Théorie de la decision

Les outils d’aide à la décision
Soufiane Mir
Ingénieur en Business Intelligence
Septembre 2015
Ingénierie de la décision

Introduction et position du problèmeIntroduction et position du problème
La prise de décision est un problème central dans les entreprises.
Les décisions concernent différents types d'activités : on peut ainsi distinguer les
décisions commerciales, administratives, financières. Les décisions les plus
importantes sont :
• les décisions de financement (par exemple, réaliser une augmentation de
capital),
• les décisions d'exploitation (par exemple, établir le programme de production de
l'année),
• les décisions d'investissement (par exemple, construire une nouvelle usine).
Mais le problème de prise de décision est complexe
• Grand nombre de facteurs
• Structuration du problème (problèmes mal définis), considérations subjectifs et
conflits d’intérêt
• Incertitude

• Peuvent aider le décideur à :
–Modéliser et connaître la nature des relations de son
problème
–Trouver la meilleure façons d'évaluer les valeurs de ces
relations, et
-Aider à la réduction des effets de l’incertitude qui entoure
les plans d'actions
Introduction et position du problèmeIntroduction et position du problème

Etapes pour l’aide à la décisionEtapes pour l’aide à la décision
• Définir le problème et les facteurs essentiels
• Établir un critère de décision
• Choisir un outil d’aide à la décision (modèle)
• Identifier et évaluer les alternatives par ce modèle
• Sélectionner la meilleure alternative
• Implémenter la décision
• Évaluer le résultat

Les modèlesLes modèles
• Sont moins coûteux et perturbateur que l’expérimentation
réelle
• Permettent de poser les questions de type “Et si”
• Encourage l’implication des managers
• Implique une approche systématique d’analyse des problèmes
• Impose aux managers de prendre en compte d’une manière
plus précise la relation contraintes - résultats
• Aident à réduire le temps de prise de décision

LimitationsLimitations desdes ModModèèlleess
• Ils sont coûteux et long à développer et à tester
• souvent mal utilisés et mal compris (et craints) en raison de
leur complexité mathématique et logique
• ont tendance à minimiser le rôle et la valeur de l'information
non quantifiable
• Font souvent des hypothèses qui surestiment les variables
réelles

Processus de décisionProcessus de décision
Problème Décision
Analyse
Quantitative
Cadre Logique
Données
historiques
Recherche
Marketing
Analyse
Scientifique
Modélisation
Analyse
Qualitative
Emotions
Intuition
Expérience
Personnelle
Motivation
Rumeurs

Problème de décision
Ensemble A des
Alternatives (Actions)
Ensemble E des
États de la Nature
Événements non contrôlés
Ensemble C des
Conséquences
Résultats
 Tables de décision : relation locale entre A, E et CTables de décision : relation locale entre A, E et C
 Arbre de décision : relation globale entre A, E et CArbre de décision : relation globale entre A, E et C
Schémas d’un problème de décisionSchémas d’un problème de décision

Formalisation d’un problème de décisionFormalisation d’un problème de décision
Symboles utilisés dans un arbre de décision :
• Noeud “décision” : qui représente une action de décision (élément de A)
• Noeud “événement” : à partir du quel un état de la nature peut se
produire (occurrence d’un événement)
A
A1
Aj
AM
E
e1
ei
eN
On désigne par d l’élément
courant de A : d∈A
i est l’indice des événements
i∈[1,….N]

Types de modèles de décisionTypes de modèles de décision
• Décision en environnement certain
Il n’y a aucun facteur externe non contrôlé. Le décideur
connaît « parfaitement » l’état de la nature
• Décision en environnement incertain
L’état de la nature n’est pas connu. Il dépend de
facteurs dont on ne dispose pas de probabilité pour
estimer leur occurrence.
• Décision avec risque
L’état de la nature n’est pas connu. Il dépend de
facteurs dont on connaît la probabilité de leur
occurrence

Types de modèles de décisionTypes de modèles de décision
Probabilités
connues
Environnement
certain
Programmation
linéaire
Optimisation
Sous
contraintes
Théorie de
la décision
Méthodes
des scénarios
(Opt, Att,
Pess…)
Théorie
des jeux
Analyse
multicritères
Environnement
non certain

