SlideShare a Scribd company logo
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals           Àlgebra de Boole   Funcions i portes lògiques.   Circuits lògics
                                                    Taules de veritat




Cristina Rodon Balmaña                                                               1/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

  Sistemes digitals
   Sistemes digitals                Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.    Circuits lògics
                                                                  Taules de veritat



Sistemes analògics
  Els sistemes analògics són els que treballen amb
senyals continus o alterns: la informació pot adquirir
infinits valors
                                                                                           Ona sinusoïdal d’un
  Exemple: Corrent Continu i altern
                                                                                           senyal analògic
               Fenòmens i les magnituds físiques: la
              temperatura, la pressió, la velocitat, la
              massa, el pes, el temps, el soroll, etc.

Sistemes digitals
  Els sistemes digitals són els que treballen amb senyals
discontinus o digitals: treballen en dos estats o nivells, els senyals
binaris.
                                                                                                Representació
  També s’anomenen circuits lògics: la resolució i el plantejament                           d’un senyal binari
d’accions s’efectua mitjançant respostes lògiques, del tipus sí o no
  Exemples: la llum està encesa (sí) o apagada (no); el motor està
aturat (sí) o en marxa (no).

         Definim senyal binari com una variable que només pot tenir, dos valors, que
         corresponen a dos estats distints i exclusius.
    Cristina Rodon Balmaña                                                                          2/29
    Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals                   Àlgebra de Boole
                                      Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.         Circuits lògics
                                                                    Taules de veritat




  Introducció a l’àlgebra de Boole
Per facilitar el tractament de les variables binàries, cada un dels estats es representa amb els símbols
1 i 0 respectivament, anomenats 1 lògic i 0 lògic.



                                                     0 i 1 no representen quantitats, sinó els estats de la
                                                     variable V, és a dir: 0 = V1 i 1 = V2.

              dos estats: V1 i V2

              V1 = 0 V i V2 = 10 V.                            Quan l’interruptor
                                                               està obert es
                                                               considera en estat
                                                               0; quan l’interruptor
                                                               està tancat, en
                                                               estat 1. Per tant
                                                               podem considerar
                                                               el seus estats com
                                                               una variable
                                                               binària.                               Video


Cristina Rodon Balmaña                                                                                     3/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals             Àlgebra de Boole
                                Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.              Circuits lògics
                                                              Taules de veritat


Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles emprats per representar quantitats o
dades numèriques.

El sistema decimal
 El sistema decimal és de base 10, de manera que utilitza deu símbols
anomenats xifres o dígits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9) .

 És un sistema de numeració posicional, és a dir, que el valor de cada dígit
depèn de la seva posició relativa dins de la quantitat a la qual pertany: unitats,
desenes, centenes, unitats de milers, desenes de milers...

  Un número es representa en funció de les potències de la base, d’acord amb
la posició que ocupen els seus dígits respectius.

  Exemple: una quantitat com 3056 es pot expressar de la manera següent:
3056 = 3 X103 + 0 x102 + 5 x 101 + 6 x 100
ja que:    3 x 103 = 3 x          1000 =3000
           0 x 10 2 = 0 x         100 =      0
           5 x 10 1 = 5 x         10 =      50                                         Àbac xinès que permet fer
           6 x 10 0 = 6 x         1=          6                                        operacions aritmètiques
                           Total           3056                                        com una calculadora
                                                                                       digital.

 Cristina Rodon Balmaña                                                                                   4/29
 Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

  Sistemes digitals              Àlgebra de Boole
                                   Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.       Circuits lògics
                                                                 Taules de veritat



El sistema binari: el bit
    El sistema binari és un sistema de numeració de base 2; per tant, utilitza dos dígits, 0 i 1,
    anomenats bits.
         El bit, de l’expressió anglesa binary digit, és la unitat d’informació bàsica.

 Abans hem vist que en els circuits elèctrics podem aconseguir variables binàries         Decimal    Binari
amb un interruptor (també ho podem fer amb polsadors, commutadors o relés), ja            0          0
que són elements que només tenen dos estats: obert o tancat.
                                                                                          1          1

  En els circuits electrònics s’aconsegueixen utilitzant díodes en polarització directa   2          10
(tancat) o inversa (obert), o amb transistors en mode no lineal o en commutació, on       3          11
si està a tall (OFF) i si està saturat (ON).                                              4          100
                                                                                          5          101
  És fàcil entendre que realitzar circuits elèctrics o electrònics decimals que
requereixen deu estats diferents és molt més difícil.                                     6          110
                                                                                          7          111
   L’ordinador transforma qualsevol dada o instrucció en uns i zeros (procés de           8          1000
codificació), fa el tractament de la informació i després presenta els resultats en un
                                                                                          9          1001
llenguatge comprensible per a nosaltres (procés de descodificació), ja sigui
alfabètic, numèric o gràfic.

   Cristina Rodon Balmaña                                                                             5/29
   Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals                 Àlgebra de Boole
                                    Àlgebra de Boole     Funcions i portes lògiques.       Circuits lògics
                                                              Taules de veritat




   Conversió binària decimal

   Per convertir un número del sistema binari al decimal, es multiplica cada bit pel pes que té
   associat, i se sumen els resultats parcials, tal com es mostra en l’exemple següent:

   1 1 0 0 1 (2
   1 x 20 = 1 x 1 =    1
   0 x 21 = 0 x 2 =    0
   0 x 22 = 0 x 4 =    0
   1 x 23 = 1 x 8 =    8
   1 x 24 = 1 x 16 =   16
   Total               25 (10

                                11001(2 = 25 (10




Cristina Rodon Balmaña                                                                             6/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals               Àlgebra de Boole
                                  Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.          Circuits lògics
                                                                Taules de veritat




    Conversió decimal binària

    Per convertir un número decimal en binari es divideix el decimal entre 2, el resultat es torna a
    dividir entre 2, i així successivament. Per obtenir el resultat s’agafa l’últim quocient i totes les
    restes de les divisions en ordre invers, tal com es mostra en l’exemple següent:

    25 2
    05 12      2
      1 0      6    2
               0    3   2
                    1       1
    11001

    25 (10 = 11001(2




Cristina Rodon Balmaña                                                                                  7/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

  Sistemes digitals              Àlgebra de Boole
                                   Àlgebra de Boole                      Funcions i portes lògiques.           Circuits lògics
                                                                              Taules de veritat




     Operacions aritmètiques amb el sistema binari

     La suma i la resta en el sistema binari es fan de la mateixa manera que amb el sistema decimal,
     però fent servir només els dígits 0 i 1.

