論文紹介：The wavelet matrix

The wavelet matrix :
An efficient wavelet tree for large alphabets
Francisco Claude, Gonzalo Navarro, Alberto Ordóñez
Information Systems
Volume 47, January 2015, Pages 15–32
発表者: 篠原・吉仲研究室五十嵐祐貴
1

Lab-EMon問題
ある研究室では1分毎に研究室の
消費電力を記録している。600年
分の時系列データに対して以下の
操作を行いたい。
1. 記録開始後10,000分後の値
2. 10年後までに90Wを記録した回数
3. 1,000回目に90Wを記録した時間
2 / 67

Lab-EMon問題解法アルゴリズム
A. 時間順に値を配列に格納
必要なメモリ： 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 315MB
（取りうる電力消費量が0～255の場合）
1. 記録開始後10,000分後の値 𝑶(𝟏)
2. 10年後までに90Wを記録した回数 𝑶(𝒏)
3. 1,000回目に90Wを記録した時間 𝑶(𝒏)
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
S[i] 80 87 90 80 83 79 90 90 80 …
3 / 67

B. 電力量で値をソートして格納
必要なメモリ： 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝒏 + 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 1428MB
1. 記録開始後10,000分後の値 𝑶(𝒏)
2. 10年後までに90Wを記録した回数 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝒏)
3. 1,000回目に90Wを記録した時間 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝒏)
[W] 91 90 90 90 … 90 … 89 89 …
[m] 154 2 6 7 … 171 … 15 19 …
4 / 67

C. 電力量毎に事前に計算して格納
必要なメモリ： 𝝈𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 80732MB
1. 記録開始後10,000分後の値 𝑶(𝝈)
2. 10年後までに90Wを記録した回数 𝑶(𝟏)
3. 1,000回目に90Wを記録した時間 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝒏)
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
𝒓 𝟖𝟎 1 1 1 2 2 2 2 2 3 …
𝒓 𝟗𝟎 0 0 1 1 1 1 2 3 3
…
5 / 67

？？？？？？？
必要なメモリ：𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝒐 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝑶(𝝈 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
（取りうる電力消費量が0～255の場合）?????MB
1. 記録開始後10,000分後の値 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈)
2. 10年後までに90Wを記録した回数 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈)
3. 1,000回目に90Wを記録した時間 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈)
6 / 67

？？？？？？？
（取りうる電力消費量が0～255の場合）379MB（実測値）
7 / 67

Wavelet tree
（取りうる電力消費量が0～255の場合）379MB（実測値）
8 / 67

Wavelet tree
必要なメモリ： 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝒐 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝑶(𝝈 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
電力消費量の取りうる値
0～ 𝟐𝟓𝟓
0～ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
0～ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
0～ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
0～ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ≅ 𝒏
Wavelet tree
367MB
973ＭB
1162MB
1409MB
2228MB
9 / 67

Wavelet matrix
必要なメモリ： 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝒐 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈 ⋅ 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
電力消費量の取りうる値
0～ 𝟐𝟓𝟓
0～ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
0～ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
0～ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
0～ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ≅ 𝒏
Wavelet tree
367MB
973ＭB
1162MB
1409MB
2228MB
Wavelet matrix
367MB
972ＭB
1155MB
1339MB
1521MB
10 / 67

この論文の概要
• Wavelet matrixの提案と検証
o 空間計算量がWavelet treeより改善
 ノード間のポインターなしで実現
o 時間計算量はWavelet treeと同等
o 実装が容易かつオーバーヘッドが少ない
 ノードに対応する範囲を求める必要がない
 （Pointerless wavelet treeと比較した場合）
実装が容易かつ定数倍高速化
11 / 67

この論文の目次
• 基本概念の紹介
o Wavelet tree
o Pointerless wavelet tree
o ハフマン形を用いたWavelet tree
o グリッドにおけるWavelet treeの利用
• Pointerless Huffman shaped
wavelet treeの紹介
• Wavelet matrixの導入
• Wavelet matrixの圧縮
• 実験
o 系列データ / グリッドにおける検証
12 / 67

