1. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
И.А. Акимов, А.И. Акимов, Е.О. Каракулина
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов педвузов
Оренбург
2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. 3
Содержание
Содержание
................................................................................................................................................
3
Введение
.....................................................................................................................................................
4
1
Интегральные
уравнения
Вольтерра
.........................................................................................
7
1.1
Основные
понятия
......................................................................................................................................
7
1.2
Связь
между
линейными
дифференциальными
уравнениями
и
интегральными
уравнениями
Вольтерра
.................................................................................................................................
9
1.3
Решение
интегрального
уравнения
Вольтерра
с
помощью
резольвент
........................
12
1.4
Метод
последовательных
приближений
для
решения
интегрального
уравнения
Вольтерра
...........................................................................................................................................................
16
1.5.
Интегральные
уравнения
Вольтерра
с
интегралом
типа
свертки
...................................
19
1.6
Решение
интегро-‐дифференциальных
уравнений
с
помощью
преобразования
Лапласа
................................................................................................................................................................
25
1.7
Интегральные
уравнения
Вольтерра
с
пределами
(x, +∞)
...................................................
28
1.8
Интегральные
уравнения
Вольтерра
1-‐го
рода
.........................................................................
32
2
Уравнение
Фредгольма
2-‐го
рода
.............................................................................................
35
2.1
Основные
понятия
...................................................................................................................................
35
2.2
Метод
определителей
Фредгольма
..................................................................................................
38
2.3
Построение
резольвенты
с
помощью
итерированных
ядер
................................................
42
2.4
Интегральные
уравнения
с
вырожденным
ядром
....................................................................
52
2.5
Характеристические
числа
и
собственные
функции
..............................................................
57
2.6
Интегральные
уравнения
Фредгольма
с
ядрами,
зависящими
от
разности
аргументов
.........................................................................................................................................................
64
2.7
Решение
однородных
интегральных
уравнений
с
вырожденным
ядром
.....................
67
2.8
Неоднородные
симметричные
уравнения
...................................................................................
68
Приложение
А
Сводка
основных
методов
решения
интегральных
уравнений
......
77
Приложение
Б
Таблица
оригиналов
и
изображений
..........................................................
87
Приложение
В
Варианты
контрольных
работ
........................................................................
89
Список
использованной
литературы
........................................................................................
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. 4
Введение
1. Суммируемые функции
Функция 𝑓 𝑥 , неотрицательная на интервале 𝑎, 𝑏 , называется
суммируемой на этом интервале, если
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
!
!
конечен.
Функция 𝑓 𝑥 произвольного знака будет суммируемой на интервале
𝑎, 𝑏 тогда и только тогда, когда суммируемая функция 𝑓(𝑥) , т.е. когда
интеграл
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
!
!
имеет конечное значение.
В дальнейшем мы будем иметь дело с основным интервалом 𝐼 = (𝑎, 𝑏)
(или 𝐼! = (0, 𝑎 )) и основным квадратом Ω = 𝑎 ≤ 𝑥, 𝑡 ≤ 𝑏 (или Ω! = 0 ≤
𝑥, 𝑡 ≤ 𝑎 .
Пространство 𝑳 𝟐(𝒂, 𝒃)
Говорят, что 𝑓 𝑥 есть функция с интегрируемым квадратом на 𝑎, 𝑏 ,
если интеграл
𝑓!
(𝑥)𝑑𝑥
!
!
существует (конечен). Совокупность всех функций с интегрируемым квадратом
на 𝑎, 𝑏 обозначим 𝐿!(𝑎, 𝑏) или коротко 𝐿!.
Основные свойства функций из 𝐿!
1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть
интегрируемая функция.
2. Сумма двух функций из 𝐿! также принадлежит 𝐿!.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. 5
3. Если 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿! и λ − произвольное действительное число, то
𝜆𝑓(𝑥) ∈ 𝐿!
4. Если 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿! и 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿! , то имеет место неравенство
Буняковского – Шварца
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
!
!
!
≤ 𝑓!
(𝑥)𝑑𝑥
!
!
𝑔!
𝑥 𝑑𝑥
!
!
(1)
Скалярным произведением двух функций 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿! и 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿! , по
определению, называется число
𝑓, 𝑔 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥.
!
!
(2)
Нормой функции 𝑓(𝑥) из 𝐿! называют неотрицательное число
𝑓 = (𝑓, 𝑓) = 𝑓!(𝑥)𝑑𝑥
!
!
(3)
5. Для 𝑓 𝑥 и 𝑔 𝑥 из 𝐿! имеет место неравенство треугольника
𝑓 + 𝑔 ≤ 𝑓 + 𝑔 (4)
6. Сходимость в среднем. Пусть функция 𝑓(𝑥) и 𝑓! 𝑥 , 𝑓! 𝑥 , … , 𝑓! 𝑥 , …
квадратично суммируемы на (𝑎, 𝑏). Если
𝑓! 𝑥 − 𝑓(𝑥) !
𝑑𝑥 = 0,
!
!
то говорят, что последовательность функций 𝑓! 𝑥 , 𝑓! 𝑥 , … сходится в среднем
или, точнее, в среднем квадратичном к функции 𝑓(𝑥).
Если последовательность 𝑓!(𝑥) функций из 𝐿! сходится равномерно к 𝑓(𝑥),
𝑓(𝑥) ∈ 𝐿! и 𝑓!(𝑥) сходится к 𝑓(𝑥) в среднем.
Говорят, что последовательность 𝑓!(𝑥) функций из 𝐿! сходится в
среднем в себе, если для любого числа 𝜀 > 0 существует такое число 𝑁 > 0, что
𝑓! 𝑥 − 𝑓(𝑥) !
𝑑𝑥 ≤ 𝜀,
!
!
