SlideShare a Scribd company logo
Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման
գնահատականներ
Հանդիպում 3՝ Կատոնիի գնահատականի կիրառությունը
Ավետիք Կարագուլյան
Դեկտեմբերի 1, 2021
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 1 / 24
Սեմինարների մասին
Կանենք 5-6 սեմինար։
Չորեքշաբթի օրերին, երեկոյան ժամը 7-ին։
Ցանկացած պահի կարող եք հարց տալ կամ դիտողություն
անել:
Սեմինարները կտեսագրվեն, վիդեոները և սլայդները
կտեղադրենք mlevn.org-ում։
Հայտարարությունները կանենք ML reading group Yerevan
խմբում՝ https://groups.google.com/g/ml-reading-group-yerevan
Տերմինների հայերեն թարգմանության մասին
քննարկումները այստեղ՝ https://ml-hye.talkyard.net :
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 2 / 24
Նախորդ սեմինարին…
Դոնսկեր֊Վարադհանի վարիացիոն բանաձևի օգնությամբ
ապացուցեցինք Կատոնիի գնահատականը։
Թեորեմ (Կատոնի)
Կամայական λ > 0 և δ ∈ (0, 1) համար
PS

∀ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ∥π) + log 1
δ
λ

≥ 1 − δ :
Այսօր կօգտագործենք այս արդյունքը կոնկրետ խնդիրներում։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 3 / 24
Հիշեցում․ Կատոնիի գնահատականը Գիբբսի
բաշխման համար
Օգտագործելով Դոնսկեռ-Վարադհանի բանաձևը Կատոնիի
գնահատականի աջ մասը կարելի է մինիմիզացնել ըստ ρ֊ի։ Այդ
մինիմումի կետը Գիբբսի բաշխումն է, որը սահմանված է ստորև․
b
ρλ(S)(dθ) =
e−λr(θ)
π(dθ)
Eν∼π[e−λr(ν)]
կամ b
ρλ(S)(dθ) ∝ e−λr(θ)
π(dθ) :
Հետևաբար Կատոնիի գնահատականը p̂λ Գիբսի բաշխման
կարելի է գրել որպես
PS

Eθ∼b
ρλ
[R(θ)] ≤ inf
ρ∈P(Θ)
h
Eθ∼ρ[r(θ)] +
λ
8n
+
KL(ρ||π) + log 1
δ
λ
i
≥ 1 − δ :
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 4 / 24
Այսօր
Կուսումնասիրենք Կատոնիի գնահատականի
կիրառությունները/ընդհանրացումները։ Մասնավորապես՝
Ինչպե՞ս ընտրել լյամբդան,
Կատոնին և միջինացված կանխատեսիչի ռիսկը,
Կատոնին և հետին բաշխման նմուշը,
Կատոնին և մոդելների ընտրումը։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 5 / 24
Լյամբդայի ընտրություն
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 6 / 24
Լյամբդայի ընտրություն
Դիտարկենք կոնկրետ ուսուցման ալգորիթմ՝ ρ̂(S): Ըստ
Կատոնիի թեորեմի կամայական λ  0 և δ ∈ (0, 1) թվերի համար
PS

Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂∥π) + log 1
δ
λ

≥ 1 − δ :
Աջ մասը մինիմիզացնող ֆիքսված λ թիվ գոյություն չունի,
քանի որ օպտիմալ λ-ն կախված է KL (ρ̂∥π)-ից, որն իր հերթին
կախված է տվյալներից (S-ից)։
Հարց է առաջանում, թե ինչպես ընտրել λ-ն տվյալներից
անկախ։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 7 / 24
Վերջավոր ենթաբազմության դեպքը
Վերցնենք նախօրոք ընտրված Λ ⊂ (0, +∞) վերջավոր
բազմություն։ Յուրաքանչյուր λ ∈ Λ և δ/|Λ| թվի համար գրենք
Կատոնիի գնահատականը՝
PS

Eθ∼ρ̂[R(θ)]  Eθ∼ρ̂[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂∥π) + log |Λ|
δ
λ