Décision en environnement certainDécision en environnement certain
1°) Optimisation statique = une seule période
•Choix optimal sous contraintes des
consommateurs et des producteurs
•modèles de gestion des stocks.
•Ordonnancement et planning d'atelier
2°) Optimisation inter temporel
•Choix inter temporel du consommateurs
•Choix des investissements futurs (VAN)

C’est l’exemple e du comportement d’un consommateur qui doit
choisir entre par exemple entre trois biens : pomme, orange et
poire
Soit X l’ensemble des alternatives et la relation de préordre sur X≿
qui traduit les préférences du consommateur. C’est l’ensemble des
paniers de consommation accessibles à un individu donné.
Soit x et y deux paniers de consommation; x ∈ X, y ∈ X
•x ≿ y signifie que le panier de consommation x est au moins aussi
désirable que le panier y.
•x ≻ y signifie que le panier de consommation x est strictement
préféré au panier y.
•x ~ y signifie que l’individu est indifférent entre les paniers de
consommation x et y; ce qui est équivalent à poser x y et x y≿ ≾
simultanément.
Choix statique du consommateurChoix statique du consommateur

A.1 (Complétude) Pour tout couple x1, x2 ∈ X, ou bien x1 x2≿
ou bien x2 x1. Tous les complexes de biens peuvent être≿
comparés entre eux.
A.2 (Réflexivité) Pour tout x ∈ X, x x≿
A.3 (Transitivité) Si x1 x2 et si x2 x3 alors x1 x3. Cet≿ ≿ ≿
axiome nous assure qu’il y a un meilleur élément dans l’ensemble,
ce qui est nécessaire pour les problèmes de maximisation.
Les axiomes A.1, A.2 et A.3 définissent un préordre sur X
A.4 continuité Pour tout x0 ∈ X
( x ∈ X | x0 ≥ x) et ( x ∈ X | x ≥ x0) sont fermés dans X
L’axiome A.4 nous assure qu’il n’y ait pas de discontinuité dans les
choix du consommateur.

Soient des préférences complètes, réflexives, transitives
et continues, alors il existe toujours une fonction d’utilité continue
U : X R qui représente ces préférences:→
∀x1, x2 Є X, x1 x2 U(x1)≥U(x2).≿ ↔
il est possible de modéliser les préférences d’un individu par une
fonction mathématique appelée fonction d’utilité et il n’est donc pas
plus restrictif de travailler avec u que de travailler avec « ».≿
Théorème de Debreu : Fonction d’utilité
A5 Convexité
Si x1,x2 et x3 appartiennent à X et que x z et y z, alors≿ ≿
tx+(1−t)y z,≿ ∀t Є [0, 1] . C’est-à-dire que {x : x z} est un≿
ensemble convexe. Convexité stricte est également craie)
La convexité implique que les agents préfèrent les paniers
intermédiaires aux paniers extrêmes.

Une fonction d’utilité de type Cobb-Douglas a la forme suivante:
U(x, y) = xa
y1−a ,
où x et y sont deux biens et 0 ≤ a ≤ 1
Dans le cas de deux biens on peut faire des représentations
graphiques à deux dimensions par des courbes
d’indifférence.

Le consommateur est contraint de limiter ses consommations qui lui
sont accessibles compte tenu de son budget. L’ensemble accessible
au consommateur est A(p,m) = {x €X |px ≤R}, où X = Rk
+ et
x={x1, ...xk}, un vecteur de k biens; p={p1,..., pk} est le vecteur
de prix qui lui est associé; et R est le revenu disponible.
Cas de deux biens
nous avons p1x1 +p2x2 ≤ m. Cet ensemble budgétaire est
représenté par la surface ombragée sous la droite de budget :
p1x1 + p2x2 = R

R
Il est possible de démontrer qu’une solution optimale à ce
problème se situe nécessairement sur la droite de budget.
Interprétée en termes graphiques, une solution optimale à ce
problème apparaît à un point de tangence entre une courbe
d’indifférence et la droite de budget
.
Suite axiomes et Fonction d’utilité