     Exemple
     Exemples d’operacions binàries
                                                                                            En la suma binària
Suma                                   11    1 1 ® (ròssec)
                                                                                            tenim 4 casos:
1 0 0 1 0 0 1 (2        73 (10         1 1 1 0 1 1 (2           59 (10
                                       + 1 1 0 0 1 (2         + 25 (10                      0+0=0
+ 1 1 0 0 0 0 (2      + 48 (10
                                       1 0 1 0 1 0 0 (2         84 (10                      0+1=1
1 1 1 1 0 0 1 (2      121 (10
                                                                                            1+0=1
                                                                                            1 + 1 = 10 ® (com 9 + 1 = 10)
                                                                                            I en la resta també:
Resta                                 1 1 0 1 0 (2              26 (10                      0-0=0
1 1 0 0 1 1 (2          51 (10        –1 1 0 1 (2             – 13 (10
                                      1 1   1 ® (préstec)
                                                                                            1-0=1
– 1 0 0 0 1 (2        – 17 (10
1 0 0 0 1 0 (2          34 (10        0 1 1 0 1 (2              13 (10                      1-1=0
                                                                                            0 - 1 = 1 ® i en portem 1
                                                                                             (préstec)




   Cristina Rodon Balmaña                                                                                              8/29
   Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals             Àlgebra de Boole
                                Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.        Circuits lògics
                                                              Taules de veritat




  Operacions lògiques: l’àlgebra de Boole
  Les operacions amb variables binàries s’anomenen operacions lògiques i les fonamentals són la
  suma lògica, el producte lògic i la inversió o negació.

   Per tant, l’àlgebra de Boole és el conjunt de lleis i postulats que permeten fer
   operacions lògiques amb les variables binàries.

  L’àlgebra de Boole o àlgebra lògica és mèrit del matemàtic anglès George Boole, que durant el
  segle XIX va estudiar les lleis del pensament i va establir la teoria matemàtica sobre la lògica de
  les probabilitats, teoria en què es fonamenta l’electrònica digital.




Cristina Rodon Balmaña                                                                              9/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals             Àlgebra de Boole
                                Àlgebra de Boole        Funcions i portes lògiques.   Circuits lògics
                                                             Taules de veritat


 Operacions lògiques: lleis de l’àlgebra de Boole
 En aquest apartat estudiarem les tres operacions lògiques i els seus postulats.
 La suma
 La suma lògica es representa amb el símbol + de la manera següent:
                S =a+b

 Els seus postulats bàsics són els següents:
       1. Una variable a la qual se suma 0 dóna com a resultat ella mateixa:
                a +0 = a

        2. Una variable a la qual se suma 1 dóna com a resultat 1:
                    a +1=1

        3. Una variable sumada a ella mateixa dóna la mateixa variable:
                a+a=a

        4. Una variable sumada a la seva inversa dóna com a resultat 1:
                a + a =1

               En conseqüència si a=0:
               0+0=0       1+0=1
               0+1=1       1+1=1

Cristina Rodon Balmaña                                                                        10/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals                Àlgebra de Boole
                                   Àlgebra de Boole      Funcions i portes lògiques.       Circuits lògics
                                                              Taules de veritat




   El producte
   El producte lògic es representa amb el símbol · (i també amb l’absència de símbol entre dos
   variables) de la manera següent: S= a·b o S=ab. Els postulats bàsics del producte són els
   següents:
         1. Una variable multiplicada per 0 dóna com a resultat 0:
                      a⋅0=0

          2. Una variable multiplicada per + dóna com a resultat ella mateixa:
                      a ·1 = a

          3. Una variable multiplicada per ella mateixa dóna com a resultat la mateixa variable:
                     a·a=a

          4. Una variable multiplicada per la seva inversa dóna com a resultat 0:
                     a·a=0

                    En conseqüència si a=0:

                    0·0=0        1·0=0
                    0·1=0        1·1=1


Cristina Rodon Balmaña                                                                             11/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals             Àlgebra de Boole
                                Àlgebra de Boole        Funcions i portes lògiques.     Circuits lògics
                                                             Taules de veritat




    La inversió o negació
    La inversió lògica es representa amb el símbol – sobre la variable, de la manera
    següent:
                    S =a

    El seu postulat bàsic és que una variable negada i tornada a negar dóna com a resultat
    la variable inicial:
                a=a

    En conseqüència:
                           0 =1   1= 0




Cristina Rodon Balmaña                                                                          12/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals                    Àlgebra de Boole
                                       Àlgebra de Boole                   Funcions i portes lògiques.   Circuits lògics
                                                                               Taules de veritat




   Propietats de l’àlgebra de Boole

                         Commutativa                                   Associativa

                    Suma               Producte          Suma                         Producte

                    a+ b = b + a       a·b=b·a           a + b + c = (a + b ) + c     a·b·c=(a·b)·c


        Si combinem les operacions de suma i producte es compleix la propietat


                                                    Distributiva

                    suma                                             producte


                    a +(b · c ) = (a + b ) · (a + c )                a · (b + c ) = a b + a c




Cristina Rodon Balmaña                                                                                          13/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals             Àlgebra de Boole
                                Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.       Circuits lògics
                                                              Taules de veritat




    Teoremes De Morgan
    Els teoremes de De Morgan o llei de l’equivalència, són uns dels més importants de
    l’àlgebra de Boole. Els seus enunciats són els següents:

               Primer teorema: la negació de la suma lògica és igual al producte lògic de les
           variables negades:       a+b = a · b



               Segon teorema: la negació del producte lògic és igual a la suma lògica de les
           variables negades:       a ⋅b = a + b




Cristina Rodon Balmaña                                                                             14/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

  Sistemes digitals                   Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.
                                                               Funcions i portes lògiques          Circuits lògics
                                                                    Taules de veritat
                                                                    Taules de veritat


  Funcions i portes lògiques. Taules de veritat

  La funció lògica d’una variable binària és també una variable binària.




De manera que si a= variable binària d’entrada o senyal d’entrada, i
                      S = variable binària de sortida o senyal de sortida
podem escriure:             ,                                                        En general, els senyals
                                                                                     d’entrada es representen
i es llegeix: el senyal de sortida S és funció del senyal d’entrada , o
                                                                                     amb lletres minúscules (a,
simplement, S és funció d’a.                                                         b, c…) i els de sortida amb
                                                                                     majúscules (F, S, X…).

                                  S = f (a)



   Cristina Rodon Balmaña                                                                                  15/29
   Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

   Sistemes digitals                Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.
                                                             Funcions i portes lògiques        Circuits lògics
                                                                  Taules de veritat
                                                                  Taules de veritat




Taules de veritat
                                                                           a   b   F       a   b    c   F
 Una funció lògica també es pot representar per la taula de
                                                                           0   0   0       0   0    0   0
veritat, a partir de la qual i d’una manera molt senzilla s’analitzen
                                                                           0   1   1       0   0    1   1
tots els estats possibles de les variables d’entrada i de l’estat de       1   0   1       0   1    0   1
la variable de sortida.                                                    1   1   1       0   1    1   0
                                                                                           1   0    0   1
                                                                          Taula de
                                                                                           1   0    1   0
 El nombre de combinacions possibles és de 2n, essent n el                veritat de
                                                                          dues             1   1    0   0
nombre de variables d’entrada.                                            variables
                                                                                           1   1    1   1
                                                                          d’entrada

                                                                                           Taula de
 Exemple: si funció té dues variables d’entrada, seran 22 = 4             S =a+b
                                                                                           veritat de
           si hi ha tres variables d’entrada, el nombre de                                 tres
                                                                                           variables
            combinacions és de 23 = 8                                                      d’entrada

                                                                                            S= a+b+c




    Cristina Rodon Balmaña                                                                              16/29
    Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

    Sistemes digitals                       Àlgebra de Boole        Funcions i portes lògiques.
                                                                    Funcions i portes lògiques            Circuits lògics
                                                                         Taules de veritat
                                                                         Taules de veritat

