Trading Stops - Modelo de Otimização Discreta

Introdu¸õ
ca
Revisõ de C´lculo Estoc´stico
a a a
Modelo Computacional para Stops Fixos
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

A simple computational model for analyzing the
properties of stop-loss, take-profit, and price
breakout trading strategies
Art Warburtona, Zhe George Zhang

Th´rsis T. P. Souza
a
t.souza@usp.br

Instituto de Matem´tica e Estat´
a ıstica
Universidade de Sõ Paulo
a

15 de agosto de 2012

Th´rsis T. P. Souza (USP)
a Modelo de Otimiza¸õ Discreta em Trading Stops
ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Agenda

1 Introdu¸õ
ca
2 Revisõ de C´lculo Estoc´stico
a a a
3 Modelo Computacional para Stops Fixos
Formula¸õ Discreta
ca
An´lise Te´rica do Modelo
a o
Simula¸˜es Computacionais
co
4 Stops M´veis
o
5 Conclusõ
a
6 Referˆncias
e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Stops

Quando um trader assume uma posi¸õ em um ativo de risco,
ca
´ muito comum a configura¸õ de valores limites nos quais ele
e ca
deixa a posi¸õ
ca
Ex.: Negociador deixa posi¸õ quando o valor do ativo sobe
ca
para um valor de R$22 ou cai para R$18
Esses sõ exemplos de estrat´gia de Stop Gain e de Stop Loss,
a e
respectivamente.

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Stops

A utiliza¸õ de Stops pode ser justificada por diferentes raz˜es
ca o
como:
Redu¸õ da frequencia de negocia¸õ e, consequentemente,
ca ca
dos custos totais de opera¸õ
ca
Fornece uma maneira simples de controle de perdas dada uma
negocia¸õ
ca
Permite recalibra¸õ do modelo de estrat´gia
ca e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Stop Loss

Limite m´ximo de movimenta¸õ adversa de pre¸os
a ca c
Valor de referˆncia: pre¸o, taxa, flutua¸õ
e c ca
Horizonte de tempo: intraday, di´rio, mensal
a

Caracter´
ısticas
Amplamente usada na pr´tica
a
Relativamente poucos estudos cient´
ıficos

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Stop Loss

Hard stop
N´ de pre¸os que, se atingido, faz com que uma posi¸õ seja
ıvel c ca
encerrada automaticamente
Define um limite real de perda

Mental stop
N´ de pre¸os que, se atingido, lan¸a um aviso de alerta
ıvel c c
Define um limite virtual de perda

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Trabalhos Relacionados

Payoffs similares aos garantidos por uma estrat´gia de Stop
e
Loss podem ser obtidos por simula¸õ correspondente em
ca
Op¸˜es com Barreiras.
co
Entretanto, essas Op¸˜es Ex´ticos sõ comumente produtos
co o a
de Balcõ.
a
Assim, negociadores de varejo geralmente devem recorrer a
tćnicas de Stop Loss como prote¸õ alternativa
e ca
Veja [Hull, 2011] para uma introdu¸õ a Op¸˜es com
ca co
Barreiras.

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Trabalhos Relacionados

[Zhang, 2001] determina uma regra de venda ´tima para um
o
ativo cujo retorno segue um modelo estoc´stico
a
correlacionado ao retorno de um portf´lio de mercado.
o
[Wang, 2001] consideram uma ordem de Stop Loss m´vel que
o
incrementa com o avan¸o do tempo.
c
Nessa apresenta¸õ, nõ sõ considerados efeitos de portf´lio
ca a a o
em caso de configura¸õ de stop por todos os participantes do
ca
mercado.

