Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
   Par funkcijas f(x) primitīvo funkciju sauc funkciju    F(x), kuras atvasinājums ir vienāds ar doto funkciju    f(x) je...
   Funkcijas f(x) primitīvas funkcijas vispārīgo veidu    F(x) + C, kur F(x) ir kāda f(x) primitīvā funkcija, bet    C pa...
Integrāllīnijas
   Integrāllīnijas – dotās funkcijas f(x) primitīvo    funkciju kopa, kura sastāv no kongruentu līniju    saimes Oxy plak...
n       xn 1                  dx                           dx        1 1 x  x dx          C                               ...
Nenoteiktā integrāļa pamatīpašības   Nenoteiktais integrālis no vairāku funkciju    algebriskas summas ir vienāds ar atse...
   Visas integrēšanas formulas saglabā savu veidu, ja    neatkarīgā mainīgā x vietā ievieto jebkuru šī mainīgā    diferen...
Substitūcija                                                               3            2            3                    ...
 Ja ir dotas divas diferenciālas funkcijas u = u(x) un  v= v(x), tad reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc  formulas     ...
 Funkcija u un diferenciālis dv jāizvēlas tā, lai  reizinājums udv būtu vienāds ar visu zemintegrāļa  izteiksmi. Funkcij...
   Pa daļām, kur par funkciju u var izvēlēties P(x), var    integrēt integrāļus    P x e kxdx         P x sin kxdx       ...
x            u   sin x     du        cos xdxI        e sin xdx           x                      x                       dv...
x       x       x2 e sin xdx e sin x e cos x 2C      x       x2 e sin xdx e sin x cos x      2C  x          1 x e sin xdx ...
Qm xR x        Pn x                m          m 1Qm x     b0 x       b1 x         ... bm 1 x bm                n          ...
   Ja m ≥ n, tad R(x) neīsta racionāla    funkcija.                                    Qm x               Rx      Pm   n ...
Polinoma sadalījums elementārdaļās   Vienkārša reāla sakne, t.i., saucējā ir                  A    reizinātājs x - a     ...
3     3x x 1Rx     4  2      x x              4       2       2   2          x       x       x x         1 3x 3 x 1       ...
3              2              2                23x x 1       Ax 1       Bx x 1        Cx D x x4 x2       x2 x2 1    x x x2...
I. un II. paņēmiens      A            dx       d x a           dx   A         A          A ln x a   C    x a           x a...
III. paņēmiens                Mx N         p2                2                       dx           q   0              x   p...
N                           x Mx N                        M dx 2       dx              M 2x px q                   x px q ...
2N                                                        p                M                 2x    p      M      M        ...
1                     x         3x 1          3 dx       2              dx 3 2      x 2x 3       x 2x 3       2           ...
3 2 x 2 dx               dx   2           2             22 x 2x 3           x 1        1 3             3 d x2 2x 3        ...
2                 2       2                   x         2x 3   x 1       2   3x 1 2        dxx 2x 3             3         ...
2x 1          2x                1 2     dx       2                       dx       2                                       ...
IV. paņēmiens                                Mx N                                        m                                ...
N                                            x        Mx N                                  M                   2         ...
1                        x         3x 1             3              2                dx 3        2                         ...
2    3 d x 2x 3                       dx                         2    2 x2 2x 3 2              x   2                      ...
dx                                   dt                              2   2                 2        2 2        x 1        ...
2x 1                              2x                          dx             2                 dx                         ...
Universālā substitūcija       xt   tg       2         2t                 1 t2        2dtsin x       2                    c...
I.paņēmiens   Ja R(sinx; cosx) ir nepāra funkcija attiecībā pret cosx,    tad var lietot substitūciju t = sinx.          ...
6         A     B     C    1 t 1 t 2 t   1 t   1 t   2 t6     A1 t 2 t         B1 t 2 t     C1 t 1 t    Ja t 1   6 A 21 B ...
6              3     1      2   1 t 1 t 2 t       1 t     1 t   2 t   3      1      2                   dt       3 ln 1 t ...
    Ja R(sinx; cosx) ir pāra funkcija attiecībā pret sinx un     cosx, tad var lietot substitūciju t = tgx.         dx   ...
2   dx             cos xdx       2        2         21 3 cos x    cos x 1 3 cos x                              1        2 ...
1                           dt                    dt      2      3                    2    31 t21 t       1               ...
 Ja m ir nepāra skaitlis, tad var lietot substitūciju  t=cosx. Ja n ir nepāra skaitlis, tad var lietot substitūciju  t=s...