Forma canònica d’una funció lògica
 A partir de qualsevol taula de veritat podem obtenir l’equació d’una funció booleana anomenades
CANÒNIQUES.
                                                                                                      a   b    c   F
 La forma CANÒNICA vol dir que qualsevol terme de l’equació haurà de tenir totes les variables.
                                                                                                      0   0    0   0
               Exemple: F: a.b+a.b+ab
                                                                                                      0   0    1   1
                             MINTERNS : tots els termes són canònics i estan sumats entre ells.
                                                                                                      0   1    0   1
                          Cada terme està multiplicat entre ells.
                                                                                                      0   1    1   0
                          Donada una taula de veritat seleccionarem tots els termes de sortida dels
                                                                                                      1   0    0   1
                          quals valgui 1. Perquè les diferents sortides valguin 1 és necessari que
                                                                                                      1   0    1   0
Dos tipus de
                          totes les variables que intervinguin en el producte siguin 1, per tant      1   1    0   0
CANÒNIQUES
                          haurem de negar aquelles que valguin 0.                                     1   1    1   1
                          F= a . b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c
                                                                                                      Taula de
                                                                                                      veritat de
                           MAXTERNS: tots els termes són canònics i estan multiplicats entre          tres
                           ells. Les variables que componen cada terme estan sumades entre elles.     variables
                                                                                                      d’entrada
                           Donada una taula de veritat seleccionarem tots els termes que donin a la
                           funció el valor 0. Les variables hauran de ser negades quan el valor
                           lògic sigui 1.
                          F= (a + b + c) . (a + b + c) . (a + b + c) .( a + b + c)
    Cristina Rodon Balmaña                                                                                         17/29
    Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

 Sistemes digitals                   Àlgebra de Boole              Funcions i portes lògiques.
                                                                   Funcions i portes lògiques                   Circuits lògics
                                                                        Taules de veritat
                                                                        Taules de veritat



    Mètodes de simplificació d’una funció lògica
      Simplificar una funció lògica es trobar-ne una altre equivalent amb la qual hi hagi el nombre menor
    de termes amb el nombre menor de variables possibles.


                               Aplicació de les LLEIS BOOLEANES: es basa en l’aplicació de tot el
                               conjunt de propietats postulats i teoremes de àlgebra de Boole. Té
                               dificultats en la seva aplicació ja que no existeix cap regla específica i per
                               tan cal un extraordinari domini d’aquests coneixements.
 Dos tipus de
SIMPLIFICACIÓ




                               Mètodes tabulars: MAPES KARNAUGH (funcions 5 variables màxim).
                               N'existeixen d’altres, ex. Taules Quine McCluskey




 Cristina Rodon Balmaña                                                                                                 18/29
 Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

    Sistemes digitals                              Àlgebra de Boole                   Funcions i portes lògiques.
                                                                                      Funcions i portes lògiques                          Circuits lògics
                                                                                           Taules de veritat
                                                                                           Taules de veritat

Mètode Karnaugh
   Qualsevol funció que s’hagi de simplificar mitjançant aquest mètode tabular haurà d’estar en forma CANÒNICA vol
                                                                                                                                      a        b        c   F
   dir que qualsevol terme de l’equació haurà de tenir totes les variables.
                                                                                                                                      0        0        0   0
   Segons el nombre de variables (2n) hi haurà diferents mapes, tal com es mostra a continuació:
                           bc                                             cd                                                          0        0        1   0
                                00        01 11           10                     00      01 11              10
                         a                                             ab
                                                                                                                                      0        1        0   0
                                 0                                               00
                                                                                                                                      0        1        1   1
                                 1                                               10
                                                                                                                                      1        0        0   0
                                                                                 11                                                   1        0        1   1
                                                                                                                                      1        1        0   0
                                                                                 01
                                                                                                                                      1        1        1   1
   Exemple:
   1. Una vegada dibuixat el mapa de Karnaugh s’ha d'omplir: El procediment consisteix n posar un 1                  F= a . b. c + a. b. c + a. b. c
   en el quadre corresponent a les combinacions d’entrada de la forma canònica que donin 1.
  2. Una vegada completat el mapa hem de fer agrupacions. Al ser dins el sistema binari questes només                       bc   00   01           11       10
                                                                                                                        a
   podran ser de   2n   quadrícules (1, 2, 4, 8,...) i sempre hauran de ser el més gran possible.                           0
               En el nostre cas podem fer 2 agrupacions de 2 variables en cadascuna
  3. En cada agrupació mirem els valors de les variables d’entrada:                                                         1         1            1        1
    a) Si el valor de la variable és el mateix en tota l’agrupació, aquesta formarà part de l’expressió simplificada,       bc
                                                                                                                                 00       01        11           10
                                                                                                                        a
       sent negada si el valor és 0 i sense negar si és 1.
                                                                                                                             0
    b) Si el valor d’una variable d’entrada varia dins de l’agrupació l’eliminarem, ja que la sortida no depèn del
       valor d’aquesta variable.                                                                                             1        1             1           1
               En el nostre cas F= b .c       + a. c
    Cristina Rodon Balmaña                                                                                                                              19/29
    Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

  Sistemes digitals                   Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.
                                                               Funcions i portes lògiques      Circuits lògics
                                                                    Taules de veritat
                                                                    Taules de veritat


Funcions i portes lògiques
Els sistemes digitals per dur a terme la seva tasca fan servir les funcions lògiques, i per obtenir
una funció lògica es necessiten uns dispositius que són els encarregats de processar o tractar els
senyals binaris d’entrada amb operacions lògiques per generar el corresponent senyal de sortida.


              Els dispositius que efectuen directament les diferents funcions o
              operacions lògiques s’anomenen portes lògiques.




                       Diagrama de blocs d’una funció lògica



  Es pot simular el funcionament d’una porta lògica amb un circuit elèctric anomenat circuit
  elèctric equivalent.




  Cristina Rodon Balmaña                                                                               20/29
  Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

    Sistemes digitals                   Àlgebra de Boole       Funcions i portes lògiques.
                                                               Funcions i portes lògiques            Circuits lògics
                                                                    Taules de veritat
                                                                    Taules de veritat




Funció NO
Amb el circuit lògic que realitza la funció NO (també anomenada
inversió, negació o complement) s’obté a la sortida l’estat invers de la
variable d’entrada. Es representa amb el símbol – damunt de la variable.
Així:
                        a=0   a =1      a =1   a=0


        Si                i si
                                 F =a


És una funció lògica d’una sola variable d’entrada i té l’expressió lògica,
que es llegeix: F igual a no a . El dispositiu que du a terme aquesta
funció és la porta NO (NOT) o porta inversora.
La funció NO dóna com a sortida l’estat invers de l’entrada.                        Esquema elèctric equivalent




    Cristina Rodon Balmaña                                                                                   21/29
    Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals               Àlgebra de Boole          Funcions i portes lògiques.
                                                          Funcions i portes lògiques            Circuits lògics
                                                               Taules de veritat
                                                               Taules de veritat



  Funció O (OR)
  La funció O o suma lògica té dues o més variables d’entrada i es representa amb el símbol +. Una
  funció de dues variables d’entrada té l’expressió lògica S = a + b , i es llegeix: S és igual a més b.
  El dispositiu que du a terme la suma lògica és la porta O (OR).
  La funció O dóna 1 a la sortida quan almenys una de les variables d’entrada val 1.