≤
δ
|Λ|
:
Այժմ օգտագործենք պատահույթների միավորման
անհավասարությունը (union bound)՝
PS

∃λ ∈ Λ, Eθ∼ρ̂[R(θ)]  Eθ∼ρ̂[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂∥π) + log |Λ|
δ
λ

≤ δ :
Սա նույնն է ինչ՝
PS

∀λ ∈ Λ, Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂∥π) + log |Λ|
δ
λ

≥ 1 − δ :
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 8 / 24
Վերջավոր դեպքը
Հետևաբար՝
PS

Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ inf
λ∈Λ
n
Eθ∼ρ̂[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂∥π) + log |Λ|
δ
λ
o
≥ 1 − δ :
Մասնավորապես՝ եթե ընտրենք Λ = {1, 2, . . . , n}, կստանանք որ
PS

Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ inf
λ∈{1,2,...,n}
n
Eθ∼ρ̂[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂∥π) + log n
δ
λ
o
≥ 1 − δ :
Ավելին՝ կարող ենք գրել որ
PS

Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ inf
λ∈[1,n]
n
Eθ∼ρ̂[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂∥π) + log n
δ
λ − 1
o
≥ 1 − δ :
Հնարավոր է բարելավել այս գնահատականը
Λ = {ek
| k ∈ {1, . . . , log(n)}} ընտրելով։
Կան նաև այլ գնահատականներ (Մակալեստր), որոնք չեն
պարունակում λ պարամետրը։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 9 / 24
Հիշեցում՝ Պակ-Բայեսյան
գնահատականների երեք տեսակները
1. Միջին ռիսկ՝ Eθ∼ρ̂[R(θ)]:
2. Միջինացված կանխատեսիչի ռիսկ՝ R(fρ̂), որտեղ
fρ̂(·) = Eθ∼ρ̂ [fθ(·)]: (համադրում)
3. Պատահական կանխատեսիչի ռիսկ՝ R(θ̃), որտեղ θ̃ ∼ ρ̂:
(նմուշահանում)
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 10 / 24
Պակ֊Բայեսյան գնահատական
միջինացված կանխատեսիչի
(aggregated predictor) համար
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 11 / 24
Միջինացված կանխատեսիչ
Ենթադրենք, որ u ↣ l(u, y) կորստի ֆունկցիան ուռուցիկ է
կամայական ֆիքսած y ∈ Y֊ի համար։
Դիցուք որևէ ալգորիթմի օգնությամբ ստացել ենք
տվյալներից կախված ρ̂ բաշխումը Θ֊ի վրա։
Միջինացված կանխատեսիչը (aggregated predictor)
կսահմանենք հետևյալ կերպ՝
f̂ρ̂(·) = Eθ∼ρ̂ [ fθ(·)] : (1)
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 12 / 24
Պակ֊Բայեսյան գնահատականը
Քանի որ կորստի ֆունկցիան ուռուցիկ է, ապա ուռուցիկ է նաև
R(h)֊ը որպես ֆունկցիա h-ից։ Ուրեմն, ըստ Յենսենի
անհավասարության՝ կամայական ρ ∈ P(Θ) ունենք, որ
Eθ∼ρ [R (fθ)] ≥ R (Eθ∼ρ [fθ]) : (2)
Պնդում
Եթե u ↣ l(u, y) կորստի ֆունկցիան ուռուցիկ է կամայական
ֆիքսած y ∈ Y֊ի համար, կամայական λ  0 և ε ∈ (0, 1) թվերի
համար Գիբբսի բաշխումով միջինացված կանխատեսիչը
բավարարում է հետևյալ անհավասարությանը․
PS

R

f̂ρ̂λ

≤ inf
ρ∈P(Θ)

