SlideShare a Scribd company logo
Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման
գնահատականներ
Հանդիպում 2՝ Կատոնիի ընդհանրացման գնահատական
Արշակ Մինասյան
Նոյեմբերի 24, 2021
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 1 / 12
Սեմինարների մասին
Կանենք 5-6 սեմինար։
Չորեքշաբթի օրերին, երեկոյան ժամը 7-ին։
Ցանկացած պահի կարող եք հարց տալ կամ դիտողություն
անել:
Սեմինարները կտեսագրվեն, վիդեոները և սլայդները
կտեղադրենք mlevn.org-ում։
Հայտարարությունները կանենք ML reading group Yerevan
խմբում՝ https://groups.google.com/g/ml-reading-group-yerevan
Տերմինների հայերեն թարգմանության մասին
քննարկումները այստեղ՝ https://ml-hye.talkyard.net :
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 2 / 12
Նախորդ սեմինարին…
Պնդում (Պակ Բայեսյան գնահատականներ վերջավոր
և անվերջ դասերի համար)
Ենթադրենք ℓ(y′
, y) ∈ [0, 1]. Ապա կամայական P տվյալների
բաշխման և ĥ ուսուցման ալգորիթմի և
1 վերջավոր |H| < ∞ հիպոթեզների դասի համար
P
R(ĥ) − r(ĥ)
≥
s
1
2n
log

2 |H|
δ
!
≤ δ :
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 3 / 12
Նախորդ սեմինարին…
Պնդում (Պակ Բայեսյան գնահատականներ վերջավոր
և անվերջ դասերի համար)
Ենթադրենք ℓ(y′
, y) ∈ [0, 1]. Ապա կամայական P տվյալների
բաշխման և ĥ ուսուցման ալգորիթմի և
1 վերջավոր |H|  ∞ հիպոթեզների դասի համար
P
R(ĥ) − r(ĥ)
≥
s
1
2n
log

2 |H|
δ
!
≤ δ :
2 անվերջ հաշվելի H = {h1, h2, . . . } և ρ բաշխման համար,
այնպես որ ρ(hi) ≥ 0 և
P∞
i=1 ρ(hi) = 1
P ∀i, |R(hi) − r(hi)| ≤
s
1
2n
log

2
ρ(hi)δ
!
≥ 1 − δ :
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 3 / 12
Բովանդակություն
Կուլբակ-Լայբլեռի տարամիտություն (KL divergence)
Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացոն բանաձև, Գիբսի չափ
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 4 / 12
Բովանդակություն
Կուլբակ-Լայբլեռի տարամիտություն (KL divergence)
Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացոն բանաձև, Գիբսի չափ
Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական
Կատոնիի ընդհանրացման գնահատականի
կախվածությունը պարամետրից, հետագա օպտիմիզացիայի
քայլեր
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 4 / 12
Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն
Սահմանում. Դիցուք ν, µ երկու հավանականային չափեր են
P(Θ)-ից։ Ապա ν-ի Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտությունը µ-ից
սահմանվում է
KL(µ||ν) =
Z
log
dµ
dν
(θ)
!
µ(dθ), (1)
եթե dµ
dν (θ) գոյություն ունի (ν ≪ µ), հակառակ դեպքում՝
KL(µ||ν) = +∞.1
1տե՛ս https://www.stat.cmu.edu/~cshalizi/754/2006/notes/lecture-28.pdf
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն
Դիսկրետ բաշխումների դեպքում (հաշվելի Θ)
Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտությունը դառնում է
KL(µ||ν) =
X
θ∈Θ
log
µ(θ)
ν(θ)
!
µ(θ) :
▶ Վերևում 0 log 0
0

-ն և (0 log 0)-ն 0 են սահմանվում։
▶ KL-ը վերջավոր արժեք ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ
∀θ ∈ σ(Θ), ν(θ) = 0 ⇒ µ(θ) = 0։
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն
Եթե µ-ն և ν-ն ունեն խտության ֆունկցիաներ p(θ) և q(θ),
ապա
KL(µ||ν) =
Z
θ∈Θ
log

p(θ)
q(θ)

p(θ)dθ = Ep

log

p(θ)
q(θ)