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 6
при 𝑛 > 𝑁 и 𝑛 > 𝑁. Иногда сходящиеся в себе последовательности называются
фундаментальными. Чтобы последовательность 𝑓!(𝑥) сходилась в среднем к
некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность
была фундаментальной. Пространство 𝐿! полно, т.е. всякая фундаментальная
последовательность функций из 𝐿! сходится к функции, также принадлежащей
𝐿!.
Две функции 𝑓(𝑥) и 𝑔 𝑥 из 𝐿!(𝑎, 𝑏) называются эквивалентными на
(𝑎, 𝑏), если 𝑓(𝑥) ≠ 𝑔 𝑥 лишь на множестве меры нуль. В этом случае говорят,
что 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 почти всюду на (𝑎, 𝑏).
Функцию 𝐹(𝑥, 𝑡) будем называть суммируемой с квадратом на
Ω = 𝑎 ≤ 𝑥, 𝑡 ≤ 𝑏 , если интеграл
𝐹!
𝑥, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑡 < +∞
!
!
.
Норма функции 𝐹(𝑥, 𝑡) в этом случае определяется равенством
𝑓 = 𝐹!(𝑥, 𝑡)
!
!
𝑑𝑥𝑑𝑡.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 7
1 Интегральные уравнения Вольтерра
1.1 Основные понятия
Уравнение
𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝜆 𝐾(𝑥, 𝑡)𝜑(𝑡)𝑑𝑡
!
!
, (1.1)
где 𝑓(𝑥), 𝐾(𝑥, 𝑡) – известные функции, 𝜑(𝑥) – искомая функция, λ –числовой
параметр, называется линейным интегральным уравнением Вольтерра 2-го
рода. Функция 𝐾(𝑥, 𝑡) называется ядром уравнения Вольтерра. Если 𝑓(𝑥) ≡ 0,
то уравнение (1.1) принимает вид
𝜑 𝑥 = 𝜆 𝐾(𝑥, 𝑡)𝜑(𝑡)𝑑𝑡
!
!
, (1.2)
и называется однородным уравнением Вольтерра 2-го рода.
Уравнение
𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)
!
!
, (1.3)
где 𝜑 𝑥 – искомая функция, называют интегральным уравнением Вольтерра 1-
го рода. Не нарушая общности, можем считать нижний предел 𝑎 равным нулю,
что мы и будем предполагать в дальнейшем.
Решением интегрального уравнения (1.1), (1.2) или (1.3) называют
функцию 𝜑 𝑥 , которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в
тождество (по 𝑥).
Пример. Показать, что функция
𝜑 𝑥 =
1
1 + 𝑥!
!
!
является решением интегрального уравнения Вольтерра
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 8
𝜑 𝑥 =
1
1 + 𝑥!
+
2
3
𝑡
1 + 𝑥!
𝜑(𝑡)𝑑𝑡
!
!
(1.4)
Решение. Подставляя вместо 𝜑(𝑥) в правую часть (1.4) функцию
!
(!!!!)
!
!
,
получим
1
1 + 𝑥!
+
𝑡
1 + 𝑥!
1
1 + 𝑡! !
!
𝑑𝑡
!
!
=
1
1 + 𝑥!
+
2
3
⋅
1
1 + 𝑥!
⋅
3
2
1 + 𝑡! !
!
!!!
!!!
=
=
1
1 + 𝑥!
+
1
1 + 𝑥! !
!
−
1
1 + 𝑥!
=
1
1 + 𝑥! !
!
= 𝜑 𝑥 .
Таким образом, подстановка 𝜑 𝑥 =
!
(!!!!)
!
!
в обе части уравнения (1.4)
обращает последнее в тождество по 𝑥:
1
(1 + 𝑥!)
!
!
=
1
(1 + 𝑥!)
!
!
Это означает, согласно определению, что 𝜑 𝑥 =
!
(!!!!)
!
!
есть решение
интегрального уравнения (1.4).
Задачи для самостоятельной работы
Проверить, что данные функции являются решениями соответствующих
интегральных уравнений.
1 𝜑 𝑥 =
1
(1 + 𝑥!)
!
!
, 𝜑 𝑥 =
3𝑥 + 2𝑥!
3 1 + 𝑥! !
−
3𝑥 + 2𝑥!
− 𝑡
1 + 𝑥! !
!
!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
2 𝜑 𝑥 = 𝑒!
𝑐𝑜𝑠𝑒!
− 𝑒!
sin𝑒!
,
𝜑 𝑥 = 1 − 𝑥𝑒!!
cos 1 − 𝑒!!
sin 1 + + 1 − 𝑥 − 𝑡 𝑒!!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
3 𝜑 𝑥 = 𝑥𝑒!
, 𝜑 𝑥 = sin𝑥 + 2 cos 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 17
Возьмем какую-либо непрерывную в 0, 𝑎 функцию 𝜑! 𝑥 . Подставляя в
правую часть уравнения (1.30) вместо 𝜑 𝑥 функцию 𝜑! 𝑥 , получаем
𝜑! 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝜆 𝐾(𝑥, 𝑡)𝜑!(𝑡)𝑑𝑡
!
!
.
Определенная таким образом функция 𝜑! 𝑥 также непрерывна на
отрезке 0, 𝑎 . Продолжая этот процесс, получим последовательность функций
𝜑! 𝑥 , 𝜑! 𝑥 , …, 𝜑! 𝑥 ,…,
где
𝜑! 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝜆 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑!!! 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
При сделанных предположениях относительно 𝑓 𝑥 и 𝐾 𝑥, 𝑡
последовательность {𝜑! (𝑥)} сходится при 𝑛 → ∞ к решению 𝜑 (𝑥)
интегрального уравнения (1.29).
Если, в частности, в качестве 𝜑!(𝑥) взять 𝑓 𝑥 , то 𝜑! (𝑥) будут как раз
частичными суммами ряда (1.19) из п. 1.3, определяющего решение
интегрального уравнения (1.30). Удачный выбор «нулевого» приближения
𝜑!(𝑥) может повести к быстрой сходимости последовательности {𝜑! (𝑥)} к
решению интегрального уравнения.