Eθ∼ρ[r(θ)] +
λ
8n
+
KL(ρ∥π) + log 1
ε
λ

≥ 1 − ε :
Ապացույցը հետևում է (2) և Կատոնիի գնահատականից Գիբբսի
բաշխման համար։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 13 / 24
Պակ֊Բայեսյան գնահատական
հետին բաշխման (posterior
distribution) նմուշի համար
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 14 / 24
Հետին բաշխման նմուշ
Ունենք ρ̃n հավանականային բաշխում, որը կախված է
տվյալներից։
Գեներացնենք նմուշ այս բաշխումից՝ θ̃ ∼ ρ̃n:
Թեորեմ
Կամայական λ  0 և ε ∈ (0, 1) տեղի ունի հետևյալը՝
PSPθ̃∼ρ̃ R(θ̃) ≤ r(θ̃) +
λC2
8n
+
log dρ̃
dπ (θ̃) + log 1
ε
λ
!
≥ 1 − ε : (3)
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 15 / 24
Թեորեմի սեղմված ապացույցը (1/2)
Օգտվելով Կատոնիի գնահատականի ապացույցի առաջին
քայլերից՝
ESEθ∼π
h
eλ[R(θ)−r(θ)]
i
≤ e
λ2
8n (4)
Մյուս կողմից, կամայական դրական h ֆունկցիայի համար՝
Eθ∼π[h(θ)] =
Z
h(θ)π(dθ) ≥
Z
{ dρ̃
dπ (θ)0}
h(θ)π(dθ)
=
Z
{ dρ̃
dπ (θ)0}
h(θ)
dπ
dρ̃
(θ)ρ̃(dθ) = Eθ∼ρ̃
h
h(θ)e− log dρ̃
dπ (θ)
i
:
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 16 / 24
Թեորեմի սեղմված ապացույցը (2/2)
h֊ի փոխարեն տեղադրելով exp(λ(R(θ) − r(θ))) ու օգտվելով (4)֊ից
ESEθ∼ρ̃
h
eλ[R(θ)−r(θ)]−log dρ̃
dπ (θ)
i
≤ e
λ2
8n : (5)
Ստացանք վերևից գնահատական մոմենտ գեներացնող
ֆունկցիայի համար։ Ուրեմն՝ կիրառելով Չեռնոֆի
անհավասարությունը կարող ենք դուրս բերել թեորեմի պնդումը։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 17 / 24
Մոդելների ընտրում / Model Selection
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 18 / 24
Մոդելների ընտրում
Ունենք կանխատեսիչների բազմություններ՝ Θ1, Θ2, . . . , ΘM և
նրանցով տրված ուսուցման ալգորթիմներ ρ̂1, . . . , ρ̂M.
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 19 / 24
Մոդելների ընտրում
Ունենք կանխատեսիչների բազմություններ՝ Θ1, Θ2, . . . , ΘM և
նրանցով տրված ուսուցման ալգորթիմներ ρ̂1, . . . , ρ̂M.
Հարց է առաջանում թե տրված S-ի համար որ ալգորիթմը
պետք է օգտագործել։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 19 / 24
Մոդելների ընտրում
Ունենք կանխատեսիչների բազմություններ՝ Θ1, Θ2, . . . , ΘM և
նրանցով տրված ուսուցման ալգորթիմներ ρ̂1, . . . , ρ̂M.
Հարց է առաջանում թե տրված S-ի համար որ ալգորիթմը
պետք է օգտագործել։
Պարզության համար ենթադրենք որ Θi
T
Θj = ∅, եթե i ̸= j և
սահմանենք Θ :=
SM
j=1 Θj։
Դիցուք ունենք Պակ-Բայեսյան գնահատականներ
համապատասխան πj ∈ P(Θj) նախնական (prior)
բաշխումներով։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 19 / 24
Մոդելների ընտրում
Ունենք կանխատեսիչների բազմություններ՝ Θ1, Θ2, . . . , ΘM և
նրանցով տրված ուսուցման ալգորթիմներ ρ̂1, . . . , ρ̂M.
Հարց է առաջանում թե տրված S-ի համար որ ալգորիթմը
պետք է օգտագործել։
Պարզության համար ենթադրենք որ Θi
T
Θj = ∅, եթե i ̸= j և
սահմանենք Θ :=
SM
j=1 Θj։
Դիցուք ունենք Պակ-Բայեսյան գնահատականներ
համապատասխան πj ∈ P(Θj) նախնական (prior)
բաշխումներով։
Այժմ՝ π1, . . . , πM֊ի միջոցով կարող ենք սահմանել նախնական
բաշխում Θ֊ի վրա․
π =
M
X
j=1
p(j)πj, (6)
որտեղ
P
j p(j) = 1: Օրինակ՝ կարող ենք վերցնել p(j) = 1/M։
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 19 / 24
Կատոնին և մոդելների ընտրումը
Դիտարկենք P′
(Θ) =
S
j P(Θj) : Ունենք որ P′
(Θ) ⊆ P(Θ):
Կիրառենք Կատոնիի գնահատականը Θ֊ի, π նախնականի և
P′
(Θ)֊ի դեպքում՝
PS

