Trigonometría

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Trigonometría y Física integradas y con ejercicios de aplicación

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Trigonometría

  1. 1. Trigonometría Prof. Elba M. Sepúlveda Aug 2003
  2. 2. Instrucciones <ul><li>Esta presentación muestra como obtener las ecuaciones para contestar problemas de trigonometría . </li></ul><ul><li>Puedes leer cada problema y activar el sonido. </li></ul><ul><li>Luego puedes cotejar tu solución con la solución demostrada en la próxima página. </li></ul><ul><li>Cualquier duda puedes escribirme a </li></ul><ul><li>[email_address] </li></ul>
  3. 3. La trigonometría de los ángulos rectos <ul><li>Trigonometría - estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos. </li></ul><ul><li>Triángulo rectángulo - triángulo que contiene un ángulo recto o de 90°. </li></ul>
  4. 4. Funciones trigonométricas <ul><li>sen  = </li></ul><ul><li>cos  = </li></ul><ul><li>tan  = </li></ul><ul><li>csc  = </li></ul><ul><li>sec  = </li></ul><ul><li>cot  = </li></ul> a c b a c b c a b c a c b b a
  5. 5. Ejemplo #1 <ul><li>Conociendo 2 de estas variables podemos resolver cualquier problema relacionado. </li></ul><ul><li>Ejemplo # 1. Nos podemos aprender por lo menos un dato interesante: Sen 30°= ½ </li></ul><ul><li>Determina la medida del lado b. Usando el teorema de pitágoras. </li></ul>30° 1 2 b
  6. 6. Resultado #1 <ul><li>c 2 = a 2 + b 2 </li></ul><ul><li>2 2 = 1 2 + b 2 </li></ul><ul><li>4 – 1 = b 2 </li></ul><ul><li>b 2 = 3 </li></ul><ul><li>b = √ 3 </li></ul>30° 1 2 b= √ 3
  7. 7. <ul><li>Para un  de 30° entonces: </li></ul><ul><li>sen 30° = ½ csc 30° = 2 </li></ul><ul><li>cos 30° = √ 3/2 sec 30° = 2/ √ 3 </li></ul><ul><li>tan 30° = 1/ √ 3 cot 30° = √ 3 </li></ul>30° 1 2 b= √ 3
  8. 8. ¿Cuál es el sen de 60° y tan 60°? <ul><li>sen 60° =_________ </li></ul><ul><li>cos 60°=__________ </li></ul><ul><li>tan 60°=__________ </li></ul><ul><li>sec 60° =_________ </li></ul><ul><li>csc 60°=__________ </li></ul><ul><li>cot 60°=___________ </li></ul><ul><li>sen 60° = √ 3/2 </li></ul><ul><li>cos 60° = ½ </li></ul><ul><li>tan 60° = √ 3 </li></ul><ul><li>sec 60° = 2/ √ 3 </li></ul><ul><li>csc 60° = 2 </li></ul><ul><li>cot 60° = 1/ √ 3 </li></ul>
  9. 9. Ejemplo #2: Un triángulo de 45° <ul><li>Determina la hipotenusa </li></ul><ul><li>c 2 = a 2 + b 2 </li></ul><ul><li>c 2 = 1 2 + 1 2 </li></ul><ul><li>c 2 = 1 + 1 </li></ul><ul><li>c 2 = 2 </li></ul><ul><li>c= √ 2 </li></ul><ul><li>Determina: sen 45°, cos 45°, tan 45° , csc 45° , sec 45° y cot 45° </li></ul> 1 c 1
  10. 10. Ejemplo #3 <ul><li>Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 37°. El lado adyacente mide 4 m. Determina la longitud del lado opuesto al ángulo dado. </li></ul><ul><li>Determina la hipotenusa </li></ul> ? ? 4m
