Media aritmética

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Media aritmética

  1. 1. MEDIA ARITMÉTICA (O MEDIA)La media aritmética, más frecuentemente denominada sólo media, es elpromedioo medidade tendencia central que se utiliza con mayorfrecuencia. Se define comola suma de todos losvalores de la variable dividida entre el número de elementos,dicho en otras palabras, es lo que comúnmente se conoce como promedio.La media se representa: En la muestra, por x En la población, por μ (la letra griega miu) En definiciones y demostraciones, por M(x)Una característica notable en la media es que ésta se ve afectada por la ocurrenciadevalores extremos, esto quiere decir que si hay algunos valores atípicos en el conjunto,estosarrastran consigo el valor de la media; así, valores atípicos muy grandes conducirána unamedia mayor que la real del conjunto, mientras que valores muy pequeñosprovocarán que lamedia sea menor que la real.MODALa moda se define como el valor mas frecuente en un conjunto de datos, es decir, elvalormodal es el de mayor frecuencia. Se denota por Mo(x) y puede no existir en unadistribución(distribución amodal), o existir más de una (distribuciónmultimodal).La moda cobra especial importancia en datos de tipo cualitativo, pues en ellos esimposiblecalcular otros estadígrafos de posición, como la media. Esto no quita quetambién para datoscuantitativos suele ser de interés conocer el valor modal, que se utilizaen ocasiones comomedida de tendencia central.CARACTERÍSTICAS DE LA MODA:A diferencia de la media, la moda no se afecta ante la presencia de valores extremos.Lamoda, como se ha visto, no tiene necesariamente que existir, ni tiene que ser única.
  2. 2. Además, la moda puede ser definida en forma relativa, aunque es menos frecuente esteuso, llamando valor modal a aquel donde exista un máximo relativo en la distribución defrecuencias,esto es, donde: ni – 1 <ni >ni + 1MEDIANALa mediana se define como el valor central de un grupo de datos ordenados, o sea, comoaquelvalor que supera hasta un 50% de las observaciones y a la vez es superado porhasta un 50 %de las observaciones. Se denota por Me(x).Para calcular la mediana a partir de un conjunto de datos en su forma primaria, esnecesarioantes ordenarlos; después, se puede buscar la posición del valor mediano en elarregloordenado, atendiendo al número de observaciones, según las dos siguientesreglas:Regla 1: Si el tamaño de la muestra es un número impar, la mediana estárepresentadapor el valor numérico correspondiente a la posición del centro de lasobservacionesordenadas.Regla 2: Si el tamaño de la muestra es un número par, entonces el valor mediana, será lasemisuma o promedio de los dos valores centrales de las observacionesordenadas. (Esto,estrictamente hablando, es un convenio adoptado, pues cualquiervalor entre los dosvalores centrales podría ser considerado como un valor mediano).VARIANZALa varianza de un conjunto de datos se define como la media o promedio del cuadrado delasdesviaciones de la variable respecto a su media. Por sus propiedades, es la medidadedispersión más usada, y base para el cálculo de otras.La varianza se representa: En la muestra, por S2 En la población, por σ2 (la letra griega sigma, al cuadrado) En definiciones y demostraciones, por V(x).PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS DE LA VARIANZA:Algunas propiedades importantes y con utilidad práctica de la varianza son: 1. V(x) ≥0 (La varianza es un número no negativo.)
  3. 3. 2. V(k) = 0 (La varianza de un grupo de datos constante es igual a cero.) 3. V(x ±k) = V(x) (La varianza de la suma de los valores de una variable más unaconstante es igual a la varianza de la variable.) 4. V(kx) = k2 V(x) (La varianza del producto de los valores de una variable por unaconstante es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.)La varianza, dada la manera en que se define y calcula, se expresa en unidadescuadráticasrespecto a la variable de la que procede, y esto hace que no se le pueda daruna interpretaciónrealista a dicho estadígrafo.No obstante, la varianza, por la misma forma en que se define y calcula, indica el gradodedispersión de los datos; se dice que es una medida de dispersión absoluta: mientrasmayor esla varianza en un conjunto de observaciones, mayor es su dispersión; por elcontrario, si unavarianza nula indica que todas las observaciones coinciden en un mismovalor.DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDARPuesto que la varianza pierde interpretación por estar su resultado en unidadescuadráticas,resulta conveniente contar con otro estadístico que basado en el valor de lavarianza sirva paradar una medida de la dispersión en las mismas unidades odimensiones en que estánexpresados los datos y este estadístico es la desviación típica.La desviación típica o desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva delavarianza. Se denota por S en la muestra y por σ en la población:S = S2La desviación típica es una magnitud no negativa, y con el misma interpretación que lavarianzaen cuanto a medida de dispersión absoluta, pero no cumple las restantespropiedadesmatemáticas de aquella, pues la extracción de la raíz no lo permite.COEFICIENTE DE VARIACIÓNEn ocasiones resulta necesario contar con un estadígrafo que refleje la dispersión sindependerde la magnitud de las observaciones, esto es que sea un valor relativo. Estanecesidad surgegeneralmente cuando se comparan las dispersiones entre varios
  4. 4. conjuntos expresados enunidades diferentes, o incluso entre variables expresadas en lasmismas unidades pero condiferencias significativas en sus valores medios. Esteestadístico es el denominado coeficientede variación.El coeficiente de variación se define como el cociente de la desviación típica entre lamedia. Sedenota por CV(x), y en forma matemática puede expresarse:CV(x) = SxDel coeficiente de variación se dice que es una medida de dispersión relativa, por carecerdeunidades, o una medida de la variabilidad de los datos. Muchas veces su valor semultiplica por100, para expresar el resultado en porciento.BIBLIOGRAFIA: 1. Estadística. Cué Muñiz, Juan; et al. Universidad de La Habana, 1987. 2. Estadística. Guerra Bustillo, Caridad; et al. Pueblo y Educación, La Habana, 1987 3. Estadística: Teoría y Problemas. Murray Spiegel. McGraw Hill de México, 1974.Estadística I, II y III. Calero Vinelo, Arístides. Pueblo y Educación, La Habana, 1983.

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