                                  a    b     S


                                 0     0     0
                                 0     1     1
                                 1     0     1
                                 1     1     1



                                                                  Esquema elèctric equivalent




Cristina Rodon Balmaña                                                                                  22/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals               Àlgebra de Boole        Funcions i portes lògiques.
                                                        Funcions i portes lògiques                 Circuits lògics
                                                             Taules de veritat
                                                             Taules de veritat




    Funció I (AND)
    La funció I o producte és una funció de dues o més variables d’entrada i
    es representa amb el símbol ·. Una funció I de dues entrades té
    l’expressió lògica P = a · b          i es llegeix: P és igual a per b. El
    component que du a terme el producte lògic és la porta I (AND).
    La funció I dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada valen 1.
            a       b   S
            0       0   0
            0       1   0
            1       0   0
            1       1   1




                                                                     Esquema elèctric equivalent




Cristina Rodon Balmaña                                                                                     23/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals             Àlgebra de Boole        Funcions i portes lògiques.
                                                      Funcions i portes lògiques            Circuits lògics
                                                           Taules de veritat
                                                           Taules de veritat




   Funció NO-O (NOR)
   És la negació de la suma lògica o funció O. Primer realitza la suma
   lògica i després la nega. Una funció NO-O de dues variables té
   l’expressió lògica S = a + b i es llegeix: S és igual a la negació d’a
   més b. El component que du a terme la suma lògica negada és la porta
   NO-O (NOR).
   La funció NO-O dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada
   valen 0.
            a       b   S
            0       0   1

            0       1   0

            1       0   0

            1       1   0




                                                                         Esquema elèctric equivalent




Cristina Rodon Balmaña                                                                                 24/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals               Àlgebra de Boole            Funcions i portes lògiques.
                                                            Funcions i portes lògiques            Circuits lògics
                                                                 Taules de veritat
                                                                 Taules de veritat




   Funció NO-I (NAND)
   La funció NO-I és la negació del producte lògic o funció I. Primer realitza el
   producte lògic i després la negació. Una funció NO-I de dues entrades té
   l’expressió lògica P = a · b i es llegeix: P és igual a la negació d’a per b.
   L’operador que du a terme el producte negat és la porta NO-I (NAND).

          La funció NO-I dóna 1 a la sortida quan almenys una de les entrades val 0.




                                               a    b   P
                                               0    0   1

                                               0    1   1

                                               1    0   1

                                               1    1   0




                                                                                    Esquema elèctric equivalent




Cristina Rodon Balmaña                                                                                    25/29
Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

       Sistemes digitals                 Àlgebra de Boole          Funcions i portes lògiques.
                                                                   Funcions i portes lògiques       Circuits lògics
                                                                        Taules de veritat
                                                                        Taules de veritat




Tecnologia de les portes lògiques

 Els circuits lògics digitals poden estar construïts amb tecnologia elèctrica, pneumàtica o electrònica.


 En els automatismes elèctrics s’implementen les funcions lògiques amb interruptors, polsadors, commutadors,
relés, contactors, etc. De fet, ja hem vist el circuit elèctric equivalent de cada funció lògica.


 En pneumàtica i oleohidràulica també es fan servir molt les portes lògiques per resoldre circuits automàtics que
han de funcionar amb aquestes tècniques.


 Amb tot, l’electrònica és la tecnologia que fa servir més portes lògiques per elaborar circuits lògics digitals,
sobretot perquè permet fabricar portes de petites dimensions. Normalment, es fabriquen en circuits integrats
formats principalment per transistors. La indústria electrònica fabrica xips que apleguen diverses portes lògiques
(normalment quatre), totes iguals, que són les anomenades portes integrades.


       Cristina Rodon Balmaña                                                                               26/29
       Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

  Sistemes digitals                 Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.   Circuitslògics
                                                                                           Circuits lògics
                                                                  Taules de veritat



                                         Circuits lògics
Esquemes de circuits lògics
 La representació gràfica d’un circuit digital utilitzant els símbols de les portes lògiques
s’anomena logigrama, o simplement esquema del circuit lògic.
 Per obtenir el logigrama d’una funció lògica a partir de la seva expressió booleana només cal
utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que es vol efectuar.
 Per exemple, per representar gràficament la funció


                                          F = a · (b + c )

primer es resolen els parèntesis, després els productes i finalment les sumes.




   Cristina Rodon Balmaña                                                                         27/29
   Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals                 Àlgebra de Boole          Funcions i portes lògiques.        Circuitslògics
                                                                                               Circuits lògics
                                                                 Taules de veritat



Obtenció d’una funció lògica a partir d’un logigrama
 Per obtenir la funció lògica a partir de l’esquema del circuit e s parteix de les variables
d’entrada i s’escriu a la sortida de cada porta la funció que realitza.
 Les sortides de les portes es tracten com a entrades de les portes a les quals estan
connectades, i així successivament fins a arribar al final del circuit, en què obtindrem
l’expressió booleana o equació que defineix la funció lògica del circuit.




 Cristina Rodon Balmaña                                                                               28/29
 Departament de Tecnologia
UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

  Sistemes digitals               Àlgebra de Boole         Funcions i portes lògiques.        Circuitslògics
                                                                                              Circuits lògics
                                                                Taules de veritat



Obtenció i implementació d’una funció lògica a partir de la taula de veritat
 Quan ja tenim la funció simplificada, només cal utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que
es vol fer.
  Exemple: per implementar el circuit de la funció F    F = a b + b només necessitarem 2 portes
inversores, 1 porta I i una porta O de dues entrades.


                                                                            a     b      F
                                                                            0     0      1
                                                                            0     1      1
                                                                            1     0      0
                                                                            1     1      1




   Cristina Rodon Balmaña                                                                            29/29
   Departament de Tecnologia

More Related Content

Viewers also liked

U3( part ii) estructures [modo de compatibilidad]
U3( part ii) estructures [modo de compatibilidad]U3( part ii) estructures [modo de compatibilidad]
U3( part ii) estructures [modo de compatibilidad]Cristina Rodon
 
Oleohidraulica [modo de compatibilidad]
Oleohidraulica [modo de compatibilidad]Oleohidraulica [modo de compatibilidad]
Oleohidraulica [modo de compatibilidad]Cristina Rodon
 
Energies and electricity
Energies and electricityEnergies and electricity
Energies and electricity
Cristina Rodon
 
Revising materials
Revising materialsRevising materials
Revising materials
Cristina Rodon
 
Unitat 3 (a) metalls [modo de compatibilidad]
Unitat 3 (a) metalls [modo de compatibilidad]Unitat 3 (a) metalls [modo de compatibilidad]
Unitat 3 (a) metalls [modo de compatibilidad]Cristina Rodon
 
U6 mecanismes transmissio
U6 mecanismes transmissioU6 mecanismes transmissio
U6 mecanismes transmissioCristina Rodon
 
Unitat 5 (a) MAGNITUDS ELÈCTRIQUES
Unitat 5 (a) MAGNITUDS ELÈCTRIQUES Unitat 5 (a) MAGNITUDS ELÈCTRIQUES
Unitat 5 (a) MAGNITUDS ELÈCTRIQUES Cristina Rodon
 