Пример. Методом последовательных приближений решить интегральное
уравнение
𝜑 𝑥 = 1 + 𝜑 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
взять 𝜑! 𝑥 ≡ 0.
Решение. Так как 𝜑! 𝑥 ≡ 0, то 𝜑! 𝑥 = 1. Далее,
𝜑! 𝑥 = 1 + 1 ∙ 𝑑𝑡
!
!
= 1 + 𝑥,
𝜑! 𝑥 = 1 + 1 + 𝑡 𝑑𝑡
!
!
= 1 + 𝑥 +
𝑥!
2
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18
𝜑! 𝑥 = 1 + 1 + 𝑡 +
𝑡!
2
𝑑𝑡 =
!
!
1 + 𝑥 +
𝑥!
2!
+
𝑥!
3!
.
Очевидно,
𝜑! 𝑥 = 1 +
𝑥
1!
+
𝑥!
2!
+ ⋯ +
𝑥!!!
𝑛 − 1 !
.
Таким образом, 𝜑! 𝑥 есть n-я частичная сумма ряда
𝑥!
𝑛!
= 𝑒!
!
!!!
.
Отсюда следует, что 𝜑!(𝑥) → 𝑒!
.
Покажем, что функция 𝜑 𝑥 = 𝑒!
действительно является решением
данного интегрального уравнения, подставив ее в это уравнение
𝑒!
= 1 + 𝑒!
𝑑𝑡,
!
!
𝑒!
= 1 + 𝑒!
!!!
!!!
= 1 + 𝑒!
− 𝑒!
,
𝑒!
= 𝑒!
.
Задачи для самостоятельной работы
Методом последовательных приближений решить следующие
интегральные уравнения:
46 𝜑 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡, 𝜑!(𝑥) ≡ 0.
!
!
47 𝜑 𝑥 = 1 + 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡, 𝜑! 𝑥 = 1.
!
!
48 𝜑 𝑥 = 1 − 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡, 𝜑! 𝑥 ≡ 0.
!
!
49 𝜑 𝑥 = 𝑥 + 1 − 𝜑 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
a) 𝜑! 𝑥 = 1, б) 𝜑! 𝑥 = 𝑥 + 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 19
50 𝜑 𝑥 =
𝑥!
2
+ 𝑥 − 𝜑 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
a) 𝜑! 𝑥 = 1,
б) 𝜑! 𝑥 = 𝑥,
в) 𝜑! 𝑥 =
!!
!
+ 𝑥.
51 𝜑 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡, 𝜑! 𝑥 = 1.
!
!
52 𝜑 𝑥 = 2𝑥 + 2 − 𝜑 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
a) 𝜑! 𝑥 = 1, б) 𝜑! 𝑥 = 2.
53 𝜑 𝑥 = 2𝑥!
+ 2 − 𝑥𝜑 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
а) 𝜑! 𝑥 = 2, б) 𝜑! 𝑥 = 2𝑥.
54 𝜑 𝑥 =
𝑥!
3
− 2𝑥 − 𝜑 𝑡 𝑑𝑡, 𝜑! 𝑥 = 𝑥!
.
!
!
55. Пусть 𝐾 𝑥, 𝑡 удовлетворяет условию
𝐾!
𝑥, 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑥 < +∞.
!
!
!
!
Доказать, что уравнение
𝜑 𝑥 − 𝜆 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 0
!
!
имеет при любом λ единственное решение 𝜑(𝑥) ≡ 0 в классе 𝐿! 0, 𝑎 .
1.5. Интегральные уравнения Вольтерра с интегралом типа свертки
Пусть 𝜑! 𝑥 и 𝜑!(𝑥)– две непрерывные функции, определенные при
х ≥ 0. Сверткой этих двух функций называется функция 𝜑!(𝑥), определяемая
равенством
𝜑! 𝑥 = 𝜑! 𝑥 − 𝑡 𝜑! 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
(1.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. 20
Эта функция, определенная при 𝑥 ≥ 0 , будет также непрерывной
функцией. Если 𝜑! 𝑥 и 𝜑!(𝑥) являются функциями-оригиналами для
преобразования Лапласа, то
ℒ𝜑! = ℒ𝜑! ∙ ℒ𝜑!, (1.32)
т.е. изображение свертки равно произведению изображений свертываемых
функций (теорема умножения).
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода
𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐾 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
(1.33)
ядро которого зависит лишь от разности 𝑥 − 𝑡. Будем называть уравнение
(1.33) интегральным уравнением типа свертки.
Пусть 𝑓 𝑥 и 𝐾 𝑥 – достаточно гладкие функции, растущие при 𝑥 → ∞
не быстрее показательной функции, так что
𝑓(𝑥) ≤ 𝑀! 𝑒!!!
, 𝐾 𝑥 ≤ 𝑀! 𝑒!!! (1.34)
Применяя метод последовательных приближений, можно показать, что в этом
случае и функция 𝜑(𝑥) будет удовлетворять оценке типа (1.34):
𝜑(𝑥) ≤ 𝑀! 𝑒!!!
.
Следовательно, может быть найдено изображение по Лапласу функций 𝑓 𝑥 ,
𝐾 𝑥 и 𝜑(𝑥) , которое будет определено в полуплоскости
Re𝑝 = 𝑠 > max(𝑠!, 𝑠!, 𝑠!).
Пусть
𝑓 𝑥 ÷ 𝐹 𝑝 , 𝜑 𝑥 ÷ 𝛷 𝑝 , 𝐾 𝑥 ÷ 𝐾 𝑝 .
Применяя к обеим частям уравнения (1.33) преобразования Лапласа и
используя теорему умножения, найдем
Ф 𝑝 = 𝐹 𝑝 + 𝐾 𝑝 Ф 𝑝 . (1.35)
Отсюда
Ф 𝑝 =
𝐹(𝑝)
1 − 𝐾(𝑝)
𝐾 𝑝 ≠ 1 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. 21
Оригинал 𝜑 𝑥 для Ф(𝑝) будет решением интегрального уравнения
(1.33).