Si la fonction d’utilité est différentiable, nous
pouvons alors former le Lagrangien:
L = U(x) − λ(px−R)
Conditions de premier ordre (CPO):
Remarquez que cette expression pose l’égalité entre le
taux marginal de substitution TMS (la pente de la courbe
d’indifférence) et la pente de la droite de budget.
Suite axiomes et Fonction d’utilité

Valeur actuelle nette (VAN)
LA VAN est égale à la somme des flux actualisés à la date
présente (y compris l’investissement initial) au taux
d’actualisation approprié.
On peut aussi la définir comme le différence entre les flux
monétaires actualisés et l’investissement initial
……
1 … i … n0
Flux
financier
-I
k est le taux d’actualisation. Il représente le taux de rentabilité
minimum exigé par l’entreprise
Règle de décision : Le projet est accepté si la VAN >0
Choix des investissementsChoix des investissements

Taux de rendement interne (TRI)
Le TIR est le taux d’actualisation qui annule la VAN. En
quelque sorte, c’est le taux de rendement du projet
Règle de décision : Le projet est accepté si le TRI est
supérieur au coût d’opportunité du capital
Répercussion du niveau de risque à travers le taux
d’actualisation
Délai de récupération (Temps de retour TR)
C’est la période dans laquelle l’investissement initial est
récupéré grâce aux flux générés par le projet.

Soit un projet qui a un profile de flux de coût revenu
sur cinq ans donné par
Année 0 1 2 3 4 5
Coûts 300 20 20 20 20 20
Revenus 0 100 100 200 200 200
-300 80 80 180 180 180
0 1 2 3 4 5
Exemple

Année 0 1 2 3 4 5
Cash flow -300 80 80 180 180 180
Taux d’actualisation 0 0,909 0,826 0,751 0,683 0,621
Cash flows actualisés -300 72,72 66,08 135,18 122,94 111,78
Cash flows actualisés
cumulés
-300 -227,28 -161,2 -26,02 96,92 208,70
Valeur nette actualisée = 208,70
Temps de retour 3,21 années
Taux d’intérêt minimum exigé par l’investisseur est i=10%
Exemple

Taux d’intérêt i 0 10 20 25 30 35
VAN 400 208,7 85,5 40,4 2,2 -29,4
TR 2,78 3,21 3,85 4,32 4,95 >5
Exemple
10% 20% 30%
100
200
300
400
0
0
40%
TIR = 30,35%
VAN
i

i 0 10 20 25 30 35
TR 2,78 3,21 3,85 4,32 4,95 >5
Exemple
1 2 3
100
200
300
400
0
4
VANC
i
-200
-100
-300
0
5
i

DecisionDecision dans l’idans l’incertainncertain
• Critères basés sur les extrêmes
Maximax - On choisit la décision qui maximise le gain
maximal (Critère optimiste)
Maximin (Critère de Wald) : On choisit la décision
qui maximise le gain minimal (Critère pessimiste)

Critères basés sur les extrêmes
Critère de Wald ou MaxiMin
On choisit la décision qui maximise le gain minimal (ici m(d))
Stratégie de prudence extrême
Critère de MaxiMax
On choisit la décision qui maximise le gain maximal (ici M(d))
Stratégie de risque extrême
Critère de Hurwitcz
On calcule deux valeurs extrêmes
d est la décision générique : d∈A
i est l’indice des événements i∈[1,….N]
Ci(d) est la conséquence de la décision d si l’événement i se produit

Exemple:
Etats de la Nature
Alternatives Marché
Favorable
Marché
Défavorable
Maximum
En colonne
Minimum Hurwitcz
Construire
Grand projet
200,000 -180,000 200,000 -180,000 10,000
Construire
Petit projet
100,000 -20,000 100,000 -20,000 40,000
0 0 0 0 0
Maximax Maximin Hurwitcz
Rien
En colonne Α=0.5

Idée : on anticipe les regrets (manque à gagner) que l'agent pourrait
avoir en ayant pris une décision, après observation des événements
Regret d'une décision par rapport à un événement
Payoff MaximumPayoff Maximum -- PayoffPayoff dede
pour un événementpour un événement l’action choisiel’action choisie
Critères basés sur les regrets