Lab-EMon問題（再掲）
ある研究室では1分毎に研究室の
消費電力を記録している。60年分
の時系列データに対して以下の操
作を行いたい。
1. 記録開始後10,000分後の値
2. 10年後までに90Wを記録した回数
3. 1,000回目に90Wを記録した時間
13 / 67

問題定義
値0～255を取りうる時系列データについて
１． 10000分後の値
２． 10年後までに90Wが出現した回数
３． 1000回目に90Wが出現した時間
14 / 67

問題定義
１． 10000分後の値
整数[0, 256)を取りうる𝑺[𝟏: 𝒏] について
１． S[10000] の値
２． S[1:60×24×365×10]に90が出現した回数
３． 1000回目に90が出現した位置
15 / 67

問題定義
１． 10000分後の値
整数[0, 𝝈)を取りうる𝑺[𝟏: 𝒏]について
１． S[𝒊] の値
２． S[1:𝒊]に𝒂が出現した回数
３． 𝒋回目に𝒂が出現した位置
16 / 67

問題定義
整数[0, 𝝈)を取りうる𝑺[𝟏: 𝒏]について
𝒂𝒄𝒄𝒆𝒔𝒔(𝑺, 𝒊) S[𝒊] の値
𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑺, 𝒂, 𝒊) S[1:𝒊]に𝒂が出現した回数
𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕(𝑺, 𝒂, 𝒋) 𝒋回目に𝒂が出現した位置
𝝈をアルファベットサイズという
17 / 67

完備辞書
• ビット列に対する簡潔データ構造
o 簡潔データ構造
 簡潔：
データを保持するために必要な最小ビット数 𝒁 に対
して𝒁 + 𝒐(𝒁)ビットの領域で表現
 元のデータ𝑍と補助データ𝑜(𝑍)を利用することで
高速な操作を実現したデータ構造
1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1ビット列
Zビット
0 256
0 143 … 9951
256 504 512
0 … 101 0 … 130
00 00 00 00 0
00 00 00 01 1
… …
00 00 00 00
補助データ
𝑜(𝑍)ビット
18 / 67

完備辞書のメリット
• ３つの操作を定数時間で実現可能
o 𝒃_𝒂𝒄𝒄𝒆𝒔𝒔 𝑩, 𝒊 𝐵[𝑖]を返す
o 𝒃_𝒓𝒂𝒏𝒌 𝑩, 𝒃, 𝒊 𝐵[1: 𝑖]から𝑏 ∈ {0,1}の数を返す
o 𝒃_𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕(𝑩, 𝒃, 𝒋) 𝐵の先頭から数えて𝑗番目に出現した
𝑏 ∈ {0,1}の位置
1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1ビット列 𝐵
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵, 1, 5)
= 𝟑
𝑏_𝑎𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠(𝐵, 7)
= 𝟏
𝑏_𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡(𝐵, 1,8)
= 𝟏𝟏
19 / 67

Wavelet tree [R. Grossi et al., 2003]
• 整数列に対するデータ構造
o 各ノードに完備辞書を持つ
o 二分木であれば高さは log𝜎
• 応用例
o 系列データ解析
o 二次元グリッド
o 全文検索
など
20 / 67

Wavelet treeの計算量
• 以下の操作を𝑂(log 𝜎)で実現
o 𝒂𝒄𝒄𝒆𝒔𝒔 𝑺, 𝒊 S[𝑖]を返す
o 𝒓𝒂𝒏𝒌 𝑺, 𝒂, 𝒊 S[1: 𝑖]から𝑎 ∈ {0, … , 𝜎 − 1} の数を返す
o 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕(𝑺, 𝒂, 𝒋) 𝑆の先頭から𝑗番目に出現した
𝑎 ∈ {0, … , 𝜎 − 1} の位置
(再掲)完備辞書は以下の操作を𝑶(𝟏)で実現可能
𝒃_𝒂𝒄𝒄𝒆𝒔𝒔 𝑩, 𝒊 𝐵[𝑖]を返す
𝒃_𝒓𝒂𝒏𝒌 𝑩, 𝒃, 𝒊 𝐵[1: 𝑖]から𝑏 ∈ {0,1}の数を返す
𝒃_𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕(𝑩, 𝒃, 𝒋) 𝐵の先頭から𝑗番目に出現した𝑏 ∈ {0,1}の位置
21 / 67

