Jeremy L. England "Statistical physics of self-replication"　自己複製の統計物理学

1. Statistical physics of self-replication 自己複製の統計物理学 Author: Jeremy L. England sun_ek2 雑誌会 Journal club 1

2. 著者・掲載雑誌 <著者> Jeremy L. England マサチューセッツ工科大学准教授 →ジョージア工科大学教授 <掲載雑誌> The Journal of Chemical Physics Volume 139, Issue 12, 28 September 2013 2 引用元 https://www.quantamagazine.org/ a-new-thermodynamics-theory-of-the-origin-of-life-20140122/ 引用元 https://aip.scitation.org/action/ showLargeCover?doi=10.1063%2Fjcp.2013.139.issue-12

3. 導入 • 生物は自己複製する。そして自己複製は不可逆的。 →1つのバクテリアが2つになることはあっても逆は起こらない。 • 熱力学では不可逆性は、熱力学第二法則で語られる。 →エントロピー増大則。熱力学・統計力学の言葉で、「自己複製」を語ることができるのか？ 3

4. 導入 [困難] • 生物は熱力学的平衡から大きくかけ離れている。 • 従来の理論は熱力学的に平衡な状態間の遷移を取り扱ってきた。 →非平衡状態を取り扱うのは難しい…。 • 生物の際限なき多様性。 →「物理学で生物を記述するのは不可能ではないか」…と物理学者を不安にさせる。 4

5. 導入 [目的] 情報熱力学（非平衡統計力学）を用いて、「不可逆性とエントロピーの定量的な関係」が「非平衡・巨視的な生命現象を記述するために重要で一般的な知見」を与える。 …ということを示す。 • 巨視的な不可逆過程に対する熱力学第二法則の一般化。 • 自己複製子の大きさ、成長速度、内部エントロピー、耐久性の観点から、自己複製体の熱出力の下界を求める。 • 理論値（熱出力の下限）と実験値（バクテリアの熱出力）を比較する。 5

6. 復習 [熱力学のエントロピー] 【カルノーサイクル】 • ここからエントロピーの概念が誕生。 • 温度の異なる2つの熱源の間で動作する可逆熱サイクル。 • カルノーサイクルよりも熱効率が高いエンジンをつくることは理論的に不可能（熱力学的な制約）。 • 熱効率は… η一般的な熱エンジン = 1 − Q低熱源 𝑄高熱源 ≤ 1 − 𝑇低熱源 𝑇高熱源 = ηカルノーサイクル 𝑄高熱源 𝑇高熱源 + −Q低熱源 𝑇低熱源 ≤ 0 引用元 https://d-engineer.com/netsuriki/kcycle.html 6

7. 復習 [熱力学のエントロピー] 【任意の熱サイクルとクラウジウスの不等式】 • 先ほどの話を拡張すると… 𝑑′ 𝑄 𝑇 ≤ 0 → クラウジウスの不等式 • 任意の経路でAからBへ、準静的過程でBからA に戻ると… 𝐴→𝐵 𝑑′ 𝑄任意 𝑇 + B→A 𝑑′ 𝑄可逆 𝑇 ≤ 0 • 状態量 B→A 𝑑′𝑄 可逆 𝑇 にエントロピーという名前を付ける。 𝑆 = B→A 𝑑′ 𝑄可逆 𝑇 ≥ 𝐴→𝐵 𝑑′ 𝑄任意 𝑇 →エントロピー増大則（熱力学第二法則）引用元 https://butsurimemo.com/ inequality-of-clausius/ 引用元 https://eman-physics.net/ thermo/entropy.html *注 d’Qは熱が不完全微分であることを示している。物理量が完全微分（状態量）か否かはすごく大事！ 7

8. 復習 [統計力学のエントロピー] • 統計力学とは？…微視的な分子などの集まりを仮定し、そこから巨視的な熱力学的性質（温度、圧力とか）を導く学問。 • 統計集団...条件を満たす系の微視的状態を無数に集めたもの（巨視的な熱力学的性質を導くための単なる道具）。小正準集団(ミクロカノニカルアンサンブル) 正準集団(カノニカルアンサンブル) 大正準集団(グランドカノニカルアンサンブル、今回は扱わない) . . . 他にもある。 • ボルツマンの関係式（統計力学のエントロピー） 𝑆 = 𝑘 log𝑒 𝑊 (𝑘: ボルツマン定数, 𝑊: 微視的状態数) *エントロピーは示量状態量𝑆 = 𝑆𝐴 + 𝑆𝐵。微視的状態数は部分数の積W = 𝑊𝐴 × 𝑊𝐵 𝑆𝐴 + 𝑆𝐵 ∝ 𝑓 𝑊𝐴 + 𝑓 𝑊𝐵 = 𝑓 𝑊𝐴 × 𝑊𝐵 この関係式を満たす関数は「対数」。 8

9. 復習 [統計力学のエントロピー] 【小正準集団】 • 小正準集団とは？…孤立系（エネルギー, 体積, 粒子数が一定）の微視的状態を無数に集めた統計集団。 • ミクロカノニカル分布 𝑃𝑖 = 1 𝑊 （等確率の原理） →どんな微視的状態でも同じ確率で出現する。（例: 100℃のお湯が沸騰するという1つの微視的状態と100℃のお湯から氷ができるという1つの微視的状態の出現確率は同じ） • 小正準集団のエントロピーは、 𝑆 = 𝑘 log𝑒 𝑊 真面目に微視的状態数を書くと. . . 𝑊~ 1 𝑁! 1 3𝑁 2 ! 𝑚 2π 3 2 1 ħ3 𝑁 𝐸 3𝑁 2 𝑉𝑁 *導出法 N粒子3次元無限井戸型ポテンシャルのシュレーディンガー方程式を解き、6N個の量子数で張られた状態空間内の第一象限の6N次元の球の体積を求める。これは、ものすごく面白いので、興味のある人は是非調べてみてください！ 9