Пример. Решить интегральное уравнение
𝜑 𝑥 = sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
Решение. Известно, что
sin 𝑥 ÷
1
𝑝! + 1
, cos 𝑥 ÷
𝑝
𝑝! + 1
.
Пусть 𝜑 𝑥 ÷ Ф 𝑝 . Применяя преобразование Лапласа к обеим частям
уравнения и учитывая при этом теорему умножения (изображение свертки),
получим
Ф 𝑝 =
1
𝑝! + 1
+
2𝑝
𝑝! + 1
Ф 𝑝 .
Отсюда
Ф 𝑝 1 −
2𝑝
𝑝! + 1
=
1
𝑝! + 1
или
Ф 𝑝 =
1
(𝑝 − 1)!
÷ 𝑥𝑒!
.
Следовательно, решение данного интегрального уравнения есть
𝜑 𝑥 = 𝑥𝑒!
.
Задачи для самостоятельной работы
Решить следующие интегральные уравнения:
59 𝜑 𝑥 = 𝑒!
− 𝑒!!!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
60 𝜑 𝑥 = 𝑥 − 𝑒!!!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 26
где 𝛼! 𝑥 , … , 𝛼!(𝑥), 𝑓 𝑥 , 𝐾!(𝑥, 𝑡) 𝑚 = 0,1, … , 𝑠 – известные функции, 𝜑(𝑥) –
искомая функция.
При решении интегро-дифференциальных уравнений (1.39), в отличие от
случая интегральных уравнений, для искомой функции 𝜑(𝑥) ставятся
начальные условия вида
𝜑 0 = 𝜑!, 𝜑!
0 = 𝜑!
!
, … , 𝜑 !!!
0 = 𝜑!
!!!
. (1.40)
Пусть в (1.39) коэффициенты 𝑎! 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (𝑘 = 0, 1, … , 𝑛) и пусть
𝐾! 𝑥, 𝑡 = 𝐾! 𝑥 − 𝑡 (𝑚 = 0, 1, … , 𝑠), т.е. все 𝐾! зависят лишь от аргументов
𝑥 − 𝑡. Не нарушая общности, можно считать 𝑎! = 1. Тогда уравнение (1.39)
примет вид
𝜑 !
𝑥 + 𝑎! 𝜑 !!!
𝑥 + ⋯ + 𝑎! 𝜑 𝑥 +
+ 𝐾! 𝑥 − 𝑡 𝜑 !
𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥
!
!
!
!!!
, 𝑎!, … , 𝑎! − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 .
(1.41)
Пусть функции 𝑓(𝑥) и 𝐾!(𝑥) являются функциями-оригиналами и
𝜑 𝑥 ÷ 𝐹 𝑝 𝐾! 𝑥 ÷ 𝐾! 𝑝 (𝑚 = 0, 1, … , 𝑠)
Тогда и функция 𝜑(𝑥) будет иметь изображение по Лапласу
𝜑(𝑥) ÷ Ф(𝑝)
Применим к обеим частям (1.41) преобразование Лапласа. В силу
теоремы об изображении производной
𝜑!
𝑥 ÷ 𝑝!
Ф 𝑝 − 𝑝!!!
𝜑! − 𝑝!!!
𝜑!
!
− ⋯ − 𝜑!
!!!
(𝑘 = 0, 1, … , 𝑛).
(1.42)
По теореме умножения
𝐾! 𝑥 − 𝑡 𝜑 !
𝑡 𝑑𝑡 ÷ 𝐾!
!
!
(𝑝) 𝑝!
Ф 𝑝 − 𝑝!!!
𝜑! − ⋯ − 𝜑!
(!!!)
𝑚 = 0,1, … , 𝑠.
(1.43)
Поэтому уравнение (1.41) перейдет в следующее:
Ф 𝑝 𝑝!
+ 𝑎! 𝑝!!!
+ ⋯ + 𝑎! + 𝐾 𝑝 𝑝!
!
!!!
= 𝐴 𝑝 , (1.44)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. 27
где 𝐴 𝑝 – некоторая известная функция от 𝑝.
Из равенства (1.44) находим Ф 𝑝 – операторное решение задачи (1.41) –
(1.40). Находя оригинал для Ф 𝑝 , получим 𝜑(𝑥) интегро-дифференциального
уравнения (1.41), удовлетворяющее начальным условиям (1.40).
Пример. Решить интегро-дифференциальное уравнение
𝜑!!
𝑥 + 𝜑 𝑥 + 𝑒! !!!
𝜑!
𝑡 𝑑𝑡 − 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒!!
!
!
!
!
(1.45)
𝜑 0 = 𝜑!
0 = 0. (1.46)
Решение. Пусть 𝜑(𝑥) ÷ Ф(𝑝). В силу (1.46)
𝜑!
(𝑥) ÷ 𝑝Ф(𝑝),
𝜑!!
𝑥 ÷ 𝑝!
Ф 𝑝 .
Поэтому после применения преобразования Лапласа уравнение (1.45)
примет вид
𝑝!
Ф 𝑝 +
𝑝
𝑝 − 2
Ф 𝑝 =
1
𝑝 − 2
(1.47)
или
Ф 𝑝
𝑝 𝑝 − 1 !
𝑝 − 2
=
1
𝑝 − 2
. (1.48)
Из (1.48) находим
Ф 𝑝 =
1
𝑝(𝑝 − 1)!
÷ 𝑥𝑒!
− 𝑒!
+ 1.
Следовательно, решение 𝜑 𝑥 интегро-дифференциального уравнения (1.45),
удовлетворяющее начальным условиям (1.46), определяется равенством
𝜑 𝑥 = 𝑥𝑒!
− 𝑒!
