Volkenstein F. F.

2,497 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Volkenstein F. F.

  1. 1. Ф.Ф.Волькенштейн Электроны и кристаллыМОСКВА «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1983г.
  2. 2. 22.37 В 71 УДК 539.2 В 71 Волькенштейн Ф. Ф. Электроны и кристаллы. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 128 с. с ил. В этой книжке рассматриваются некоторые вопросы физики твердого тела.Речь идет о поведении электронов в кристаллах: в металлах, полупроводниках идиэлектриках. И о некоторых свойствах этих кристаллов. Книжка не претендуетна то, чтобы быть исчерпывающим обзором современных достижений физикитвердого тела. Автор поставил перед собой более скромную задачу: описатьнекоторые основополагающие представления физики металлов, полупроводникови диэлектриков. Книжка рассчитана на читателя, оканчивающего среднюю школуили уже ее окончившего, но еще не забывшего школьного курса физики. Авторпытается вести изложение на наглядном модельном языке, не выходя, насколькоэто возможно, за рамки классических представлений. © Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983
  3. 3. ОГЛАВЛЕНИЕВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ: О ЗАКОНАХ ПОПУЛЯРИЗ……….…….4ВВЕДЕНИЕ …………………………………………...…………………. 6§ 1. О каких электронах будет идти речь в этой книжке?.......................6§ 2. Каким кристаллам посвящена эта книжка?.......................................9Глава 1. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ………………………..…….…...14§ 1. «Свободные» и «связанные» электроны…………………..….…...14§ 2. «Электронный газ» в металле...........................................................19§ 3. Успехи и неудачи классической теории металлов………….…..25§ 4. Испускание электронов металлами..................................................29§ 5. Электрон в периодическом поле. Проводники и изоляторы ........35Глава 2. ЭЛЕКТРОНЫ В ПОЛУПРОВОДНИКЕ...................................40§ 1. «Порядок» и «беспорядок» в кристалле…………………...……....40§ 2. Свободные электроны и свободные дырки в полупроводник..….43§ 3. Язык «энергетических зон» и «локальных уровней»………….....47§ 4. Проводимость полупроводников......................................................51§ 5. Электроны и кванты………………………….……………….…....57Глава 3. ЭЛЕКТРОНЫ НА ПОВЕРХНОСТИПОЛУПРОВОДНИКА…………………………………………………..61§ 1. Проблема поверхности в физике и в химии полупроводников.....61§ 2. Адсорбция на поверхности полупроводника…………..…….......64§ 3. Роль электронов и дырок при адсорбции………………………….68§ 4. Взаимодействие поверхности с объемом.........................................71§ 5. Химические реакции на поверхности полупроводников.............74Глава 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ДИЭЛЕКТРИКЕ…………………..…......... 78§ 1. Проводимость диэлектриков.............................................................78§ 2. Пробой диэлектриков.........................................................................81§ 3. Окрашивание кристаллов…………………………………………..86§ 4. Свечение кристаллов..........................................................................90§ 5. Электрические магниты — электреты.............................................94§ 6. Диэлектрическая проницаемость.....................................................97§ 7. Сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики……………………..………101ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ: ТЕОРИЯ ИЭКСПЕРИМЕНТ……………………………………………………..105
  4. 4. ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ: О ЗАКОНАХ ПОПУЛЯРИЗАЦИИ Всякий ученый, специалист в той или иной области науки, знает,что написать научную монографию гораздо легче, чем научно-популярную книжку на ту же тему. Выступить с докладом передузким кругом коллег легче, чем прочитать научно-популярнуюлекцию перед широкой аудиторией. Это потому, что ученые говорят на своем, специфическом длякаждой отрасли науки, языке, непонятном для специалистов другойотрасли науки и тем более для людей, не имеющих специальногообразования. Такие люди, попав в среду ученых, чувствуют себя так,как если бы они попали в среду людей, говорящих на чужом языке.Они понимают лишь отдельные слова, перемешанные с непонятнымисловами, так что смысл разговора от них ускользает. Популяризатор — это переводчик, переводящий речь ученого наобщедоступный язык. Популяризация науки, так же как переводстихотворения на другой язык,— это особое искусство, требующееособого мастерства. Я хотел бы предложить такой список основных законов («сводзаконов»), которому должен подчиняться популяризатор. Прежде всего, популяризатор должен быть совершенно точен приизложении материала. Ничего не может быть легче и соблазнительнее,чем делать непонятное понятным за счет упрощений, искажений, аиногда даже допущения неправильностей в изложении. Многиеавторы не могут удержаться от этого соблазна. В физике, как правило,нет таких вещей, которые были бы принципиально непонятными длянеискушенного читателя и не делались бы понятными без нарушениястрогости изложения, при надлежащем выборе угла зрения.
  5. 5. Второй закон: каждый впервые встречающийся термин илипонятие должны быть тут же объяснены. Без этого читательперестанет понимать текст, и произойдет то, что является самымстрашным для автора: читатель отложит его книгу в сторону. Так,например, если автор пишет: «Квадрат модуля волновой функцииэлектрона периодичен с периодом решетки», то он должен здесь жеили на предыдущих страницах, книги объяснить, что такое «квадратмодуля», что такое « перед ним, и автор понимает, что знает и чего незнает его читатель. Этим определяется язык, на котором авторразговаривает с читателем, и этим определяется граница, отделяющаянепонятное от понятного. Вся книга должна быть написана (за исключением некоторыхспециально оговоренных случаев) для читателя одного и того жеуровня. Это третий (совершенно очевидный) закон популяризации. Необходимо воздерживаться от употребления иностранных слов,если есть равнозначные русские слова. Текст, переписанныйиностранными словами, производит впечатление учености, а на самомделе является признаком неуважения к читателю. Многие популяризаторы считают необходимым вставлять в текстбеллетристические отступления. Возможны и даже желательныметафоры, аналогии, ассоциации, но беллетристические экскурсы, неимеющие отношения к излагаемому материалу, не делают непонятноепонятным, а всего лишь разжижают текст, подобно стакану воды,вылитому в тарелку с супом. Популяризатор иногда считает, что его задача состоит в том,чтобы па максимальном количестве страниц дать минимальноеколичество информации. В действительности же дело состоит не втом, много или мало подается информации на каждой странице книги,а в том, как подается эта информация. В этом «как» и состоитискусство популяризатора.