10. 復習 [統計力学のエントロピー] 【ボルツマン分布】 • 小正準集団から適当に微視的状態をサンプリング。どんな微視的状態が得られやすいか？（固定されたN個の粒子に固定されたエネルギーEをどのように分配すれば、場合の数が一番大きくなるのか？） →ボルツマン分布に従う微視的状態が小正準集団に一番多く含まれる。 𝑃𝑖 = 1 𝑍 𝑒−β𝐸𝑖 𝑍 = 𝑒−β𝐸𝑖 （分配関数） *ボルツマン分布を導出する際に使う「ラグランジュの未定乗数法」の幾何的解釈がものすごく面白いので、興味のある人は是非調べてみてください！ *RNA構造予測（dot plot）は、ひたすらRNAの分配関数を計算している。 10

11. 復習 [統計力学のエントロピー] 【正準集団】 • 正準集団とは？…閉鎖系（温度, 体積, 粒子数が一定）の微視的状態を無数に集めた統計集団。 • カノニカル分布 𝑃𝑖 = 1 𝑍 𝑒−β𝐸𝑖 𝑍 = 𝑒−β𝐸𝑖 （正準分配関数） *注ボルツマン分布と形が一緒。小正準集団の中に正準集団が入れ子になっている系を用いて、カノニカル分布を導出するので、導出法はボルツマン分布と全く違う。ボルツマン分布は、小正準集団で最も場合の数が大きい微視的状態を取っている系内の分子のエネルギー分布を表しているのに対し、カノニカル分布は、微視的状態（系）のエネルギー分布を表している。 • 正準集団のエントロピー（ギブスエントロピー）は、 𝑆 = 𝑘 log𝑒 𝑊 = 𝑘 log𝑒 1 𝑃𝑖 = −𝑘 log𝑒 𝑃𝑖 = ⋯ = −k 𝑖 𝑃𝑖log𝑒 𝑃𝑖 引用元 https://eman-physics.net/ statistic/canonical1.html 11

12. 復習 [情報理論のエントロピー] 【シャノンエントロピー（平均情報量）】 S = − 𝑖 𝑃𝑖log2 𝑃𝑖 →「情報の不確かさ」、「観測した時に得られる平均の情報量」を表している。 • 統計力学のギブズエントロピー（S = −k 𝑖 𝑃𝑖log𝑒 𝑃𝑖）に似ている。 • 式が似ているのは偶然ではない。 →マクスウェルの悪魔。 →シラードのエンジン、ランダウア―の原理による悪魔退治。情報科学＋熱力学→情報熱力学の誕生引用元 https://ja.wikipedia.org/wiki/ マクスウェルの悪魔 12

13. 前提 [情報熱力学・非平衡統計力学の話] 【詳細釣り合い】 • ニュートン力学（ハミルトン力学）の運動方程式は、時間反転対称性を持つ。 →時間反転させても（正準）運動方程式の形が不変。 • 時間τにおける遷移確率行列のi, j成分をπ(𝑖 → 𝑗; τ)とする。 →微視的状態𝑖が𝑗に移る確率。 • 微視的状態𝑖、𝑗の（正準）運動量ベクトルを反転させた状態を𝑖∗、𝑗∗とするとπ(𝑖 → 𝑗; τ)の時間反転はπ(𝑗∗ → 𝑖∗; τ)。 13

14. 前提 [情報熱力学・非平衡統計力学の話] • 微視的状態𝑖、 𝑗を取る確率をp 𝑖 、p 𝑗 とする。ニュートン力学（ハミルトン力学）の時間反転対称性より、 𝑖 → 𝑗と 𝑗∗ → 𝑖∗の確率流は同じになる。 p 𝑖 π 𝑖 → 𝑗; τ = p 𝑗 π(𝑗∗ → 𝑖∗; τ) →詳細釣り合い • 熱平衡状態のカノニカルアンサンブルの場合 𝑒−β𝐻𝑖 𝑝,𝑞 𝑍 π 𝑖 → 𝑗; τ = 𝑒−β𝐻𝑗 𝑝,𝑞 𝑍 π(𝑗∗ → 𝑖∗; τ) (1) π(𝑗∗ → 𝑖∗ ; τ) π 𝑖 → 𝑗; τ = 𝑒 −β 𝐻𝑖 𝑝,𝑞 −𝐻𝑗 𝑝,𝑞 = 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 = 𝑒−Δ𝑆𝑖→𝑗 𝑏𝑎𝑡ℎ *注ボルツマン定数𝑘（統計熱力学の代表的な定数）が1になるような単位系を用いている。他分野だと、プランク定数ℎ （量子力学の代表的な定数）や光速𝑐（相対性理論の代表的な定数）が1になるような単位系が使われることがある。 • 逆方向・順方向の遷移確率行列の比と湯浴（環境）のエントロピー増加分が結ばれた。 14

15. 前提 [情報熱力学・非平衡統計力学の話] 【局所詳細釣り合い】 • 系が熱力学的平衡状態ではないとこの話は使えない… →微視的状態の確率分布p 𝑖 、p 𝑗 はカノニカル分布には従わない！ • しかし、遷移確率行列は熱力学的非平衡状態でも平衡状態と同じであると見なすことができるのではないか？ →ハミルトン力学の正準運動方程式（状態の確率遷移を記述していると見なせる）は、熱力学的に非平衡であっても、平衡であっても形は変わらない。 π𝑛𝑒𝑞(𝑗∗ → 𝑖∗; τ) π𝑛𝑒𝑞 𝑖 → 𝑗; τ = π𝑒𝑞(𝑗∗ → 𝑖∗; τ) π𝑒𝑞 𝑖 → 𝑗; τ = 𝑒−Δ𝑆𝑖→𝑗 𝑏𝑎𝑡ℎ (2) →局所詳細釣り合い（あくまで仮定） 15