Etats de la Nature
Alternatives Marché
Favorable
Marché
Défavorable
Maximum
Des regrets
Construire
Grand projet
00 160 000 160 000
Construire
Petit projet
100 000 0 100,000
0 0 0
Minimiser le maximum des regrets
Rien
Remarque
Le minimum des maximums des regrets donne la même résultat que le
Maximin

0
5
Autre exemple

0
5
Critère de Savage
Choisir la décision pour laquelle on rend minimal le maximum des
regrets. Le regret est défini comme le coût d’opportunité ou le manque à
gagner
La stratégie choisie est donc C
Il est facile de vérifier qu’elle
correspond également à MaxiMin
Autre exemple

DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
L'arbre de décision est un graphe orienté formé de nœudsL'arbre de décision est un graphe orienté formé de nœuds
successifs qui représentent les décisions et les événements.successifs qui représentent les décisions et les événements.
•Nœuds de décisions. Un nœud de décisions représente un choixNœuds de décisions. Un nœud de décisions représente un choix
entre plusieurs décisions fait librement par le décideur. Il estentre plusieurs décisions fait librement par le décideur. Il est
figuré par un carré.figuré par un carré.
•Nœuds d'événements. Un nœud d'événements représente uneNœuds d'événements. Un nœud d'événements représente une
alternative entre plusieurs événements. Il est figuré par un cercle.alternative entre plusieurs événements. Il est figuré par un cercle.
À chaque événement sont attachées une probabilité. La sommeÀ chaque événement sont attachées une probabilité. La somme
des probabilités affectées aux événements d'un nœud égale 1.des probabilités affectées aux événements d'un nœud égale 1.
Chaque décision conduit à un nœud d'événements.Chaque décision conduit à un nœud d'événements.
La racine de l'arbre de décision est toujours un nœud de décision.La racine de l'arbre de décision est toujours un nœud de décision.
Arbre de décisionArbre de décision

Une entreprise vient de développer une nouvelle ligne de produits et on doit
choisir la manière de conduire la stratégie marketing.
Trois stratégies principales sont possibles :
•A : stratégie agressive
•B : stratégie classique
•C : stratégie prudente
L'efficacité de la stratégie choisie dépendra d'un facteur externe
non contrôlé qui est la dynamique du marché. Deux états du
marché sont envisagés :
•S : le marché est porteur
•W : le marché est peu porteur
Les conséquences des décisions en fonction des événements sont données par
le tableau suivant
Exemple de marché porteur (S) ou non porteur (W)

Table de décisionTable de décision

Critères :Critères :
• Maximiser l’état le plus probableMaximiser l’état le plus probable
• Critère de l’espérance des regretsCritère de l’espérance des regrets
• Maximiser l’espérance du payoff (du gain ouMaximiser l’espérance du payoff (du gain ou
de la valeur monétaire). C’est la règle dede la valeur monétaire). C’est la règle de
décision de Bayes)décision de Bayes)
• Maximiser l’espérance de l’utilitéMaximiser l’espérance de l’utilité
Etat de la nature probabiliséEtat de la nature probabilisé

 Identifier l’état le plus probable, ignorer les autres, et choisir le
plus grand payoff
Les décisions personnelles sont souvent basées sur ce critère
Plusieurs informations sont ignorées
Choix de stratégie
État du marché Probabilité A B C
Strong S 0.45 30 20 5
Weak W 0.55 -8 7 15
Critère de l’état le plus probableCritère de l’état le plus probable
L’état le plus probable est W
Maximum de gain : 15
Stratégie choisie : C

Regrets
Strong S 0.45 0 10 25
Weak W 0.55 23 8 0
Espérance des Regrets 12,65 8,9 11,25
La stratégie choisie est donc B
Critère de l’espérance des regretsCritère de l’espérance des regrets