  6. 6. Нет греха, если один и тот же материал повторяется несколькораз в различных местах книги. Если, конечно, он освещается при этомпо-разному, подобно тому, как театральный юпитер освещает сценусветом то одного, то другого цвета. Это приводит к тому, чтоизлагаемый материал глубже внедряется в сознание читателя. Когда читатель раскрывает книгу, он дает свою руку автору,который дальше ведет его за собой по тропинкам дремучего леса,называемого «наукой». Чтобы не сбиться с пути, читатель все времядолжен помнить, а автор все время должен ему напоминать, куда онидет, какова цель его путешествия. Иначе говоря, читатель должендержать перед собой план книги, подобно путешественнику,держащему в руках карту своего маршрута. Знакомство с книгойначинается со знакомства с ее оглавлением, которое отражаетсодержание и построение книги. Автор должен вести читателя к целинаиболее коротким путем, не делая зигзагов в стороны. Отметим еще один, может быть самый важный закон, в этом«своде законов» популяризации. Книга должна быть интересной.Понятия «интересно» и «неинтересно» — это субъективные, а необъективные понятия. Все зависит от того, как посмотреть на вещи.Автор может видеть вещи так, что «интересное» покажется читателюскучным, или так, что «неинтересное» покажется ему увлекательным.Искусство популяризатора как раз и состоит в превращении«неинтересного» в «интересное». Задача научно-популярной книги состоит не только (и нестолько) в том, чтобы снабдить читателя некоторым запасом знанийпо данному предмету, сколько в том, чтобы возбудить в нем интерес кэтому предмету. Если, прочитав книгу, читатель потянется рукой ккнижной полке, чтобы взять другую книгу на ту же ила на близкуютему, то популяризатор может считать свою задачу выполненной.
  7. 7. В настоящей книжке рассматриваются некоторые вопросыфизики твердого тела. Речь будет идти о поведении электронов вметаллах, полупроводниках и диэлектриках. И о некоторых свойствахтел, обусловленных этим поведением. Книжка не претендует на то,чтобы быть исчерпывающим обзором современных достиженийфизики твердого тела. Автор поставил перед собой более скромнуюзадачу: описать некоторые основополагающие представления вфизике металлов, полупроводников и диэлектриков. Книжка являетсясвоего рода дополнением к соответствующим разделам в курсефизики средней школы. Она рассчитана на читателя, оканчивающегосреднюю школу или уже ее закончившего, но еще не забывшегошкольного курса физики. Автор не требует от читателя познаний, выходящих за рамкишкольной программы. Более того, в некоторых местах книги авторкасается вопросов, входящих в эту программу, но излагает ихнесколько иначе, чем это сделано в школьных учебниках.Математический аппарат, используемый в книге, не выходит запределы элементарной алгебры и элементов математического анализа,знакомых читателю по школьной программе. Автор пытается вести изложение на наглядном модельном языке,не выходя, насколько это возможно, за рамки классическихпредставлений. Однако современная физика твердого тола построенана фундаменте квантовой механики, управляющей микромиром(миром атомов и электронов). Здесь автор попадает в трудноеположение, поскольку он не вправе рассчитывать на знакомствочитателя с квантовой механикой. Поэтому в некоторых местах книгимы ограничиваемся изложением результатов теории твердого тела(заботясь лишь о том, чтобы эти результаты сделать понятными), нововсе не касаемся того, как эти результаты были получены. Здесьчитателю приходится верить автору на слово. Это, увы, неизбежно.
  8. 8. Автор не берется судить о том, в какой мере настоящая книжкаудовлетворяет «своду законов» популяризации, изложенному выше.Во всяком случае, он служил автору путеводителем при написаниикниги. Известный французский физик, один из основоположниковквантовой механики, Луи де Бройль сказал как-то, что «наука — этодочь удивления и любопытства». Задача популяризатора состоит втом, чтобы разбудить и поддерживать в читателе неиссякаемыми этидва чувства: удивление и любопытство.
  9. 9. ВВЕДЕНИЕ § 1. О КАКИХ ЭЛЕКТРОНАХ БУДЕТ ИДТИ РЕЧЬ В ЭТОЙ КНИЖКЕ? Всякое вещество, как известно, может находиться в твердом,жидком и газообразном состояниях. Эти состояния называютсяагрегатными состояниями вещества. К этим трем агрегатнымсостояниям, которые можно было бы назвать «классическими»,современная физика прибавила еще четвертое состояние - плазму.Плазма — это такое состояние вещества, при котором все атомывещества разрушены: с атомов сорваны частично или даже полностьюих электронные оболочки. Мы в этой книжке не будем говорить ни огазообразных телах, ни о жидких, ни, тем более, о плазме. Мысосредоточим наше внимание исключительно на твердом состояниивещества. Современная физика распадается на две ветви: физика атомногоядра и элементарных частиц, с одной стороны, и физика твердогосостояния — с другой. Это две основные магистрали, по которымидет развитие физики. В настоящее время это две самостоятельные,почти не пересекающиеся науки. Физик, занимающийся атомнымядром, часто бывает несведущ в физике твердого тела. И наоборот. Обращаясь к твердым телам, мы должны различать два сортатвердых тел: кристаллические аморфные. Примеромкристаллического тела является каменная (или поваренная) соль, скоторой мы встречаемся ежедневно за обеденным столом. Типичныйпример аморфного тела — обыкновенное стекло. Пожалуй, одна изосновных черт, отличающих аморфное тело от кристаллического, —это отсутствие определенной температуры плавления у аморфноготела. Вместо последней наблюдается более или менее растянутый