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 2xblog
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 2xblogElaboració De Presentacions MultimèDia Tema 2xblog
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 2xblogCristina Rodon
 
Continuació Tema 5
Continuació Tema 5Continuació Tema 5
Continuació Tema 5
Cristina Rodon
 
Unitat 3 forces, esforços i propietats
Unitat 3 forces, esforços i propietatsUnitat 3 forces, esforços i propietats
Unitat 3 forces, esforços i propietats
Cristina Rodon
 
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 1
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 1Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 1
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 1Cristina Rodon
 
Producció energia elèctrica
Producció energia elèctricaProducció energia elèctrica
Producció energia elèctrica
Glòria García García
 
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 3
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 3Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 3
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 3Cristina Rodon
 
El circuit elèctric
El circuit elèctricEl circuit elèctric
El circuit elèctric
Glòria García García
 

Viewers also liked (20)

Unitat 02
Unitat 02Unitat 02
Unitat 02
 
U3( part ii) estructures [modo de compatibilidad]
U3( part ii) estructures [modo de compatibilidad]U3( part ii) estructures [modo de compatibilidad]
U3( part ii) estructures [modo de compatibilidad]
 
U4 habitatge
U4 habitatgeU4 habitatge
U4 habitatge
 
Oleohidraulica [modo de compatibilidad]
Oleohidraulica [modo de compatibilidad]Oleohidraulica [modo de compatibilidad]
Oleohidraulica [modo de compatibilidad]
 
Energies and electricity
Energies and electricityEnergies and electricity
Energies and electricity
 
Revising materials
Revising materialsRevising materials
Revising materials
 
Unitat 3 (a) metalls [modo de compatibilidad]
Unitat 3 (a) metalls [modo de compatibilidad]Unitat 3 (a) metalls [modo de compatibilidad]
Unitat 3 (a) metalls [modo de compatibilidad]
 
Ptt pneumàtica
Ptt pneumàticaPtt pneumàtica
Ptt pneumàtica
 
U6 mecanismes transmissio
U6 mecanismes transmissioU6 mecanismes transmissio
U6 mecanismes transmissio
 
Unitat 5 (a) MAGNITUDS ELÈCTRIQUES
Unitat 5 (a) MAGNITUDS ELÈCTRIQUES Unitat 5 (a) MAGNITUDS ELÈCTRIQUES
Unitat 5 (a) MAGNITUDS ELÈCTRIQUES
 
Corrent elèctric
Corrent elèctricCorrent elèctric
Corrent elèctric
 
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 2xblog
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 2xblogElaboració De Presentacions MultimèDia Tema 2xblog
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 2xblog
 
Continuació Tema 5
Continuació Tema 5Continuació Tema 5
Continuació Tema 5
 
Unitat 7 (A)
Unitat 7 (A)Unitat 7 (A)
Unitat 7 (A)
 
Unitat 3 forces, esforços i propietats
Unitat 3 forces, esforços i propietatsUnitat 3 forces, esforços i propietats
Unitat 3 forces, esforços i propietats
 
Unitat 01
Unitat 01Unitat 01
Unitat 01
 
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 1
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 1Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 1
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 1
 
Producció energia elèctrica
Producció energia elèctricaProducció energia elèctrica
Producció energia elèctrica
 
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 3
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 3Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 3
Elaboració De Presentacions MultimèDia Tema 3
 
El circuit elèctric
El circuit elèctricEl circuit elèctric
El circuit elèctric
 

Similar to Ptt digital [modo de compatibilidad]

Electrònica digital
Electrònica digitalElectrònica digital
Electrònica digital
Belen Diaz
 
Elèctrònica digital
Elèctrònica digitalElèctrònica digital
Elèctrònica digitalLaura
 
4ESO - Ud 02. electrònica digital
4ESO - Ud 02. electrònica digital4ESO - Ud 02. electrònica digital
4ESO - Ud 02. electrònica digital
Miguel_Angel_Marin
 
Electrònica digital
Electrònica digitalElectrònica digital
Electrònica digitalMartin031112
 
U5.Electronica Digital
U5.Electronica DigitalU5.Electronica Digital
U5.Electronica Digital
Pep Lorenzo
 
U5.electronica digital
U5.electronica digitalU5.electronica digital
U5.electronica digitalPep Lorenzo
 
Electrònica digital
Electrònica digitalElectrònica digital
Electrònica digitalMartin031112
 
Taules de veritat circuits electrics
Taules de veritat circuits electricsTaules de veritat circuits electrics
Taules de veritat circuits electrics
RAQUEL BLAZQUEZ
 
Electrònica Digital
Electrònica DigitalElectrònica Digital
Electrònica Digital
clopez64
 
Electrónica 2
Electrónica 2Electrónica 2
Electrónica 2
Iumium
 
Tema 7_Sistemes Digitals
Tema 7_Sistemes DigitalsTema 7_Sistemes Digitals
Tema 7_Sistemes Digitals
vpastortecno
 
Unitat 7 sistemes digitals
Unitat 7 sistemes digitalsUnitat 7 sistemes digitals
Unitat 7 sistemes digitalsdavidsanz50
 
Tecnologia de Control i Robòtica (I)
Tecnologia de Control i Robòtica (I)Tecnologia de Control i Robòtica (I)
Tecnologia de Control i Robòtica (I)
eabadal
 
Ud 07. sistemes digitals
Ud 07. sistemes digitalsUd 07. sistemes digitals
Ud 07. sistemes digitals
Miguel_Angel_Marin
 
Ti 2.t-7 sistemes digitals ii
Ti 2.t-7 sistemes digitals iiTi 2.t-7 sistemes digitals ii
Ti 2.t-7 sistemes digitals iiemesegue
 
Ti 2.t-7 sistemes digitals i
Ti 2.t-7 sistemes digitals iTi 2.t-7 sistemes digitals i
Ti 2.t-7 sistemes digitals iemesegue
 

Similar to Ptt digital [modo de compatibilidad] (17)

Electrònica digital
Electrònica digitalElectrònica digital
Electrònica digital
 
Elèctrònica digital
Elèctrònica digitalElèctrònica digital
Elèctrònica digital
 
4ESO - Ud 02. electrònica digital
4ESO - Ud 02. electrònica digital4ESO - Ud 02. electrònica digital
4ESO - Ud 02. electrònica digital
 
Electrònica digital
Electrònica digitalElectrònica digital
Electrònica digital
 
U5.Electronica Digital
U5.Electronica DigitalU5.Electronica Digital
U5.Electronica Digital
 
U5.electronica digital
U5.electronica digitalU5.electronica digital
U5.electronica digital
 
Electrònica digital
Electrònica digitalElectrònica digital
Electrònica digital
 
Taules de veritat circuits electrics
Taules de veritat circuits electricsTaules de veritat circuits electrics
Taules de veritat circuits electrics
 
Electrònica Digital
Electrònica DigitalElectrònica Digital
Electrònica Digital
 
Electrónica 2
Electrónica 2Electrónica 2
Electrónica 2
 
Tema 7_Sistemes Digitals
Tema 7_Sistemes DigitalsTema 7_Sistemes Digitals
Tema 7_Sistemes Digitals
 