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Artigo [Rogers, 2010]

Em [Rogers, 2010], ´ realizada uma modelagem estoc´stica no
e a
qual o retorno da posi¸õ segue um movimento Browniano.
ca
As seguintes situa¸˜es sõ analisadas:
co a
Stop Fixos
Stop Superior M´vel
o
Stop Superio M´vel e Stop Inferior Fixo
o
Stops Convergentes: onde a diferen¸a estre os limites superior
c
e inferior tendem a um valor fixo

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Artigo [Rogers, 2010]

As seguintes conclus˜es sõ apresentadas:
o a
A incerteza sobre a taxa de retorno do ativo ´ determinante
e
na escolha dos stops
Somente h´ necessidade de determina¸õ de Stop Loss em
a ca
caso de uma taxa de retorno prevista negativa
Ao utilizar um Stop superior fixo, nõ houve diferen¸as
a c
significativas entre Stops inferiores fixos ou de subida.
Contudo, o tempo m´dia em negocia¸õ ´ significativamente
e ca e
menor em uma estrat´gia de stop loss de subida.
e
Assim, a estrat´gia recomendada ´ a de stop superior fixo com
e e
stop inferior de subida.

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Artigo [Zhang et al., 2006]

Os autores definem um modelo computacional em tempo discreto
para an´lise probabil´
a ıstica de stops fixos.
As seguintes estrat´gias sõ analisadas:
e a
Stop Loss: ordens sõ utilizadas para controlar perdas
a
Stop Gain: um limite superior de ganho ´ definido e, assim
e
que o mesmo ´ atingido, o negociador deixa a posi¸õ
e ca
Defini¸õ de pontos de entrada de negocia¸õ: negociador
ca ca
decide assumir posi¸õ long ou short dependendo de limites
ca
definidos para o valor do ativo
Uma breve apresenta¸õ de estrat´gias em stops m´veis tamb´m ´
ca e o e e
fornecida.

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Passeio Aleat´rio
o

Defini¸õ
ca
Seja {Xk }∞ uma sequˆncia de vari´veis aleat´rias discretas
k=1 e a o
identicamente distribuidas. Para cada inteiro positivo n,
denotamos Sn como a soma X1 + X2 + . . . + Xn . A sequˆncia
e
{Sn }∞ ´ chamada de Passeio Aleat´rio.
n=1 e o

Propriedade
Incrementos em um Passeio Aleat´rio sõ independentes e
o a
identicamente distribuidos.

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Processo de Wiener

Defini¸õ
ca
W (t) ´ um Processo de Wiener Padrõ se
e a
(i) W (t) = 0
(ii) W (t) tem incrementos independentes
(iii) Z (t) = W (t) − W (t0 ) segue uma distribui¸õ Gaussiana com
ca
e a 2
m´dia zero e variˆncia σz = t − t0 , t0 ≤ t

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Agenda

1 Introdu¸õ
ca
2 Revisõ de C´lculo Estoc´stico
a a a
3 Modelo Computacional para Stops Fixos
ca
a o
co
4 Stops M´veis
o
5 Conclusõ
a
6 Referˆncias
e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Premissas do Modelo

(I) Pre¸o do ativo segue um passeio aleat´rio
c o
(II) Horizonte de tempo ´ finito
e
(III) Stops sõ fixos
a

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Fun¸õ de Probabilidade
ca

O modelo ´ constru´ baseado em uma ´rvore trinomial para
e ıdo a
o passeio aleat´rio
o
Os pre¸os podem subir um n´
c ıvel, continuar constantes ou
descer um n´
ıvel
O processo p´ra assim que uma barreira ´ atingida ou ao final
a e
do horizonte de tempo

ca

Introdu¸˜o
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclus˜oa
Referˆncias
e

ca
Sejam,
T : o n´mero total de intervalos de tempo no horizonte de
u
tempo indexados por t = 0, 1, . . . , T
∆: o tamanho de cada intervalo de tempo
H: o tamanho do horizonte de tempo, H = T ∆
Lt : o valor de Stop Loss (barreira inferior)
Kt : o valor de Stop Gain (barreira superior)
Ω: o espa¸o de probabilidade de eventos (n´ de pre¸o x a
c ıvel c
cada instante t),