  10. 10. интервал размягчения, в котором тело постепенно переходит изтвердого состояния в жидкое. В этой книжке не будет речи обаморфных телах. Мы ограничимся рассмотрением кристаллическихтел. Кристаллические тела распространен в природе шире, чем этокажется первый взгляд. Кристаллическое тело может обладатьстрогой геометрической формой, характеризующейся более или менеесложной симметрией. Такие кристаллические тела называютсямонокристаллами. Наряду с ними существуют так называемыеполикристаллы, представляющие собрание множества мельчайшихмонокристалликов, пробно слепленных друг с другом. Крупинкаповаренной соли — пример монокристалла. Кусок медной проволокипример поликристаллического тела. Здесь, как это часто бывает,мелкие монокристаллики меди неразличимы невооруженным глазом.В физике слово «кристалл» имеет более широкий смысл, чем тот,который придается ему в общежитии. В нашей повседневной жизнимы называем «кристаллом» то, что физик называет«монокристаллом». В этой книжке речь в основном будет идти омонокристаллах. При переходе к поликристаллу сохраняются всесвойства монокристалла, но добавляются, однако, некоторыеспецифические особенности, обусловленные наличием стыков междуотдельными монокристалликами. Эти стыки могут приводить,например, к появлению дополнительного сопротивления припрохождении электрического тока через кристалл. Мы в дальнейшем будем для краткости употреблять слово«кристалл» вместо «монокристалл». Там, где речь будет идти ополикристалле, это будет специально оговариваться. Всякий кристалл состоит из отдельных частиц одного илинескольких разных сортов, расположенных на определенныхрасстояниях друг от друга в строго определенном порядке. Кристалл
  11. 11. подобен пчелиным сотам, построенным из одинаковых практическибесконечно повторяющихся ячеек. Каждая такая кристаллическаяячейка характеризуется определенной конфигурацией входящих в неечастиц. Совокупность кристаллических ячеек образует то, чтоназывается кристаллической решеткой. Каждая кристаллическаяячейка имеет грани, пересечения которых называются ребрами. Всвою очередь, пересечения ребер представляют собой узлыкристаллической решетки. Таким образом, кристалл это дом,построенный из совершенно одинаковых кирпичей. Эта строгаяпространственная периодичность в структуре кристалла —характерная его черта. Более того, эта строгая периодичностьструктуры может рассматриваться как определение самого понятиякристалла. Кристалл — это символ порядка. В противоположностьему символом полного хаоса является газ: составляющие его частицымечутся из стороны в сторону, сталкиваются и при каждом такомстолкновений меняют направление своего движения. По характеру частиц, составляющих кристалл, все кристаллыможно разделить на молекулярные, атомные и ионные. В первомслучае структурными элементами кристалла являются отдельныемолекулы. Каждая такая молекула представляет собой: группыатомов, сближенных, прочно связанных друг с другом и образующихединое целое. Атомные кристаллы построены из атомов, каждый изкоторых состоит из положительно заряженного ядра, в которомсосредоточена почти вся масса, и семейства электронов, суммарныйотрицательный заряд которых компенсирует положительный зарядядра. Атомные кристаллы могут состоять из атомов одногоопределенного сорта или из атомов нескольких разных сортов, длякаждого из которых отведены свои места в кристаллической решетке.Ионные кристаллы состоят из атомов, которые обладают недостаткомили избытком электронов, т.е. атомов, из электронной оболочки
  12. 12. которых изъят один или несколько электронов или, наоборот, вэлектронную оболочку которых добавлен один или несколькоэлектронов (такие электрически-заряженные атомы называются, какизвестно, ионами). Очевидно, ионный кристалл обязан содержать покрайней мере два сорта ионов, противоположно заряженных. Мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением атомных иионных кристаллов. Молекулярные кристаллы имеют с ними многообщего, но в то же время обладают своей спецификой, которую мыоставим в стороне. Атомы или ионы помечаются в узлах кристаллической решетки,около которых они совершают малые колебания, размах этихколебаний растет с температурой. Таким образом, кристалл содержит в себе множество электронов(по нескольку на каждый кристаллический узел), которые связаны сосвоими атомами или ионами, но могут с большей или меньшейлёгкостью отщепляться от них и уходить странствовать по кристаллу.Это относится главным образом к электронам, принадлежащимвнешним слоям электронных оболочек. Воздействуя на кристалл темили иным способом, например, нагревая кристалл или освещая егосветом определенной длины волны (т. е. лучом определенного цвета),можно иногда облегчить высвобождение электронов. Эти электроныподчиняются своеобразным « правилам внутреннего распорядка».Поведением этих электронов управляют определенные законы. Аповедение электронов в свою очередь определяет многие свойствакристалла. Такие, например, как проводимость, теплопроводность,теплоемкость, оптическое поглощение и многое другое, о чем речьбудет дальше. В металлах, полупроводниках и диэлектриках (вследующем параграфе будет, пояснено, что это такое) эти электроныведут себя по-разному. Правильнее было бы сказать обратное: от
  13. 13. поведения электронов зависит, будет ли наш кристалл металлом,полупроводником или диэлектриком. Населяющие кристалл электроны — основные действующие лицав этой книжке. Поведению таких электронов и тем многочисленнымсвойствам кристалла, которые определяются их поведением, ипосвящена эта книжка. § 2. КАКИМ КРИСТАЛЛАМ ПОСВЯЩЕНА ЭТА КНИЖКА? Одной из основных характеристик кристалла является егопроводимость, т. е. способность пропускать сквозь себяэлектрический ток. Среди кристаллов есть такие, которые обладаюточень большой проводимостью, и такие, проводимость которыхничтожно мала, практически равна нулю. То, что в природе существуют тела с большой проводимостью(проводники), и в то же время тела, у которых проводимостьпрактически вовсе отсутствует (изоляторы),— это очень важноеобстоятельство. На нем зиждется вся современная цивилизация.Действительно, всякое электротехническое устройство представляетсобой комбинацию из проводников и изоляторов. Что произошло бы,если бы в один прекрасный, момент все изоляторы превратились впроводники? Произошла бы катастрофа: погасли бы электрическиелампы, остановились бы трамваи и автомобили, перестали бы звонитьтелефоны. Электрический ток ушел бы в землю, которая являетсябездонным резервуаром для электрических зарядов. Представим себетеперь что, наоборот, все проводники превратились в изоляторы. Токзамер бы в проводах. Электрические заряды оцепенели бы, потерявспособность передвигаться по проводникам, нас постигла бы такая жекатастрофа: цивилизованный мир погрузился бы в темноту и застылбы в неподвижности.