  11. 11. Resultado #3 <ul><li>tan  = op/ady </li></ul><ul><li>op = ady tan  </li></ul><ul><li>= 4m tan 37 ° </li></ul><ul><li>op = 3m </li></ul><ul><li>cos q = ady/hip </li></ul><ul><li>hip = ady/cos  </li></ul><ul><li>= 4m/cos37° </li></ul><ul><li>hip= 5m </li></ul> ? ? 4m
  12. 12. Ley de los senos <ul><li>Existen ciertas relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos aunque éstos no sean rectos. Esto sucede con la ley de los senos. </li></ul><ul><li>Consideremos cualquier triángulo ABC </li></ul>B A C b a c y M
  13. 13. Ley de los senos <ul><li>En <AMC  y/b = sen A  y= b sen A </li></ul><ul><li>En <BMC  y/a = sen B  y= a sen B </li></ul><ul><li>b sen B = a sen A </li></ul><ul><li>Entonces: </li></ul><ul><li>b sen A = a sen B </li></ul>B A C b a c y M b sen B = a sen A
  14. 14. Para cualquier < ABC: <ul><li>Ley de los senos: </li></ul>a sen A = b sen B = c sen C B A C b a c y M
  15. 15. Ejemplo #4 <ul><li>En este <ABC, A=30°, B=40° y a= 10 m determina b y c </li></ul>B A C b a c
  16. 16. Resultado #4 <ul><li>b= a sen b/sen a </li></ul><ul><li>= (10m) (sen 40 °)/(sen30°) </li></ul><ul><li>= 12.85m </li></ul><ul><li>=13 m </li></ul>a sen A = b sen B = c sen C
  17. 17. Ley de los cosenos <ul><li>Otra relación entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo. Dado un < supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b y la medida de c. </li></ul>   (x,y) a c b y x b-x M
  18. 18. <aMb tiene lados: y, c , b-x <ul><li>Usando el teorema de Pitágoras: </li></ul><ul><li>c 2 = y 2 + (b – x) 2 </li></ul><ul><li>= y 2 + b 2 – 2bx + x 2 </li></ul><ul><li>c 2 = (x 2 +y 2 ) + b 2 – 2bx </li></ul><ul><li><g M b tiene lados: x, y, a por lo tanto: </li></ul><ul><li>a 2 = x 2 + y 2 </li></ul><ul><li>entonces podemos sustituir en la ecuación anterior: </li></ul><ul><li>c 2 = (a 2 ) + b 2 – 2bx </li></ul><ul><li>Del <  M b también podemos obtener que </li></ul><ul><li>cos  = x/a  x= a cos  </li></ul><ul><li>sustituyendo: c 2 = a 2 +b 2 – 2b(a cos  ) </li></ul>   (x,y) a c b y x b-x M
  19. 19. En resumen: <ul><li>Ley de los cosenos </li></ul>b 2 = a 2 +c 2 – 2ac cos  a 2 = b 2 +c 2 – 2bc cos  c 2 = a 2 +b 2 – 2ab cos     (x,y) a c b y x b-x M
  20. 20. Ejemplo #5 <ul><li>En el siguiente triángulo a = 60°, b= 3m y c=4m. </li></ul><ul><li>¿Cuánto es a? </li></ul>   a c=4m b=3m 60°
  21. 21. Resultado #5 <ul><li>a 2 = (3m) 2 +(4m) 2 – 2(3m)(4m) cos 60° </li></ul><ul><li>= 9m 2 +16m 2 – 24m 2 (0.5)a= 3.6 m </li></ul><ul><li>= 25m 2 – 12m 2 </li></ul><ul><li>= 13m 2 </li></ul><ul><li>a= √ 13 m 2 = 3.606 m </li></ul>a 2 = b 2 +c 2 – 2bc cos  a= 3.6 m    a c=4m b=3m 60°
  22. 22. Ejemplo #6: Resuelve
  23. 23. Resultado #6 <ul><li>a= c senA /sen C </li></ul><ul><li>= (50m) sen 30 ° / sen110° </li></ul><ul><li>= 26.6 m </li></ul><ul><li>sen B = y/a </li></ul><ul><li>sen 40°= y/26.6m </li></ul><ul><li>y= (26.6 m) sen 40° </li></ul><ul><li>= 17m </li></ul>B A C b a c y M
  24. 24. Las caricaturas de hoy…

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