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Trabajo de estadística

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Trabajo de estadística

  1. 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN TRABAJO DE ESTADÍSTICA FERMIN CHAVEZ REYES 2. C
  2. 2. 1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar unacampaña publicitaria, se toma la muestra de 1000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían elproducto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis? a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto. b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo productoDatos:n = 1000x = 25Donde:x = ocurrenciasn = observaciones = proporción de la muestra = proporción propuestaSolución:a)a = 0,01
  3. 3. Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes deventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan querealizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas.Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.Datos:(= 40n=8Nivel de confianza del 99%Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005Solución:H0: (= 40H1: (> 40Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7a = 0,005
  4. 4. Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el tiempo quelos niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuyenormalmente con una media de 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio,una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar suhipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población,obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%.Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta.Datos:n = 64a = 5% = 0,05Solución:H0: (= 22H1: (> 22a = 0,05
  5. 5. Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajode las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campañapublicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, eldepartamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionadosaleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir deestas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar= 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyennormalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos.¿Se considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?Datos:n = 51Solución:H0: (= 170000H1: (< 170000a = 0,05
  6. 6. Un sociólogo ha pronostica do, que en una d eterminad a ciudad, el nivel d e abstención en laspróximas elecciones será d el 40% como mínimo. Se elige a l azar una muestra aleatoria de 200individuos, con derecho a voto, 75 d e los cua les estarían dispuestos a votar. Determinar con unnivel de signifi cación del 1 %, si se puede admitir el pronóstico.1. Enunciamos las hipótesi s nula y alternativa: H 0 : μ ≥ 0.40 La abstención s erá como mínimo del 40%. H 1 : μ < 0.40 La abstención será como máximo d el 40%;2. Z ona d e aceptaciónPara α = 0.01, le corresponde un valor crítico: z α = 2.33.Determinamos el intervalo de confianza para la media :3. Veri fica ción.4. Decisión Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Podemos afirmar, con un nivel d e significación del 1%, que la La abstención s erá como mínimo d el 40%.
  7. 7. Un informe ind ica qu e el precio medio del billete de avión entr e Canarias yMadrid es, como máximo, d e 120 € con una desviación típica de 4 0 €. S e tomauna muest ra d e 100 viajeros y se obtiene q ue la media de los precios de susbilletes es d e 128 €.¿S e pued e acept ar, co n un niv el de si gnific ación igual a 0,1 , la a firmación departida?1 . Enunciamos las hi p ót esis nula y alternativa:H 0 : μ ≤ 120H 1 : μ > 12 02. Zona d e acept aciónPara α = 0.1 , le correspond e un valor crítico: z α = 1.28 .Determina mos el int er valo d e confianza:3. Verif icación.Valor obt enid o d e la m ed ia d e la muestra: 128 €.4. DecisiónNo acep t amos l a h ip ótes is nul a H 0 . Con u n nivel de si gnificació n del 10%.
  8. 8. Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirvenestos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6,con un nivel de confianza del 95%?1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:H0: μ = 6 La nota media no ha variado.H1: μ ≠ 6 La nota media ha variado.2. Zona de aceptaciónPara α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z α /2 = 1.96.Determinamos el intervalo de confianza para la media:(6-1,96 · 0,4; 6+1,96 · 0,4) = (5,22; 6,78)3. Verificación.Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .4. DecisiónAceptamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%.
  9. 9. Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes deventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan querealizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas.Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.Datos:(= 40n=8Nivel de confianza del 99%Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005Solución:H0: = 40H1: (> 40Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7a = 0,005
  10. 10. Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534,523, 452, 464, 562, 584, 507, 461Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine unintervalo deConfianza para la media a un nivel de confianza del 95%.Solución:Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestra valga 505,35 y ladesviaciónTípica 42,54. 2- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala deextroversión tienen unaMedia de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un niveldel90%, para la media de la población.b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error quepodríamosCometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimaciónpuntual.Solución:a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja pordebajo unaProbabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de estamuestraEn la expresión del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de estamuestraen la expresión del intervalo de confianza obtenemos:( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )
  11. 11. En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienenunaMedia de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un niveldel90%, para la media de la población.b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error quepodríamosCometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimaciónpuntual.Solución:a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja pordebajo unaProbabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de estamuestraen la expresión del intervalo de confianza obtenemos:( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )Operando( 30,06 ,, 35,34 )b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja porDebajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del95% laMedia de la población puede valer32,7 ± 2 · 12,64 / 8Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16
  12. 12. Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradaspor suEntrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26.Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un95% deConfianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica paraesteNadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimaciónde laMedia de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas deberíacronometrar?SOLUCIÓN:Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica,utilizamos esEstadístico pivote: y para 1 α = 0,95 el intervalo de confianza es: ¿Quién es en nuestro caso Es un valor tal que en la tabla de lanormal, sabemos que Dado el espacio muestral sustituyendo se obtiene el intervalo:(41,924 – 0, 186 , 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error.El intervalo para la media es ( 41 , 738 , 42, 11)Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la media seestima en41,92 con un margen de error de ± 18,6 %
  13. 13. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favorde lapolítica del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del95%, parala proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?SOLUCIÓN:Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donderesulta que elValor del parámetro en la muestra elegida es =190/360=0,5278.Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el pivote estadístico es: la proporción muestra y p la proporciónPoblacional. De este modo resulta el intervalo de confianza para un nivel deconfianza 1-α elSiguiente: ) En nuestro caso 1-α = 0,95 y α/2=0,025Vamos a la tabla de la normal y calculamos cuyo valor es 1,96 de modo que elintervalo de confianza pedido es: dicho en otros términos, la proporciónde alumnos que apoyan a la junta directiva es delorden del 52,7% con un margen de error de ±5,15%

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