  14. 14. Какова же проводимость проводников (типичным примеромкоторых служат металлы) и какова проводимость у изоляторов(диэлектриков; примером может служить кристалл каменной соли)?Во сколько раз проводимость вторых меньше проводимости первых?Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо вспомнить в какихединицах измеряется проводимость. С этой целью обратимся к хорошо знакомому вам закону Ома.Предположим, что перед нами кусок проволоки длины L с площадьюпоперечного сечения S: Предположим, что к концам проволокиприложена разность потенциалов V (V называют еще иначеэлектрическим напряжением). При этом через проволоку будет течьток, силу которого обозначим через I. Через R обозначимсопротивление проволоки. Согласно закону Ома (1) Если V измерять в вольтах, а I — в амперах, то R будетизмеряться в Омах. Величина, обратная R (т.е. 1/R), называетсяпроводимостью. Она измеряется, следовательно, в обратных омах(Oм-1) Из опыта известно, что проводимость проволоки тем меньше,чем больше ее длина и чем меньше площадь ее поперечного сечения: (2) Здесь коэффициент имеет то или иное значение в зависимостиот материала, из которого сделана проволока. Этот коэффициентназывается удельной проводимостью. Мы в дальнейшем длякраткости будем называть удельную проводимость простопроводимостью. Из (2) следует
  15. 15. Если L измеряется в сантиметрах, S —в квадратных сантиметрах,а R — в Омах, то для «размерности» получаем [ ] В настоящее время пользуются Интернациональной Системойединиц (СИ), где единицей проводимости является сименс (См),1См=1Ом-1, соответственно для удельной проводимости единицейизмерения в СИ является См*м-1. Таковы единицы, в которыхизмеряется . Заметим попутно, что закону Ома (1) на основании (2) можнопридать иной вид, Подставляя (2) в (1), (4) Если ввести обозначения то (4) перепишется так: (5) Это есть не что иное, как закон Ома (1), записанный в ином виде.Здесь і называется плотностью тока (ток, приходящийся на единицуплощади сечения проводника), а Е — напряженностью
  16. 16. электрического поля (изменение потенциала на единицу длины). Непутайте напряженность поля Е с напряжением V! Из закона Ома,написанного в форме (5), видно, что плотность тока возрастаетпропорционально напряженности электрического поля (в этомутверждении и состоит закон Ома), причем коэффициентомпропорциональности является проводимость , имеющая различныезначения для различных кристаллов. Для металлов около . Длядиэлектриков около . Такимобразом, проводимость диэлектриков в 1019 раз мень¬ше, чем уметаллов. Это — громадное число (единица с девятнадцатью нулями). Здесь необходимо остановиться и сделать весьма важноезамечание. Существует обширная группа тел, проводимость которыхзначительно меньше, чем у металлов, но значительно больше, чем удиэлектриков, тел, которые стали предметом исследования благодарянекоторым замечательным обнаруженным у них свойствам. Это - такназываемые полупроводники (которые с таким же правом можнобыло бы назвать полудиэлектриками). Проводимостьполупроводников лежит в широких пределах: Однако различие между металлами, полупроводниками идиэлектриками не только и не столько в том, что они обладаютразличными значениями проводимости, сколько в том, что у этих трехгрупп тел проводимость по-разному реагирует на одни и те жевнешние воздействия. Самым тривиальным таким воздействием является нагревание.При нагревании металла его проводимость медленно убывает, как этосхематически изображено на рис. 1, а. У диэлектриков, наоборот,проводимость резко возрастает при возрастании, температуры. Этопоказано на схематическом рис. 1, б. Что касается полупроводников,
  17. 17. то некоторые из них ведут себя как, металлы; другие, наоборот, — какдиэлектрики. Увеличивая температуру некоторых (очень многих)полупроводников, можно увеличить их проводимость в несколькомиллионов раз. Рис. 1. Зависимость проводимости от температуры: а) металы, б)диэлектрики и некоторые полупровоники. Другой фактор, к которому обычно чувствительна проводимостькристаллов — это примесь, введенная внутрь кристалла. Это могутбыть чужеродные атомы (или ионы), внедренные в междоузельноепространство в кристаллической решетке или замещающие собойсобственные атомы (или ионы) решетки. Реальные кристаллы, какправило, содержат в себе примеси той или иной концентрации, еслиэти кристаллы не были подвергнуты специальной очистке.Собственные атомы (ионы) решетки, расположенные не там, где имположено быть, т. е. не в узлах решетки, а в междоузлиях, а такжепустые узлы решетки, т. е. узлы, из которых удалены атомы (илиионы), так называемые вакансии, также, принадлежат к категории«примесей». В физике кристаллов понятие «примесь» имеет болееширокий смысл, чем тот, который мы приписываем ему вповседневной жизни. Примесью называется любой дефект,нарушающий строго периодическую структуру кристаллическойрешетки (рис. 2). Проводимость металлов несколько снижается при введениипримеси, какова бы ни была ее природа, и притом тем сильнее, чем
  18. 18. больше примеси введено. Проводимость диэлектриков, как правило,наоборот, несколько увеличивается под влиянием примеси.Некоторые полупроводники ведут себя как металлы, но вбольшинстве случаев полупроводники оказываются чрезвычайночувствительны к примесям: введение ничтожных количеств примесиприводит к изменению проводимости во много раз. Так, одинчужеродный атом на тысячу собственных атомов решетки можетизменить ее проводимость в сотни раз. Мы здесь имеем дело споистине «гомеопатическими» эффектами. Рис. 2. Дефекты структуры в кристалле серебра: а) вакансия, б)междоузельный атом, в) чужеродный атом, замещающий собственныйатом решетки. Отметим еще один фактор, от которого может зависетьпроводимость кристаллов. Это — электрическое поле, приложенное ккристаллу. Все металлы при сколь угодно больших напряженностяхполя E подчиняются закону Ома (5): в них ток пропорционаленнапряженности поля Е, т. е. σ остается постоянной величиной, независящей от Е. В неметаллических кристаллах закон Ома соблюдетсялишь при не слишком больших Е. При дальнейшем росте Е наступаетотклонение от закона Ома: ток начинает расти с напряженностью поляЕ быстрее, а иногда медленнее, чем это требует закон Ома (рис. 3).
  19. 19. Рис. 3. Зависимость плотности тока i от напряженности поля Е: а)металлы, б) неметаллические кристаллы Это значит, что σ перестает быть постоянной величиной и саманачинает изменяться по мере роста Е, При достаточно большом Енаступает так называемый – пробой, т.е. разрушение кристалла:кристалл выходит из строя. Когда мы говорим об электрическом токе, мы имеем в видуперемещение электрических зарядов в некотором преимущественномнаправлении. В кристаллах такими зарядами служат, прежде всего,электроны, которые придают то атомы или ионы, которым онипринадлежат, и начинают странствовать по кристаллу. Такой ток мыназываем электронным током. В ионных кристаллах, построенных изионов, такими носителями заряда могут служить сами ионы, которые,уходя из узлов решетки в междоузельное пространство, приобретаютспособность перемещаться по кристаллу. В этом случае мы говоримоб ионном токе в кристалле. Электронный ток осуществляется вметаллах и в полупроводниках. В диэлектрикам мы имеем дело, какправило, при не слишком больших Е с ионным током, который придостаточно больших Е сменяемся электронным током. В дальнейшеммы познакомимся подробнее с механизмом прохождения тока вкристалле и с различными типами электронного и ионного токов.