16. 前提 [情報熱力学・非平衡統計力学の話] 【参考にしたwebサイト（備忘録を兼ねて）】 • 非平衡統計力学ー熱的系から非熱的系へー https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/189515/1/bussei_el_033204.pdf • ゆらぐ系の熱力学から熱機関への法則へ：パワーと効率の普遍的関係 http://mercury.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~bussei.kenkyu/wp/wp- content/uploads/6300-072213.pdf • 情報熱力学入門：情報理論のその先へ https://segfault11.hatenablog.jp/entry/2019/12/02/000000 • Fluctuation Theoremによる分子モーターの駆動力測定 https://www.jstage.jst.go.jp/article/biophys/51/4/51_4_188/_pdf 16

17. 巨視的な不可逆性 • 前回：微視的状態𝑖から𝑗に遷移する経路は1つ。 • 今回： 𝑖から𝑗に遷移する経路は無数。 βΔ𝑄 𝑥 𝑡 = 𝑙𝑛 π 𝑥 𝑡 π 𝑥 τ − 𝑡 (3) → 𝑥 𝑡 は、 𝑖 → 𝑗の任意の軌道の時刻𝑡 時点での微視的状態。（𝑥 𝑡 = 0 = 𝑖、𝑥 𝑡 = τ = 𝑗） → 𝑥 τ − 𝑡 は、 j → 𝑖の任意の軌道の時刻𝑡 時点での微視的状態。（𝑥 τ − 𝑡 = τ = 𝑖、𝑥 τ − 𝑡 = 0 = 𝑗） 17

18. 巨視的な不可逆性 • 軌道の式（3）から微視状態間の遷移確率行列の関係式を導出する（遷移確率行列は時間非依存であるとする）。 βΔ𝑄 𝑥 𝑡 = 𝑙𝑛 π 𝑥 𝑡 π 𝑥 τ − 𝑡 𝑡=0 τ π 𝑥 τ − 𝑡 π 𝑥 𝑡 = 𝑡=0 τ 𝑒−βΔ𝑄 𝑥 𝑡 = 𝑒−β 𝑡=0 τ Δ𝑄 𝑥 𝑡 𝑡=0 τ π 𝑥 τ − 𝑡 = 𝑒−β 𝑡=0 τ Δ𝑄 𝑥 𝑡 𝑡=0 τ π 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡=0 τ π 𝑥 τ − 𝑡 = 𝑥 𝑒−β 𝑡=0 τ Δ𝑄 𝑥 𝑡 𝑡=0 τ π 𝑥 𝑡 ∗ 注 𝑥 = 𝑥 τ … 𝑥 0 𝑥 𝑡=0 τ π 𝑥 τ − 𝑡 𝑥 𝑡=0 τ π 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑒−β 𝑡=0 τ Δ𝑄 𝑥 𝑡 𝑡=0 τ π 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡=0 τ π 𝑥 𝑡 π(𝑗 → 𝑖) π 𝑖 → 𝑖 = 𝑒−β 𝑡=0 τ Δ𝑄 𝑥 𝑡 𝑖→𝑗 = 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 18

19. 巨視的な不可逆性 • 粗視化を行う（微視的状態に対応する巨視的状態を恣意的に考える）。 →巨視的状態Ⅰ：バクテリアが1匹（微視的状態iに対応） →巨視的状態Ⅱ：バクテリアが2匹（微視的状態jに対応） • バクテリアが分裂…巨視的状態Ⅰ→Ⅱ（微視的状態i→j） • Ⅰ→Ⅱ、Ⅱ→Ⅰの遷移確率行列の成分を π Ⅰ → Ⅱ 、π Ⅱ → Ⅰ 、微視的状態𝑖、 𝑗 の条件付確率𝑝 𝑖 Ⅰ 、𝑝 𝑗 Ⅱ をとすると π Ⅰ → Ⅱ = Ⅱ 𝑑𝑗 Ⅰ 𝑑𝑖 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) (4) π Ⅱ → Ⅰ = Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑝 𝑗 Ⅱ π(𝑗 → 𝑖) (5) 19

20. 巨視的な不可逆性 • 式変形でやりたいこと…分母と同じ形を分子に作る。 π Ⅱ → Ⅰ π Ⅰ → Ⅱ = Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑝 𝑗 Ⅱ π(𝑗 → 𝑖) Ⅱ 𝑑𝑗 Ⅰ 𝑑𝑖 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) = Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑗 → 𝑖) Ⅱ 𝑑𝑗 Ⅰ 𝑑𝑖 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) = Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑒 𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅱ 𝑑𝑗 Ⅰ 𝑑𝑖 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) = Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) 𝑒 𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅱ 𝑑𝑗 Ⅰ 𝑑𝑖 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) = 𝑒 𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅰ→Ⅱ (6) 20

21. 巨視的な不可逆性 π Ⅱ → Ⅰ π Ⅰ → Ⅱ = 𝑒 𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅰ→Ⅱ 𝑒 −𝑙𝑛 π Ⅱ→Ⅰ π Ⅰ→Ⅱ +𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅰ→Ⅱ = 1 7 𝑒 −𝑙𝑛 π Ⅱ→Ⅰ π Ⅰ→Ⅱ +𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ −βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅰ→Ⅱ = 1 • マクローリン展開の1次の項まで取ると −𝑙𝑛 π Ⅱ → Ⅰ π Ⅰ → Ⅱ + 𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ − βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅰ→Ⅱ ≤ 0 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + 𝑙𝑛 π Ⅱ → Ⅰ π Ⅰ → Ⅱ + −𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ Ⅰ→Ⅱ ≥ 0 21

