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Departamento de Ciencias
MATEMÁTICA BÁSICA
PARA INGENIERÍA
SESIÓN 3: La Recta. Ecuaciones de la recta en R2
INTRODUCCIÓN
¿Qué es lo común que puedes apreciar en cada figura?
SABERES PREVIOS
Enlace:https://quizizz.com/admin/quiz/64b821362266f5001dae01b0?source=quiz_share
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
reconoce e interpreta los distintos
tipos de ecuaciones de la recta en R2 ,
y grafica la recta utilizando las
propiedades de vectores en el R2 de
forma precisa en base al análisis y
síntesis que todo estudiante de
ingeniería debe de poseer.
Contenidos
Ecuaciones de la recta en R2
Relaciones entre dos rectas: paralelismo y perpendicularidad.
Ángulo entre rectas.
Distancia entre un punto y una recta.
Ecuaciones de la recta en R2
En la figura, consideremos la recta L que pasa
por un punto 𝑃0 ( x0 , y0 ) y que tiene un vector
dirección 𝒗 = (a, b). L contiene el punto P (x, y)
para los que el vector 𝑃0 P es múltiplo escalar del
vector v, de modo que: 𝑃0 P = tv, donde t es un
escalar (número real).
Ecuación Vectorial
Ecuaciones Paramétricas
Ecuación Simétrica
L: 𝑃 = {𝑃0+𝑡 Ԧ
𝑣 / t ∈ ℛ}
L:
𝑥−𝑥0
𝑎
=
𝑦−𝑦0
𝑏
𝐿: ቊ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏
; 𝑡 ∈ ℛ
Ecuación vectorial de la recta
Gráficamente:
Sea 𝐿 la recta que pasa por 𝑃0 y contiene al vector 𝑣 , su ecuación vectorial
es:
L: 𝑃 = {𝑃0+𝑡 Ԧ
𝑣 / t ∈ ℛ}
𝑃 = 𝑥, 𝑦 , 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0 , Ԧ
𝑣 = 𝑎, 𝑏
Sea:
L: (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡(𝑎, 𝑏) ; t ∈ ℛ
Entonces:
Ecuación paramétrica de la recta
De La ecuación anterior podemos despejar la ecuación paramétrica de la
recta :
L: (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡(𝑎, 𝑏)
𝐿: ቊ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏
; 𝑡 ∈ ℛ
Y se obtiene:
L: (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + (𝑡𝑎, 𝑡𝑏)
L: (𝑥, 𝑦) = (𝑥0 + 𝑡𝑎 , 𝑦0 + 𝑡𝑏)
Ecuación simétrica(continua) de la recta
De la ecuación paramétrica despejaremos el parámetro t de cada una de las
ecuaciones :
𝐿: ቊ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏
𝑦 − 𝑦0
𝑏
= t
𝑥 − 𝑥0
𝑎
= 𝑡
L:
𝑥−𝑥0
𝑎
=
𝑦−𝑦0
𝑏
= t
Se obtiene
Ecuaciones de la recta en R2
EJEMPLO 1: Halle las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta L
que pasa por los puntos P(-2, 4) y el Q( 4, -4)
Solución:
Ecuación Vectorial de la recta
Ecuación Paramétrica de la recta
Ecuaciones simétricas de la recta
Ecuaciones de la recta en R2
EJEMPLO 2: Halle la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica para la recta L que
pasa por los puntos (2, 2) y (-3,-1)
Solución:
Ecuación normal y cartesiana de la recta
Se dice que una recta L: 𝑃 = {𝑃0+𝑡 Ԧ
𝑣 / t ∈ ℛ} y un vector 𝑁 no nulo, son
ortogonales si es que Ԧ
𝑣 y 𝑁 son ortogonales.
A cualquier vector 𝑁 no nulo, ortogonal a L se le llama vector normal a L.