  20. 20. В этом параграфе мы описали некоторые отличительные черты инекоторые свойства металлов, полупроводников и диэлектриков. Этичерты и эти свойства предопределяются поведением электронов,которые находятся внутри кристалла и о которых шла речь впредыдущем параграфе. Именно они управляют свойствамикристалла. В этой книжке мы постараемся объяснить, как этопроисходит.
  21. 21. ГЛАВА 1 ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ §1. «СВОБОДНЫЕ» И «СВЯЗАННЫЕ» ЭЛЕКТРОНЫ В этой главе речь будет идти об электронах, населяющих металл;о поведении таких электронов, законах, которым они подчиняются.Задача этой главы объяснить некоторые свойства металлов. Рассмотрим металлический кристалл, построенный из атомоводного определенного сорта. Предположим для простоты, что это —одновалентные атомы (например, Ag или Na). Переход к металлам сболее высокой валентностью (например, к двухвалентным, как Zn илиNi) не внесет никакого принципиально нового в нашу картину. Сохраним лишь один атом нашей решетки, мысленно удалив всеостальные, его окружающие в бесконечность. Рассмотрим, преждевсего, такой изолированный атом. Потом мы посмотрим, чтопроизойдет, когда мы придвинем все остальные атомы, построив,таким образом, кристаллическую решетку. Наш атом состоит из положительно заряженного атомного остоваи находящегося на некотором расстоянии от него валентногоэлектрона. Этот атомный остов можно представить себе приближеннокак точечный заряд (аналог атома водорода). Будем считать, что оннаходится в начале координат О. Таким образом, валентный электрондвижется в кулоновском поле точечного заряда. Потенциальнаяэнергия электрона U будет тем меньше, чем меньше |х| — расстояниеэлектрона от начала координат: зависимость U от х изображена нарис. 4. Она имеет вид (мы ограничиваемся одномерной моделью, т. е.представляем кристалл как цепочку атомов) (1.1)
  22. 22. где е — заряд электрона. Как известно, потенциальная энергиявсегда определяется с точностью до постоянного слагаемого какговорят, с точностью до аддитивной константы). Задавая этупроизвольную константу, мы тем самым фиксируем начало отсчета нашкале энергии. В (1.1) эта константа выбрана так, что потенциальнаяэнергия обращается в нуль при х = ∞, т. е. когда электрон удален набесконечность. При таком выборе начала отсчёта энергия U при всехконечных х будет отрицательна. Рис. 4. Потенциальный кратер изолированного атома На рис. 4, на котором показан ход потенциальной энергии U ,можно изобразить также полную энергию электрона, которую мыобозначим через W. Очевидно, W не зависит от х, т. е. изображаетсягоризонтальной прямой. Энергия W может иметь то или иноезаданное значение, но должна оставаться постоянной при движенииэлектрона. Горизонтальные прямые W1 и W2 - два произвольновыбранных значения энергии W. На том же рисунке можно изобразить также кинетическуюэнергию К электрона. Очевидно, (1.2)
  23. 23. Если электрон, обладающий полной энергией W1, находится нарасстоянии х1 от начала координат, его кинетическая энергияизображается на рис. 4, согласно (2.2), отрезком АВ. Если же этотэлектрон находится настоянии х2, то кинетическая энергия еговыражается отрезком CD. В этом последнем случае W < U и,следовательно, К<0, т. е. кинетическая энергия оказываетсяотрицательной величиной, что невозможно. Действительно, в рамкахклассической механики, ,где m - масса, а v - скорость электрона. Очевидно, кинетическаяэнергия К может быть отрицательной, если масса электронаотрицательна, что абсурдно, или, если скорость электрона v - мнимаявеличина, что не менее абсурдно. Отсюда вытекает, что электрон,обладающий, полной энергией W1, не может уйти от началакоординат дальше расстояния х0. Область, заштрихованная на рис. 4,является для такого электрона с точки зрения классической механикизапрещенной. Очевидно, чем больше полная энергия электрона W,чем выше лежит прямая W1 на рис.4, тем шире область, разрешеннаядля электрона. Мы имеем здесь дело со связанным электроном, т.е. сэлектроном, привязанным к атому, не способным удаляться от негосколько угодно далеко. Иначе обстоит дело, если полная энергия электронаизображается на рис. 4 горизонтально W2 которая всюду лежит вышекривой U. В этом случае К>0 при любых х, и все пространствооказывается для электрона разрешенным. В данном случае мы имеемдело со свободным электроном, связь которого с атомом порвана, такчто он имеет право удаляться от атома сколь угодно далеко.