Ω = {(t, x) : t ∈ (0, 1, . . . , T ); x ∈ (−min(t, −Lt ), −min(t, −Lt )+,
. . . , −1, 0, +1, +2, ..., min(t, Kt ))}

ca

Introdu¸˜o
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclus˜oa
Referˆncias
e

ca

Figura : Movimentos de pre¸o poss´ para T = 7, K = 3, L =-2
c ıveis

ca

Introdu¸˜o
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclus˜oa
Referˆncias
e

ca

P(t, x): probabilidade do processo estar no estado (t, x)
S(t, x): o pre¸o do ativo se o processo est´ no estado (t, x)
c a
p(t, x), q(t, x), r (t, x): as probabilidades do pre¸o subir um
c
n´
ıvel, continuar inalterado, e descer um n´ ıvel,
respectivamente, no estado (t, x)

p(t, x) + q(t, x) + r (t, x) = 1

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

ca

B(t, x): predecessores diretos de (t, x)

B(t, x) = {(t − 1, y ) : (t − 1, y ) ∈ Ω, y ∈ {x − 1, x, x + 1}}

Ωa : conjunto de estados sem sucessores (n´s sorvedouros)
o
IB(t,x) (t − 1, y ), fun¸õ booleana, tal que
ca

1 se (t − 1, y ) ∈ B(t, x)
IB(t,x) (t − 1, y ) =
0 caso contr´rio
a

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

ca

Entõ, temos a seguinte recursõ para computar
a a
P(t, x), (t, x) ∈ Ω:

P(0, 0) = 1
P(t, x) = P(t − 1, x − 1)IB(t,x) (t − 1, x − 1)p(t − 1, x − 1)
+ P(t − 1, x)IB(t,x) (t − 1, x)r (t − 1, x)
+ P(t − 1, x + 1)IB(t,x) (t − 1, x + 1)q(t − 1, x + 1),
(t, x) ∈ Ω(0, 0).

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Probabilidade Terminal

Um investimento termina assim que um n´ sorvedouro ´
o e
atingido.
Define-se, entõ, a Probabilidade Terminal como
a
P(t, x), (t, x) ∈ ΩA
A Distribui¸õ de Probabilidade Terminal fornece uma medida
ca
conveniente de crit´rio de investimento em uma estrat´gia de
e e
Stop.

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e


Seja τ o tempo em um estado terminal, entõ
a

E [τ ] = ∆ tP(t, x) (1)
(t,x)∈ΩA

Var [τ ] = ∆ (t − E [τ ])2 P(t, x) (2)
(t,x)∈ΩA

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e


Assumindo uma taxa livre de risco rf , o valor futuro (VF ) esperado
de um investimento em T é

E [VF ] = ∆ S(t, x)e rf ∆(T −t) P(t, x) (3)
(t,x)∈ΩA

e sua variˆncia ´
a e

Var [NPV ] = ∆ [S(t, x)e rf ∆(T −t) − E (VF )]2 P(t, x) (4)
(t,x)∈ΩA

ca

Introdu¸˜o
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclus˜oa
Referˆncias
e


Tamb´m ´ poss´ calcular probabilidades de interesse como a
e e ıvel
probabilidade de se atingir a barreira superior (Stop Gain) ou
inferior (Stop Loss):

P(StopGain) = ∆ P(t, Kt ) (5)
(t,Kt )∈ΩA

P(StopLoss) = ∆ P(t, Lt ) (6)
(t,Lt )∈ΩA

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Resultados relacionados em Passeios Aleat´rios
o

Passeios aleat´rios em tempo cont´
o ınuo para precifica¸õ de
ca
ativos tˆm sido estudados extensivamente. Veja
e
[Cox et al., 1979], [Hull, 2011], [Huu Tue Huynh et al., 2008].
[Cox et al., 1979] fornecem uma modelagem com
probabilidades de transi¸õ constantes: assumindo que K e L
ca
sõ constantes, sõ derivadas express˜es anal´
a a o ıticas para
P(t, K ) e P(t, L).
Contudo, o esfor¸o computacional gasto para computar essas
c
express˜es sõ no m´
o a ınimo tõ custosas quanto ao custo
a
requirido na implementa¸õ da recursõ de
ca a
[Zhang et al., 2006].