Entonces la recta que pasa por 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0) cuyo vector normal es 𝑁 = (a , b)
, tiene como ecuación normal:
𝑃0(𝑥0, 𝑦0)
P ∈ L⇔ 𝑃 − 𝑃0 . 𝑁 = 0
Ahora reemplazando sus componentes:
𝑥, 𝑦 − 𝑥0, 𝑦0 . 𝑎, 𝑏 = 0
Al multiplicar y simplificar los términos, llegamos a la
ecuación cartesiana o general de la recta:
𝑁
L
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
Ecuaciones de la recta en R2
EJEMPLO 3: Halle la ecuación normal y general de la recta L que pasa por los puntos
(-2, 7) y (1,-5)
Solución:
Ecuación Normal de la recta
Ecuación General de la Recta
Posiciones relativas entre 2 rectas en R2
Sean 𝐿1 : 𝑃 = 𝑃0+ 𝑡 Ԧ
𝑎 ,𝑡 ∈ 𝑅 y 𝐿2: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑠𝑏, 𝑠 ∈ 𝑅 dos rectas en 𝑅 2 . Se presentan las siguientes
posiciones relativas:
RECTAS PARALELAS
RECTAS PERPENDICULARES
𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐿1 𝑦 𝐿2 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 (𝐿1 // 𝐿2)
Si y solo si los vectores direccionales
Ԧ
𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠
𝐿1 𝐿2
Ԧ
𝑎
𝑏
𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐿1 𝑦 𝐿2 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 (𝐿1 ⏊ 𝐿2)
Si y solo si los vectores direccionales
Ԧ
𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝐿1
Ԧ
𝑎
𝐿2
𝑏
Angulo entre rectas
El ángulo entre dos rectas que se cortan en el plano cartesiano se puede calcular mediante dos formas:
usando sus pendientes o a partir de sus vectores directores.
En el plano, existen cuatro tipos de rectas según el ángulo que forman entre ellas: rectas secantes
(entre 0º y 90º), rectas perpendiculares (90º), rectas paralelas (0º) y rectas coincidentes (0º).
Método de los vectores directores de las rectas
r: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 = 0
s: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 = 0
𝞪= arcos(
𝑣1.𝑣2
∥𝑣1 ∥ .∥𝑣2 ∥
)
Donde los vectores directores son:
𝑣1: −𝑏1, 𝑎1
𝑣2: (−𝑏2, 𝑎2)
Dadas dos ecuaciones generales de la recta :
Entonces el ángulo entre las dos rectas esta dado por:
Método de los vectores directores de las rectas
EJEMPLO 1: Calcula el ángulo que hay entre las dos rectas:
s: 2𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0 ; 𝑟: ቊ
𝑥 = 2 − 3𝑡
𝑦 = 1 + 4𝑡
Solución:
Método de los pendientes de las rectas
r: 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1
s: 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2
𝑡𝑔𝜃= (
𝑚1.𝑚2
1+𝑚1.𝑚2
)
Dadas dos rectas distintas :
Donde : 𝑚1, 𝑚2 son las pendientes de las rectas dadas
Entonces el ángulo entre las dos rectas esta dado por:
𝜃= arc tg(
𝑚1.𝑚2
1+𝑚1.𝑚2
)
Donde : 𝑚1 y 𝑚2 son las pendientes de las rectas r y s respectivamente
Método de los pendientes de las rectas
EJEMPLO 2: Halla el ángulo que forman las siguientes dos rectas: 𝑦 = 4𝑥 − 2 ; 𝑦 = −3𝑥 + 1
Solución:
Distancia de un punto a una recta en R2
𝑃0
𝑄
𝜃
𝐿
Ԧ
𝑣
La distancia mínima de un punto a una recta es la longitud del segmento
perpendicular a la recta trazado a partir de un punto exterior 𝑄 .
Sabiendo las coordenadas del punto P (x0,y0) y
la ecuación general de la recta , la distancia se
obtiene por la fórmula:
𝑑(𝑄, 𝐿) =
𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶
𝐴2 + 𝐵2
Distancia de un punto a una recta en R2
EJEMPLO 1: Calcule la distancia entre el punto M( 2, 1) y la recta: 𝑦 =
12
5
𝑥 + 4
Solución:
TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Ingrese a la sala de grupos
reducidos asignada.
2. Desarrolle las actividades
asignadas
3. Presente su desarrollo en
el Padlet del curso.
METACOGNICIÓN
¿Qué hemos aprendido en esta
sesión?
¿Qué dificultades se
presentaron? ¿Cómo se absolvieron las dificultades
encontradas?
¿Qué tipos de problemas
se pueden resolver
mediante esta teoría?
REFERENCIAS
N° CÓDIGO AUTOR TITULO
EDITORI
AL
AÑO
1
516.3
OROZ
OROZCO
MAYREN,
GILBERTO
Geometría Analítica:
Teoría y Aplicaciones
Trillas 2007
2
516.182
ESPI/E
ESPINOZA,
RAMOS
EDUARDO
Geometría Vectorial en R3 2004,
s.n.