  24. 24. Рис. 5. Ход потенциальной энергии электрона: а) визолированном атоме, б) в кристалле Итак, мы имеем дело со связанным электроном, если его полнаяэнергия W отрицательна (W < 0, горизонталь W=W1 на рис. 4 лежитпод осью абсцисс), и со свободным электроном, если его полнаяэнергия W положительна (W>0, горизонталь W = W2 лежит над осьюабсцисс). Электрон, находящейся в связанном состоянии, можноперевести в свободное состояние, если снабдить его достаточнойэнергией, позволяющей электрону пересесть с уровня W1 на уровеньW2. Такой акт освобождения связанного электрона называетсяионизацией атома. До сих пор мы рассматривали отдельный изолированный атом.Построим теперь цепочку из таких атомов, расположив их нарасстоянии а друг от друга (см. рис. 5, б) (одномерную моделькристалла). Мы имеем систему атомных остовов и системуэлектронов. Каждый; электрон взаимодействует со своим атомнымостовом и со всеми остальными остовами и, кроме того, со всемиостальными электронами. Этим последним взаимодействием мысейчас будем пренебрегать, хотя нет логических оснований для такогопренебрежения. Действительно, взаимодействие электронов междусобой того же порядка величины, что и взаимодействие их сатомными остовами. Нет оснований пренебрегать одними, сохраняя
  25. 25. другие. Тем не менее, мы примем это пренебрежение, считая каждыйэлектрон независимым от других, как бы не замечающим другихэлектронов. Это существенно упрощает задачу. К вопросу об учетевзаимодействия электронов друг с другом мы еще вернемся вдальнейшем. Итак, рассмотрим модель, в которой каждый электрон движется вполе всех атомных остовов. Его потенциальная энергия U в такомсиловом поле изображается кривой, представляющей собоюналожение кривых изображенных на рис.4, сдвинутый относительнодруг друга на расстояние а. Такая результирующая кривая(потенциальная энергия электрона U как функция х) изображена нарис, 5, б. Мы имеем систему потенциальных кратеров, чередующихсяс потенциальными барьерами, окаймленную слева и справапотенциальными порогами, соответствующими крайним атомам(первому и последнему) нашей цепочки. Слева па рис. 5, а, еще разизображен потенциальный кратер изолированного атома.Существенным на рис. 5, б является то, и это следует особоподчеркнуть, что потенциальная энергия U электрона внутрикристаллической решетки, вдали от ее краев, оказываетсяпериодической функцией координаты с периодом, равнымпостоянной решетки а. Спросим себя: как будут вести себя наши электроны, приобретутли они способность перемещаться по кристаллу или будут оставатьсяпривязанными каждый к своему атому? Ответ на этот вопрос зависитот того, каков запас полной энергии W у электрона. Здесь следуетразличать три случая: 1) Если электрон сидит на уровне W1, т. е. если он обладаетполной энергией W1 изображающейся горизонтальной прямой,лежащей ниже вершин барьеров, то такой электрон согласноклассической механике заперт внутри своего потенциального кратера,
  26. 26. т. е. не может перейти в соседний кратер. Действительно, для такогоперехода электрон, оставаясь на своем энергетическом уровне W1,должен пройти сквозь потенциальный барьер, т.е. через область, вкоторой его полная энергия больше потенциальной и в которой емубыть запрещено. Таким образом, кристалл оказывается как быразделенным стенками, непроницаемыми для электрона. 2)Если электрон сидит на уровне W1, расположенном надвершинами потенциальных барьеров, как это изображено на рис. 5, б,то такой электрон может беспрепятственно странствовать внутрикристалла, перемещаясь от атома к атому, но не может выйти запределы кристалла. Область пространства, разрешенная дляэлектрона, ограничена слева и справа потенциальными порогами. 3)Наконец, если полная энергия электрона на рис. 5, бизображается прямой W3, то такой электрон не только свободностранствует внутри кристалла, но может выйти и за его пределы,отдаляясь от него сколь угодно далеко. До сих пор мы молчаливо предполагали, что электрон,поведением которого мы интересовалась, является классическойчастицей, т.е. подчиняется законам классической механики Ньютона.В действительности же электрон — квантовая частица, управляемаяквантовой механикой, господствующей в микромире. Какиекоррективы вносит в нашу картину замена классической механикимеханикой квантовой? С точки зрения квантовой механики электрон может с большейили меньшей вероятностью находиться там, где с точки зренияклассической механики его пребывание категорически запрещено.Иначе говоря, квантовая частица может проникать в область,запрещенную для классической частицы. Таким образом, электрон,обладающий полной энергией W1 (рис. 5, б), может в большей илименьшей степени проникать в область W1<U, т.е. внутрь
  27. 27. потенциального барьера и тем самым просачиваться сквозь него.Вероятность такого просачивания тем больше, чем ужепотенциальный барьер и чем он ниже, т. е. чем меньше площадь,заштрихованная на рис. 5, б. Электрон, находящийся с одной стороныбарьера, может оказаться на другой его стороне в результате«туннельного» перехода сквозь барьер при сохранении неизменнойполной энергии электрона W1 . Этот эффект «туннельного» перехода(туннелирования) характерен для современной квантовой теориитвердого тела, и мы на страницах этой книги еще не раз будем к немувозвращаться. Итак, введение квантовой механики приводит к тому, что«абсолютно» связанный электрон делается «более или менее»связанным. Появление квантовой механики в теории твердого телаявилось манифестом о некотором высвобождении связанныхэлектронов. В заключение сделаем одно замечание, в начале этого параграфа,как читатель помнит, мы приняли следующее упрощающее, но никакне обоснованное приближение: мы пренебрегли взаимодействиемэлектронов между собой. Это взаимодействие учитывают, вводянекоторое, так называемое самосогласованное поле, созданноеусредненным зарядом всех электронов, и считая, что каждый электрондвижется как в поле атомных остовов, так и в этомсамосогласованном поле электронов. Это дает нам некотороедополнительное слагаемое в выражении для потенциальной энергии,которое, однако, не нарушает ее основного свойства —периодичности, и сохраняет за нами право продолжать пользоватьсярис. 5, б. Вопрос об учете взаимодействия между электронами —сложный вопрос, и мы здесь не будем более на нем останавливаться.Заметим лишь, что в современной квантовой теории твердого телазадача о системе взаимодействующих электронов рассматривается как
  28. 28. задача о системе невзаимодействующих так называемых квазичастиц(так называемых элементарных возбуждений). § 2. «ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ» В МЕТАЛЛЕ Возвратимся к рис. 5,б, на котором изображен ход потенциальнойэнергии электрона в металле. Этот рисунок может быть существенноупрощен, если периодический ход потенциальной энергии заменитьнекоторым, усредненным, но постоянным по всему кристаллузначением, и потенциальные пороги на краях кристалла сделатьотвесными. При этом рис. 5, б превратится в рис. 6. Мы не встретим никаких затруднений, если теперь от нашейодномерной модели кристалла (цепочка атомов) перейдем ктрехмерной модели, представляя себе кристалл в виде куба (рис. 7) сребром L, на котором умещаются N атомов, так что (1.3) где а — расстояние между соседними атомами (постояннаярешетки). Тогда на рис. 6 ось х может быть заменена осью у или осьюz.