Unitat 7 sistemes digitals
Unitat 7 sistemes digitalsUnitat 7 sistemes digitals
Unitat 7 sistemes digitals
 
Tecnologia de Control i Robòtica (I)
Tecnologia de Control i Robòtica (I)Tecnologia de Control i Robòtica (I)
Tecnologia de Control i Robòtica (I)
 
Sistemes digitals
Sistemes digitalsSistemes digitals
Sistemes digitals
 
Ud 07. sistemes digitals
Ud 07. sistemes digitalsUd 07. sistemes digitals
Ud 07. sistemes digitals
 
Ti 2.t-7 sistemes digitals ii
Ti 2.t-7 sistemes digitals iiTi 2.t-7 sistemes digitals ii
Ti 2.t-7 sistemes digitals ii
 
Ti 2.t-7 sistemes digitals i
Ti 2.t-7 sistemes digitals iTi 2.t-7 sistemes digitals i
Ti 2.t-7 sistemes digitals i
 

Ptt digital [modo de compatibilidad]

  • 1. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Cristina Rodon Balmaña 1/29 Departament de Tecnologia
  • 2. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Sistemes analògics Els sistemes analògics són els que treballen amb senyals continus o alterns: la informació pot adquirir infinits valors Ona sinusoïdal d’un Exemple: Corrent Continu i altern senyal analògic Fenòmens i les magnituds físiques: la temperatura, la pressió, la velocitat, la massa, el pes, el temps, el soroll, etc. Sistemes digitals Els sistemes digitals són els que treballen amb senyals discontinus o digitals: treballen en dos estats o nivells, els senyals binaris. Representació També s’anomenen circuits lògics: la resolució i el plantejament d’un senyal binari d’accions s’efectua mitjançant respostes lògiques, del tipus sí o no Exemples: la llum està encesa (sí) o apagada (no); el motor està aturat (sí) o en marxa (no). Definim senyal binari com una variable que només pot tenir, dos valors, que corresponen a dos estats distints i exclusius. Cristina Rodon Balmaña 2/29 Departament de Tecnologia
  • 3. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Introducció a l’àlgebra de Boole Per facilitar el tractament de les variables binàries, cada un dels estats es representa amb els símbols 1 i 0 respectivament, anomenats 1 lògic i 0 lògic. 0 i 1 no representen quantitats, sinó els estats de la variable V, és a dir: 0 = V1 i 1 = V2. dos estats: V1 i V2 V1 = 0 V i V2 = 10 V. Quan l’interruptor està obert es considera en estat 0; quan l’interruptor està tancat, en estat 1. Per tant podem considerar el seus estats com una variable binària. Video Cristina Rodon Balmaña 3/29 Departament de Tecnologia
  • 4. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles emprats per representar quantitats o dades numèriques. El sistema decimal El sistema decimal és de base 10, de manera que utilitza deu símbols anomenats xifres o dígits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9) . És un sistema de numeració posicional, és a dir, que el valor de cada dígit depèn de la seva posició relativa dins de la quantitat a la qual pertany: unitats, desenes, centenes, unitats de milers, desenes de milers... Un número es representa en funció de les potències de la base, d’acord amb la posició que ocupen els seus dígits respectius. Exemple: una quantitat com 3056 es pot expressar de la manera següent: 3056 = 3 X103 + 0 x102 + 5 x 101 + 6 x 100 ja que: 3 x 103 = 3 x 1000 =3000 0 x 10 2 = 0 x 100 = 0 5 x 10 1 = 5 x 10 = 50 Àbac xinès que permet fer 6 x 10 0 = 6 x 1= 6 operacions aritmètiques Total 3056 com una calculadora digital. Cristina Rodon Balmaña 4/29 Departament de Tecnologia
  • 5. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat El sistema binari: el bit El sistema binari és un sistema de numeració de base 2; per tant, utilitza dos dígits, 0 i 1, anomenats bits. El bit, de l’expressió anglesa binary digit, és la unitat d’informació bàsica. Abans hem vist que en els circuits elèctrics podem aconseguir variables binàries Decimal Binari amb un interruptor (també ho podem fer amb polsadors, commutadors o relés), ja 0 0 que són elements que només tenen dos estats: obert o tancat. 1 1 En els circuits electrònics s’aconsegueixen utilitzant díodes en polarització directa 2 10 (tancat) o inversa (obert), o amb transistors en mode no lineal o en commutació, on 3 11 si està a tall (OFF) i si està saturat (ON). 4 100 5 101 És fàcil entendre que realitzar circuits elèctrics o electrònics decimals que requereixen deu estats diferents és molt més difícil. 6 110 7 111 L’ordinador transforma qualsevol dada o instrucció en uns i zeros (procés de 8 1000 codificació), fa el tractament de la informació i després presenta els resultats en un 9 1001 llenguatge comprensible per a nosaltres (procés de descodificació), ja sigui alfabètic, numèric o gràfic. Cristina Rodon Balmaña 5/29 Departament de Tecnologia
  • 6. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Conversió binària decimal Per convertir un número del sistema binari al decimal, es multiplica cada bit pel pes que té associat, i se sumen els resultats parcials, tal com es mostra en l’exemple següent: 1 1 0 0 1 (2 1 x 20 = 1 x 1 = 1 0 x 21 = 0 x 2 = 0 0 x 22 = 0 x 4 = 0 1 x 23 = 1 x 8 = 8 1 x 24 = 1 x 16 = 16 Total 25 (10 11001(2 = 25 (10 Cristina Rodon Balmaña 6/29 Departament de Tecnologia
  • 7. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Conversió decimal binària Per convertir un número decimal en binari es divideix el decimal entre 2, el resultat es torna a dividir entre 2, i així successivament. Per obtenir el resultat s’agafa l’últim quocient i totes les restes de les divisions en ordre invers, tal com es mostra en l’exemple següent: 25 2 05 12 2  1 0 6 2 0 3 2 1 1 11001 25 (10 = 11001(2 Cristina Rodon Balmaña 7/29 Departament de Tecnologia
  • 8. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Operacions aritmètiques amb el sistema binari La suma i la resta en el sistema binari es fan de la mateixa manera que amb el sistema decimal, però fent servir només els dígits 0 i 1. Exemple Exemples d’operacions binàries En la suma binària Suma 11 1 1 ® (ròssec) tenim 4 casos: 1 0 0 1 0 0 1 (2 73 (10 1 1 1 0 1 1 (2 59 (10 + 1 1 0 0 1 (2 + 25 (10 0+0=0 + 1 1 0 0 0 0 (2 + 48 (10 1 0 1 0 1 0 0 (2 84 (10 0+1=1 1 1 1 1 0 0 1 (2 121 (10 1+0=1 1 + 1 = 10 ® (com 9 + 1 = 10) I en la resta també: Resta 1 1 0 1 0 (2 26 (10 0-0=0 1 1 0 0 1 1 (2 51 (10 –1 1 0 1 (2 – 13 (10 1 1 1 ® (préstec) 1-0=1 – 1 0 0 0 1 (2 – 17 (10 1 0 0 0 1 0 (2 34 (10 0 1 1 0 1 (2 13 (10 1-1=0 0 - 1 = 1 ® i en portem 1 (préstec) Cristina Rodon Balmaña 8/29 Departament de Tecnologia
  • 9. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Operacions lògiques: l’àlgebra de Boole Les operacions amb variables binàries s’anomenen operacions lògiques i les fonamentals són la suma lògica, el producte lògic i la inversió o negació. Per tant, l’àlgebra de Boole és el conjunt de lleis i postulats que permeten fer operacions lògiques amb les variables binàries. L’àlgebra de Boole o àlgebra lògica és mèrit del matemàtic anglès George Boole, que durant el segle XIX va estudiar les lleis del pensament i va establir la teoria matemàtica sobre la lògica de les probabilitats, teoria en què es fonamenta l’electrònica digital. Cristina Rodon Balmaña 9/29 Departament de Tecnologia
