 4αγ = 1 − 4(−2)(−3) = −23 < 0,
άρα η εξίσωση δεν έχει καμία πραγματική ρίζα.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
8. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Ορισμός;
Η αλήθεια είναι ότι τα σύνολα για τα μαθηματικά αποτελούν
αυτό που λέμε αρχική έννοια, δηλαδή, δεν ορίζονται σαφώς με
κάποιον αυστηρό ορισμό, αλλά περιγράφονται μέσα από τις
ιδιότητές τους. Ωστόσο, μπορούμε, «χαλαρά», να έχουμε στο
μυαλό μας τα σύνολα ως συλλογές αντικειμένων που,
ενδεχομένως περιγράφονται από κάποια ιδιότητα.
Παράδειγμα
Η συλλογή Φ όλων των φωνηέντων του ελληνικού αλφαβήτου
είναι ένα σύνολο.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
9. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Αναπαράσταση συνόλων
I Με αναγραφή: Καταγράφουμε όλα τα στοιχεία του
συνόλου μέσα σε «μουστάκια» — {·}:
A = {−2, 3, 6, 9, 0}.
Πολλές φορές χρησιμοποιούμε «αναγραφή» για σύνολα με
άπειρα στο πλήθος στοιχεία, όταν είναι ευνότητο ποια είναι
αυτά:
B = {2, 4, 6, 8, . . .}.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
10. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Αναπαράσταση συνόλων
I Με περιγραφή: Παρουσιάζουμε όλα τα στοιχεία μέσω
κοινών χαρακτηριστικών ιδιοτήτων τους:
B = {x : x άρτιος και θετικός}.
Παρατήρηση
Το σύμβολο : διαβάζεται «τέτοιο/έτσι ώστε» και πολλές φορές
χρησιμοποιούμε το σύμβολο | αντί για αυτό:
B = {x | x άρτιος και θετικός}.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
11. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Ανήκειν και περιέχεσθαι
Ορίζουμε δύο σχέσεις σχετικές με τα σύνολα:
I τη σχέση του ανήκειν που θα τη συμβολίζουμε με ∈ και
υποδηλώνει ότι το αριστερό μέλος ανήκει στο δεξί:
3 ∈ {1, −4, 5, 2, 3, 7},
5 ∈ {a : a περιττός}.
I τη σχέση του περιέχεσθαι που θα τη συμβολίζουμε ⊆ και
υποδηλώνει ότι τα στοιχεία του αριστερού μέλους ανήκουν
στο δεξί και λέμε ότι το αριστερό μέλος είναι υποσύνολο του
δεξιού:
{1, 2, 3} ⊆ {0, 3, −1, 2, 6}.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
12. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Το «σύμπαν»
Από εδώ και στο εξής θα θεωρούμε ότι όλα τα σύνολα στα
οποία αναφερόμαστε θεωρούμε ότι «ζουν» μέσα σε ένα
μεγαλύτερο «σύμπαν» το οποίο θα ονομάζουμε αρχικό σύνολο
και συνήθως θα συμβολίζουμε με Ω.
Δηλαδή, κάθε σύνολο A θα θεωρούμε ότι είναι υποσύνολο του
αρχικού συνόλου Ω, δηλαδή A ⊆ Ω.
Παρατήρηση
Σε ό,τι αφορά την ύλη μας, τις περισσότερες φορές το σύνολο Ω
θα είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
13. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Επώνυμα σύνολα
Θα χρησιμοποιούμε τα εξής σύμβολα για τα παρακάτω σύνολα:
I ∅, για το κενό σύνολο — το σύνολο που δεν περιέχει
κανένα στοιχείο.
I N, για το σύνολο των φυσικών αριθμών, N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
I Z, για το σύνολο των ακεραίων αριθμών,
Z = {0, ±1, ±2, . . .}.
I Q, για το σύνολο των ρητών αριθμών,
Q =
nµ
ν
: µ ∈ Z, ν ∈ N, ν 6= 0, μκδ(µ, ν) = 1
o
.
I R, για το σύνολο των παραγματικών αριθμών.
Παρατήρηση
Η συνθήκη μκδ(µ, ν) = 1 εξασφαλίζει ότι το κλάσμα µ
ν = 1 είναι
ανάγωγο.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
14. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Πράξεις μεταξύ συνόλων
I Τομή: A ∩ B = {x ∈ Ω : x ∈ A και x ∈ B}.
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
15. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Πράξεις μεταξύ συνόλων
I ΄Ενωση: A ∪ B = {x ∈ Ω : x ∈ A ή x ∈ B}.
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
16. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Πράξεις μεταξύ συνόλων
I Διαφορά: A − B = {x ∈ Ω : x ∈ A και x 6∈ B}.
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
17. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Πράξεις μεταξύ συνόλων
I Συμπλήρωμα: A0 = {x ∈ Ω : x 6∈ A}.
Ω
A
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
18. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Παραδείγματα
I Το διάγραμμα Venn για το (A ∪ B)0 είναι το εξής:
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
19. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Παραδείγματα
I Το διάγραμμα Venn για το A ∪ B0 είναι το εξής:
Ω
A B
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου
20. Μάθημα 1ο
— Επανάληψη & Σύνολα
Σύνολα
Παραδείγματα
Ας πάρουμε δύο σύνολα A = {0, 1, 2, 3, 7} και B = {−2, 4, 1, 6, 7}
και ας πάρουμε για σύμπαν το σύνολο Ω = {−3, −2, . . . , 11}.
Τότε:
I A ∪ B = {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7},
I A ∩ B = {1, 7},
I A − B = {0, 2, 3},
I B − A = {−2, 4, 6},
I A0 = {−3, −2, −1, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11}.
Παρατήρηση
Το συμπλήρωμα θα μπορούσαμε να το εκφράσουμε και ως
A0 = Ω − A αφού παίρνουμε ακριβώς τα στοιχεία του Ω που δεν
ανήκουν στο A.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Α΄ Λυκείου