:
▶ Վերևում 0 log 0
0

-ն և (0 log 0)-ն 0 են սահմանվում։
▶ KL-ը վերջավոր արժեք ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ
q(θ) = 0 ⇒ p(θ) = 0։
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն
Հատկություններ՝
▶ KL (µ∥µ) = 0:
▶ Ընդհանուր դեպքում KL (µ∥ν) ̸= KL (ν∥µ)։
▶ KL (µ∥ν) ≥ 0։ Հավասարությունն տեղի ունի միայն µ = ν
դեպքում։
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն
Հատկություններ՝
▶ KL (µ∥µ) = 0:
▶ Ընդհանուր դեպքում KL (µ∥ν) ̸= KL (ν∥µ)։
▶ KL (µ∥ν) ≥ 0։ Հավասարությունն տեղի ունի միայն µ = ν
դեպքում։
Ապացույց։
KL(µ||ν) =
Z
log
dµ
dν
(θ)
!
µ(dθ) = −Eµ

log
dν
dµ
#
Jensen
≥ − log Eµ

dν
dµ
#
| {z }
=1
= 0 :
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն
Հատկություններ՝
▶ KL (µ∥µ) = 0:
▶ Ընդհանուր դեպքում KL (µ∥ν) ̸= KL (ν∥µ)։
▶ KL (µ∥ν) ≥ 0։ Հավասարությունն տեղի ունի միայն µ = ν
դեպքում։
Ապացույց։
KL(µ||ν) =
Z
log

p(θ)
q(θ)

p(θ)dθ = − Ep

log

q(θ)
p(θ)

Jensen
≥ − log Ep

q(θ)
p(θ)

| {z }
=1
= 0 :
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացիոն բանաձև
Պնդում (Դոնսկեռ-Վարադհան)
Ցանկացած չափելի և սահմանափակ h : Θ → R ֆունկցիայի
համար ճիշտ է
log Eθ∼π[eh(θ)
] = sup
ρ∈P(Θ)

Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)
	
: (1)
Ավելին՝ πh = arg supρ∈P(Θ) {Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)} բաշխման համար
ունենք հետևյալ առնչությունը՝
dπh
dπ
(θ) =
eh(θ)
Eθ′∼π[eh(θ′)]
: (2)
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 6 / 12
Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացիոն բանաձև
Ապացույց։ Նկատենք, որ կամայական ρ ∈ P(Θ)-ի և վերոնշյալ πh-ի
համար
KL(ρ||πh) − KL(ρ||π) = −
Z
log
dπh
dπ
(θ)ρ(dθ)
= −Eθ∼ρ[h(θ)] + log Eθ∼πeh(θ)
:
Հետևաբար
Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π) = log Eθ∼π[eh(θ)
] − KL(ρ||πh) :
Օգտագործելով KL(ρ||πh) ≥ 0 և վերցնելով սուպրեմում երկու կողմից՝
ստանում ենք, որ
sup
ρ∈P(Θ)

Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)
	
= log Eθ∼π[eh(θ)
],
որտեղ հավասարության դեպքը ստացվում է ρ = πh կետում։
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 7 / 12
Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացիոն բանաձև
Պնդում (Դոնսկեռ-Վարադհան)
Ցանկացած չափելի և սահմանափակ h : Θ → R ֆունկցիայի
համար ճիշտ է
log Eθ∼π[eh(θ)
] = sup
ρ∈P(Θ)

Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)
	
: (3)
Ավելին՝ πh = arg supρ∈P(Θ) {Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)} բաշխման համար
ունենք հետևյալ առնչությունը՝
dπh
dπ
(θ) =
eh(θ)
Eθ′∼π[eh(θ′)]
: (4)
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 8 / 12
Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացիոն բանաձև
Պնդում (Դոնսկեռ-Վարադհան)
Ցանկացած չափելի և սահմանափակ h : Θ → R ֆունկցիայի
համար ճիշտ է
log Eθ∼π[eh(θ)
] = sup
ρ∈P(Θ)

Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)
	