Le critère de l'espérance mathématique de gain s’écrit :
où désigne la probabilité d'occurrence de l'événement i et désigne la
conséquence de la décision d si l'événement i survient
Dans notre exemple
•E(A) = 30 . 0,45 + (-8) . 0.55 = 9,1
•E(B) = 20 . 0,45 + 7 . 0.55 = 12,85
•E(C) = 5 . 0,45 + 15 . 0.55 = 10,5
Le choix serait alors B > C > A
Remarque : La critères de maximisation de l’espérance de gain et la minimisation
de l’espérance du regret donnent les mêmes stratégies
Critère de maximisation de l’espérance du payoffCritère de maximisation de l’espérance du payoff
Cas particulier : Critère de Laplace (événements équiprobables)
L(d) = la moyenne des conséquences possibles pour la décision d (sur l'ensemble
des événements).

Si le décideur ne connaît que les probabilités des événements, il ne disposeSi le décideur ne connaît que les probabilités des événements, il ne dispose
alors que d’une information imparfaite. En effet, ne connaissant que lealors que d’une information imparfaite. En effet, ne connaissant que le
pourcentage des fois où l’alternative a eu lieu, il ne connaît pas exactementpourcentage des fois où l’alternative a eu lieu, il ne connaît pas exactement
l’état réel à chaque fois pour prendre la bonne décision.l’état réel à chaque fois pour prendre la bonne décision.
Dans ce cas le décideur adopte un comportement « Bayesien » basé sur laDans ce cas le décideur adopte un comportement « Bayesien » basé sur la
comparaison des espérances de gaincomparaison des espérances de gain
Flexibilité d’informationFlexibilité d’information
Gains
Strong S 0.45 30 20 5
Weak W 0.55 -8 78 15
Espérance des gains 9,1 12,85 10,5
La stratégie B

Si le décideur arrive à avoir une information supplémentaire (études deSi le décideur arrive à avoir une information supplémentaire (études de
marché, marché test commandé à un consultant expérimenté) susceptible demarché, marché test commandé à un consultant expérimenté) susceptible de
l’aider dans la connaissance des événements, il va pouvoir en tirer profit etl’aider dans la connaissance des événements, il va pouvoir en tirer profit et
améliorer sa décision. Dans le cas extrême où il connaît à chaque fois l’étataméliorer sa décision. Dans le cas extrême où il connaît à chaque fois l’état
exact des événements (consultant parfait, espion, « voyante »), il disposeexact des événements (consultant parfait, espion, « voyante »), il dispose
alors d’une information parfaite qui lui permettra de maximiser son payoff.alors d’une information parfaite qui lui permettra de maximiser son payoff.
Flexibilité d’informationFlexibilité d’information
L’écart de l’état réel de l’information par rapport à cet état d’informationL’écart de l’état réel de l’information par rapport à cet état d’information
parfaite permet de définir la flexibilité informationnelle pure. Celle-ciparfaite permet de définir la flexibilité informationnelle pure. Celle-ci
caractérise l’aptitude à améliorer l’information jusqu’à sa limite maximale.caractérise l’aptitude à améliorer l’information jusqu’à sa limite maximale.
Cette possibilité n’existe pas toujours et on parle alors de rigiditéCette possibilité n’existe pas toujours et on parle alors de rigidité
informationnelle.informationnelle.

La Valeur attendue en Information Parfaite (Expected Value of PerfectLa Valeur attendue en Information Parfaite (Expected Value of Perfect
Information = EVPI) est donnée par :Information = EVPI) est donnée par :
EVPIEVPI = Espérance du= Espérance du PayoffPayoff -- Maximum de l’espérance duMaximum de l’espérance du
en information parfaiteen information parfaite payoff (sans informationpayoff (sans information
additionnelle)additionnelle)
EVPIEVPI donne un plafond de ce qu’on doit payer pour avoir unedonne un plafond de ce qu’on doit payer pour avoir une
information additionnelleinformation additionnelle
Espérance du payoff enEspérance du payoff en information parfaiteinformation parfaite ==
EVPIEVPI