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Distribui¸õ de Probabilidade de Transi¸õ
ca ca

Uma premissa comum em modelagem de pre¸os de ativos ´
c e
que os mesmos seguem um Processo de Wiener e que sua
m´dia e desvio padrõ sõ constantes
e a a
Neste caso, para ∆ → 0, um Passeio Aleat´rio converge para
o
um Processo de Wiener
Assim, uma possibilidade seria a utiliza¸õ de uma Gaussiana
ca
como Distribui¸õ de Probabilidade de Transi¸õ
ca ca

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Distribui¸õ de Probabilidade de Transi¸õ
ca ca

[Cox et al., 1979] apresenta um modelo de transi¸õ de
ca
precifica¸õ de op¸˜es em um modelo binomial
ca co
Utilizaremos essa modelagem para probabilidade de transi¸õ
ca
na an´lise computacional
a

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Aproxima¸õ Binomial de [Cox et al., 1979]
ca
Premissas do modelo de precifica¸õ de [Cox et al., 1979]:
ca
O pre¸o do ativo hoje ´ dado por S
c e
O pre¸o do ativo aumenta a uma taxa u com probabilidade p
c
e decresce a uma taxa d com probabilidade 1 − p, onde u > 1
e d < 1 em um per´ ıodo ∆t
O ativo nõ paga dividendos
a
A taxa livre de risco rf ´ positiva e constante com d < rf < u
e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Aproxima¸õ Binomial de [Cox et al., 1979]
ca

Em uma hit´tese de nõ-arbitragem, temos que:
o a
√
u = eσ ∆t
(7)

√
d = e −σ ∆t
(8)

e rf ∆t − d
p= (9)
u−d

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Complexidade Computacional

No modelo trinomial, cada n´ tem no m´ximo trˆs arcos
o a e
predecessores
Portanto, o c´lculo da distribui¸õ terminal ´ O(N), onde N ´
a ca e e
o n´mero de estados poss´
u ıveis
Note que N depende nõ somente da barreiras superior e
a
inferior, mas tamb´m do tamanho do horizonte de tempo
e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e


Suponha que a aproxima¸õ de [Cox et al., 1979] seja utilizada.
ca
Considere R como a razõ entre os valores das barreiras superior e
a
inferior. Seja n o n´mero de n´
u ıveis de pre¸o, entõ
c a
√ n
(e σ ∆
) =R (10)
Assim,
√
n = ln R/σ ∆t (11)

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e


Como

T = H/∆ (12)
entõ, a complexidade computacional do c´lculo da distribui¸õ
a a ca
terminal de [Zhang et al., 2006] sobre uma aproxima¸õ de
ca
[Cox et al., 1979] ´ dada por:
e

H ln R
O(Tn) = O( ) (13)
σ∆3/2

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Configura¸õ Exemplos Computacionais
ca

Os exemplos computacionais aqui apresentados possuem a
seguinte configura¸õ:
ca
Ativo objeto: ITUB4
Per´
ıodo de amostragem: 15/06/2011 a 31/05/2012
M´dia amostral dos log-retornos (µ): -0,1%
e
Desvio padrõ amostral dos log-retornos (σ): 19,98%
a
rf : 11%
S(0,0): 29,3
∆: 2
T: 20

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Probabilidade de Stop

Antes de configurar um valor de Stop Loss ´ de interesse do
e
investidor saber qual ´ a probabilidade desse Stop acontecer
e
An´lise foi realizada variando a m´dia e desvio padrõ do
a e a
ativo objeto em rela¸õ a diferentes configura¸˜es de pre¸o de
ca co c
Stop Loss