2004
3
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Geometría Analítica
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GRACIAS
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PPT de Teoría sobre la recta . mate basica

  • 1. Departamento de Ciencias MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍA SESIÓN 3: La Recta. Ecuaciones de la recta en R2
  • 2. INTRODUCCIÓN ¿Qué es lo común que puedes apreciar en cada figura?
  • 4. LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante reconoce e interpreta los distintos tipos de ecuaciones de la recta en R2 , y grafica la recta utilizando las propiedades de vectores en el R2 de forma precisa en base al análisis y síntesis que todo estudiante de ingeniería debe de poseer.
  • 5. Contenidos Ecuaciones de la recta en R2 Relaciones entre dos rectas: paralelismo y perpendicularidad. Ángulo entre rectas. Distancia entre un punto y una recta.
  • 6. Ecuaciones de la recta en R2 En la figura, consideremos la recta L que pasa por un punto 𝑃0 ( x0 , y0 ) y que tiene un vector dirección 𝒗 = (a, b). L contiene el punto P (x, y) para los que el vector 𝑃0 P es múltiplo escalar del vector v, de modo que: 𝑃0 P = tv, donde t es un escalar (número real). Ecuación Vectorial Ecuaciones Paramétricas Ecuación Simétrica L: 𝑃 = {𝑃0+𝑡 Ԧ 𝑣 / t ∈ ℛ} L: 𝑥−𝑥0 𝑎 = 𝑦−𝑦0 𝑏 𝐿: ቊ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏 ; 𝑡 ∈ ℛ
  • 7. Ecuación vectorial de la recta Gráficamente: Sea 𝐿 la recta que pasa por 𝑃0 y contiene al vector 𝑣 , su ecuación vectorial es: L: 𝑃 = {𝑃0+𝑡 Ԧ 𝑣 / t ∈ ℛ} 𝑃 = 𝑥, 𝑦 , 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0 , Ԧ 𝑣 = 𝑎, 𝑏 Sea: L: (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡(𝑎, 𝑏) ; t ∈ ℛ Entonces:
  • 8. Ecuación paramétrica de la recta De La ecuación anterior podemos despejar la ecuación paramétrica de la recta : L: (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡(𝑎, 𝑏) 𝐿: ቊ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏 ; 𝑡 ∈ ℛ Y se obtiene: L: (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + (𝑡𝑎, 𝑡𝑏) L: (𝑥, 𝑦) = (𝑥0 + 𝑡𝑎 , 𝑦0 + 𝑡𝑏)
  • 9. Ecuación simétrica(continua) de la recta De la ecuación paramétrica despejaremos el parámetro t de cada una de las ecuaciones : 𝐿: ቊ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏 𝑦 − 𝑦0 𝑏 = t 𝑥 − 𝑥0 𝑎 = 𝑡 L: 𝑥−𝑥0 𝑎 = 𝑦−𝑦0 𝑏 = t Se obtiene
  • 10. Ecuaciones de la recta en R2 EJEMPLO 1: Halle las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los puntos P(-2, 4) y el Q( 4, -4) Solución: Ecuación Vectorial de la recta Ecuación Paramétrica de la recta Ecuaciones simétricas de la recta
  • 11. Ecuaciones de la recta en R2 EJEMPLO 2: Halle la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica para la recta L que pasa por los puntos (2, 2) y (-3,-1) Solución:
  • 12. Ecuación normal y cartesiana de la recta Se dice que una recta L: 𝑃 = {𝑃0+𝑡 Ԧ 𝑣 / t ∈ ℛ} y un vector 𝑁 no nulo, son ortogonales si es que Ԧ 𝑣 y 𝑁 son ortogonales. A cualquier vector 𝑁 no nulo, ortogonal a L se le llama vector normal a L. Entonces la recta que pasa por 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0) cuyo vector normal es 𝑁 = (a , b) , tiene como ecuación normal: 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) P ∈ L⇔ 𝑃 − 𝑃0 . 𝑁 = 0 Ahora reemplazando sus componentes: 𝑥, 𝑦 − 𝑥0, 𝑦0 . 𝑎, 𝑏 = 0 Al multiplicar y simplificar los términos, llegamos a la ecuación cartesiana o general de la recta: 𝑁 L 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
  • 13. Ecuaciones de la recta en R2 EJEMPLO 3: Halle la ecuación normal y general de la recta L que pasa por los puntos (-2, 7) y (1,-5) Solución: Ecuación Normal de la recta Ecuación General de la Recta
  • 14. Posiciones relativas entre 2 rectas en R2 Sean 𝐿1 : 𝑃 = 𝑃0+ 𝑡 Ԧ 𝑎 ,𝑡 ∈ 𝑅 y 𝐿2: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑠𝑏, 𝑠 ∈ 𝑅 dos rectas en 𝑅 2 . Se presentan las siguientes posiciones relativas: RECTAS PARALELAS RECTAS PERPENDICULARES 𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐿1 𝑦 𝐿2 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 (𝐿1 // 𝐿2) Si y solo si los vectores direccionales Ԧ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝐿1 𝐿2 Ԧ 𝑎 𝑏 𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐿1 𝑦 𝐿2 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 (𝐿1 ⏊ 𝐿2) Si y solo si los vectores direccionales Ԧ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝐿1 Ԧ 𝑎 𝐿2 𝑏
  • 15. Angulo entre rectas El ángulo entre dos rectas que se cortan en el plano cartesiano se puede calcular mediante dos formas: usando sus pendientes o a partir de sus vectores directores. En el plano, existen cuatro tipos de rectas según el ángulo que forman entre ellas: rectas secantes (entre 0º y 90º), rectas perpendiculares (90º), rectas paralelas (0º) y rectas coincidentes (0º).
