Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)

www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 1
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di “ www.siap-osn.blogspot.com ”
SOAL DAN PEMBAHASAN
OLIMPIADE MATEMATIKA VEKTOR NASIONAL 2013 SMP (OMVN 2013)
BABAK PENYISIHAN ( BAGIAN 1 )
BAGIAN 1
Berikan jawaban akhir!
1. Terdapat tiga lingkaran berjari-jari 𝑟 yang disusun sedemikian hingga setiap lingkaran melalui dua titik pusat
lingkaran yang lain. Berapakah luas daerah perpotongan ketiga lingkaran tersebut?
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐵𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑙𝑖𝑕𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶
𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 , 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶
∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = 60 𝑜
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝑟
𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =
1
2
. 𝐵𝐶 =
1
2
. 𝑟 =
𝑟
2
𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐵 = 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐶 = 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝐽𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 ∶
𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 =
60
360
. 𝜋 . 𝑟2
=
𝜋𝑟2
6
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝑂𝐵 ∶
𝑂𝐴 = 𝐴𝐵2 − 𝑂𝐵2
= 𝑟2 −
𝑟
2
2
= 𝑟2 −
𝑟2
4
=
3𝑟2
4
=
3 𝑟
2

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝐴𝐵𝐶 ∶
𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 =
1
2
. 𝐵𝐶 . 𝑂𝐴
=
1
2
. 𝑟 .
3 𝑟
2
=
3 𝑟2
4
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶 ∶
𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶 = 𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 − 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶
=
𝜋𝑟2
6
−
3 𝑟2
4
𝐿 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 + 𝟑 . 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶
=
3 𝑟2
4
+ 𝟑 .
𝜋𝑟2
6
−
3 𝑟2
4
=
3 𝑟2
4
+
𝜋𝑟2
2
−
3 3 𝑟2
4
=
𝜋𝑟2
2
−
2 3 𝑟2
4
=
𝜋𝑟2
2
−
3 𝑟2
2
=
𝜋− 3 𝑟2
2
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕
𝜋− 3 𝑟2
2
2. 1 +
1
2
+
2
2
+
1
2
+
1
3
+
2
3
+
3
3
+
2
3
+
1
3
+ ⋯ +
1
2013
+
2
2013
+ ⋯ +
2013
2013
+ ⋯ +
2
2013
+
1
2013
= ⋯
Pembahasan :
1 +
1
2
+
2
2
+
1
2
+
1
3
+
2
3
+
3
3
+
2
3
+
1
3
+ ⋯ +
1
2013
+
2
2013
+ ⋯ +
2013
2013
+ ⋯ +
2
2013
+
1
2013
= 1 +
1+2+1
2
+
1+2+3+2+1
3
+ ⋯ +
1+2+⋯+2013+⋯+2+1
2013
= 1 +
4
2
+
9
3
+ ⋯ +
1+2+⋯+2013+⋯+2+1
2013
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2013
=
2013 . 2013+1
2
=
2013 .2014
2
= 2013 .1007
= 2027091
3. Untuk suatu bilangan tak negatif, 2013 𝑥
bersisa 7 ketika dibagi 10 . Berapakah sisa pembagian dari 2013𝑥
dibagi 1342 ?

Pembahasan :
31
= 3
32
= 9
33
= ⋯ 7 → 33
𝑏𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠𝑎 7 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 10
20133
= ⋯ 7 → 20133
𝑏𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠𝑎 7 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 10
𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 = 3
2013𝑥 = 2013 . 3
= 6039 → 6039 = 4 .1342 + 671
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 2013𝑥 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 1342 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 671
4. Persegi ABCD mempunyai luas 256 𝑐𝑚2
. Titik E adalah titik tengah sisi AD dan F adalah titik tengah EC.
Misalkan I adalah bisektor tegak lurus (garis sumbu) dari EC, dan I memotong AB di G. Berapa luas daerah
segitiga CEG ?
Pembahasan :
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 ∶
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 = 256 = 16
𝐴𝐸 = 𝐷𝐸 =
1
2
. 𝐴𝐷 =
1
2
.16 = 8
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐸𝐴𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐸𝐼𝐺 ∶
𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐸𝐴𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐸𝐼𝐺 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐸𝐺 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘
𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 𝐺𝐴𝐸𝐼 , 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶
𝐸𝐼 = 𝐴𝐸
𝐺𝐼 = 𝐴𝐺
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝐺𝐼 = 𝐴𝐺 = 𝑥
𝐵𝐺 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐺 = 16 − 𝑥
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐶𝐷𝐸 ∶
𝐶𝐸 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐸2
= 162 + 82

