Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Analītiska ģeometrija
Vektors• Vektors —  orientēts taisnes nogrieznis, t.i., tāds  taisnes nogrieznis, kurš savieno divus  punktus un un ir nor...
Nullvektors• Par nullvektoru sauc tādu vektoru, kura  modulis ir vienāds ar nulli. Ģeometriski  nullvektors attēlo nogriez...
Kolineāri vektori• Kolineāri vektori — divi vai vairāki  vektori, ja to pamati ir savstarpēji  paralēli vai sakrīt. Ja kol...
Komplanāri vektori• Vektorus, kuri ir paralēli vienai plaknei  vai arī atrodas vienā plaknē, sauc par  komplanāriem.  – Je...
Kolineāri un komplanāri vektoriViens vektors ir lineāri atkarīgs tad un tikai tad, ja tas ir nullvektors.Divu un trīs vekt...
Vektoru iedalījums• Brīvie vektori.  – drīkst pārnest paralēli sev    jebkurā telpas punktā.• Slīdošie vektori.  – drīkst ...
Attālums starp diviem punktiem
Vektora modulis              2             2d   x2   x1       y2   y1
• Dots:• punkti E (x1; y1; z1)  un F (x2; y2; z2).                          r1                                            ...
Vektoru vienādība• Divi vektori a un b ir vienādi, ja tie ir  kolineāri, vienādi vērsti un tiem ir  vienādi moduļi.
Darbības ar vektoriem• Trijstūra likums• Paralelograma likums• Daudzstūra likums
Vektoru summas īpašības• Komutatīvā īpašība:            •a+b=b+a• Asociatīvā īpašība:        • (a + b) + c = a + (b + c)
Aksiomu ilustrācijas - I                                            B                               A    b  A   Asociativi...
Saskaitīšanas asociativitāte                                                              Katram kokam atbilst            ...
Vektora reizināšana ar skaitli• Par vektora a reizinājumu ar  skaitli k sauc vektoru, kura garums  vienāds ar vektora a ga...
Vektora reizinājuma īpašības:• Asociatīvā īpašība:        • k(ma) = m(ka) = (km)a• Distributīvās īpašības            • (k ...
Aksiomu ilustrācijas - II                             D   Vektors ka, k R, reizes                                         ...
Vektoru skalārais reizinājums• Par divu vektoru skalāro reizinājumu  sauc šo vektoru garumu reizinājumu ar  kosinusu no le...
Leņķis starp vektoriem                           a b         cos                           a b                  a x bx    ...
Divu vektoru vektoriālais reizinājums• Par divu vektoru a un b vektoriālo reizinājumu  sauc vektoru c, kuram ir šādas īpaš...
Labās rokas likums
k               j       ii, j, k – asu vienības vektoria = OM – punkta M rādiusvektors
Jauktais reizinājums                              Ja vektoriem ir labā                  abc   0     orientācija           ...
Vektora sadalījums ortogonālajās komponentēs    a       ax i a y j az k    ax, ay, az – vektora koordinātas               ...
Vektora projekcija uz x ass• Vektora AB projekcija uz Ox ass ir  skaitlis, kuru iegūst šādi:• No vektora AB galapunktiem n...
• Vektora projekcija uz ass ir vienāda ar  vektora moduļa reizinājumu ar tā leņķa  kosinusu, ko vektors veido ar asi.     ...
Pa tiešo               a    ax , a y , az               b     bx , by , bza b   a y bz   a z by , az bx axbz , a xby   a y...
Ar determinanta palīdzību          a   ax , a y , az          b   bx , by , bz               i      j       k        a b  ...
Ar matricu palīdzību       0     az   ay    bx       az    0     ax   by        ay   ax   0     bz
Ar summas palīdzību           3   3   3    a b                 ijk   ei a j bk          i 1 j 1 k 1
Triju vektoru jauktais reizinājums              ax    ay    az a b c        bx    by    bz              cx    cy    cz Ģeo...
3.1.analiitiska geometrija
3.1.analiitiska geometrija
3.1.analiitiska geometrija
3.1.analiitiska geometrija
3.1.analiitiska geometrija
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