2      4            2      2        2sin x cos xdx     sin x cos x cos xdx 1           1           1   1 cos 2 x   1 cos 2...
1       2           2    sin 2 x sin 2 x cos 2 x dx81      2          1       2   sin 2 xdx          sin 2 x cos 2 xdx8   ...
1sin mx cos nx     sin m n x sin m n x                2               1sin mx sin nx      cos m n x cos m n x             ...
sin 7 x cos3xdx1                         1         1    sin 10 x sin 4 x dx      cos10x   cos 4 x C2                      ...
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

3.1.nenoteiktais integralis

3,039 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

3.1.nenoteiktais integralis

  1. 1.  Par funkcijas f(x) primitīvo funkciju sauc funkciju F(x), kuras atvasinājums ir vienāds ar doto funkciju f(x) jeb diferenciālis ir vienāds ar izteiksmi f(x)dx. 3 2 2 3 x 3x 3x dx x C Primitīvas funkcijas vispārīgais veids ir F(x) + C
  2. 2.  Funkcijas f(x) primitīvas funkcijas vispārīgo veidu F(x) + C, kur F(x) ir kāda f(x) primitīvā funkcija, bet C patvaļīga konstante, sauc par funkcijas f(x) nenoteikto integrāli un apzīmē ∫f(x)dx f x dx F x C f(x)dx – zemintegrāļa izteiksme F(x) - zemintegrāļa funkcija x – integrācijas mainīgais C – integrācijas konstante
  3. 3. Integrāllīnijas
  4. 4.  Integrāllīnijas – dotās funkcijas f(x) primitīvo funkciju kopa, kura sastāv no kongruentu līniju saimes Oxy plaknē.
  5. 5. n xn 1 dx dx 1 1 x x dx C tgx C ln C n 1 cos2 x 1 x2 2 1 x dx dx ln x C ctgx C shxdx chx C x sin 2 x x x dx e dx e C arctgx C chxdx shx C 1 x2 x ax dx dx a dx C arcsin x C thx C ln a 1 x 2 ch 2 x dx dxsin xdx cos x C ln x x2 1 C cthx C x 2 1 sh 2 xcos xdx sin x C
  6. 6. Nenoteiktā integrāļa pamatīpašības Nenoteiktais integrālis no vairāku funkciju algebriskas summas ir vienāds ar atsevišķo saskaitāmo nenoteikto integrāļu summu. f1 x f2 x f 3 x dx f1 x dx f 2 x dx f3 x dx Konstantu reizinātāju drīkst iznest kā reizinātāju pirms nenoteiktā integrāļa zīmes. c f x dx c f x dx
  7. 7.  Visas integrēšanas formulas saglabā savu veidu, ja neatkarīgā mainīgā x vietā ievieto jebkuru šī mainīgā diferencējamu funkciju u = (x) f x dx F x C, tad f u du Fu C 1 1 1 1cos3xdx cos3xd 3x cosudu sin u C sin 3x C 3 3 3 3 Substitūcijas metode
  8. 8. Substitūcija 3 2 3 t 5 2x x 5 2 x dx 2 dt 6 x dx 2 1 x dx dt 6 1 2 3 1 1 2x 5 2 x dx t dt t dt 6 6 31 2 2 1 3 3 t C 5 2x C6 3 9
  9. 9.  Ja ir dotas divas diferenciālas funkcijas u = u(x) un v= v(x), tad reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas (uv)’ = u’v + v’u Diferenciālā forma d(uv) = vdu + udv udv = d(uv) – vdu udv uv vdu Parciālās integrēšanas formula
  10. 10.  Funkcija u un diferenciālis dv jāizvēlas tā, lai reizinājums udv būtu vienāds ar visu zemintegrāļa izteiksmi. Funkcija u jāizvēlas tā, lai pēc dv izteiksmes varētu atrast funkciju v. Jāprot aprēķināt ∫vdu.
  11. 11.  Pa daļām, kur par funkciju u var izvēlēties P(x), var integrēt integrāļus P x e kxdx P x sin kxdx P x cos kxdx P x ln xdx P x arcsin xdx P x arccosxdxP x arctgxdx P x arcctgxdx
  12. 12. x u sin x du cos xdxI e sin xdx x x dv e dx v e x x u cos x du sin xdx e sin x e cos xdx x x dv e dx v e x x x e sin x e cos x e sin xdx 2C
  13. 13. x x x2 e sin xdx e sin x e cos x 2C x x2 e sin xdx e sin x cos x 2C x 1 x e sin xdx e sin x cos x C 2
  14. 14. Qm xR x Pn x m m 1Qm x b0 x b1 x ... bm 1 x bm n n 1 Pn x a0 x a1 x ... an 1 x an
  15. 15.  Ja m ≥ n, tad R(x) neīsta racionāla funkcija. Qm x Rx Pm n x Pn x Ja m < n, tad R(x) īsta racionāla funkcija.