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e


Figura : Probabilidade de Stop em fun¸õ do pre¸o de Stop Loss
ca c
configurado. Valor do desvio padrõ foi mantido fixo.
a

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e


Figura : Probabilidade de Stop em fun¸õ do pre¸o de Stop Loss
ca c
configurado. Valor da m´dia foi mantido fixo.
e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Probabilidade de entrada no Mercado

´
E comum um investidor ter um pre¸o alvo, a partir do qual ele
c
decide iniciar sua negocia¸õ
ca
Em vista ` obten¸õ dessa probabilidade do investidor entrar
a ca
no mercado, an´lise foi realizada variando o valor objetivo de
a
entrada para diferentes valores de m´dia e desvio padrõ.
e a

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e


Figura : Probabilidade de entrada no Mercado em fun¸õ do pre¸o inicial
ca c
objetivo. Valor do desvio padrõ foi mantido fixo.
a

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e


Figura : Probabilidade de entrada no Mercado em fun¸õ do pre¸o inicial
ca c
objetivo. Valor da m´dia foi mantido fixo.
e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
ca
a o
Stops M´veis
o
co
Conclusõa
Referˆncias
e

Discussõ exemplos computacionais
a

Quanto maior a m´dia, menor a probabilidade de Stop e maior
e
a probabilidade de entrada no mercado, mantida a variˆncia
a
fixa
Quanto menor o desvio padrõ, maiores as probabilidades de
a
Stop e de entrada no mercado, mantida a m´dia fixa
e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Stops M´veis
o

Em Stops m´veis, ao passo que o pre¸o de um ativo aumenta,
o c
o valor de Stop Loss configurado ´ atualizado periodicamente.
e
Serõ analisadas duas configura¸˜es de estrat´gias:
a co e
Stops M´veis com Horizonte de tempo finito
o
Stops M´veis com Horizonte de tempo ilimitado
o

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Horizonte Ilimitado

Considere um ativo com pre¸os movendo-se de acordo com o
c
modelo trinomial visto, exceto pelo T que dever´ ser ilimitado.
a
Seja K e M = −L inteiros positivos que definem os valores de
Stop Gain e Stop Loss.
Se o pre¸o cai a um valor −M antes que K seja atingido, a
c
opera¸õ tem um Stop.
ca
Caso contr´rio, se o pre¸o alcan¸a o valor K atualizamos o
a c c
valor de Stop Loss para K − M.
Assim, se o pre¸o atinge a barreira superior (j − 1)K , j ≥ 1,
c
atualizamos o valor de Stop Loss para (j − 1)K − M

ca

Introdu¸˜o
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclus˜oa
Referˆncias
e

Horizonte Ilimitado

A Probabilidade do ativo atingir uma barreira superior K antes que
atinga seu valor de Stop M ´ dada pelo resultado do Cl´ssico
e a
Paradoxo da Ruina do Apostador, no qual um apostador tem a
probabilidade P de ganhar K antes de perder M:

1 − (q/p)M
P= (14)
1 − (q/p)( K + M)

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Horizonte Ilimitado
Para que o valor de barreira (j − 1)K − M seja atingido, é
necess´rio que o valor de Stop Gain tenha sido atingido (j − 1)
a
vezes antes que o valor de Stop Loss seja atingido. Assim, a
probabilidade desse evento ocorrer ´ dado pela distribui¸õ
e ca
geom´trica
e

U(j) = P j−1 (1 − P) (15)
Assim, a Esperan¸a e Variˆncia de saltos (j) que ocorrem antes
c a
que a estrat´gia sofra um Stop sõ, respectivamente
e a

E [U(j)] = 1/(1 − P) (16)

Var [U(j)] = P/(1 − P)2 (17)
ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Horizonte Ilimitado

De posse da distribui¸õ de probabilidade do n´mero de saltos,
ca u
chegamos a um valor esperado para o pre¸o em caso de stop
c