∀j ∈ {1, . . . , M},∀ρ ∈ P Θj

, Eθ∼ρ[R(θ)]
≤ Eθ∼ρ[r(θ)] +
λ
8n
+
KL(ρ∥π) + log 1
ε
λ

≥ 1 − ε :
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 20 / 24
Արտահայտությունների պարզեցում
Ֆիքսենք j ինդեքսը ու ենթադրենք ρ ∈ P(Θj): Այդ դեպքում՝
supp(ρ) ⊂ Θj: Հետևաբար՝
Z
Θ
log
 dρ
dπ
(θ)

ρ(dθ) =
Z
Θj
log
 dρ
dπ
(θ)

ρ(dθ)
=
Z
Θj
log
 dρ
p(j)dπj
(θ)

ρ(dθ)
=
Z
Θj

log

1
pj

+ log
 dρ
dπj
(θ)

ρ(dθ)
= log

1
pj

+ KL ρ∥πj

:
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 21 / 24
Մոդելի ընրում
Այսպիսով՝ ունենք հետևյալ գնահատականը՝
PS
(
∀j ∈ {1, . . . , M}, ∀ρ ∈ P
(
Θj
)
,
Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ∥πj) + log(1/p(j)) + log 1
ε
λ
)
≥ 1 − ε :
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 22 / 24
Մոդելի ընրում
Այսպիսով՝ ունենք հետևյալ գնահատականը՝
PS
(
∀j ∈ {1, . . . , M}, ∀ρ ∈ P
(
Θj
)
,
Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ∥πj) + log(1/p(j)) + log 1
ε
λ
)
≥ 1 − ε :
Հետևաբար՝
PS
(
∀j ∈ {1, . . . , M},
Eθ∼ρ̂j
[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂j
[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂j∥πj) + log(1/p(j)) + log 1
ε
λ
)
≥ 1 − ε :
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 22 / 24
Մոդելի ընրում
Հետևաբար՝
PS
(
∀j ∈ {1, . . . , M},
Eθ∼ρ̂j
[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂j
[r(θ)] +
λ
8n
+
KL (ρ̂j∥πj) + log(1/p(j)) + log 1
ε
λ
)
≥ 1 − ε :
Այժմ փորձենք մինիմիզացնել անհավասարության աջ մասը j-ի։
ĵ = argmin
1≤j≤M
{
Eθ∼ρ̂j
[r(θ)] +
KL (ρ̂j∥πj) + log 1
p(j)
λ
}
: (7)
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 22 / 24
PAC֊Բայեսյան գնահատական մոդելների
ընտրության խնդրում
Ամփոփելով՝
PS

Eθ∼ρ̂ĵ
[R(θ)] ≤ min
j
Eθ∼ρ̂j
[r(θ)] +
KL ρ̂j∥πj

+ log 1
p(j) + log 1
ε
λ

≥ 1 − ε :
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 23 / 24
Վերջին սլայդ
Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 24 / 24

More Related Content

Featured

AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfAI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
marketingartwork
 