  16. 16. Polinoma sadalījums elementārdaļās Vienkārša reāla sakne, t.i., saucējā ir A reizinātājs x - a x a Sakne a ar kārtu k, t.i., saucējā ir reizinātājs (x – a)k Ak Ak 1 A1 k k 1 ... x a x a x a Polinoms Pn(x), t.i., saucējā ir Mx N reizinātājs x2 + px + q x 2 px q Polinoms Pn(x) ar kārtu 2, t.i., saucējā ir reizinātājs (x2 + px + q)2 M 2 x N2 M1 x N1 2 x 2 px q x 2 px q
  17. 17. 3 3x x 1Rx 4 2 x x 4 2 2 2 x x x x 1 3x 3 x 1 A B Cx D 4 2 2 2 x x x x x 1
  18. 18. 3 2 2 23x x 1 Ax 1 Bx x 1 Cx D x x4 x2 x2 x2 1 x x x2 1 x2 x2 1 3 2 3 3 23x x 1 Ax A Bx Bx Cx Dx B C 3 A 1 A D 0 B 1 B 1 C 2 A 1 D 1 3 3x x 1 1 1 2x 1 4 2 2 2 x x x x x 1
  19. 19. I. un II. paņēmiens A dx d x a dx A A A ln x a C x a x a x a A dx d x a A 1 k dx A k A k k 1 Cx a x a x a k 1 x a
  20. 20. III. paņēmiens Mx N p2 2 dx q 0 x px q 4 3x 1 22 2x 1 02 2 dx 3 0 2 dx 1 0 x 2x 3 4 x 1 4 d x2 px q 2x p dxd x2 2x 3 2 x 2 dx d x2 1 2 xdx
  21. 21. N x Mx N M dx 2 dx M 2x px q x px q 2N 2N 2x 2x p pM M dx M M dx2 x 2 px q 2 2 x px q 2N p M 2x p M M dx dx 2 x2 px q 2 2 x px q
  22. 22. 2N p M 2x p M M dx dx 2 x2 px q 2 2 x px q M 2x p M 2N dx 2 dx p 2 2 2 x px q 2 M p p x q 2 2M 2x p M 2N dx 2 dx p2 x px q 2 M 2 2 2 p p x q 2 2
  23. 23. 1 x 3x 1 3 dx 2 dx 3 2 x 2x 3 x 2x 3 2 2 1 2x 2x 2 2 2x 2 13 3 dx 3 3 3 3 dx dx2 x2 2x 3 2 2 x 2x 3 2 x2 2x 3 1 1 3 2x 2 3 3 2 dx 2 dx 2 x 2x 3 2 x 2x 3 3 2 x 2 dx dx 2 2 2 2 x 2x 3 x 2x 3
  24. 24. 3 2 x 2 dx dx 2 2 22 x 2x 3 x 1 1 3 3 d x2 2x 3 dx 2 2 2 dx 2 x 2x 3 x 1 2 23 d x 2x 3 dx 2 2 22 x 2x 3 x 1 2 2 3 1 x 1 ln x 2 2x 3 2 arctg C 2 2 2
  25. 25. 2 2 2 x 2x 3 x 1 2 3x 1 2 dxx 2x 3 3 1 x 1 ln x 2 2x 3 2 arctg C 2 2 2
  26. 26. 2x 1 2x 1 2 dx 2 dx 2 dxx 1 x 1 x 1 2x dx dx d x2 1 dx x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 ln x 2 1 arctgx C
  27. 27. IV. paņēmiens Mx N m dx x2 px q 3x 1 2x 1 2 dx 2 dx 2 x 2x 3 x2 1 d x2 px q 2x p dxd x2 2x 3 2 x 2 dx d x2 1 2 xdx
  28. 28. N x Mx N M 2 dx M 2 dx 2 2x px q x px q 2N 2N 2x 2x p pM M M M 2 dx 2 dx2 2 x px q 2 2 x px q 2N p M 2x p M M 2 dx 2 dx 2 x2 px q 2 x 2 px q
  29. 29. 1 x 3x 1 3 2 dx 3 2 dx 2 2 x 2x 3 x 2x 3 2 2 1 2x 2x 2 2 2x 2 13 3 dx 3 3 3 3 dx 2 dx 22 x2 2x 3 2 x2 2x 3 2 2 x 2x 3 1 1 3 2x 2 3 3 2 dx 2 dx 2 x2 2x 3 2 x2 2x 3 3 2 x 2 dx dx 2 2 2 2 x 2 2x 3 x 2 2x 3
  30. 30. 2 3 d x 2x 3 dx 2 2 x2 2x 3 2 x 2 2x 3 23 1 dx 2 2 22 x 2x 3 2 2 x 1 2