+ 1
Задачи для самостоятельной работы
Решить следующие интегро-дифференциальные уравнения:
80 𝜑!!
𝑥 + 𝑒! !!!
𝜑!
𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒!!
,
!
!
𝜑 0 = 0, 𝜑!
0 = 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. 28
81 𝜑!
𝑥 − 𝜑 𝑥 + 𝑥 − 𝑡 𝜑!
𝑡 𝑑𝑡 − 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥
!
!
!
!
𝜑 0 = −1.
82
𝜑!!
𝑥 − 2𝜑!
𝑥 + 𝜑 𝑥 +
+ 2 cos 𝑥 − 𝑡 𝜑!!
𝑡 𝑑𝑡 − 2 sin 𝑥 − 𝑡 𝜑!
𝑡 𝑑𝑡 = cos 𝑥,
!
!
!
!
𝜑!
0 = 𝜑 0 = 0.
83
𝜑!!
𝑥 + 2𝜑!
𝑥 + 𝜑 𝑥 − 𝑥 − 𝑡 𝜑!!
𝑡 𝑑𝑡 − 2 sin 𝑥 − 𝑡 𝜑!
𝑑𝑡 = cos 𝑥
!
!
!
!
,
𝜑!
0 = 𝜑 0 = 0.
84
𝜑!!
𝑥 + 𝜑 𝑥 + sh 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 + ch 𝑥— 𝑡 𝜑!
𝑡 𝑑𝑡 = ch 𝑥
!
!
!
!
,
𝜑!
0 = 𝜑 0 = 0.
1.7 Интегральные уравнения Вольтерра с пределами (𝒙, +∞)
Интегральные уравнения вида
𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐾 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
(1.49)
возникающие в ряде задач физики, можно также решать с помощью
преобразования Лапласа. Для этого установим теорему о свертке для
выражений
𝐾 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
(1.50)
Известно, что для преобразования Фурье
ℱ 𝑔(𝑥 − 𝑡)𝜓(𝑡)𝑑𝑡
!!
!!
= 2𝜋𝐺 𝜆 Ψ 𝜆 , (1.51)
где G(λ), Ψ(𝜆) – преобразования Фурье функций 𝑔 𝑥 и 𝜓 𝑥 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. 29
Положим 𝑔 𝑥 = 𝐾_ 𝑥 т.е.
𝑔 𝑥 =
0, 𝑥 > 0
𝐾 𝑥 , 𝑥 < 0
𝜓 𝑥 = 𝜑! 𝑥 =
𝜑 𝑥 , 𝑥 > 0
0, 𝑥 < 0
(1.52)
Тогда (1.51) перепишется так:
ℱ 𝐾(𝑥 − 𝑡)𝜑(𝑡)𝑑𝑡
!!
!
= 2𝜋𝐾_(𝜆)ℱФ!(𝜆)ℒ,
(1.53)
(здесь и в дальнейшем индексы ℱ и ℒ означают, что берется изображение
функции соответственно по Фурье или по Лапласу).
Чтобы перейти от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа,
заметим, что
𝐹ℒ 𝑝 = 2𝜋 𝐹!(𝑖𝑝) ℱ. (1.54)
Следовательно, из (1.53) и (1.54) находим
ℒ 𝐾(𝑥 − 𝑡)𝜑(𝑡)𝑑𝑡
!
!
= 2𝜋 𝐾_(𝑖𝑝) ℱ
Ф!(𝑝) ℒ. (1.55)
Выразим теперь 2𝜋𝐾_(𝑖𝑝) ℱ
через преобразования Лапласа:
2𝜋𝐾_(𝑖𝑝) ℱ
= 𝐾 𝑥 𝑒!!"
𝑑𝑥 = 𝐾(−𝑥)𝑒!"
𝑑𝑥
!
!
!
!!
.
Положив 𝐾 −𝑥 = 𝒦(𝑥), получаем
2𝜋𝐾_(𝑖𝑝) ℱ
= 𝒦ℒ −𝑝 = 𝐾 −𝑥 𝑒!"
𝑑𝑥.
!
!
Итак,
ℒ 𝐾(𝑥 − 𝑡)𝜑(𝑡)𝑑𝑡
!
!
= 𝒦ℒ −𝑝 Фℒ 𝑝 . (1.56)
Возвращаемся к интегральному уравнению (1.49). Применяя преобразования
Лапласа к обеим частям (1.49), получим
Ф 𝑝 = 𝐹 𝑝 + 𝒦(−𝑝)Ф(𝑝) (1.57)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. 30
(индекс ℒ опущен) или
Ф 𝑝 =
𝐹(𝑝)
1 − 𝒦(−𝑝)
𝒦 −𝑝 ≠ 1 ,
(1.58)
где
𝒦 −𝑝 = 𝐾 −𝑥 𝑒!"
𝑑𝑥.
!
!
(1.59)
Функция
𝜑 𝑥 =
1
2𝜋𝑖
𝐹(𝑝)
1 − 𝒦(−𝑝)
𝑒!"
𝑑𝑝
!!!!
!!!!
(1.60)
является частным решением интегрального уравнения (1.49). Для того, чтобы
решение (1.57) или (1.60) имело смысл, необходимо, чтобы области
аналитичности 𝒦 −𝑝 и 𝐹(𝑝) перекрывались.
Пример. Решить интегральное уравнение
𝜑 𝑥 = 𝑥 + 𝑒! !!!
𝜑(𝑡)𝑑𝑡
!
!
(1.61)
Решение. В данном случае 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝐾 𝑥 = 𝑒!!
. Поэтому
𝐹 𝑝 =
1
𝑝!
, 𝒦 −𝑝 = 𝑒!!!
𝑒!"
𝑑𝑥 =
1
2 − 𝑝
, 𝑝 < 2.
!
!
Таким образом, получаем следующее операторное уравнение:
Ф 𝑝 =
1
𝑝!