  29. 29. Такая упрощенная модель кристалла, представляющая собойпотенциальный ящик с плоским дном и вертикальными стенками,лежит в основе классической теории металлов Друде, а такжеквантовой теории металлов Зоммерфельда. В этом потенциальномящике живут все электроны нашей системы. Если металл по-прежнему считать для определенности построенным изодновалентных атомов, то число электронов в нашей системе равноN3, а концентрация электронов N0, т. е. число электронов в одномкубическом сантиметре, будет согласно (1.3) (1.4) Это очень большое число. В одном кубическом сантиметреметаллического кристалла содержится приблизительно 1023 (единицас 23 нулями!) электронов. Все эти электроны можно считатьсвободными, поскольку они движутся в отсутствии какого-либосилового поля (потенциальная энергия электрона внутри кристаллапостоянна), т. е. ведут себя, как молекулы обычного идеального газа.Металл в рамках этой модели представляется, как некий жесткийкаркас из атомных остовов, погруженный в газ электронов. Каждый электрон, в каждый данный момент занимаетопределенное положение в пространстве, иначе говоря,характеризуется определенной тройкой координат х, у, z и обладаетопределенной скоростью v, т.е. характеризуется тремясоставляющими скорости vx ,vy, vz или, иначе выражаясь, занимаетопределенное положение в пространстве скоростей, т. е. впространстве, в котором по осям отложены не координаты х, у, z, аскорости vx,vy vz. Вспомним теперь, что наши электроны— квантовые частицы.Это приводит к тому, что каждая составляющая скорости оказывается
  30. 30. проквантованной, т. е. может принимать не любые, а лишь вполнеопределенные значения: (1.5) Здесь h - так называемая постоянная Планка, всегдаприсутствующая в формулах квантовой механики, а nx, ny, nz —произвольные, но обязательно целые положительные илиотрицательные числа (в том числе ноль): nx, ny, nz = 0, ± 1, ±2, ±3,… (1.6). Числа nx, ny, nz называются квантовыми числами. Мы видим, чтоскорости vx, vy, vz могут принимать не непрерывный, а дискретный рядзначений. В результате пространство скоростей распадается наравновеликие ячейки объемом каждая (рис. 8): Электрон, согласно (1.5) и (1.6), в пространстве скоростей можетрасполагаться нигде угодно, а только в узлах решетки, изображеннойна рис. 8. Рис. 8 квантовое пространство скоростей
  31. 31. В соответствии с (1.5) энергия электрона W также оказываетсяпроквантованной. Действительно, в нашей модели потенциальнаяэнергия электрона U постоянна во всем кристалле и, следовательно,без нарушения общности может быть положена равной нулю, т. е.полная энергия электрона равна его кинетической энергии: (1.7) Подставляя сюда (1.5), получаем ( ) (1.8) Мы видим, что полная энергия W так же, как и три составляющихскорости vx ,vy , vz, может принимать лишь дискретный ряд значений.На рис. 9 изображены W и vx, vy, vz как функции квантовых чисел nx,ny, nz. На рис. 9, а и 9, б по оси абсцисс отложены значения (nx, ny илиnz), а по оси ординат — на рис. 9, а — значения W, на рис. 9, б —значения vx, (vy или vz соответственно). Теперь предстоит сделать важный шаг в нашем изложении:ввести в рассмотрение так называемый принцип Паули, которомуподчиняется коллектив электронов. Согласно этому принципу даннойтройкой квантовых чисел может обладать лишь один электрон, иначеговоря, в каждой точке пространства скоростей может помещатьсялишь один электрон. Принцип Паули — принцип непроницаемости,перенесенный из обычного координатного пространства впространство скоростей.
  32. 32. Рис. 9. Квантование энергии (а), квантование трех составляющихскорости (б). Принцип непроницаемости запрещает занимать одну и ту жеточку пространства одновременно двум или нескольким электронам.Поэтому принцип Паули часто называют правилом запрета. ПринципПаули имеет очень важные последствия, с которыми мы все времябудем сталкиваться. Здесь необходимо ввести одну поправку. Тройка квантовыхчисел не является исчерпывающей характеристикой состоянияэлектрона. Существует еще четвертая характеристика - такназываемый спин. Наличие спина у электрона — это такая же важнаяи неотъемлемая особенность электрона, как наличие у него массы илиэлектрического заряда. Наиболее наглядное представление о спине электрона мы можемполучить, если представим себе электрон в виде шарика,вращающегося вокруг своей оси. Само слово «спин» происходит отанглийского глагола to spin — вращаться. Возможно вращение какпо, так и против часовой стрелки вокруг некоторой произвольной оси.Таким образом, возможны два значения спина. Согласно принципу
  33. 33. Паули данной тройке квантовых чисел может соответствовать неодин, а два электрона, если они обладают при этомпротивоположными спинами. Иначе говоря, если учитывать наличиеспина у электрона, то в каждой разрешенной точке пространстваскоростей могут, уместиться два электрона с противоположнонаправленными спинами. Очевидно, все N0 электронов нашей системы, приходящихся наодин кубический сантиметр, должны, так или иначе, разместиться впространстве скоростей. От того, каково будет это размещение,зависит полная суммарная энергия нашей системы (т. е, суммаэнергий всех электронов). Посмотрим, какое размещениесоответствует минимальной энергии, иначе говоря, температуреабсолютного нуля. (Вспомним, что по определению абсолютнымнулем называется такая температура, при которой энергия системыминимальна). Рис. 10. Размещение электронов в пространстве скоростей: а)случай температуры абсолютного нуля, б) случай температурыотличной от абсолютного нуля.
  34. 34. Если бы не было принципа Паули, то все электроны помещалисьбы в точке vx = vy = vz = 0, т. е. в начале координат пространстваскоростей. При этом все электроны покоились бы, и энергия системыравнялась бы нулю. Это, однако, запрещается принципом Паули.Энергия системы будет минимальной, хотя и не равной нулю, когдаэлектроны разместятся максимально близко к началу координат,сообразуясь, однако, с принципом Паули, т. е. заполнят сферу,содержащую число ячеек, равное половинного числа электронов(каждая ячейка содержит два электрона). Поверхность этой сферыназывается поверхностью Ферми, а сама сфера называется сферойФерми. Такое размещение изображено на рис. 10, а, на котором v1 и v2два любых числа из тройки чисел vx, vy, vz. Мы видим, таким образом, что даже при температуреабсолютного нуля движение электронов не может прекратиться. Эторезультат применения к коллективу электронов правила запретаПаули. При повышении температуры часть электронов уходит впространстве скоростей за пределы сферы, изображенной на рис. 10,а, оставляя за собой пустые (не занятые электронами) места. Мыпереходим тем самым от рис. 10, а к рис. 10,б. Таким образом,нагревание вызывает разрыхление плотной упаковки электронов впространстве скоростей. Чем выше температура, тем сильнее эторазрыхление. При этом увеличивается суммарная энергия электронов.Существенно, что в распределении электронов в пространствескоростей соблюдается симметрия. Иначе говоря, каждому электронусо скоростью v может быть сопоставлен электрон со скоростью v , такчто средняя скорость всех электронов при любой температуреостается равной нулю. Это значит, что в кристалле нет электрическоготока.