Skeleton Culture Code
Skeleton Culture CodeSkeleton Culture Code
Skeleton Culture Code
Skeleton Technologies
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
Neil Kimberley
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
contently
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
Albert Qian
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Kurio // The Social Media Age(ncy)
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Search Engine Journal
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
SpeakerHub
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
Tessa Mero
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Lily Ray
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
Rajiv Jayarajah, MAppComm, ACC
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
Christy Abraham Joy
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity -  Best PracticesTime Management & Productivity -  Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
Vit Horky
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
MindGenius
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
RachelPearson36
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Applitools
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
GetSmarter
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
Alireza Esmikhani
 
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike RoutesMore than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
Project for Public Spaces & National Center for Biking and Walking
 

Featured (20)

AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfAI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
 
Skeleton Culture Code
Skeleton Culture CodeSkeleton Culture Code
Skeleton Culture Code
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity -  Best PracticesTime Management & Productivity -  Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
 
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike RoutesMore than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
 

PAC-Bayesian-generalization-bounds-seminar-3

  • 1. Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատականներ Հանդիպում 3՝ Կատոնիի գնահատականի կիրառությունը Ավետիք Կարագուլյան Դեկտեմբերի 1, 2021 Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 1 / 24
  • 2. Սեմինարների մասին Կանենք 5-6 սեմինար։ Չորեքշաբթի օրերին, երեկոյան ժամը 7-ին։ Ցանկացած պահի կարող եք հարց տալ կամ դիտողություն անել: Սեմինարները կտեսագրվեն, վիդեոները և սլայդները կտեղադրենք mlevn.org-ում։ Հայտարարությունները կանենք ML reading group Yerevan խմբում՝ https://groups.google.com/g/ml-reading-group-yerevan Տերմինների հայերեն թարգմանության մասին քննարկումները այստեղ՝ https://ml-hye.talkyard.net : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 2 / 24
  • 3. Նախորդ սեմինարին… Դոնսկեր֊Վարադհանի վարիացիոն բանաձևի օգնությամբ ապացուցեցինք Կատոնիի գնահատականը։ Թեորեմ (Կատոնի) Կամայական λ > 0 և δ ∈ (0, 1) համար PS ∀ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ∥π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : Այսօր կօգտագործենք այս արդյունքը կոնկրետ խնդիրներում։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 3 / 24