22. 巨視的な不可逆性【論文に書かれてある道筋】 • A Ⅰ→Ⅱは、Aを巨視的な集団Ⅰの微視的状態iから巨視的集団Ⅱの微視的状態jに遷移する全ての経路の確率で加重平均を取ったものである。なので… −𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ Ⅰ→Ⅱ = − 𝑝 𝑗 Ⅱ log𝑒 𝑝 𝑗 Ⅱ + 𝑝 𝑖 Ⅰ log𝑒 𝑝 𝑖 Ⅰ = 𝑆Ⅱ − 𝑆Ⅰ = Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 • 𝑆Ⅰ、𝑆Ⅱは、シャノンエントロピー（平均情報量）である。 • 個人的な疑問…そもそもこの式、成り立たないと思う。 22

23. 巨視的な不可逆性【個人的に思う道筋】 • そもそも −𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ Ⅰ→Ⅱ ≠ − 𝑝 𝑗 Ⅱ log𝑒 𝑝 𝑗 Ⅱ + 𝑝 𝑖 Ⅰ log𝑒 𝑝 𝑖 Ⅰ だと思う。 −𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ Ⅰ→Ⅱ = − Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) log𝑒 𝑝 𝑗 Ⅱ − log𝑒 𝑝 𝑖 Ⅰ Ⅱ 𝑑𝑗 Ⅰ 𝑑𝑖 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖 → 𝑗) • 𝑝(𝑖│Ⅰ)𝜋(𝑖→𝑗) Ⅱ 𝑑𝑗 Ⅰ 𝑑𝑖 𝑝 𝑖 Ⅰ π(𝑖→𝑗) は、巨視的状態Ⅰのある微視的状態iが巨視的状態微Ⅱのある微視的状態jへ遷移する確率。これを 𝑝(𝑖Ⅰ → 𝑗Ⅱ)とすると、 −𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ Ⅰ→Ⅱ = − Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑝 𝑖Ⅰ → 𝑗Ⅱ log𝑒 𝑝 𝑗 Ⅱ − log𝑒 𝑝 𝑖 Ⅰ 23

24. 巨視的な不可逆性 −𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ Ⅰ→Ⅱ = − Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑝 𝑖Ⅰ → 𝑗Ⅱ log𝑒 𝑝 𝑗 Ⅱ − log𝑒 𝑝 𝑖 Ⅰ = Ⅰ 𝑑𝑖 Ⅱ 𝑑𝑗 𝑝 𝑖Ⅰ → 𝑗Ⅱ 𝑆Ⅱ ′ − 𝑆Ⅰ ′ = Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ • シャノンエントロピー（平均情報量）ではなく、自己エントロピー（選択情報量）の期待値では？ • シャノンエントロピーは、𝑝 𝑖 Ⅰ と𝑝 𝑗 Ⅱ の2つの確率分布間に相関関係はない。 • 今回の場合、両者の相関関係は、確率遷移行列で記述されている。 −𝑙𝑛 𝑝 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ Ⅰ→Ⅱ は、iからjへ状態が「遷移」するときの微視状態のエントロピー変化の期待値 24

25. 巨視的な不可逆性【巨視的な不可逆過程に対する熱力学第二法則の一般化】 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ + 𝑙𝑛 π Ⅱ → Ⅰ π Ⅰ → Ⅱ ≥ 0 (8) • β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱは、湯浴のエントロピー変化の期待値、 Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱは、系のエントロピー変化の期待値。つまり、 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱは、全系のエントロピー変化の期待値を表している。 • 巨視的状態ⅠとⅡが同一のものである場合、 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ ≥ 0 →熱力学第二法則 25

26. 巨視的な不可逆性 • 巨視的状態ⅠとⅡが同一のものである場合、先ほどの 𝑒 −𝑙𝑛 π Ⅱ→Ⅰ π Ⅰ→Ⅱ +𝑙𝑛 𝑝 Ⅱ→Ⅰ 𝑗 Ⅱ 𝑝 𝑖 Ⅰ 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅰ→Ⅱ = 1 7 は、 𝑒 𝑙𝑛 𝑝 j 𝑝 𝑖 𝑒−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅰ→Ⅱ = 1 𝑒−Δ𝑆𝑖𝑛𝑡−βΔ𝑄𝑖→𝑗 𝑖→𝑗 Ⅰ→Ⅱ = 1 →ゆらぎの定理 • マクローリン展開で展開し、一次近似を行うと、 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ ≥ 0 →熱力学第二法則は、全系の期待値では成立しているが、微視状態で見ると、破れることもある。（ここら辺の話は、生物を記述ために一番適している物理学だと思うので、勉強しておくと役に立つかも？） 26

27. 巨視的な不可逆性 • 巨視的な不可逆過程に対する熱力学第二法則の一般化 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ ≥ 𝑙𝑛 π Ⅰ → Ⅱ π Ⅱ → Ⅰ • 熱力学第二法則 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ ≥ 0 • 巨視的な不可逆性（π Ⅰ → Ⅱ ≫ π Ⅱ → Ⅰ ）が全系のエントロピー変化（エントロピー生成）により厳しい制限を課している。（π(Ⅰ→Ⅱ)、π Ⅱ → Ⅰ は実験により推定。）巨視的な状態遷移が不可逆であればあるほど、より多くのエントロピー生成が求められる。 27