Wavelet treeの問題点
• 空間計算量
𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝒐 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝑶(𝝈 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
ビット列の
補助データ
ノード間のポインタビット列の
保存領域
22 / 67

• 空間計算量
𝜎が増加空間計算量が激増
ビット列の
補助データ
保存領域
23 / 67

0
1000
2000
3000
4000
1.0E+2 1.0E+3 1.0E+4 1.0E+5 1.0E+6 1.0E+7 1.0E+8
nlogσ o(nlogσ) O(σlogn) TOTAL
[MB]
ビット列の
補助データ
保存領域
Alphabet sizeσ
24 / 67

• Wavelet matrix
𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈 + 𝒐 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝝈
+ 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈 ⋅ 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
Wavelet matrixとの比較
• Wavelet tree
+ 𝑶(𝝈 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
ビット列の
補助データ
各ノードの
ポインタ
ビット列の
保存領域
仕切り
位置
ビット列の
補助データ
ビット列の
保存領域
25 / 67

• Wavelet matrix
+ 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈 ⋅ 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
Wavelet matrixとの比較
• Wavelet tree
+ 𝑶(𝝈 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
0.00001
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
1.0E+2 1.0E+3 1.0E+4 1.0E+5 1.0E+6 1.0E+7 1.0E+8 1.0E+9
O(σlogn) O(lognlogσ)
Alphabet sizeσ
[MB]
26 / 67

Wavelet matrixの構築
• 例として次の系列について構築
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
27 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
① ビット列の構築
値の1番目のビットを抽出
ex. (4)10 = (100)2 ： 1
(3)10 = (011)2 ： 0
28 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
② 系列データの安定ソート
このとき①で作成したビット列の値が
0であれば左へ
1であれば右へ
移動する
29 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
③ 仕切り位置の記録
ビット列の計算で出現した0の個数を
仕切り位置として記録
７
30 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
④ ①に戻る
高さlog 𝜎になるまで繰り返し
７
31 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
値の2番目のビットを抽出
ex. (4)10 = (100)2 ： 0
(3)10 = (011)2 ： 1
７
32 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
0であれば左へ
1であれば右へ
７3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
33 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
0の個数を仕切り位置として記録
７
７
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
34 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
④ ①に戻る
高さlog 𝜎になるまで繰り返し
７
７
35 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
７
７
36 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7
７
７1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
37 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7
６
７
７1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
38 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7
7
7
6
39 / 67

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
𝑛 log 𝜎
𝑜(𝑛 log 𝜎)
7
7
6
𝑂 log 𝑛 log 𝜎
𝑛 log 𝜎 + 𝑜 𝑛 log 𝜎 + 𝑂(log 𝜎 ⋅ log 𝑛)
40 / 67

Wavelet matrixの各種計算量
• 構築時
o 時間： 𝑂(𝑛 log 𝜎)
o 空間： 𝑛 log𝜎 + max(𝑛, 𝑜(𝑛 log 𝜎))
• 構築後
o 時間： 𝑂 log 𝜎
o 空間： 𝑛 log𝜎 + 𝑜 𝑛 log 𝜎 + 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈 ⋅ 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
(再掲)Wavelet treeの空間計算量
41 / 67

Wavelet matrixの利用
• 例：𝑎𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠(𝑆, 4)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
42 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
答えは5になるはず
43 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
44 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 1, 4 = 4
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 0, 𝑛 = 仕切り位置 = 7
45 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 1, 4 = 4
෨𝐵0[4]に位置する値は
෩𝑩 𝟏[11]になる
46 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
47 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵1, 0, 11 = 6
48 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵1, 0, 11 = 6
෨𝐵1[11]に位置する値は
෩𝑩 𝟐[6]になる
49 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
50 / 67