  • 4. Հիշեցում․ Կատոնիի գնահատականը Գիբբսի բաշխման համար Օգտագործելով Դոնսկեռ-Վարադհանի բանաձևը Կատոնիի գնահատականի աջ մասը կարելի է մինիմիզացնել ըստ ρ֊ի։ Այդ մինիմումի կետը Գիբբսի բաշխումն է, որը սահմանված է ստորև․ b ρλ(S)(dθ) = e−λr(θ) π(dθ) Eν∼π[e−λr(ν)] կամ b ρλ(S)(dθ) ∝ e−λr(θ) π(dθ) : Հետևաբար Կատոնիի գնահատականը p̂λ Գիբսի բաշխման կարելի է գրել որպես PS Eθ∼b ρλ [R(θ)] ≤ inf ρ∈P(Θ) h Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ||π) + log 1 δ λ i ≥ 1 − δ : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 4 / 24
  • 5. Այսօր Կուսումնասիրենք Կատոնիի գնահատականի կիրառությունները/ընդհանրացումները։ Մասնավորապես՝ Ինչպե՞ս ընտրել լյամբդան, Կատոնին և միջինացված կանխատեսիչի ռիսկը, Կատոնին և հետին բաշխման նմուշը, Կատոնին և մոդելների ընտրումը։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 5 / 24
  • 6. Լյամբդայի ընտրություն Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 6 / 24
  • 7. Լյամբդայի ընտրություն Դիտարկենք կոնկրետ ուսուցման ալգորիթմ՝ ρ̂(S): Ըստ Կատոնիի թեորեմի կամայական λ 0 և δ ∈ (0, 1) թվերի համար PS Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂∥π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : Աջ մասը մինիմիզացնող ֆիքսված λ թիվ գոյություն չունի, քանի որ օպտիմալ λ-ն կախված է KL (ρ̂∥π)-ից, որն իր հերթին կախված է տվյալներից (S-ից)։ Հարց է առաջանում, թե ինչպես ընտրել λ-ն տվյալներից անկախ։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 7 / 24
  • 8. Վերջավոր ենթաբազմության դեպքը Վերցնենք նախօրոք ընտրված Λ ⊂ (0, +∞) վերջավոր բազմություն։ Յուրաքանչյուր λ ∈ Λ և δ/|Λ| թվի համար գրենք Կատոնիի գնահատականը՝ PS Eθ∼ρ̂[R(θ)] Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂∥π) + log |Λ| δ λ ≤ δ |Λ| : Այժմ օգտագործենք պատահույթների միավորման անհավասարությունը (union bound)՝ PS ∃λ ∈ Λ, Eθ∼ρ̂[R(θ)] Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂∥π) + log |Λ| δ λ ≤ δ : Սա նույնն է ինչ՝ PS ∀λ ∈ Λ, Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂∥π) + log |Λ| δ λ ≥ 1 − δ : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 8 / 24
  • 9. Վերջավոր դեպքը Հետևաբար՝ PS Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ inf λ∈Λ n Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂∥π) + log |Λ| δ λ o ≥ 1 − δ : Մասնավորապես՝ եթե ընտրենք Λ = {1, 2, . . . , n}, կստանանք որ PS Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ inf λ∈{1,2,...,n} n Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂∥π) + log n δ λ o ≥ 1 − δ : Ավելին՝ կարող ենք գրել որ PS Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ inf λ∈[1,n] n Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂∥π) + log n δ λ − 1 o ≥ 1 − δ : Հնարավոր է բարելավել այս գնահատականը Λ = {ek | k ∈ {1, . . . , log(n)}} ընտրելով։ Կան նաև այլ գնահատականներ (Մակալեստր), որոնք չեն պարունակում λ պարամետրը։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 9 / 24
  • 10. Հիշեցում՝ Պակ-Բայեսյան գնահատականների երեք տեսակները 1. Միջին ռիսկ՝ Eθ∼ρ̂[R(θ)]: 2. Միջինացված կանխատեսիչի ռիսկ՝ R(fρ̂), որտեղ fρ̂(·) = Eθ∼ρ̂ [fθ(·)]: (համադրում) 3. Պատահական կանխատեսիչի ռիսկ՝ R(θ̃), որտեղ θ̃ ∼ ρ̂: (նմուշահանում) Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 10 / 24