+
1
2 − 𝑝
Ф 𝑝 ,
Так что,
Ф 𝑝 =
𝑝 − 2
𝑝!(𝑝 − 1)
. (1.62)
Отсюда
𝜑 𝑥 =
1
2𝜋𝑖
𝑝 − 2
𝑝!(𝑝 − 1)
𝑒!"
𝑑𝑝; (0 < 𝛾 < 2)
!!!!
!!!!
. (1.63)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. 31
Интеграл (1.63) можно вычислить по интегральной формуле Коши.
Подынтегральная функция имеет двукратный полюс 𝑝 = 0 и простой полюс
𝑝 = 1 , который появляется при 𝛾 > 1 , что связано с включением или
невключением в решение уравнения (1.61) решения соответствующего
однородного уравнения
𝜑 𝑥 = 𝑒! !!!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
Найдем вычеты подынтегральной функции в ее полюсах:
𝑟𝑒𝑠
!!!
𝑝 − 2
𝑝!(𝑝 − 1)
𝑒!"
= 2𝑥 + 1, res
!!!
𝑝 − 2
𝑝!(𝑝 − 1)
𝑒!"
= −𝑒!
.
Следовательно, решение интегрального уравнения (1.61) есть
𝜑 𝑥 = 2𝑥 + 1 + 𝐶𝑒!
(С - произвольная постоянная).
Задачи для самостоятельной работы
Решить интегральные уравнения:
86 𝜑 𝑥 = 𝑒!!
+ 𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
87 𝜑 𝑥 = 𝑒!!
+ 𝑒!!!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
88 𝜑 𝑥 = cos 𝑥 + 𝑒!!!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
89 𝜑 𝑥 = 1 + 𝑒! !!!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡; 𝑎 > 0 .
!
!
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. 32
1.8 Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода
Пусть имеем интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода
𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥 , 𝑓 0 = 0,
!
!
(1.64)
где 𝜑(𝑥) - искомая функция.
Предположим, что 𝐾 𝑥, 𝑡 ,
!"(!,!)
!"
, 𝑓 𝑥 и 𝑓!
(𝑥) непрерывны при
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥. Дифференцируя обе части (1.64) по x, получим
𝐾 𝑥, 𝑥 𝜑 𝑥 +
𝜕𝐾 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓!
𝑥 .
!
!
(1.65)
Всякое непрерывное при 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 решение 𝜑(𝑥) уравнения (1.64)
удовлетворяет, очевидно, и уравнению (1.65). Обратно, всякое непрерывное
при 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 решение уравнения (1.65) удовлетворяет также уравнению
(1.64).
Если 𝐾(𝑥, 𝑥) не обращается в нуль ни в одной точке основного интервала
0, 𝑎 , то уравнение (1.65) можно переписать так:
𝜑 𝑥 =
𝑓!
(𝑥)
𝐾(𝑥, 𝑥)
−
𝐾′! 𝑥, 𝑡
𝐾 𝑥, 𝑥
𝜑 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
(1.66)
т. е. оно сводится к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода,
рассмотренному выше.
Если 𝐾 𝑥, 𝑥 ≡ 0,то иногда бывает полезно еще раз продифференцировать
уравнение (1.65) по 𝑥 и т. д.
Замечание. Если 𝐾(𝑥, 𝑥) обращается в нуль в некоторой точке 𝑥 ∈ 0, 𝑎 ,
например в точке 𝑥 = 0, то уравнение (1.66) приобретает особые свойства,
совершенно отличные от свойств уравнения 2-го рода. (Такие уравнения Пикар
назвал уравнениями 3-го рода.) Здесь возникают осложнения, подобные тем,
которые бывают связаны с обращением в нуль коэффициента при старшей
производной в линейном дифференциальном уравнении.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. 33
Пример. Решить интегральное уравнение
cos 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥.
!
!
(1.67)
Решение. Функции 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝐾 𝑥, 𝑡 = cos(𝑥 − 𝑡) удовлетворяет
сформулированным выше условиям непрерывности и дифференцируемости.
Дифференцируя обе части (1.6) по 𝑥, получим
𝜑 𝑥 cos 0 − sin 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 1
!
!
или
𝜑 𝑥 = 1 + sin 𝑥 − 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
(1.68)
Уравнение (1.68) есть интегральное уравнение 2-го рода типа свертки.
Применяя преобразование Лапласа, найдем его решение.
Пусть 𝜑 𝑥 ÷ Ф 𝑝 , тогда
Ф 𝑝 =
1
𝑝
+
1
𝑝! + 1
Ф 𝑝 ,
откуда
Ф 𝑝 =
𝑝!
+ 1
𝑝!
=
1
𝑝
+
1
𝑝!
÷ 1 +
𝑥!
2
.
Функция 𝜑 𝑥 = 1 +
!!
!
будет решением уравнения (1.68), а следовательно, и
исходного уравнения (1.67), в чем нетрудно убедиться непосредственной
проверкой.
Задачи для самостоятельной работы
Решить следующие интегральные уравнения 1-го рода предварительно
сведя их к интегральным уравнениям 2-го рода:
90 𝑒!!!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = sin 𝑥.
!
!
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. 35
2 Уравнение Фредгольма 2-го рода
2.1 Основные понятия
Линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода называется
уравнение вида
𝜑 𝑥 − 𝜆 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥
!
!
, (2.1)
где φ 𝑥 - неизвестная функция, 𝐾 𝑥, 𝑡 и 𝑓 𝑥 – известные функции, 𝑥 и 𝑡 –
действительные переменные, изменяющиеся в интервале 𝑎, 𝑏 , λ – численный
множитель.
Функция 𝐾 𝑥, 𝑡 называется ядром интегрального уравнения (2.1);
Предполагается, что ядро 𝐾 𝑥, 𝑡 определенно в квадрате Ω, либо его разрывы
таковы, что двойной интеграл
𝐾(𝑥, 𝑡) !