= 256 + 64
= 320
= 64 .5
= 8 5
𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐸𝐴𝐺 + 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐵𝐺 + 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 + 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐷𝐸 = 𝐿 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2
. 𝐴𝐸 . 𝐴𝐺 +
1
2
. 𝐶𝐵 . 𝐵𝐺 +
1
2
. 𝐶𝐸 . 𝐺𝐼 +
1
2
. 𝐶𝐷 . 𝐷𝐸 = 256
1
2
.8 . 𝑥 +
1
2
.16 . 16 − 𝑥 +
1
2
.8 5 . 𝑥 +
1
2
.16 .8 = 256
4𝑥 + 8 . 16 − 𝑥 + 4 5 𝑥 + 64 = 256
4𝑥 + 128 − 8𝑥 + 4 5 𝑥 + 64 = 256
4 5 𝑥 − 4𝑥 + 192 = 256
4 5 𝑥 − 4𝑥 = 256 − 192
4 5 − 4 𝑥 = 64
𝑥 =
64
4 5 −4
𝑥 =
64
4 5 −1
𝑥 =
16
5 −1
.
5+1
5+1
𝑥 =
16 . 5+1
5
2
−12
𝑥 =
16 . 5+1
5 −1
𝑥 =
16 . 5+1
4
𝑥 = 4 . 5 + 1
𝑥 = 4 5 + 4
𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 =
1
2
. 𝐶𝐸 . 𝐺𝐼
=
1
2
.8 5 . 𝑥
=
1
2
.8 5 . 4 5 + 4
= 4 5 . 4 5 + 4
= 16 .5 + 16 5
= 80 + 16 5
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 80 + 16 5 𝑐𝑚2
5. Tom, Rian, Yaya, Dzeko, dan Paijo akan melakukan suatu permainan dan membutuhkan 15 bola. Yaya membawa
bola sejumlah kelipatan tiga. Jika masing-masing dari mereka paling sedikit membawa satu bola, banyak cara
mereka membawa bola adalah …

Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐵𝑜𝑙𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑜𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3 𝑆𝑖𝑠𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑌𝑎𝑦𝑎 𝑇𝑜𝑚 𝑅𝑖𝑎𝑛 𝐷𝑧𝑒𝑘𝑜 𝑃𝑎𝑖𝑗𝑜
3
9 1 1 1
4!
3!
= 4
8 2 1 1
4!
2!
= 12
7 3 1 1
4!
2!
= 12
7 2 2 1
4!
2!
= 12
6 4 1 1
4!
2!
= 12
6 3 2 1 4! = 24
6 2 2 2
4!
3!
= 4
5 5 1 1
4!
2! .2!
= 6
5 4 2 1 4! = 24
5 3 3 1
4!
2!
= 12
5 3 2 2
4!
2!
= 12
4 4 3 1
4!
2!
= 12
4 4 2 2
4!
2! .2!
= 6
4 3 3 2
4!
2!
= 12
3 3 3 3 1
6
6 1 1 1
4!
3!
= 4
5 2 1 1
4!
2!
= 12
4 3 1 1
4!
2!
= 12
4 2 2 1
4!
2!
= 12
3 3 2 1
4!
2!
= 12
3 2 2 2
4!
3!
= 4
9
3 1 1 1
4!
3!
= 4
2 2 1 1
4!
2! .2!
= 6
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 231
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑒𝑘𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 231

6. 12
− 22
+ 32
− 42
+ ⋯ + 20112
− 20122
+ 20132
= ⋯
Pembahasan :
12
− 22
+ 32
− 42
+ ⋯ + 20112
− 20122
+ 20132
= 12
−22
+ 32
− 42
+ 52
− ⋯ − 20122
+ 20132
2012 𝑠𝑢𝑘𝑢
= 12
+32
− 22
+ 52
− 42
+ ⋯ + 20132
− 20122
= 1 + 3 − 2 . 3 + 2 + 5 − 4 . 5 + 4 + ⋯ + 2013 − 2012 . 2013 + 2012
2012
2
= 1006 𝑠𝑢𝑘𝑢
= 1 + 1 . 5 + 1 . 9 + ⋯ + 1 . 4025
= 1+ 5 + 9 + ⋯ + 4025
𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎
= 1 +
1006
2
. 5 + 4025
= 1 + 503 . 4030
= 1 + 2027090
= 2027091
7. Dari gambar dibawah ini, berapakah luas daerah yang diarsir?
Pembahasan :
𝐵𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑙𝑖𝑕𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐺 = 7
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 49 .2 = 7 2

𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝐴𝐹 = 𝐸𝐹 = 𝐺𝐸 = 𝑟
𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 − 𝐶𝐺 − 𝐺𝐸 = 7 2 − 7 − 𝑟
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑢𝑎 𝑏𝑢𝑎𝑕 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 𝐴𝐹𝐸 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 ∶
𝐴𝐹
𝐴𝐵
=
𝐴𝐸
𝐴𝐶
𝑟
7
=
7 2−7−𝑟
7 2
7 2 . 𝑟 = 7 . 7 2 − 7 − 𝑟
7 2 𝑟 = 49 2 − 49 − 7𝑟
7 2 𝑟 + 7𝑟 = 49 2 − 49
7 2 + 7 𝑟 = 49 2 − 49
𝑟 =
49 2−49
7 2+7
𝑟 =
7 7 2−7
7 2+1
𝑟 =
7 2−7
2+1
.
2−1
2−1
𝑟 =
7 2−7 . 2−1
2
2
−12
𝑟 =
7 .2−7 2−7 2+7
2−1
𝑟 =
14−14 2+7
1
𝑟 = 21 − 14 2 → 𝐴𝐹 = 𝐸𝐹 = 𝐺𝐸 = 𝑟 = 21 − 14 2
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∶
𝐿 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 . 𝐵𝐶
= 7 .7
= 49
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 ∶
𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 =
90
360
. 𝜋 . 𝑅2
=
1
4
. 𝜋 . 𝐶𝐺2
=
1
4
.
22
7
. 72
=
77
2

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐵𝐶𝐷 ∶
𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶𝐷 =
1
2
. 𝐵𝐶 . 𝐶𝐷
=
1
2
. 7 .7
=
49
2
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 ∶
𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 = 𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 − 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶𝐷
=
77
2
−
49
2
=
28
2
= 14
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 ∶
𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝜋 . 𝑟2
= 𝜋 . 𝐸𝐹2
=
22
7
. 21 − 14 2
2
=
22
7
. 441 − 588 2 + 196 .2
=
22
7
. 441 − 588 2 + 392
=
22
7
. 833 − 588 2
= 2618 − 1848 2
𝐿 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎 𝑕 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 𝐿 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 2 . 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 − 2 . 𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙
= 49 − 2 . 14 − 2 . 2618 − 1848 2
= 49 − 28 − 5236 + 3696 2
= −5215 + 3696 2
= 3696 2 − 5215
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 3696 2 − 5215 𝑐𝑚2
8. Suatu bilangan disebut torec apabila :
a. Memiliki 8 digit
b. Terdiri dari digit digit 2, 0, 1, dan 3 masing-masing tepat dua.
Contoh : Bilangan 20132013 adalah torec.
Banyak bilangan torec yang habis dibagi 11 adalah …
Pembahasan :
𝑇𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 8 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘
𝑏𝑜𝑙𝑒𝑕 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝑜𝑙
𝑆𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 8 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 "𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑕" 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11 𝑗𝑖𝑘𝑎 ∶
𝑕𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∶ 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 + 𝑒 − 𝑓 + 𝑔 − 𝑕 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐
𝐾𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝐴𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓
𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓
𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑒𝑛𝑦𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘
𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
20132013 2 − 0 + 1 − 3 + 2 − 0 + 1 − 3 = 0
0 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠
𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11
2, 1, 2, 1
4!
2! .2!
= 6
6 .6 = 36
0, 3, 0, 3
4!
2! .2!
= 6
32013201 3 − 2 + 0 − 1 + 3 − 2 + 0 − 1 = 0
3, 0, 3, 0
3!
2!
= 3
3 .6 = 18
2, 1, 2, 1
4!
2! .2!
= 6
33221100 3 − 3 + 2 − 2 + 1 − 1 + 0 − 0 = 0
3, 2, 1, 0 3 .3! = 18
18 .24 = 432
3, 2, 1, 0 4! = 24
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 = 36 + 18 + 432 = 486
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 486
9. Bola 𝐴 dan bola 𝐵 digantung pada suatu kawat lurus seperti pada gambar berikut.
Diameter lingkaran pertama dan kedua berturut-turut adalah 8 dan 18. Jika jarak ujung tali 𝑙 dan 𝑛 pada kawat
adalah 5 dan panjang tali 𝑙 adalah 10, maka panjang minimum tali 𝑛 agar kedua tali bisa sejajar dan bola tidak
saling menekan adalah …
Pembahasan :

