Operation Research Part V

1. 第 12 章 排 队 论 杭州电子科技大学管理学院 主讲教师：刘大为 [email_address]

2. 排队论的应用： 1 、二战期间，美国和德国的消耗战。 2 、银行、移动公司的排队政策变化。 3 、学校食堂打饭现状。

3. 排队论 ： 研究排队系统（又称随机服务系统）的数学理论与方法。 它的研究目的是要回答如何改进服务机构或组织被服务的对象，使得某种指标达到最优的问题。比如一个港口应该有多少个码头，一个工厂应该有多少维修人员等。

4. 排队论最初是在二十世纪初由丹麦工程师艾尔郎关于电话交换机的效率研究开始的，在第二次世界大战中为了对飞机场跑道的容纳量进行估算，它得到了进一步的发展，其相应的学科更新论、可靠性理论等也都发展起来。 排队论在日常生活中的应用是相当广泛的，比如水库水量的调节、生产流水线的安排，铁路分成场的调度、电网的设计等等。

5. 服务台 服务完成离去 到达的顾客 单服务台排队系统 正在接受服务的顾客

6. 服务台 服务完成离去 到达的顾客 s 服务台，单队列系统 服务台 服务台 … ..

7. 服务台 服务完成离去 到达的顾客 s 服务台， s 队列系统 服务台 服务台 服务完成离去 服务完成离去 … ..

8. 服务台 1 到达的顾客 多服务台串联排队系统 服务台 2 服务台 n 服务完成离去

9. 服务机构 散 （输出） 聚 （输入） 随机服务系统的一般形式 顾客到达的时间和接受服务的时间往往是不确定的，或者说是随机的，因此排队论又被称作随机服务系统。

10. 多队——多服务台混联、网络系统

13. 1.1 顾客总体数：有限或者无限。 1.2 到达方式：单个到达和成批到达。 1.3 顾客到达时间间隔的分布：

14. 排队论中经常用到的 有以下两种：

16. 2 、排队和排队规则 排队 有限排队 无限排队 损失制排队系统 混合制排队系统 队长有限 排队时间有限 逗留时间有限

17. 不难注意到，损失制和等待制可看成是 混合制的特殊情形，如记 s 为系统中服 务台的个数，则当 K = s 时，混合制即成 为损失制；当 K =∞ 时，混合制即成为等 待制。

24. 排队系统的符号表示 Kendall 记号的表示方法： X/Y/Z/A/B/C 其中 X 表示顾客到达时间间隔的分布 Y 表示服务时间的分布 Z 表示服务台的个数 A 系统的容量； B 顾客源的数目； C 服务规则

30. 排队论研究的基本问题： （ 1 ）通过主要数量指标的概率分布和数字特征，了解系统的基本特征； （ 2 ）统计推断问题，建立适当的排队模型； （ 3 ）系统优化；

31. 第二节 生灭过程和 Poisson 过程 一、生灭过程

33. 研究在平稳状态下，记录了一段时间内系统进入状态 n 和离开状态 n 的次数。可以认为“进入”和“离开”的发生概率是相等的。 也就是系统在平稳状态下，单位时间内进入该状态的平均次数应该等于单位时间内离开该状态的平均次数。 因此系统在统计平衡下满足“流入＝流出”

36. To P42

37. 二、 Poisson 流

41. 单服务台 M/M/1 服务过程示意图 0 n 1 2 n -1 λ λ λ λ μ μ μ μ λ μ 研究瞬间与稳定的意义

42. To P36

57. 100 合计 1 6 以上 6 5 10 4 16 3 0 2 28 1 10 0 出现次数 f n 到达的病人数 n

58. 100 合计 0 1.2 以上 5 1.0~1.2 6 0.8~1.0 9 0.6~0.8 17 0.4~0.6 25 0.2~0.4 38 0.0~0.2 出现次数 f v 完成手术时间 v （小时）

60. 进入 M/M/1/K

62. 服务台 K 1 2 3 4 … .. 排队系统 M/M/1/K 排队系统示意图 顾客到达 排队不满时进入系统，等待服务 排队已满时，被拒绝进入系统，自动离开。

63. M/M/1/K /∞ 参数 λ ， μ 系统状态转移速度： 0 K -1 1 2 K -2 λ λ λ λ μ μ μ μ K

95. 4.1 标准的 M/M/c 模型

96. 服务台 服务完成离去 到达的顾客 c 服务台， c 队列系统 服务台 服务台 服务完成离去 服务完成离去 … ..

98. 0 N -1 1 2 N -2 λ λ λ λ μ cμ 2 μ cμ N C C -1 λ λ cμ cμ C +1 3 μ λ ( c -1) μ λ cμ cμ λ λ

107. 到达顾客在每个窗口前面排成一队，而且进入队伍后坚持不换，这样就形成了三个队列。 求这三个排队系统的服务指标。

109. W q W L L q 顾客等待的概率 p 0 1.89 4.39 3.95 1.70 P(n 大于等于 3)=0.57 0.0748 M/M/3 7.5 10 9.00(whole) 2.25(each) 0.75 0.25(each) 3 个 M/M1

112. 0 K -1 1 2 K -2 λ λ λ λ μ cμ 2 μ cμ K C C -1 λ λ cμ cμ C +1 3 μ λ ( c -1) μ λ cμ cμ λ λ C

127. 由于 p 0 和 p n 的计算过于繁琐，有专业的表格。 0 m -1 1 2 m -2 mλ ( m -1) λ 2 λ λ μ cμ 2 μ cμ m C C -1 (m- c +1) λ cμ 稳态概率方程 P n = [( m - n +1) λ / nμ ] P n -1 n  c [( m - n +1) λ/cμ ] P n -1 c<n  m

132. 服务台 服务完成离去 到达的顾客 单服务台排队系统 当服务不服从负指数分布时

137. 第 12 章 排队论小结 第 1 节 排队论的基本知识 第 2 节 生灭过程和 Poisson 过程 第 3 节 单服务台负指数分布排队系统 第 4 节 多服务台负指数分布排队系统 第 5 节 一般服务时间的排队模型