  • 10. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Operacions lògiques: lleis de l’àlgebra de Boole En aquest apartat estudiarem les tres operacions lògiques i els seus postulats. La suma La suma lògica es representa amb el símbol + de la manera següent: S =a+b Els seus postulats bàsics són els següents: 1. Una variable a la qual se suma 0 dóna com a resultat ella mateixa: a +0 = a 2. Una variable a la qual se suma 1 dóna com a resultat 1: a +1=1 3. Una variable sumada a ella mateixa dóna la mateixa variable: a+a=a 4. Una variable sumada a la seva inversa dóna com a resultat 1: a + a =1 En conseqüència si a=0: 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1 Cristina Rodon Balmaña 10/29 Departament de Tecnologia
  • 11. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat El producte El producte lògic es representa amb el símbol · (i també amb l’absència de símbol entre dos variables) de la manera següent: S= a·b o S=ab. Els postulats bàsics del producte són els següents: 1. Una variable multiplicada per 0 dóna com a resultat 0: a⋅0=0 2. Una variable multiplicada per + dóna com a resultat ella mateixa: a ·1 = a 3. Una variable multiplicada per ella mateixa dóna com a resultat la mateixa variable: a·a=a 4. Una variable multiplicada per la seva inversa dóna com a resultat 0: a·a=0 En conseqüència si a=0: 0·0=0 1·0=0 0·1=0 1·1=1 Cristina Rodon Balmaña 11/29 Departament de Tecnologia
  • 12. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat La inversió o negació La inversió lògica es representa amb el símbol – sobre la variable, de la manera següent: S =a El seu postulat bàsic és que una variable negada i tornada a negar dóna com a resultat la variable inicial: a=a En conseqüència: 0 =1 1= 0 Cristina Rodon Balmaña 12/29 Departament de Tecnologia
  • 13. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Propietats de l’àlgebra de Boole Commutativa Associativa Suma Producte Suma Producte a+ b = b + a a·b=b·a a + b + c = (a + b ) + c a·b·c=(a·b)·c Si combinem les operacions de suma i producte es compleix la propietat Distributiva suma producte a +(b · c ) = (a + b ) · (a + c ) a · (b + c ) = a b + a c Cristina Rodon Balmaña 13/29 Departament de Tecnologia
  • 14. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics Taules de veritat Teoremes De Morgan Els teoremes de De Morgan o llei de l’equivalència, són uns dels més importants de l’àlgebra de Boole. Els seus enunciats són els següents: Primer teorema: la negació de la suma lògica és igual al producte lògic de les variables negades: a+b = a · b Segon teorema: la negació del producte lògic és igual a la suma lògica de les variables negades: a ⋅b = a + b Cristina Rodon Balmaña 14/29 Departament de Tecnologia
  • 15. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Funcions i portes lògiques. Taules de veritat La funció lògica d’una variable binària és també una variable binària. De manera que si a= variable binària d’entrada o senyal d’entrada, i S = variable binària de sortida o senyal de sortida podem escriure: , En general, els senyals d’entrada es representen i es llegeix: el senyal de sortida S és funció del senyal d’entrada , o amb lletres minúscules (a, simplement, S és funció d’a. b, c…) i els de sortida amb majúscules (F, S, X…). S = f (a) Cristina Rodon Balmaña 15/29 Departament de Tecnologia
  • 16. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Taules de veritat a b F a b c F Una funció lògica també es pot representar per la taula de 0 0 0 0 0 0 0 veritat, a partir de la qual i d’una manera molt senzilla s’analitzen 0 1 1 0 0 1 1 tots els estats possibles de les variables d’entrada i de l’estat de 1 0 1 0 1 0 1 la variable de sortida. 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 Taula de 1 0 1 0 El nombre de combinacions possibles és de 2n, essent n el veritat de dues 1 1 0 0 nombre de variables d’entrada. variables 1 1 1 1 d’entrada Taula de Exemple: si funció té dues variables d’entrada, seran 22 = 4 S =a+b veritat de si hi ha tres variables d’entrada, el nombre de tres variables combinacions és de 23 = 8 d’entrada S= a+b+c Cristina Rodon Balmaña 16/29 Departament de Tecnologia
  • 17. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Forma canònica d’una funció lògica A partir de qualsevol taula de veritat podem obtenir l’equació d’una funció booleana anomenades CANÒNIQUES. a b c F La forma CANÒNICA vol dir que qualsevol terme de l’equació haurà de tenir totes les variables. 0 0 0 0 Exemple: F: a.b+a.b+ab 0 0 1 1 MINTERNS : tots els termes són canònics i estan sumats entre ells. 0 1 0 1 Cada terme està multiplicat entre ells. 0 1 1 0 Donada una taula de veritat seleccionarem tots els termes de sortida dels 1 0 0 1 quals valgui 1. Perquè les diferents sortides valguin 1 és necessari que 1 0 1 0 Dos tipus de totes les variables que intervinguin en el producte siguin 1, per tant 1 1 0 0 CANÒNIQUES haurem de negar aquelles que valguin 0. 1 1 1 1 F= a . b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c Taula de veritat de MAXTERNS: tots els termes són canònics i estan multiplicats entre tres ells. Les variables que componen cada terme estan sumades entre elles. variables d’entrada Donada una taula de veritat seleccionarem tots els termes que donin a la funció el valor 0. Les variables hauran de ser negades quan el valor lògic sigui 1. F= (a + b + c) . (a + b + c) . (a + b + c) .( a + b + c) Cristina Rodon Balmaña 17/29 Departament de Tecnologia
  • 18. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Mètodes de simplificació d’una funció lògica Simplificar una funció lògica es trobar-ne una altre equivalent amb la qual hi hagi el nombre menor de termes amb el nombre menor de variables possibles. Aplicació de les LLEIS BOOLEANES: es basa en l’aplicació de tot el conjunt de propietats postulats i teoremes de àlgebra de Boole. Té dificultats en la seva aplicació ja que no existeix cap regla específica i per tan cal un extraordinari domini d’aquests coneixements. Dos tipus de SIMPLIFICACIÓ Mètodes tabulars: MAPES KARNAUGH (funcions 5 variables màxim). N'existeixen d’altres, ex. Taules Quine McCluskey Cristina Rodon Balmaña 18/29 Departament de Tecnologia
  • 19. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Mètode Karnaugh Qualsevol funció que s’hagi de simplificar mitjançant aquest mètode tabular haurà d’estar en forma CANÒNICA vol a b c F dir que qualsevol terme de l’equació haurà de tenir totes les variables. 0 0 0 0 Segons el nombre de variables (2n) hi haurà diferents mapes, tal com es mostra a continuació: bc cd 0 0 1 0 00 01 11 10 00 01 11 10 a ab 0 1 0 0 0 00 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 11 1 0 1 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 Exemple: 1. Una vegada dibuixat el mapa de Karnaugh s’ha d'omplir: El procediment consisteix n posar un 1 F= a . b. c + a. b. c + a. b. c en el quadre corresponent a les combinacions d’entrada de la forma canònica que donin 1. 2. Una vegada completat el mapa hem de fer agrupacions. Al ser dins el sistema binari questes només bc 00 01 11 10 a podran ser de 2n quadrícules (1, 2, 4, 8,...) i sempre hauran de ser el més gran possible. 0 En el nostre cas podem fer 2 agrupacions de 2 variables en cadascuna 3. En cada agrupació mirem els valors de les variables d’entrada: 1 1 1 1 a) Si el valor de la variable és el mateix en tota l’agrupació, aquesta formarà part de l’expressió simplificada, bc 00 01 11 10 a sent negada si el valor és 0 i sense negar si és 1. 0 b) Si el valor d’una variable d’entrada varia dins de l’agrupació l’eliminarem, ja que la sortida no depèn del valor d’aquesta variable. 1 1 1 1 En el nostre cas F= b .c + a. c Cristina Rodon Balmaña 19/29 Departament de Tecnologia