  • 11. Պակ֊Բայեսյան գնահատական միջինացված կանխատեսիչի (aggregated predictor) համար Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 11 / 24
  • 12. Միջինացված կանխատեսիչ Ենթադրենք, որ u ↣ l(u, y) կորստի ֆունկցիան ուռուցիկ է կամայական ֆիքսած y ∈ Y֊ի համար։ Դիցուք որևէ ալգորիթմի օգնությամբ ստացել ենք տվյալներից կախված ρ̂ բաշխումը Θ֊ի վրա։ Միջինացված կանխատեսիչը (aggregated predictor) կսահմանենք հետևյալ կերպ՝ f̂ρ̂(·) = Eθ∼ρ̂ [ fθ(·)] : (1) Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 12 / 24
  • 13. Պակ֊Բայեսյան գնահատականը Քանի որ կորստի ֆունկցիան ուռուցիկ է, ապա ուռուցիկ է նաև R(h)֊ը որպես ֆունկցիա h-ից։ Ուրեմն, ըստ Յենսենի անհավասարության՝ կամայական ρ ∈ P(Θ) ունենք, որ Eθ∼ρ [R (fθ)] ≥ R (Eθ∼ρ [fθ]) : (2) Պնդում Եթե u ↣ l(u, y) կորստի ֆունկցիան ուռուցիկ է կամայական ֆիքսած y ∈ Y֊ի համար, կամայական λ 0 և ε ∈ (0, 1) թվերի համար Գիբբսի բաշխումով միջինացված կանխատեսիչը բավարարում է հետևյալ անհավասարությանը․ PS R f̂ρ̂λ ≤ inf ρ∈P(Θ) Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ∥π) + log 1 ε λ ≥ 1 − ε : Ապացույցը հետևում է (2) և Կատոնիի գնահատականից Գիբբսի բաշխման համար։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 13 / 24
  • 14. Պակ֊Բայեսյան գնահատական հետին բաշխման (posterior distribution) նմուշի համար Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 14 / 24
  • 15. Հետին բաշխման նմուշ Ունենք ρ̃n հավանականային բաշխում, որը կախված է տվյալներից։ Գեներացնենք նմուշ այս բաշխումից՝ θ̃ ∼ ρ̃n: Թեորեմ Կամայական λ 0 և ε ∈ (0, 1) տեղի ունի հետևյալը՝ PSPθ̃∼ρ̃ R(θ̃) ≤ r(θ̃) + λC2 8n + log dρ̃ dπ (θ̃) + log 1 ε λ ! ≥ 1 − ε : (3) Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 15 / 24
  • 16. Թեորեմի սեղմված ապացույցը (1/2) Օգտվելով Կատոնիի գնահատականի ապացույցի առաջին քայլերից՝ ESEθ∼π h eλ[R(θ)−r(θ)] i ≤ e λ2 8n (4) Մյուս կողմից, կամայական դրական h ֆունկցիայի համար՝ Eθ∼π[h(θ)] = Z h(θ)π(dθ) ≥ Z { dρ̃ dπ (θ)0} h(θ)π(dθ) = Z { dρ̃ dπ (θ)0} h(θ) dπ dρ̃ (θ)ρ̃(dθ) = Eθ∼ρ̃ h h(θ)e− log dρ̃ dπ (θ) i : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 16 / 24
  • 17. Թեորեմի սեղմված ապացույցը (2/2) h֊ի փոխարեն տեղադրելով exp(λ(R(θ) − r(θ))) ու օգտվելով (4)֊ից ESEθ∼ρ̃ h eλ[R(θ)−r(θ)]−log dρ̃ dπ (θ) i ≤ e λ2 8n : (5) Ստացանք վերևից գնահատական մոմենտ գեներացնող ֆունկցիայի համար։ Ուրեմն՝ կիրառելով Չեռնոֆի անհավասարությունը կարող ենք դուրս բերել թեորեմի պնդումը։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 17 / 24
  • 18. Մոդելների ընտրում / Model Selection Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 18 / 24
  • 19. Մոդելների ընտրում Ունենք կանխատեսիչների բազմություններ՝ Θ1, Θ2, . . . , ΘM և նրանցով տրված ուսուցման ալգորթիմներ ρ̂1, . . . , ρ̂M. Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 19 / 24
  • 20. Մոդելների ընտրում Ունենք կանխատեսիչների բազմություններ՝ Θ1, Θ2, . . . , ΘM և նրանցով տրված ուսուցման ալգորթիմներ ρ̂1, . . . , ρ̂M. Հարց է առաջանում թե տրված S-ի համար որ ալգորիթմը պետք է օգտագործել։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 19 / 24