  • 16. Método de los vectores directores de las rectas r: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 = 0 s: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 = 0 𝞪= arcos( 𝑣1.𝑣2 ∥𝑣1 ∥ .∥𝑣2 ∥ ) Donde los vectores directores son: 𝑣1: −𝑏1, 𝑎1 𝑣2: (−𝑏2, 𝑎2) Dadas dos ecuaciones generales de la recta : Entonces el ángulo entre las dos rectas esta dado por:
  • 17. Método de los vectores directores de las rectas EJEMPLO 1: Calcula el ángulo que hay entre las dos rectas: s: 2𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0 ; 𝑟: ቊ 𝑥 = 2 − 3𝑡 𝑦 = 1 + 4𝑡 Solución:
  • 18. Método de los pendientes de las rectas r: 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1 s: 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2 𝑡𝑔𝜃= ( 𝑚1.𝑚2 1+𝑚1.𝑚2 ) Dadas dos rectas distintas : Donde : 𝑚1, 𝑚2 son las pendientes de las rectas dadas Entonces el ángulo entre las dos rectas esta dado por: 𝜃= arc tg( 𝑚1.𝑚2 1+𝑚1.𝑚2 ) Donde : 𝑚1 y 𝑚2 son las pendientes de las rectas r y s respectivamente
  • 19. Método de los pendientes de las rectas EJEMPLO 2: Halla el ángulo que forman las siguientes dos rectas: 𝑦 = 4𝑥 − 2 ; 𝑦 = −3𝑥 + 1 Solución:
  • 20. Distancia de un punto a una recta en R2 𝑃0 𝑄 𝜃 𝐿 Ԧ 𝑣 La distancia mínima de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado a partir de un punto exterior 𝑄 . Sabiendo las coordenadas del punto P (x0,y0) y la ecuación general de la recta , la distancia se obtiene por la fórmula: 𝑑(𝑄, 𝐿) = 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶 𝐴2 + 𝐵2
  • 21. Distancia de un punto a una recta en R2 EJEMPLO 1: Calcule la distancia entre el punto M( 2, 1) y la recta: 𝑦 = 12 5 𝑥 + 4 Solución:
  • 22. TRABAJO EN EQUIPO Instrucciones 1. Ingrese a la sala de grupos reducidos asignada. 2. Desarrolle las actividades asignadas 3. Presente su desarrollo en el Padlet del curso.
  • 23. METACOGNICIÓN ¿Qué hemos aprendido en esta sesión? ¿Qué dificultades se presentaron? ¿Cómo se absolvieron las dificultades encontradas? ¿Qué tipos de problemas se pueden resolver mediante esta teoría?
  • 24. REFERENCIAS N° CÓDIGO AUTOR TITULO EDITORI AL AÑO 1 516.3 OROZ OROZCO MAYREN, GILBERTO Geometría Analítica: Teoría y Aplicaciones Trillas 2007 2 516.182 ESPI/E ESPINOZA, RAMOS EDUARDO Geometría Vectorial en R3 2004, s.n. 2004 3 516.32 ESPI ESPINOZA RAMOS, EDUARDO Geometría Analítica Plana : Teórico-Práctico S.n 2007