  • 20. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Funcions i portes lògiques Els sistemes digitals per dur a terme la seva tasca fan servir les funcions lògiques, i per obtenir una funció lògica es necessiten uns dispositius que són els encarregats de processar o tractar els senyals binaris d’entrada amb operacions lògiques per generar el corresponent senyal de sortida. Els dispositius que efectuen directament les diferents funcions o operacions lògiques s’anomenen portes lògiques. Diagrama de blocs d’una funció lògica Es pot simular el funcionament d’una porta lògica amb un circuit elèctric anomenat circuit elèctric equivalent. Cristina Rodon Balmaña 20/29 Departament de Tecnologia
  • 21. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Funció NO Amb el circuit lògic que realitza la funció NO (també anomenada inversió, negació o complement) s’obté a la sortida l’estat invers de la variable d’entrada. Es representa amb el símbol – damunt de la variable. Així: a=0 a =1 a =1 a=0 Si i si F =a És una funció lògica d’una sola variable d’entrada i té l’expressió lògica, que es llegeix: F igual a no a . El dispositiu que du a terme aquesta funció és la porta NO (NOT) o porta inversora. La funció NO dóna com a sortida l’estat invers de l’entrada. Esquema elèctric equivalent Cristina Rodon Balmaña 21/29 Departament de Tecnologia
  • 22. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Funció O (OR) La funció O o suma lògica té dues o més variables d’entrada i es representa amb el símbol +. Una funció de dues variables d’entrada té l’expressió lògica S = a + b , i es llegeix: S és igual a més b. El dispositiu que du a terme la suma lògica és la porta O (OR). La funció O dóna 1 a la sortida quan almenys una de les variables d’entrada val 1. a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Esquema elèctric equivalent Cristina Rodon Balmaña 22/29 Departament de Tecnologia
  • 23. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Funció I (AND) La funció I o producte és una funció de dues o més variables d’entrada i es representa amb el símbol ·. Una funció I de dues entrades té l’expressió lògica P = a · b i es llegeix: P és igual a per b. El component que du a terme el producte lògic és la porta I (AND). La funció I dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada valen 1. a b S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Esquema elèctric equivalent Cristina Rodon Balmaña 23/29 Departament de Tecnologia
  • 24. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Funció NO-O (NOR) És la negació de la suma lògica o funció O. Primer realitza la suma lògica i després la nega. Una funció NO-O de dues variables té l’expressió lògica S = a + b i es llegeix: S és igual a la negació d’a més b. El component que du a terme la suma lògica negada és la porta NO-O (NOR). La funció NO-O dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada valen 0. a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Esquema elèctric equivalent Cristina Rodon Balmaña 24/29 Departament de Tecnologia
  • 25. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Funció NO-I (NAND) La funció NO-I és la negació del producte lògic o funció I. Primer realitza el producte lògic i després la negació. Una funció NO-I de dues entrades té l’expressió lògica P = a · b i es llegeix: P és igual a la negació d’a per b. L’operador que du a terme el producte negat és la porta NO-I (NAND). La funció NO-I dóna 1 a la sortida quan almenys una de les entrades val 0. a b P 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Esquema elèctric equivalent Cristina Rodon Balmaña 25/29 Departament de Tecnologia
  • 26. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Funcions i portes lògiques Circuits lògics Taules de veritat Taules de veritat Tecnologia de les portes lògiques Els circuits lògics digitals poden estar construïts amb tecnologia elèctrica, pneumàtica o electrònica. En els automatismes elèctrics s’implementen les funcions lògiques amb interruptors, polsadors, commutadors, relés, contactors, etc. De fet, ja hem vist el circuit elèctric equivalent de cada funció lògica. En pneumàtica i oleohidràulica també es fan servir molt les portes lògiques per resoldre circuits automàtics que han de funcionar amb aquestes tècniques. Amb tot, l’electrònica és la tecnologia que fa servir més portes lògiques per elaborar circuits lògics digitals, sobretot perquè permet fabricar portes de petites dimensions. Normalment, es fabriquen en circuits integrats formats principalment per transistors. La indústria electrònica fabrica xips que apleguen diverses portes lògiques (normalment quatre), totes iguals, que són les anomenades portes integrades. Cristina Rodon Balmaña 26/29 Departament de Tecnologia
  • 27. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuitslògics Circuits lògics Taules de veritat Circuits lògics Esquemes de circuits lògics La representació gràfica d’un circuit digital utilitzant els símbols de les portes lògiques s’anomena logigrama, o simplement esquema del circuit lògic. Per obtenir el logigrama d’una funció lògica a partir de la seva expressió booleana només cal utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que es vol efectuar. Per exemple, per representar gràficament la funció F = a · (b + c ) primer es resolen els parèntesis, després els productes i finalment les sumes. Cristina Rodon Balmaña 27/29 Departament de Tecnologia
  • 28. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuitslògics Circuits lògics Taules de veritat Obtenció d’una funció lògica a partir d’un logigrama Per obtenir la funció lògica a partir de l’esquema del circuit e s parteix de les variables d’entrada i s’escriu a la sortida de cada porta la funció que realitza. Les sortides de les portes es tracten com a entrades de les portes a les quals estan connectades, i així successivament fins a arribar al final del circuit, en què obtindrem l’expressió booleana o equació que defineix la funció lògica del circuit. Cristina Rodon Balmaña 28/29 Departament de Tecnologia
  • 29. UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuitslògics Circuits lògics Taules de veritat Obtenció i implementació d’una funció lògica a partir de la taula de veritat Quan ja tenim la funció simplificada, només cal utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que es vol fer. Exemple: per implementar el circuit de la funció F F = a b + b només necessitarem 2 portes inversores, 1 porta I i una porta O de dues entrades. a b F 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Cristina Rodon Balmaña 29/29 Departament de Tecnologia