Pour un consultant « parfait » (il s’agit en fait d’un « voyant » ou d’un espion
dans le cas de soumission dans des marchés publiques) .
Le consultant étant parfait, il annoncera toujours S pour les 45% de cas où le
marché est porteur, on choisira alors A ave un gain de 30
Dans le cas de 55% où le marché est faible, il annonce W et on choisira C(15)
Valeur de l’information EVPIValeur de l’information EVPI
Gains
Strong S 0.45 30 20 5
Weak W 0.55 -8 78 15
Espérance des gains
30
15
0,45*30+0,55*15 = 21,75
EPVI = 21,75 - 12,85 = 8,9
Recours au service d’un consultant

Cas d’un consultant non parfait
On considère maintenant que le consultant ne donne pas l’information
parfaite mais une tendance du marche
En un mois, l'entreprise peut savoir si les perspectives sont
encourageantes (E) ou décourageantes (D).
L'étude de marché coûte 0.5
L’étude ne donne pas d’information à 100%. On utilise les informations
passées pour estimer sa pertinence. On sait que par le passé, ces études
ont donné de bonnes indications ;
•Quand le marché a finalement été porteur, l'étude a donné des
perspectives encourageantes avec une probabilité de 0.6
P(E/S)=0.6 p(D/S)=1 - p(E/S)=0.4
•Quand le marché n'a finalement pas été porteur, l'étude a donné des
perspectives décourageantes avec une probabilité de 0.7
p(D/W)=0.7 p(E/W)=1 – p(D/W)=0.3
L'arbre de décision est donnée dans la suite
Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information

Arbre de décision

Calcul de p(E)
p(E) = p(E et (S ou W))
p(E) = p((E et S) ou (E et W))
p(E) = p(E et S) + p(E et W)
or p(E et S) = p(E/S).p(S) et p(E et W)=p(E/W).p(W)
donc p(E) = p(E/S).p(S) + p(E/W).p(W)=0.435
Calcul de p(D)
de manière analogue p(D) = p(D/S).p(S) + p(D/W).p(W)=0.565
Calcul de p(S/E)
p(E et S) = p(E/S).p(S) =p(S/E).p(E)
donc p(S/E)=p(E/S).p(S)/p(E)=0.621 (Note p(W/E)=0.379)
Calcul de p(W/D)
de manière analogue p(W/D)=p(D/W).p(W)/p(D)=0.682
Note p(S/D)=0.318
Calcul des probabilités conditionnelles

Calcul des décisions
On va « replier » l'arbre de décision dans l'ordre chronologique
inverse des prises de décision

Calcul des décisions

Le scénario optimal est le suivant
•On demande une étude de marché puis
•Si l'étude de marché donne E, alors choisir une stratégie
marketing agressive (A)
•Si l'étude de marché donne D, alors choisir une stratégie
marketing prudente (C)
Bilan

Paradoxe de St Peters burg
C’est un jeu à deux personnes A et B dans lequel A propose à B un jeu à pile ou face
moyennant un mise d’une somme S. Les règles du jeu et le gain qui pourra en résulter
sont comme suit :
•si pile arrive au premier lancé, A donnera à B 2 DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu
continuera;
•si pile arrive au second lancé, A donnera à B 22
=4 DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu
continuera
•si pile arrive au nème
coup, A donnera à B 2n
DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu continuera
Quel est le prix maximum S que B est prêt à payer ?
Le critère de l’espérance du gain s’écrit
∞=+×++×+×+×= .....2
2
1
......8
8
1
4
4
1
2
2
1 n
n
V
L’application du critère d’espérance du gain débouche donc sur le ‘paradoxe de Saint
Peters Bourg’: quel que soit le prix du jeu fixé par A, B devrait l’accepter puisque le gain
espéré est infini
Contradictions et paradoxes avec l’espérance de gain
Critère de l’utilité espéréeCritère de l’utilité espérée

Évaluation du prix d’une action
C’est un exemple similaire au précédent, il concerne la détermination de la valeur de l’action
(son prix) dont le dividende est initialement d et à chaque période, on a une chance sur 2 que
l’activité ne dégage aucun profit et une chance sur deux qu’elle croit avec un taux de progression
g. On suppose en plus que l’on d ≥1 et (1+g) ≥ 2(1+r)
La méthode d’actualisation au gain espéré donne pour la valeur de l’action :
....)11(
1
1
2
1
.....
)1(
)1(
2
1
.....
)1(
)1(
8
1
)1(
)1(
4
1
1
)1(
2
1
1
3
3
2
2
++≥