28. 自己複製の一般的制約 • 生物は指数関数的に自己複製し適応度に従って自然選択される（この論文では進化の話には踏み込んでいない…）。 →過去から未来への過程は非常に不可逆的。 →けれども今回、この不可逆性がもたらすものを情報熱力学・非平衡統計力学の言葉で定量的に知れるようになった。 • 逆温度βで生きている集団サイズn（≫1）の自己複製子を考えるとマスター方程式（確率の時間発展を記述）は次のように書ける。 𝑝𝑛 𝑡 = 𝑔𝑛 𝑝𝑛−1 𝑡 − 𝑝𝑛 𝑡 − δ𝑛 𝑝𝑛 𝑡 − 𝑝𝑛+1 𝑡 (9) 𝑝𝑛 𝑡 は、時刻tのときに集団サイズがnである確率。gは比増加率、δは比減少率（𝑔 > δ > 0）。複製子の減少は増加の巻き戻し過程で起こるとする。 28

29. 自己複製の一般的制約 • 十分短い時間幅で複製子が1つから2つになる遷移確率は π Ⅰ → Ⅱ = 𝑔𝑑𝑡、複製子が2つから1つになる遷移確率は、 π Ⅱ → Ⅰ = δ𝑑𝑡と書くことができる。（π Ⅰ → Ⅱ = 1 − 1 − 𝑔 𝑡 。𝑡 = 𝑑𝑡ならπ Ⅰ → Ⅱ ≈ 1 − 1 + 𝑔𝑑𝑡。π Ⅱ → Ⅰ も同様） • これを先ほどの一般化された熱力学第二法則に代入すると β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ ≥ 𝑙𝑛 π Ⅰ → Ⅱ π Ⅱ → Ⅰ = 𝑙𝑛 𝑔 δ (10) *注 2つの複製子が1つになる過程だからと言ってδを2δとしてはいけない。古典系の粒子は、量子系の粒子とは異なり、互いの位置を区別することができる。1つの複製子が2つに分裂すると、混合エントロピーが増加する。その増加分が2δの2と相殺するため、2は加えない。また、粗視化の定義を見直して、生まれたばかりの複製子だけを考えると、2を加えなくてもいいことが分かる。どちらの方法で考えてもいいが、個人的には前者の方がしっくりくる。 29

30. 自己複製の一般的制約 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ ≥ 𝑙𝑛 𝑔 δ 𝑒β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ+ Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ ≥ 𝑔 δ 𝑔 ≤ δ𝑒β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ+ Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ 𝑔𝑚𝑎𝑥 = δ𝑒β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ+ Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ (11) →自己複製子の理論的に許される最大比増加率は、内部エントロピー変化（ Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ）、耐久性（1 δ）、複製反応中に外部に放出される熱量（ Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ）の3要素で決まる。【より多く増える複製子とは？】 • Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱが大きい…環境中に放出する熱量が大きい。 • 1 δ が小さい…自己複製反応が可逆に近い。 • Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱが大きい…構造が単純。 *注 Ⅰ→Ⅱでバクテリアが1つ増える。自由に運動していた分子・原子がバクテリアの一部として捕捉されるのでエントロピーが減少する。構造が単純であれば、捕捉される粒子の数が少ないので、エントロピー減少分は小さい。 30

31. 自己複製するポリヌクレオチド • ポリヌクレオチドは、自己複製のダイナミクスにおけるエントロピー生成の役割を研究する上で役に立つ。 • 塩基の反応の逆過程（負電荷を持つピロリン酸が同じく負電荷を持つポリヌクレオチドに求核攻撃）は起きにくい。 • ポリヌクレオチドの倍加時間が1時間（*注）、加水分解による半減期が4年（*注2）とすると 𝑙𝑛 𝑔 δ ≥ 𝑙𝑛 4年 1時間 *注出典なし、たぶんRNAの自己触媒反応、リボザイムのことを考えていると思うが、それならもっと時間がかかると思う。伸長反応のdoubling timeと書かれているが、この章の後半には、「DNAの1塩基が伸長する時間が1 h～」と書かれているので、倍加時間のことを1 hと言っているのか、塩基が1つ伸長する時間を1 hと言っているのかよく分からない。 *注2 RNAseの加水分解実験より推定。伸長反応の逆反応はピロリン酸による求核攻撃。一方、RNAseによる加水分解は水の求核攻撃。伸長反応の逆反応ではない。RNAはDNAより可逆的（逆反応が起きやすい）という仮定の下、話が進んでいくが、加水分解の主原因はRNAの2’位に反応性の高い酸素原子がいることだと思うので、反応の可逆性（ピロリン酸による求核攻撃の起きやすさ）で言えば、RNAもDNAもあまり変わらないような気がする。 31

32. 自己複製の一般的制約 • 伸長反応では、基質の取り込みによって、混合エントロピーが下がるが、その後のピロリン酸生成で、その減少分を相殺するので、内部エントロピーの変化は無視する。 *基質は4種類、生成物はピロリン酸の1種類なので混合エントロピーは相殺ではなく下がると思う Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ ≥ 𝑙𝑛 4年 1時間 = 7 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙 (12) • 実験データによると、この反応のエンタルピーHは 10 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙である。この実験に使われた分子は、熱力学的効率の限界付近（7 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙以下の排熱でこの反応は起こせない）で作動している。 *エンタルピーは、H = 𝑈 + 𝑝𝑉と書かれる状態量。等圧仮定の時、H = 𝑄と書ける。高校の化学でこっそりお世話になったと思う（ヘスの法則）。 32

33. 自己複製の一般的制約 • 加水分解により安定なDNAの場合、 Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ ≥ 𝑙𝑛 3 × 107年 1時間 = 16 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙 • 伸長反応のエンタルピーHの実験値は10 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙なので、 DNAが自己触媒となって自己複製反応する現象は熱力学的に禁止されている。 • 化学的に不安定なRNAの自己複製は、DNAよりも可逆的。一般化された熱力学第二法則より、少ない排熱（少ないエネルギー）で、自己複製を行うことができる。 →原始地球に誕生した自己複製子がDNAではなくRNAであると考えられていることと、関連があるかも。 33