𝐷𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎𝑕𝑢𝑖 ∶
𝐴𝐹 = 𝐷𝐸 =
1
2
.8 = 4
𝐵𝐶 =
1
2
.18 = 9
𝐴𝐵 = 𝐴𝐹 + 𝐵𝐶 = 4 + 9 = 13
𝐸𝐹 = 𝐴𝐷 = 5
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑙 = 10
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐷𝐵 ∶
𝐵𝐷 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐷2
= 132 − 52
= 169 − 25
= 144
= 12
𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 − 𝐵𝐶
= 12 − 9
= 3
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑛 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑙 + 𝐷𝐸 + 𝐶𝐷
= 10 + 4 + 3
= 17
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑛 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑒𝑘𝑎𝑛
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 17
10. Barisan 1, 2, −3, 4, 5, −6, 7, 8, −9, … , 𝑘 memiliki rata-rata 2013. Nilai 𝑘 yang merupakan suku terakhir dari
barisan tersebut jika 𝑘 habis dibagi 27 adalah …
Pembahasan :
𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑘 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 27, 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 𝑘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3, 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶
1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −𝑘
𝑘
= 2013
1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ 𝑘−1 + −𝑘
𝑘
= 2013
1+2+4+5+7+8+⋯+ 𝑘−1 + −3 + −6 + −9 + −𝑘
𝑘
= 2013
1+2+4+5+7+8+⋯+ 𝑘−1 −3−6−9−⋯−𝑘
𝑘
= 2013
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+ 𝑘−1 +𝑘−3−6−9−⋯−𝑘−3−6−9−⋯−𝑘
𝑘
= 2013
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+𝑘− 3+6+9+⋯+𝑘+3+6+9+⋯+𝑘
𝑘
= 2013

1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+𝑘−2 . 3+6+9+⋯+𝑘
𝑘
= 2013
𝑘 . 𝑘+1
2
−2 .
𝑘
3
2
. 3+𝑘
𝑘
= 2013
𝑘2+𝑘
2
−
𝑘
3
. 3+𝑘
𝑘
= 2013
𝑘2+𝑘
2
−𝑘−
𝑘2
3
𝑘
= 2013
3 . 𝑘2+𝑘
6
−
6𝑘
6
−
2𝑘2
6
𝑘
= 2013
3𝑘2+3𝑘
6
−
6𝑘
6
−
2𝑘2
6
𝑘
= 2013
3𝑘2+3𝑘−6𝑘−2𝑘2
6
𝑘
= 2013
𝑘2−3𝑘
6𝑘
= 2013
𝑘 𝑘−3
6𝑘
= 2013
𝑘−3
6
= 2013
𝑘 − 3 = 6 . 2013
𝑘 − 3 = 12078
𝑘 = 12078 + 3
𝑘 = 12081
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑕𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 12081
PENGECEKAN SOAL NO. 10
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 𝑘 = 12081 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶
1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −𝑘
𝑘
=
1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −12081
12081
=
1+2+4+5+7+8+⋯+12080+ −3 + −6 + −9 +⋯+ −12081
12081
=
1+2+4+5+7+8+⋯+12080−3−6−9−⋯−12081
12081
=
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+12080+12081−3−6−9−⋯−12081−3−6−9−⋯−12081
12081
=
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+12080+12081−2. 3+6+9+⋯+12081
12081
=
12081 . 12081 +1
2
−2.
12081
3
2
. 3+12081
12081

=
12081 .12082
2
−
12081
3
.12084
12081
=
12081 .6041−12081 .4028
12081
=
12081 . 6041−4028
12081
=
12081 .2013
12081
= 2013 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)
𝑇𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑘 = 12081 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 27 , 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑘 = 12081 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛
𝑠𝑜𝑎𝑙 𝑕𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑎𝑙𝑎𝑡 ∶
Barisan 1, 2, −3, 4, 5, −6, 7, 8, −9, … , 𝑘 memiliki rata-rata 2013. Nilai 𝑘 yang merupakan suku terakhir dari
barisan tersebut jika 𝑘 habis dibagi 3 adalah …
11. Pada posting berikutnya di : www.siap-osn.blogspot.com

Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)

Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)

Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot(20)

Similar to Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)

Similar to Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)(20)

More from Sosuke Aizen

More from Sosuke Aizen(20)

Recently uploaded

Recently uploaded(20)

Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)