4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[4]の値
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
(101)2 =(5)10
51 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[1:10]に4が
出現する回数
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
52 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[1:10]に4が
出現する回数
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
答えは1になるはず
53 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
S[1:10]に4が
出現する回数
54 / 67

S[1:10]に4が
出現する回数
• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 1, 10 = 4
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 1, 0 = 0
55 / 67

S[1:10]に4が
出現する回数• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7
෨𝐵0[1:10]に含まれる4のビット列は
෩𝑩 𝟏[7+1:11]に含まれる
𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 1, 10 = 4𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 1, 0 = 0
56 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[1:10]に4が
出現する回数
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
57 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10) S[1:10]に4が
出現する回数
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵1, 0, 11 = 6𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵1, 0, 7 = 4
58 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10) S[1:10]に4が
出現する回数
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵1, 0, 11 = 6
෩𝑩 𝟐[4+1:6]に含まれる
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵1, 0, 7 = 4
59 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[1:10]に4が
出現する回数
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
60 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[1:10]に4が
出現する回数
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵2, 0, 6 = 2𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵2, 0, 4 = 1
61 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[1:10]に4が
出現する回数
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵2, 0, 6 = 2𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵2, 0, 4 = 1
𝒗[1+1:2]に含まれる
62 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
4 7 6 5 3 2 1 0 2 1 4 1 7
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 2 1 0 2 1 1 4 7 6 5 4 7
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 4 5 4 3 2 2 7 6 7
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
S[1:10]に4が
出現する回数
(4)10 = (100)2
６
７
７
0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7𝑣
𝑆
෨𝐵0
෨𝐵1
෨𝐵2
63 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑆, 4,10 = 𝟐 − 1
= 𝟏
S[1:10]に4が
出現する回数
𝑣 0 4 4 2 2 6 1 1 1 5 3 7 7
64 / 67

• 例：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑆, 4,10)
𝑆のアルファベットサイズ 𝜎 = 8
S[1:10]に4が
出現する回数
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵1, 0, 11 = 6
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 1, 10 = 4
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵2, 0, 6 = 2
𝑂(log 𝜎)
𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈)
𝑂(1)
𝑂(1)
𝑂(1)
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵1, 0, 7 = 4
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵0, 1, 0 = 0
𝑏_𝑟𝑎𝑛𝑘 ෨𝐵2, 0, 5 = 1
𝑂(log 𝜎)
𝑂(1)
𝑂(1)
𝑂(1)
65 / 67

Wavelet matrixの各種計算量（再掲）
• 構築時
o 時間： 𝑂(𝑛 log 𝜎)
o 空間： 𝑛 log𝜎 + max(𝑛, 𝑜(𝑛 log 𝜎))
• 構築後
o 時間： 𝑶 𝐥𝐨𝐠 𝝈
o 空間： 𝑛 log𝜎 + 𝑜 𝑛 log 𝜎 + 𝑶(𝐥𝐨𝐠 𝝈 ⋅ 𝐥𝐨𝐠 𝒏)
66 / 67

まとめ
• Wavelet matrixの提案
o 空間計算量がWavelet treeより改善
o 時間計算量はWavelet treeと同等
o 実装が容易かつオーバーヘッドが少ない
時間計算量空間計算量
Wavelet tree 𝑂 log 𝜎 𝑛 log 𝜎 + 𝑜 𝑛 log 𝜎 + 𝐎(𝛔 𝐥𝐨𝐠 𝐧)
Wavelet matrix 𝑂 log 𝜎 𝑛 log 𝜎 + 𝑜(𝑛 log 𝜎) + 𝐎 𝐥𝐨𝐠 𝛔 ⋅ 𝐥𝐨𝐠 𝐧
67 / 67

Lab-EMon
• 電気系一号館電力可視化システム
o 研究室単位での電力消費量を可視化
o 過去の電力消費量をアニメーションで閲覧可能
o 学内からのみアクセス可能・API提供有
http://localweb.ecei.tohoku.ac.jp/Lab-EMon/
69 / 67

論文紹介：The wavelet matrix

More Related Content

論文紹介：The wavelet matrix