34. 自己複製の一般的制約 • 比増加率がg、比減少率がδで表されているとき、自己複製の倍加時間は、おおよそ1/(g-δ)であるといえる。 • 熱力学的制約は、g/δに課せられているが、倍加時間1/(g-δ) には課せられていない。 →自己複製のコストを固定したまま、倍加時間1/(g-δ)を任意に大きくすることができる。 →RNAの壊れやすさ（δが大きい）は、ある条件下では環境適応度が高いと考えることができる。 34

35. 自己複製の一般的制約 • バクテリア内の分子のエネルギー分布がボルツマン分布に従っている場合、この話は反応速度論（アレニウスの式）で書くことができる。 𝑙𝑛 𝑘𝑓 𝑘𝑟 = −βΔG = −βΔQ + Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 𝑘𝑓 𝑘𝑟 = 𝑒−βΔQ+Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 • 始状態と終状態がボルツマン分布（系のエントロピーが最大になっている分布、熱力学的平衡状態）であるときに成立する。 • 一方、今回の理論は、始状態と終状態がボルツマン分布であるという仮定は用いていない（用いているのは局所詳細釣り合い）。 →熱力学的平衡状態と見なすことができない生物系でも成り立つ。 35

36. バクテリアの細胞分裂【巨視的状態（実験条件）Ⅰ】 • 1つの菌と周辺の培地を1つの系と考える。 • 蓋は密閉され、体積、質量は変化しない。 • 系と湯浴（T~311K）間の熱の移動は起こる。 • 細胞分裂の周期が始まったばかり。 • この系がエネルギー𝐸𝑖を持つ微視的状態iを取っている確率は、𝑝 𝑖 Ⅰ 。もちろん、これはカノニカル分布ではない。【巨視的状態（実験条件）Ⅱ】 • バクテリアが細胞分裂し、2つになる。 36

37. バクテリアの細胞分裂 • π Ⅰ → Ⅱ …細胞分裂でバクテリアが1つから2つになる。 • π Ⅱ → Ⅰ …一方のバクテリアが分子レベルまで分解される。【バクテリアの崩壊確率モデルを考える（ Ⅱ → Ⅰ ）】 • 簡単のため、バクテリアのペプチド結合が全て分解される過程をバクテリアの崩壊とする。 • ペプチド結合の数を𝑛𝑝𝑒𝑝、分裂時間をτ𝑑𝑖𝑣ペプチド結合の半減期をτℎ𝑦𝑑とする。 • バクテリアの成長速度は、r = 𝑛𝑝𝑟𝑒𝑝 τ𝑑𝑖𝑣。 37

38. バクテリアの細胞分裂【バクテリアの崩壊確率モデルを考える（ Ⅱ → Ⅰ ）】 • モデルを考えるためには、いつ崩壊し始めるかを指定しないといけない。 • 時間幅が小さすぎる場合 →その期間で崩壊する確率が低くなる。 • 時間幅が大きくなる場合 →ペプチド合成が多く合成され、細胞が自然崩壊する確率が小さくなる。 • 細胞が自然崩壊する確率が一番高くするには時間幅をどうすればいい？ →自己複製の熱出力の「下界」を求めたいから。 38

39. バクテリアの細胞分裂 • 細胞が完全に自然分解される確率𝑝ℎ𝑦𝑑は、 𝑝ℎ𝑦𝑑 ≈ 1 − 𝑒−𝑙𝑛 2 𝑡 τℎ𝑦𝑑 𝑛𝑝𝑒𝑝+𝑟𝑡 𝑝ℎ𝑦𝑑 ≈ 𝑙𝑛 2 𝑡 τℎ𝑦𝑑 𝑛𝑝𝑒𝑝+𝑟𝑡 𝑝ℎ𝑦𝑑 ≈ 𝑡 τℎ𝑦𝑑 𝑛𝑝𝑒𝑝+𝑟𝑡 𝑙𝑛 𝑝ℎ𝑦𝑑 ≈ 𝑛𝑝𝑒𝑝 + 𝑟𝑡 𝑙𝑛 𝑡 τℎ𝑦𝑑 (13) • 確率𝑝ℎ𝑦𝑑の最大値は、 𝑑 𝑑𝑡 𝑙𝑛 𝑝ℎ𝑦𝑑 ≈ 𝑑 𝑑𝑡 𝑛𝑝𝑒𝑝 + 𝑟𝑡 𝑙𝑛 𝑡 τℎ𝑦𝑑 = 0 𝑟𝑙𝑛 𝑡𝑚𝑎𝑥 τℎ𝑦𝑑 + 𝑛𝑝𝑒𝑝 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 𝑟 = 0 • r = 𝑛𝑝𝑟𝑒𝑝 τ𝑑𝑖𝑣なので 𝑙𝑛 𝑡𝑚𝑎𝑥 τℎ𝑦𝑑 + 𝑛𝑝𝑒𝑝 𝑟𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 = 0 𝑙𝑛 𝑡𝑚𝑎𝑥 τℎ𝑦𝑑 + τ𝑑𝑖𝑣 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 = 0 39