  31. 31. dx dt 2 2 2 2 2 x 1 2 2 t a dt t 1 dt 2 2 2 2a 2 t 2 a 2 2a 2 t 2 a 2t a t 1 1 t arctg C 2a 2 t 2 a2 2 2a a a t 1 1 x 1 2 2 2 arctg C 2 2 x 1 2 2 2 2 2 2
  32. 32. 2x 1 2x dx 2 dx 2 dx 2 2 2 2x 1 x 1 x 1 d x2 1 dx 1 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 dx x 1 dx x 1 2 arctgx Cx 2 1 2 x2 1 2 x2 1 2 x2 1 2
  33. 33. Universālā substitūcija xt tg 2 2t 1 t2 2dtsin x 2 cos x 2 dx 1 t 1 t 1 t2 2 2t 1 t 2dt I R 2 ; 2 2 1 t 1 t 1 t
  34. 34. I.paņēmiens Ja R(sinx; cosx) ir nepāra funkcija attiecībā pret cosx, tad var lietot substitūciju t = sinx. dt = cosx dx 6dx 6 cos xdx 2 cos x sin x cos x cos x 2 cos x sin x cos x 6 cos xdx 6 cos xdx cos2 x 2 sin x 1 sin 2 x 2 sin x 6dt 6dt 1 t2 2 t 1 t 1 t 2 t
  35. 35. 6 A B C 1 t 1 t 2 t 1 t 1 t 2 t6 A1 t 2 t B1 t 2 t C1 t 1 t Ja t 1 6 A 21 B 01 C 0 2 Ja t 1 6 A 0 3 B 2 3 C 2 0 Ja t 2 6 A 3 0 B 1 0 C 1 3 A 3 B 1 C 2
  36. 36. 6 3 1 2 1 t 1 t 2 t 1 t 1 t 2 t 3 1 2 dt 3 ln 1 t ln 1 t 2 ln 2 t C 1 t 1 t 2 tJa R(sinx; cosx) ir nepāra funkcija attiecībā pret sinx, tadvar lietot substitūciju t = cosx. dt = -sinx dx
  37. 37.  Ja R(sinx; cosx) ir pāra funkcija attiecībā pret sinx un cosx, tad var lietot substitūciju t = tgx. dx 2 1 t2dt cos x sin 2 x cos2 x 1 t2 1 t2
  38. 38. 2 dx cos xdx 2 2 21 3 cos x cos x 1 3 cos x 1 2 cos x dx 1 t 2 dt 1 3 cos2 x cos2 x 3 1 2 1 t
  39. 39. 1 dt dt 2 3 2 31 t21 t 1 1 t 1 t2 1 t 2 dt 1 t 1 tgx arctg C arctg C4 t2 2 2 2 2
  40. 40.  Ja m ir nepāra skaitlis, tad var lietot substitūciju t=cosx. Ja n ir nepāra skaitlis, tad var lietot substitūciju t=sinx. Ja m un n abi ir pāra skaitļi, bet vismaz viens no tiem ir negatīvs, tad var lietot substitūciju t = tgx. Ja m un n abi ir pozitīvi pāra skaitļi, tad izmanto 2 1 2 1 sin x 1 cos 2 x cos x 1 cos 2 x 2 2 1 sin x cos x sin 2 x 2
  41. 41. 2 4 2 2 2sin x cos xdx sin x cos x cos xdx 1 1 1 1 cos 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x dx 2 2 2 1 2 sin 2 x 1 cos 2 x dx 8 1 2 2 sin 2 x sin 2 x cos 2 x dx 8
  42. 42. 1 2 2 sin 2 x sin 2 x cos 2 x dx81 2 1 2 sin 2 xdx sin 2 x cos 2 xdx8 8 1 1 2 1 cos 4 x dx sin 2 xd sin 2 x16 16 1 1 1 3 x sin 4 x sin 2 x C16 64 48
  43. 43. 1sin mx cos nx sin m n x sin m n x 2 1sin mx sin nx cos m n x cos m n x 2 1 cos mx cos nx cos m n x cos m n x 2
  44. 44. sin 7 x cos3xdx1 1 1 sin 10 x sin 4 x dx cos10x cos 4 x C2 20 8

×