  • 21. Մոդելների ընտրում Ունենք կանխատեսիչների բազմություններ՝ Θ1, Θ2, . . . , ΘM և նրանցով տրված ուսուցման ալգորթիմներ ρ̂1, . . . , ρ̂M. Հարց է առաջանում թե տրված S-ի համար որ ալգորիթմը պետք է օգտագործել։ Պարզության համար ենթադրենք որ Θi T Θj = ∅, եթե i ̸= j և սահմանենք Θ := SM j=1 Θj։ Դիցուք ունենք Պակ-Բայեսյան գնահատականներ համապատասխան πj ∈ P(Θj) նախնական (prior) բաշխումներով։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 19 / 24
  • 22. Մոդելների ընտրում Ունենք կանխատեսիչների բազմություններ՝ Θ1, Θ2, . . . , ΘM և նրանցով տրված ուսուցման ալգորթիմներ ρ̂1, . . . , ρ̂M. Հարց է առաջանում թե տրված S-ի համար որ ալգորիթմը պետք է օգտագործել։ Պարզության համար ենթադրենք որ Θi T Θj = ∅, եթե i ̸= j և սահմանենք Θ := SM j=1 Θj։ Դիցուք ունենք Պակ-Բայեսյան գնահատականներ համապատասխան πj ∈ P(Θj) նախնական (prior) բաշխումներով։ Այժմ՝ π1, . . . , πM֊ի միջոցով կարող ենք սահմանել նախնական բաշխում Θ֊ի վրա․ π = M X j=1 p(j)πj, (6) որտեղ P j p(j) = 1: Օրինակ՝ կարող ենք վերցնել p(j) = 1/M։ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 19 / 24
  • 23. Կատոնին և մոդելների ընտրումը Դիտարկենք P′ (Θ) = S j P(Θj) : Ունենք որ P′ (Θ) ⊆ P(Θ): Կիրառենք Կատոնիի գնահատականը Θ֊ի, π նախնականի և P′ (Θ)֊ի դեպքում՝ PS ∀j ∈ {1, . . . , M},∀ρ ∈ P Θj , Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ∥π) + log 1 ε λ ≥ 1 − ε : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 20 / 24
  • 24. Արտահայտությունների պարզեցում Ֆիքսենք j ինդեքսը ու ենթադրենք ρ ∈ P(Θj): Այդ դեպքում՝ supp(ρ) ⊂ Θj: Հետևաբար՝ Z Θ log dρ dπ (θ) ρ(dθ) = Z Θj log dρ dπ (θ) ρ(dθ) = Z Θj log dρ p(j)dπj (θ) ρ(dθ) = Z Θj log 1 pj + log dρ dπj (θ) ρ(dθ) = log 1 pj + KL ρ∥πj : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 21 / 24
  • 25. Մոդելի ընրում Այսպիսով՝ ունենք հետևյալ գնահատականը՝ PS ( ∀j ∈ {1, . . . , M}, ∀ρ ∈ P ( Θj ) , Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ∥πj) + log(1/p(j)) + log 1 ε λ ) ≥ 1 − ε : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 22 / 24
  • 26. Մոդելի ընրում Այսպիսով՝ ունենք հետևյալ գնահատականը՝ PS ( ∀j ∈ {1, . . . , M}, ∀ρ ∈ P ( Θj ) , Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL (ρ∥πj) + log(1/p(j)) + log 1 ε λ ) ≥ 1 − ε : Հետևաբար՝ PS ( ∀j ∈ {1, . . . , M}, Eθ∼ρ̂j [R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂j [r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂j∥πj) + log(1/p(j)) + log 1 ε λ ) ≥ 1 − ε : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 22 / 24
  • 27. Մոդելի ընրում Հետևաբար՝ PS ( ∀j ∈ {1, . . . , M}, Eθ∼ρ̂j [R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂j [r(θ)] + λ 8n + KL (ρ̂j∥πj) + log(1/p(j)) + log 1 ε λ ) ≥ 1 − ε : Այժմ փորձենք մինիմիզացնել անհավասարության աջ մասը j-ի։ ĵ = argmin 1≤j≤M { Eθ∼ρ̂j [r(θ)] + KL (ρ̂j∥πj) + log 1 p(j) λ } : (7) Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 22 / 24
  • 28. PAC֊Բայեսյան գնահատական մոդելների ընտրության խնդրում Ամփոփելով՝ PS Eθ∼ρ̂ĵ [R(θ)] ≤ min j Eθ∼ρ̂j [r(θ)] + KL ρ̂j∥πj + log 1 p(j) + log 1 ε λ ≥ 1 − ε : Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 23 / 24
  • 29. Վերջին սլայդ Ավետիք Կարագուլյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Դեկտեմբերի 1, 2021 24 / 24