3.1.analiitiska geometrija

2,286 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

3.1.analiitiska geometrija

  1. 1. Analītiska ģeometrija
  2. 2. Vektors• Vektors — orientēts taisnes nogrieznis, t.i., tāds taisnes nogrieznis, kurš savieno divus punktus un un ir norādīts, kuru no šiem punktiem uzskatīt par nogriežņa sākumu un kuru par gala punktu.• Tam ir dots sākumpunkts un galapunkts.
  3. 3. Nullvektors• Par nullvektoru sauc tādu vektoru, kura modulis ir vienāds ar nulli. Ģeometriski nullvektors attēlo nogriezni, kas deģenerējies punktā. Nullvektora virziens ir nenoteikts.
  4. 4. Kolineāri vektori• Kolineāri vektori — divi vai vairāki vektori, ja to pamati ir savstarpēji paralēli vai sakrīt. Ja kolineāriem vektoriem ir kopīgs sākumpunkts, tad tie atrodas uz vienas taisnes. Tie var būt ar vienādu vērsumu vai savstarpēji pretim vērsti.
  5. 5. Komplanāri vektori• Vektorus, kuri ir paralēli vienai plaknei vai arī atrodas vienā plaknē, sauc par komplanāriem. – Jebkuri divi vektori ir komplanāri. – Jebkuri kolineāri vektori ir komplanāri. – Jebkuri trīs vektori, no kuriem divi ir kolineāri, ir komplanāri. – Triju vektoru a, b un c komplanaritātes nosacījums: Lineāras a b c 0 atkarības nosacījums
  6. 6. Kolineāri un komplanāri vektoriViens vektors ir lineāri atkarīgs tad un tikai tad, ja tas ir nullvektors.Divu un trīs vektoru lineārajai atkarībai ieviesti īpaši, daiļi vārdi: D Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi. Trīs vektorus sauc par komplanāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi. Dažādas situācijas, kad 3 vektori ir komplanāri
  7. 7. Vektoru iedalījums• Brīvie vektori. – drīkst pārnest paralēli sev jebkurā telpas punktā.• Slīdošie vektori. – drīkst pārnest tikai pa pamatu.• Saistītie vektori. – vektora sākuma punktu nedrīkst nekādā veidā pārvietot.
  8. 8. Attālums starp diviem punktiem
  9. 9. Vektora modulis 2 2d x2 x1 y2 y1
  10. 10. • Dots:• punkti E (x1; y1; z1) un F (x2; y2; z2). r1 r2 2 2 2d x y z 2 2 2 d x2 x1 y2 y1 z2 z1
  11. 11. Vektoru vienādība• Divi vektori a un b ir vienādi, ja tie ir kolineāri, vienādi vērsti un tiem ir vienādi moduļi.
  12. 12. Darbības ar vektoriem• Trijstūra likums• Paralelograma likums• Daudzstūra likums
  13. 13. Vektoru summas īpašības• Komutatīvā īpašība: •a+b=b+a• Asociatīvā īpašība: • (a + b) + c = a + (b + c)
  14. 14. Aksiomu ilustrācijas - I B A b A Asociativitāte c a OB BC(a b) c a (b c) a b b c C OA AC OC O a Komutativitāte B C A b b OA AC a b b a O a A OB BC OC A Nullvektors 0 a a A B AA AB AB Pretējais vektors A B A AB BA AA a ( a) 0
  15. 15. Saskaitīšanas asociativitāte Katram kokam atbilst kāda izteiksme ar + iekavām un otrādi: katrai izteiksmei a1 + + atbilst koks. a2 + + + a3 a4 a1 a2 a3 a4a1 (a 2 (a3 a 4 )) (a1 a 2 ) (a 3 a 4 ) T