𝑑𝑥𝑑𝑡
!
!
!
!
имеет конечное значение.
Если 𝑓 𝑥 ≢ 0, то уравнение (2.1) называется неоднородным; если же
𝑓 𝑥 ≡ 0, то уравнение принимает вид
𝜑 𝑥 − 𝜆 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 0
!
!
(2.2)
и называется однородным.
Пределы интегрирования 𝑎 и 𝑏 в уравнении (2.1) и (2.2) могут быть как
конечными, так и бесконечными.
Решением интегральных уравнений (2.1) и (2.2) называется любая
функция φ 𝑥 , при подставке которой в уравнении последние обращаются в
тождество относительно 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36. 36
Пример. Показать, что функция φ 𝑥 = sin
!"
!
является решением
интегрального уравнения Фредгольма
𝜑 𝑥 −
𝜋!
4
𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑥
2
!
!
,
где ядро имеет вид
𝐾 𝑥, 𝑡 =
𝑥 2 − 𝑡
2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡;
𝑡 2 − 𝑥
2
, 𝑡 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Решение. Левую часть уравнения запишем в виде
𝜑 𝑥 −
𝜋!
4
𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 =
!
!
= 𝜑 𝑥 −
𝜋!
4
𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐾
!
!
𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡
!
!
=
= 𝜑 𝑥 −
𝜋!
4
𝑡 2 − 𝑥
2
𝜑 𝑡 𝑑𝑡 +
𝑥 2 − 𝑡
2
!
!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡
!
!
=
= 𝜑 𝑥 −
𝜋!
4
2 − 𝑥
2
𝑡𝜑
!
!
𝑡 𝑑𝑡 +
𝑥
2
2 − 𝑡
!
!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡 .
Подставляя в полученное выражение вместо φ 𝑥 функцию sin
!"
!
и интегрируя
по частям, будем иметь
sin
𝜋𝑥
2
−
𝜋!
4
2 − 𝑥 𝑡
sin
!"
!
2
!
!
𝑑𝑡 + 𝑥 2 − 𝑡
!
!
sin
!"
!
2
= sin
𝜋𝑥
2
−
−
𝜋!
4
2 − 𝑥 −
𝑡
𝜋
cos
𝜋𝑡
2
+
2
𝜋!
sin
𝜋𝑡
2 !!!
!!!
+
+ 𝑥 −
2 − 𝑡
𝜋
cos
𝜋𝑡
2
−
2
𝜋!
sin
𝜋𝑡
2 !!!
!!!
=
𝑥
2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37. 37
Итак, получаем
!
!
≡
!
!
, а это означает, согласно определению, что 𝜑 𝑥 = sin
!"
!
есть решение данного интегрального уравнения.
Задачи для самостоятельной работы
Проверить, какие из данных функций являются решениями указанных
интегральных уравнений.
137 φ 𝑥 = 1, 𝜑 𝑥 + 𝑥 𝑒!"
− 1 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒!
− 𝑥.
!
!
138 φ 𝑥 = sin 𝜋𝑥, 𝜑 𝑥 + 𝜆 In(1 − 2𝑥cos 𝜋𝑡 + 𝑥!
)𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 0.
!
!
139 𝜑 𝑥 = 1 −
2 sin 𝑥
1 −
!
!
, 𝜑 𝑥 − cos (𝑥 + 𝑡)𝜑 𝑡 𝑑𝑡
!
!
= 1.
140 𝜑 𝑥 = 𝑥, 𝜑 𝑥 − 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥 −
𝑥
3
!
!
+
𝑥!
6
.
𝐾 𝑥, 𝑡 =
𝑥(2 − 𝑡)
2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡,
𝑡(2 − 𝑥)
2
, 𝑡 ≤ 𝑥 ≤ 1.
141 𝜑 𝑥 = 𝑒!
, 𝜑 𝑥 + 𝜆 sin 𝑥𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 1.
!
!
142 φ 𝑥 = cos 𝑥, 𝜑 𝑥 − 𝑥!
+ 𝑡 cos 𝑡𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = sin 𝑥.
!
!
143 𝜑 𝑥 = 𝑥𝑒!!
, 𝜑 𝑥 − 4 𝑒! !!!
!
!
𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥 − 1 𝑒!!
.
144 φ 𝑥 = cos 2𝑥, 𝜑 𝑥 − 3 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 1.
!
!
𝐾 𝑥, 𝑡 =
sin 𝑥 cos 𝑡 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡
sin 𝑡 cos 𝑥, 𝑡 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
43. 43
𝜑 𝑥 − 𝜆 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)
!
!
(2.12)
Как и в случае уравнений Вольтерра, интегральное уравнение (2.12)
можно решать методом последовательных приближений. Для этого полагаем
𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝜓! 𝑥 𝜆!
,
!
!!!
(2.13)
где 𝜓!(𝑥) определяются по формулам:
𝜓! 𝑥 = 𝐾 𝑥, 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡,
!
!
𝜓! 𝑥 = 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜓! 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐾!(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡
!
!
!
!
𝜓! 3 = 𝐾 𝑥, 𝑡 𝜓! 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐾!(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡
!
!
!
!
и т.д.
Здесь
𝐾! 𝑥, 𝑡 = 𝐾 𝑥, 𝑧 𝐾! 𝑧, 𝑡 𝑑𝑧,
!
!
𝐾! 𝑥, 𝑡 = 𝐾 𝑥, 𝑧 𝐾! 𝑧, 𝑡 𝑑𝑧,
!
!
и
𝐾! 𝑥, 𝑡 = 𝐾 𝑥, 𝑧 𝐾!!! 𝑧, 𝑡 𝑑𝑧,
!
!
(2.14)
𝑛 = 2, 3, …, причем 𝐾!(𝑥, 𝑡) ≡ 𝐾(𝑥, 𝑡) . Функция 𝐾!(𝑥, 𝑡) , определяемых по
формулам (2.14), называются итерированными ядрами. Для них справедливо
соотношение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44. 44
𝐾! 𝑥, 𝑡 = 𝐾! 𝑥, 𝑠 𝐾!!! 𝑠, 𝑡 𝑑𝑠,
!