40. バクテリアの細胞分裂 • 𝑛𝑝𝑒𝑝 ≫ 𝑟𝑡だとすると（つまり分裂直後だとすると） 𝑙𝑛 𝑝ℎ𝑦𝑑 ≈ 𝑛𝑝𝑒𝑝 + 𝑟𝑡 𝑙𝑛 𝑡 τℎ𝑦𝑑 ≈ 𝑛𝑝𝑒𝑝𝑙𝑛 𝑡 τℎ𝑦𝑑 (14) • 𝑡𝑚𝑎𝑥のとき𝑙𝑛 𝑝ℎ𝑦𝑑 は最大値をとる。 𝑙𝑛 𝑡𝑚𝑎𝑥 τℎ𝑦𝑑 + τ𝑑𝑖𝑣 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 = 0 𝑙𝑛 𝑝ℎ𝑦𝑑 ≈ −𝑛𝑝𝑒𝑝 τ𝑑𝑖𝑣 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 • よって、細胞分裂後の娘細胞の一方が自然崩壊する遷移確率は、 𝑙𝑛 π Ⅱ → Ⅰ ≤ 2𝑙𝑛 𝑝ℎ𝑦𝑑 ≈ −2𝑛𝑝𝑒𝑝 𝑡𝑚𝑎𝑥 τ𝑑𝑖𝑣 + 1 (15) • そもそも、細胞分裂が始まる序盤を巨視的状態Ⅰと定義していたので、 π Ⅰ → Ⅱ ≈ 1 40

41. バクテリアの細胞分裂 • 自己複製によって発生する熱の下限は、 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ ≥ 𝑙𝑛 π Ⅰ → Ⅱ π Ⅱ → Ⅰ − Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ ≥ 2𝑛𝑝𝑒𝑝 τ𝑑𝑖𝑣 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 − Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ (16) 自己複製によって生じる熱は、周囲の分子から生物の体を構成することによるエントロピー減少分 Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ のみならず、自己複製に要する時間や自然崩壊確率を最大にするような時間𝑡𝑚𝑎𝑥によって決まる。 41

42. バクテリアの細胞分裂【まずは、内部エントロピー変化を具体的に考えてみる】内部エントロピーの増加…酸素と二酸化炭素の等モル変換。呼吸の「吸」から • 呼吸でn molの酸素を取り込む。酸素の体積は22.4n L。バクテリアの体積をΔVとする。大気中に酸素は、20.95%存在しているので、n molの酸素は22.4n/0.2095 Lの大気に拡散している。 • 呼吸によって22.4n/0.2095 L中に分散してる酸素分子をバクテリア内ΔVに集めることにより、変化するエントロピーは、 ∆𝑆1 = 22.4𝑛 0.2095 Δ𝑉 𝑛𝑅𝑑𝑉 𝑉 = 𝑛𝑅𝑙𝑛 0.2095Δ𝑉 22.4𝑛 42

43. バクテリアの細胞分裂内部エントロピーの上昇…酸素と二酸化炭素の等モル変換。次は呼吸の「呼」 • 呼吸でn molの二酸化炭素を吐き出す。二酸化炭素の体積は 22.4n L。バクテリアの体積をΔVとする。大気中に酸素は、 0.032%存在しているので、n molの二酸化炭素は 22.4n/0.00032 Lの大気に拡散している。 • 呼吸によって発生した二酸化炭素をバクテリア内ΔVから 22.4n/0.00032 Lの大気中に分散させることによって変化するエントロピーは、 ∆𝑆2 = Δ𝑉 22.4𝑛 0.000032 𝑛𝑅𝑑𝑉 𝑉 = 𝑛𝑅𝑙𝑛 22.4𝑛 0.00032Δ𝑉 43

44. バクテリアの細胞分裂内部エントロピーの上昇…酸素と二酸化炭素の等モル変換。 • よって、呼吸の「吸」と「呼」によって変化するエントロピーは、 ∆𝑆𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = ∆𝑆1 + ∆𝑆2 = 𝑛𝑅𝑙𝑛 0.2095Δ𝑉 22.4𝑛 + 𝑛𝑅𝑙𝑛 22.4𝑛 0.000032Δ𝑉 ∆𝑆𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑛𝑅𝑙𝑛 0.2095 0.00032 ~6𝑛𝑅 = 6𝑛𝑘𝑁𝐴 = 6𝑛𝑁𝐴 • 𝑁𝐴はアボガドロ定数。この論文では、ボルツマン定数が1になるような自然単位系を使っているので、𝑘 = 1。 • 呼吸によって内部エントロピーは、6𝑛𝑁𝐴増加する。 44

45. バクテリアの細胞分裂【まずは、内部エントロピー変化を具体的に考えてみる】内部エントロピーの減少…同化（環境中のアミノ酸からタンパク質合成）。【論文に書かれてある道筋】 100 𝑛𝑚3中に浮遊しているアミノ酸がタンパク質合成に使われ、最終的にタンパク質の一部領域0.001 𝑛𝑚3 に折り畳まれた。 ∆𝑆𝑎𝑛𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑠𝑚~𝑛𝑅𝑙𝑛 0.001 100 ~ − 12𝑛𝑁𝐴 • 𝑁𝐴はアボガドロ定数。この論文では、ボルツマン定数が1になるような自然単位系を使っているので、𝑘 = 1。 • 同化によって内部エントロピーは、−12𝑛𝑁𝐴増加する。 45

46. バクテリアの細胞分裂【個人的に思う道筋】 • 論文では、100 𝑛𝑚3 のアミノ酸がタンパク質の一部として 0.001 𝑛𝑚3まで折り畳まれるという仮定を置いて、同化による内部エントロピー変化を計算していた。 →100 𝑛𝑚3 、0.001 𝑛𝑚3 がどこから出てきた数字なのか不明（出典無し）。 • もっと納得できる筋道を個人的に考えてみた。 46

47. バクテリアの細胞分裂 • 論文で想定している培地には、1% トリプトンが含まれている（何も書かれていないがおそらく重量%）。 • トリプトンはカゼインというタンパク質を加水分解して作られる。加水分解によって全てアミノ酸になったとする。 • 培地が水と1%トリプトンの混合物であるとする。アミノ酸の分子量は水の約10倍なので、水とアミノ酸のモル比は、 1000 : 1。 • タンパク質は、およそ100個のアミノ酸残基で構成されているとする。 • 培地中に散らばった100個のアミノ酸から1個のタンパク質ができる。 →水と混合していた100個のアミノ酸が一か所に集まる。 47