  16. 16. Vektora reizināšana ar skaitli• Par vektora a reizinājumu ar skaitli k sauc vektoru, kura garums vienāds ar vektora a garuma reizinājumu ar skaitļa k moduli, bet vērsums vienāds ar dotā vektora vērsumu, ja k > 0, un pretējs, ja k < 0.• Vektori ir kolineāri.
  17. 17. Vektora reizinājuma īpašības:• Asociatīvā īpašība: • k(ma) = m(ka) = (km)a• Distributīvās īpašības • (k + m)a = ka + ma• 3.Nulles īpašība: • k(a + b) = ka + kb
  18. 18. Aksiomu ilustrācijas - II D Vektors ka, k R, reizes ir k 3 3 garāks par a, paralēls a, vērsts tāpat a aa 2 2 kā a (k>0), vai pretēji a (k<0). A Distributivitāte1 (k l )a ka la A Operatoru asociativitāte (kl)a k (la) A Distributivitāte2 kb k (a b) ka kb b A Reizināšana ar 1: 1a a a ka
  19. 19. Vektoru skalārais reizinājums• Par divu vektoru skalāro reizinājumu sauc šo vektoru garumu reizinājumu ar kosinusu no leņķa starp vektoriem. a b a b cos
  20. 20. Leņķis starp vektoriem a b cos a b a x bx a y by a z bz cos 2 2 2 2 2 2 a x a y a z b x b y b z
  21. 21. Divu vektoru vektoriālais reizinājums• Par divu vektoru a un b vektoriālo reizinājumu sauc vektoru c, kuram ir šādas īpašības: – Vektora c modulis ir vienāds ar abu vektoru a un b moduļu un šo vektoru veidotā leņķa sinusa reizinājumu – Vektors c ir perpendikulars plaknei, ko nosaka vektori a un b – Vektora c vērsums izvēlēts uz to pusi, no kuras skatoties pirmo reizinātāju a ar otru reizinātāju b redz sakļaujamies pa īsāko ceļu pozitīvajā virzienā.
  22. 22. Labās rokas likums
  23. 23. k j ii, j, k – asu vienības vektoria = OM – punkta M rādiusvektors
  24. 24. Jauktais reizinājums Ja vektoriem ir labā abc 0 orientācija Ja vektoriem ir krejsā c abc 0 orientācija b Ja vektori ir komplanāri. a abc 0
  25. 25. Vektora sadalījums ortogonālajās komponentēs a ax i a y j az k ax, ay, az – vektora koordinātas ax cos i, j, k – koordinātu ass vienības a vai orti ay ax a cos cos 2 2 2 aa a x a y a z ay a cos az az a cos cos a
  26. 26. Vektora projekcija uz x ass• Vektora AB projekcija uz Ox ass ir skaitlis, kuru iegūst šādi:• No vektora AB galapunktiem novelk perpendikulus pret Ox asi, iegūstot nogriezni AxBx.• ir skaitlis, kurš vienāds ar AxBx garumu, ja vektors ar Ox asi (pozitīvo virzienu) veido šauru leņķi un nogriežņa AxBx garumam pretējs skaitlis, ja vektors ar Ox asi (pozitīvo virzienu) veido platu leņķi.
  27. 27. • Vektora projekcija uz ass ir vienāda ar vektora moduļa reizinājumu ar tā leņķa kosinusu, ko vektors veido ar asi. proju a a cos
  28. 28. Pa tiešo a ax , a y , az b bx , by , bza b a y bz a z by , az bx axbz , a xby a y bx
  29. 29. Ar determinanta palīdzību a ax , a y , az b bx , by , bz i j k a b ax ay az bx by bz
  30. 30. Ar matricu palīdzību 0 az ay bx az 0 ax by ay ax 0 bz
  31. 31. Ar summas palīdzību 3 3 3 a b ijk ei a j bk i 1 j 1 k 1
  32. 32. Triju vektoru jauktais reizinājums ax ay az a b c bx by bz cx cy cz Ģeometriskā interpretācija – uz trīs vektoriem konstruētā paralēlskaldņa tilpums.

×