+
+
=+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= ∑
∞
=
d
r
g
d
r
gd
r
gd
r
gd
r
dd
V
j
j
n
n
n
La valeur de l’action de croissance serait alors infinie. Un investisseur adoptant ce critère serait
donc prêt à payer n’importe quel prix pour cette action. Ce critère a longtemps prévalue dans les
pratiques boursières jusqu’aux années 70 où le crash boursier de 1974 a remis en cause la
pertinence du critère d’espérance des gains. Peu de personnes seraient prêt à payer une somme
infinie.

Effet du risque
Soit une loterie L qui consiste à tirer une pièce de monnaie. Si la pièce indique face, on
vous paie 1000 DH; si la pièce indique pile, vous devez payer 1000 DH. Le revenu
espéré E[R]L de la loterie est de:
0=500+500(1000)
2
1
+(-1000)
2
1
=]E[R L =
Si on joue et donc on prend un risque l’espérance est nulle et si on ne joue pas, donc pas de
risque, on a aussi une espérance nulle. On est donc en présence de deux situations où le
revenu espéré est le même mais dont la première est risquée. Si la maximisation du revenu
espéré constitue le critère de décision, on devrait être totalement indifférent entre prendre
part ou non à cette loterie. Pourtant, on a probablement un jugement plus favorable pour
l'une ou l'autre des deux alternatives. L'attitude face au risque est déterminante dans le choix
des individus

Ces paradoxes et bien d’autres montrent que l’espérance du revenu ne reflète pas
toujours le bon comportement des agents économiques. Les individus préfèrent, à
valeur égale, les gains sûrs que les gains risqués de même espérance. Cette
préférence universelle pour la sûreté révèle donc une aversion à l’égard du risque,
une risquophobie de l’individu
Pour lever ces paradoxes, on doit concevoir un critère faisant
explicitement appel à cette attitude de l'individu face au risque. Cela est possible
avec le modèle d'utilité espérée initié d’abord par Daniel Bernoulli (1700-1782) puis
formalisé par von Neumann et Morgenstern en 1944.
A la maximisation du revenu R on substitue la maximation de l’utilité qu’il procure.
Dans ce cas, contrairement au cas du gain, l’utilité dépend du comportement de
chaque agent. Un gain de 1000 unités est sans doute plus apprécié par un pauvre que
par un homme riche même si le gain est le même pour les deux.

)ln(
11
Ru
RR
u
R
R
u =⇒=
∂
∂
⇒∆≈∆
R
R
u ∆≈∆
1
L’utilité résultant de tout petit accroissement de la richesse sera inversement proportionnel
à la quantité de biens antérieurement possédés. De ce fait pour un accroissement faible de la
richesse ∆R, l’accroissement de l’utilité (∆u) est alors donné par:
Cette relation due à Bernoulli permet de déterminer la forme de la fonction d’utilité
Ceci indique que les fonctions d’utilités doivent avoir une allure proche des fonctions
logarithmiques dont la principale caractéristique très utile est la concavité.
Application au paradoxe de Saint Peters bourg.
∑∑ =
∞→
=
∞→
≈×==
T
t
tT
T
t
t
tT
t
U
11
)4ln(
2
lim)2ln()2ln(
2
1
lim
La valeur du jeu proposé par le joueur B est en fait exactement ln (4) DH.

)9000ln(
2
1
)11000ln(
2
1
)( +=uE
)10000ln()( =uE
)9000ln(
2
1
)11000ln(
2
1
)1000ln( +>
On suppose que le revenu initial avant le jeu est R0=10000. Les deux
alternatives conduisent au même gain espéré.
L’utilité espérée de l’alternative du jeu est
Pour l’alternative sans jeu (certaine) on a
Cas de l’exemple 3
La fonction logarithme étant concave on a donc la situation certaine
de même espérance de gain est préférée à la situation risquée.

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