!
(2.15)
где 𝑚 – любое натуральное число, меньше 𝑛.
Резольвента интегрального уравнения (2.12) определяется через
итерированные ядра формулой
𝑅 𝑥, 𝑡; 𝜆 = 𝐾! 𝑥, 𝑡 𝜆!!!
,
!
!!!
(2.16)
где ряд, стоящий в правой части, называется рядом Неймана ядра 𝐾(𝑥, 𝑡). Он
сходится для
𝜆 <
1
𝐵
, (2.17)
где
𝐵 = 𝐾! 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑡
!
!
!
!
.
Решение уравнения Фредгольма 2-го рода (2.12) выражается формулой
𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝜆 𝑅 𝑥, 𝑡; 𝜆 𝑓 𝑡 𝑑𝑡.
!
!
(2.18)
Граница (2.17) является существенной для сходимости ряда (2.16) . Однако
решение уравнения (2.12) может существовать и для значений 𝜆 >
!
!
.
Рассмотрим пример:
𝜑 𝑥 − 𝜆 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 1.
!
!
(2.19)
Здесь 𝐾(𝑥, 𝑡) ≡ 1, и, следовательно,
𝐵!
= 𝐾!
(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
!
!
𝑑𝑡 = 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 1.
!
!
!
!
!
!
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
45. 45
Таким образом, условие (2.17) дает, что ряд (2.16) сходится при 𝜆 < 1.
Решая уравнение (2.19), как уравнение с вырожденным ядром, получим
1 − 𝜆 𝐶 = 1, где
𝐶 = 𝜑(𝑡)𝑑𝑡
!
!
.
При 𝜆 = 1 это уравнение неразрешимо, а значит, при 𝜆 = 1 интегральное
уравнение (2.19) решения не имеет. Отсюда следует, что в круге радиуса,
большего единицы, последовательные приближения для уравнения (2.19) не
могут сходится. При 𝜆 > 1 уравнение (2.19) разрешимо. В самом деле, если
𝜆 ≠ 1, то функция 𝜑 𝑥 =
!
!!!
является решением данного уравнения, что легко
проверить непосредственной подстановкой.
Для некоторых уравнений Фредгольма ряд Неймана (2.16) для
резольвенты сходится при любых значениях λ.
Пусть имеем два ядра: 𝐾 𝑥, 𝑡 и 𝐿(𝑥, 𝑡) . Эти ядра называются
ортогональными, если выполняются эти условия:
𝐾 𝑥, 𝑧 𝐿 𝑧, 𝑡 𝑑𝑧 = 0; 𝐿 𝑥, 𝑧 𝐾 𝑧, 𝑡 𝑑𝑧 = 0
!
!
!
!
(2.20)
при любых допустимых значениях x и t.
Пример. Ядра 𝐾 𝑥, 𝑡 = 𝑥𝑡 и 𝐿 𝑥, 𝑡 = 𝑥!
𝑡!
ортогональны на −1, 1 , так
как
𝑥𝑧 𝑧!
𝑡!
𝑑𝑧 = 𝑥𝑡!
𝑧!
𝑑𝑧 = 0,
!
!!
!
!!
𝑥!
𝑧!
𝑧𝑡 𝑑𝑧 = 𝑥!
𝑡 𝑧!
𝑑𝑧 = 0.
!
!!
!
!!
Существуют ядра, ортогональные самим себе. Для таких ядер
𝐾! 𝑥, 𝑡 ≡ 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46. 46
где 𝐾! 𝑥, 𝑡 – второе итерированное ядро. В этом случае, очевидно, все
последующие итерированные ядра также равны нулю и резольвента совпадает с
ядром 𝐾(𝑥, 𝑡).
Пример. 𝐾 𝑥, 𝑡 = sin 𝑥 − 2𝑡 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
Имеем
sin
!!
!
𝑥 − 2𝑧 sin 𝑧 − 2𝑡 𝑑𝑧 =
=
1
2
cos 𝑥 + 2𝑡 − 3𝑧 − cos(𝑥 − 2𝑡 − 𝑧) 𝑑𝑧 =
!!
!
=
1
2
−
1
3
sin 𝑥 + 2𝑡 − 3𝑧 + sin(𝑥 − 2𝑡 − 𝑧)
!!!
!!!!
= 0
Таким образом, в этом случае резольвента ядра равна самому ядру:
𝑅 𝑥, 𝑡; 𝜆 ≡ sin 𝑥 − 2𝑡 ,
так что ряд Неймана (2.16) состоит из одного члена и, очевидно, сходиться при
любом λ.
Итерированные ядра 𝐾!(𝑥, 𝑡) можно непосредственно выразить через
данное ядро 𝐾(𝑥, 𝑡) по формуле
𝐾! 𝑥, 𝑡 = … 𝐾 𝑥, 𝑠! 𝐾 𝑠!, 𝑠! … 𝐾 𝑠!!!, 𝑡 𝑑𝑠! 𝑑𝑠! … 𝑑𝑠!!!
!
!
!
!
!
!
. (2.21)
Все итерированные ядра 𝐾!(𝑥, 𝑡) , начиная с 𝐾!(𝑥, 𝑡) , будут
непрерывными функциями в квадрате 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, если начальное
ядро 𝐾(𝑥, 𝑡) квадратично суммируемо в этом квадрате.
Если данное ядро 𝐾(𝑥, 𝑡) симметрично, то все итерированные ядра
𝐾!(𝑥, 𝑡) тоже симметричны.
Пример. Найти итерированные ядра для ядра 𝐾 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑡, если
𝑎 = 0, 𝑏 = 1.
Решение. Пользуясь формулами (2.13), найдем последовательно:
𝐾! 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑡,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