  35. 35. Так обстоит дело до тех пор, пока на электрон не действуютникакие посторонние силы. Если же кристалл поместить во внешнееэлектрическое поле, приложив к нему некоторую разностьпотенциалов, то симметричное размещение электронов нарушится.Теперь возникнет некоторое преимущественное направление, вкотором число занятых мест больше, чем в противоположном направ-лении, так что средняя скорость электронов оказывается отличной отнуля. Это значит, что в кристалле существует электрический ток. Мы уже отмечали, что степень разрыхления электроннойупаковки в пространстве скоростей возрастает с повышениемтемпературы. Обычно эту степень разрыхления характеризуют некоейфункцией F(W), которую мы назовем функцией распределения поэнергиям и которую определим следующим образом. Рассмотрим впространстве скоростей шаровой слой радиуса v и толщины dv. Из(1.7) вытекает: √ (1.9)и (1.10) √ Число электронов, находящихся в этом шаровом слое, т. е.обладающих энергией, лежащей в интервале от W до W + dW,обозначим через X(W)dW. Число же мест, доступных дли электрона(удвоенное число ячеек в пространстве скоростей), содержащихся втом же шаровом слое, обозначим через Y(W)dW. Отношение этих двухчисел мы и назовем функцией распределения F(W): (1.11)
  36. 36. Для нашего электронного газа эта функция имеет вид (1.12) Здесь Т — абсолютная температура, k - постоянная Больцмана,знакомая читателю из кинетической теории газов, WF энергия,соответствующая поверхности Ферми. Эта энергия WF называетсяэнергией Ферми или уровнем Ферми, а функция(1.12) — функциейраспределения Ферми, Про частицы, описываемые функцией Ферми,говорят, что они подчиняются статистике Ферми - Дирака. Функция (1.12) представлена на рис. 11, Тонкая ступенчатаякривая соответствует температуре абсолютного нуля. Мы видим, что вэтом случае все ячейки в пространстве скоростей, находящиесявнутри сферы Ферми, заполнены электронами до отказа (F=1), в товремя как всё ячейки, лежащие вне этой сферы, свободны (F=0).Жирная плавная кривая на рис. 11 соответствует температуреотличной от абсолютного нуля. При этом кривая F=F(W) при любойтемпературе проходит через точку А (см. рис.11), для которой W=WF,F= 1/2. Рис. 11. Функция распределения Ферми В заключение этого параграфа вернемся к тому, что ужеотмечалось в его начале. Квантовая теория металлов Зоммерфельда
  37. 37. имеет дело с той же моделью металла, что и классическая теорияДруде: электронный газ, запертый и потенциальном ящике с плоскимдном. Однако электронный газ Зоммерфельда отличается отэлектронного газа классической теории следующими двумя чертами: а) Каждый отдельный электрон в теории Друде подчиняетсяклассической механике, в то время как в теории Зоммерфельда онрассматривается как квантовая частица, управляемая законамиквантовой механики. б) Теория Друде при описании поведения всего коллективаэлектронов в целом пользуется классической статистикой Максвелла -Больцмана, т.е. теми же статистическими законами, которымиописывается обычный газ, состоящий из независимых молекул. Длятеории же Зоммерфельда характерно применение к электронному газуквантовой статистики Ферми - Дирака, т. е. статистических законов,которым подчиняются частицы, во-первых, абсолютнотождественные, а во-вторых, управляемые принципом Паули. Важно,однако, заметить, и это следует подчеркнуть, что все формулыквантовой статистики при определенных условиях (о которых речьбудет дальше) превращаются в классические формулы. Электронныйгаз в этом случае называется невырожденным. § 3. УСПЕХИ И НЕУДАЧИ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИМЕТАЛЛОВ Металлы, в отличие от неметаллических кристаллов, обладаюточень большой электропроводностью и очень большойтеплопроводностью. Это характерная особенность металлов.Проводимость мы будем, как и прежде, обозначать буквой σ;теплопроводность — буквой ϰ (греческая буква «каппа»). Эти
  38. 38. величины мы определим следующим образом. Обозначим через iэлектрический ток (плотность тока) в металле, пропорциональный такназываемому градиенту потенциала dV/dx; через j — плотностьтеплового тока, пропорциональную, так называемому градиентутемпературы dT/dx. (Производные dV/dx и dT/dx показывают,насколько быстро изменяются потенциал и температурасоответственно в направлении оси х.) Мы имеем (1.13) (1.14) Уравнение (1.14) имеет место в случае, когда внешнегоэлектрического поля нет. Знак минус перед правой j частьюуравнения (1.14) означает, что поток тепла (т.е. кинетическая энергия,переносимая электронами) направлен в сторону, противоположнуюградиенту температуры. Иначе говоря, тепло переносится от болеенагретой к менее нагретой части кристалла. Уравнение (1.13) наоборот, относится к случаю, когда металлнаходится в электрическом поле и когда при этом температура вовсем кристалле одинакова, т.е. градиент температуры всюду равеннулю (dT/dx=0). Напомним, что (1.15)где E - напряженность электрического поля, тогда, подставляя (1.15) в(11.3), мы приходим к равенству (5):представляющему (при σ, не зависящем от Е) закон Ома.
  39. 39. Коэффициенты σ и ϰ в (1.13) и (1.14) могут быть вычислены.Результаты этих вычислений будут приведены ниже. Заметим, чтоклассическая и квантовая теории приводят к различным результатам,хотя обе теории исходят из одной и той же модели. Согласно классической и квантовой теориям электроны металлаучаствуют в хаотическом тепловом движении, испытывая соударенияс атомами (точнее - с атомными остовами) решетки. Эти атомы(остовы атомов) размещены в строгом порядке и совершаютколебания около своих положений равновесия. Чем вышетемпература, тем больше амплитуда (размах) этих колебаний.Согласно квантовой теории эти колебания не прекращаются и притемпературе абсолютного нуля. При отсутствии внешнего электрического поля электроны междудвумя столкновениями движутся прямолинейно и равномерно. Приналичии же поля каждый электрон между столкновениями движется сускорением, пропорциональным напряженности, поля Е, накапливаякинетическую энергию, которую затем при столкновении он отдаетрешетке. Таково происхождение сопротивления, которое решеткаоказывает току, и таково происхождение тепла, которое выделяетсяпри прохождении тока. Здесь, однако, между классической и квантовой теориями естьсущественное различие. В классической теории сопротивлениеобусловлено самим фактом существования кристаллической решетки,которая создает препятствия свободно движущимся электронам.Согласно квантовой теории решетка сама по себе не создаетсопротивления, совершенно прозрачна для электронов, электроны еене замечают. Сопротивление обусловлено колебаниями решетки. Чемвыше температура, т. е. чем больше амплитуда колебаний, тем большесопротивление. Атомы, отклоненные от своих положений равновесия,играют роль центров рассеяния для свободных электронов.

×