48. バクテリアの細胞分裂 • x molのタンパク質、アミノ酸、水の体積が全て同じであると見なす（理想液体的な考え）。 • アミノ酸100x molは、100000x molの水に溶けている。 • アミノ酸溶液の体積は、 100000xVである。 • 体積（100000xV）中に浮遊している100x molのアミノ酸がタンパク質の体積（xV）中の領域に集まったとする。 • 水分子のモル濃度を適当にyと置くと ∆𝑆𝑎𝑛𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑠𝑚 = −100𝑥𝑅𝑙𝑛 100𝑥 𝑥𝑉 100𝑥 𝑥𝑉 + 𝑦 + 100𝑥𝑅𝑙𝑛 100𝑥 100000𝑥𝑉 100𝑥 100000𝑥𝑉 + 𝑦 ≈ −100𝑥𝑅𝑙𝑛 100𝑥 𝑥𝑉𝑦 + 100𝑥𝑅𝑙𝑛 100𝑥 100000𝑥𝑉𝑦 = −100𝑥𝑅𝑙𝑛100000 ∆𝑆𝑎𝑛𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑠𝑚 ≈ −1200𝑥𝑅 = −1200𝑥𝑘𝑁𝐴 = −1200𝑥𝑁𝐴 *注遊離しているアミノ酸が一か所に集まっても、水のモル分率はほとんど変わらない。そのため、上記の式は、アミノ酸のモル分率の変化だけを考慮している。𝑁_𝐴はアボガドロ定数。この論文では、ボルツマン定数が1になるような自然単位系を使っているので、𝑘=1。 48

49. バクテリアの細胞分裂【内部エントロピー変化は？】内部エントロピー変化＝呼吸＋同化。 Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ = ∆𝑆𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 + ∆𝑆𝑎𝑛𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑠𝑚 = 6𝑛𝑁𝐴 − 1200𝑥𝑁𝐴 • 実験によると、細胞が分裂の際に消費する酸素分子と新しく作られた細胞のアミノ酸の数（ペプチド結合の数𝑛𝑝𝑒𝑝）はほぼ等しい。 ∆𝑆𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 6𝑛𝑁𝐴 = 6𝑛𝑝𝑒𝑝 ∆𝑆𝑎𝑛𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑠𝑚 = −1200𝑥𝑁𝐴 = −12𝑛𝑝𝑒𝑝 • よって内部エントロピー変化は、 Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ = −6𝑛𝑝𝑒𝑝 49

50. バクテリアの細胞分裂【不可逆性を表す項を具体的に考えてみる】バクテリアの細胞分裂時間τ𝑑𝑖𝑣は20分、ペプチド結合の自発的な加水分解による半減期は600年だとすると 𝑙𝑛 𝑡𝑚𝑎𝑥 τℎ𝑦𝑑 + τ𝑑𝑖𝑣 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 = 0 𝑙𝑛 𝑡𝑚𝑎𝑥 − 𝑙𝑛 600 × 365 × 24 × 60 + 20 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 = 0 𝑙𝑛 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 20 𝑡𝑚𝑎𝑥 − 18.57 = 0 𝑡𝑚𝑎𝑥 ≈ 1 𝑙𝑛 π Ⅰ → Ⅱ π Ⅱ → Ⅰ ≈ 2𝑛𝑝𝑒𝑝 τ𝑑𝑖𝑣 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 ≈ 2𝑛𝑝𝑒𝑝 20 + 1 = 42𝑛𝑝𝑒𝑝 50

51. バクテリアの細胞分裂【バクテリアの自己複製によって発生する熱の下限は？】 β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ ≥ 2𝑛𝑝𝑒𝑝 τ𝑑𝑖𝑣 𝑡𝑚𝑎𝑥 + 1 − Δ𝑆𝑖𝑛𝑡 Ⅰ→Ⅱ β Δ𝑄 Ⅰ→Ⅱ ≥ 42𝑛𝑝𝑒𝑝 + 6𝑛𝑝𝑒𝑝 = 50𝑛𝑝𝑒𝑝 • 生物は、自己組織化に多くのコストを割いているように思われるが、今回の結果では、自己組織化よりも分解されにくい（不可逆な）自己複製を行うことに多くのコストをかけていることが分かる。 • 実験値は、220𝑛𝑝𝑒𝑝。今、考えている環境には最適化されていない。しかし、広範な環境に適応できる生物の特性を考えると、1つの条件で最適化されていないのは当然かも。 • 220𝑛𝑝𝑒𝑝の環境への放熱（エントロピーの増大）で現在のバクテリアよりも、よく増えるバクテリアの誕生は熱力学的に許されている。 51

52. まとめ「自己複製の速度はどのくらいまで速くなることを許されているのか？」 →逆温度一定の条件下、非平衡過程の順方向と逆方向の遷移確率と環境中への発熱量を結びつける熱力学第二法則の一般化によって宣言することができた。 →「粗視化」を行い、注目している巨視的状態に対応する微視的状態数が決定されることによって、巨視的な現象を確率論的に語ることができる。（巨視的状態Ⅰ＝巨視的状態Ⅱとして、ゆらぎのある熱力学第二法則を導出している例はよく見かけた。この論文の独創的な点は、巨視的状態Ⅰ≠巨視的状態Ⅱとして、興味のある始状態、終状態にⅠ、Ⅱというラベルを付けるという「粗視化」を行ったことだと思う） 52

Jeremy L. England "Statistical physics of self-replication"　自己複製の統計物理学

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Jeremy L. England "Statistical physics of self-replication"　自己複製の統計物理学

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