KP/(1 − P) − M (18)
onde sua variˆncia ´ dada por
a e

K 2 P/(1 − P)2 (19)

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Horizonte Ilimitado

Seja X a vari´vel aleat´ria do valor do tempo no qual o pre¸o de
a o c
negocia¸õ termina, a equa¸õ de Wald ([Ross, 1980]) pode ser
ca ca
utilizada para obten¸õ de
ca
1
E (X ) = E (C ) (20)
1−P
onde,
Kp K (p M −q M )−Mq M (p K −q K )
(p−q)(p K +M −q K +M )
, se p = q
E (C ) = KM
p+q , caso contr´rio
a

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Horizonte Finito

Em contraste ao caso de Horizonte Ilimitado, para o caso
Finito, o n´ de pre¸o em caso de Stop nõ ´
ıvel c a e
necessariamente (j − 1)K − M, j´ que o processo pode ser
a
finalizado sem atingir o valor de Stop Gain.
O valor limite de pre¸o pertence ao intervalo
c
[(j − 1)K − M, jK − 1].

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Horizonte Finito

Seja E 1 e V 1 a esperan¸a e variˆncia do pre¸o de Stop ao atingir
c a c
uma primeira barreira, entõ:
a

−M ∗ P(StopLoss) + K −1
i=−M+1 iP(T , i)
E1 = (21)
(1 − P(StopGain))

2 −M ∗ P(StopLoss) + K −1 2
i=−M+1 i P(T , i)
V1 = E1 − (22)
(1 − P(StopGain))

ca

Introdu¸˜o
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclus˜oa
Referˆncias
e

Horizonte Finito

Assim, chegamos a um valor esperado para o pre¸o em caso de stop
c

KP(StopGain)/(1 − P(StopGain)) − E1 (23)
onde sua variˆncia ´ dada por
a e

K 2 P(StopGain)/(1 − P(StopGain))2 + V1 (24)
O tempo esperado para se atingir o Stop ´ dado por
e
1
E (X ) = E (τ ) (25)
1 − P(StopGain)

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Conclusõ
a

[Zhang et al., 2006] apresenta um modelo computacional de
simples formula¸õ para c´lculo de stops
ca a
Foi demonstrada uma s´rie de rela¸˜es de ganho e volatilidade
e co
associadas a uma probabilidade terminal de stop
Em an´lise emp´
a ırica de um ativo do mercado, foi constatada
rela¸õ direta entre volatilidade e a probabilidade de stop
ca
A probabilidade de entrada no mercado demonstrou rela¸õ
ca
direta com a m´dia do retorno do ativo
e

ca

Introdu¸õ
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclusõa
Referˆncias
e

Referˆncias
e

Warburtona, A. and Zhang, Z. G. (2006)
A simple computational model for analyzing the properties of stop-loss,
take-profit, and price breakout trading strategies. Computers and
Operations Research, 33:32-42.

Cox, J. and Ross, S. and Rubenstein, M. (1979)
Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics,
7:229-64.
Hull, J. C. (2011)
Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 8th ed.

Huynh, H. T. and Lai, V. S. and Soumare, I. (2008)
Stochastic Simulation and Applications in Finance with MATLAB
Programs. Wiley, 1st ed.

ca

Introdu¸˜o
ca
a a a
Stops M´veis
o
Conclus˜oa
Referˆncias
e

Referˆncias
e

Ross, S. (1980)
An introduction to probability models Academic Press, 2nd ed.

Zhang, Q. (2001)
Stock trading: an optimal selling rule. SIAM Journal on Control and
Optimization, 40(1):64-87.

Shen, S. and Wang, A. (2001)
On stop-loss strategies for stock investments. Applied Mathematics and
Computation, 119:317-37.

Imkeller, N. and Rogers, L. C. G. (2010)
Trading to Stops. To Appear, dispon´ em
ıvel
http://www.statslab.cam.ac.uk/~chris/papers.html.

ca

Trading Stops - Modelo de Otimização Discreta

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