: (3)
Ավելին՝ πh = arg supρ∈P(Θ) {Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)} բաշխման համար
ունենք հետևյալ առնչությունը՝
dπh
dπ
(θ) =
eh(θ)
Eθ′∼π[eh(θ′)]
: (4)
Եթե նշանակենք π-ի խտության ֆունկցիան p-ով, իսկ πh՝ ph-ով,
ապա (4) կստանա հետևյալ տեսքը՝
ph(θ)
p(θ)
=
eh(θ)
Ep[eh]
(5)
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 8 / 12
Կատոնիի Պակ-Բայեսյան
ընդհանրացման գնահատական
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 9 / 12
Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման
գնահատական
Ֆիքսենք հավանականային չափ π ∈ P(Θ)։ π-ն կանվանենք նախնական
(prior) բաշխում։
Թեորեմ
Կամայական λ  0 և δ ∈ (0, 1) համար
PS

∀ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] +
λ
8n
+
KL(ρ||π) + log 1
δ
λ

≥ 1 − δ : (6)
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման
գնահատական
Ապացույց։ Ըստ Հյոֆդինգի լեմմայի ունենք, որ ∀θ ∈ Θ
ES [eλ(R(θ)−r(θ))
] ≤ e
λ2
8n :
Վերցնելով մաթսպասում ըստ θ ∼ π-ի և օգտագործելով Ֆուբինի
թեորեմը՝ ստանում ենք
Eθ∼πES [eλ(R(θ)−r(θ))
] = ES Eθ∼π[eλ(R(θ)−r(θ))
] ≤ e
λ2
8n :
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման
գնահատական
Ապացույց։ Ըստ Հյոֆդինգի լեմմայի ունենք, որ ∀θ ∈ Θ
ES [eλ(R(θ)−r(θ))
] ≤ e
λ2
8n :
Վերցնելով մաթսպասում ըստ θ ∼ π-ի և օգտագործելով Ֆուբինի
թեորեմը՝ ստանում ենք
Eθ∼πES [eλ(R(θ)−r(θ))
] = ES Eθ∼π[eλ(R(θ)−r(θ))
] ≤ e
λ2
8n :
Կիրառելով Դոնսկեռ-Վարադհանի բանաձևը՝
ES

exp sup
ρ∈P(Θ)
λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π)
!#
≤ e
λ2
8n :
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման
գնահատական
Կիրառելով Դոնսկեռ-Վարադհանի բանաձևը՝
ES

exp sup
ρ∈P(Θ)
λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π)
!#
≤ e
λ2
8n :
Նկատենք, որ ըստ Չեռնոֆի անհավասարության ունենք, որ
PS

sup
ρ∈P(Θ)
{λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π)} −
λ2
8n
 s
#
≤ ES

exp sup
ρ∈P(Θ)
λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π) −
λ2
8n
!#
· e−s
≤ e−s
:
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման
գնահատական
Նկատենք, որ ըստ Չեռնոֆի անհավասարության ունենք, որ
PS

sup
ρ∈P(Θ)
{λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π)} −
λ2
8n
 s
#
≤ ES

exp sup
ρ∈P(Θ)
λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π) −
λ2
8n
!#
· e−s
≤ e−s
:
Վերցնելով e−s
= δ ստանում ենք, որ s = log(1/δ), իսկ վերջին
անհավասարությունը դառնում է
PS

sup
ρ∈P(Θ)
λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π) −
λ2
8n
 log

1
δ
#
≤ δ ⇒
PS

∃ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρR(θ)  Eθ∼ρr(θ) +
KL(ρ||π) + log(1/δ)
λ
+
λ
8n
#
≤ δ :
Ապացույցը ավարտելու համար մնում է դիտարկել այս պատահույթի
լրացումը։
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման
գնահատական
Ֆիքսենք հավանականային չափ π ∈ P(Θ)։ π-ն կանվանենք նախնական
(prior) բաշխում։
Թեորեմ
Կամայական λ  0 և δ ∈ (0, 1) համար
PS

∀ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] +
λ
8n
+
KL(ρ||π) + log 1
δ
λ

≥ 1 − δ : (6)
Նկատողություն։ Քանի որ (6)-ի մեջ անհավասարությունը տեղի ունի
բոլոր ρ-երի համար, կարելի է այն ընտրել տվյալներից կախված։
Հետևաբար (6)-ն կարելի է գրել ցանկացած ρ̂(S) ստոխաստիկ
ուսուցման ալգորիթմի համար՝
PS

Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂[r(θ)] +
λ
8n
+
KL(ρ̂||π) + log 1
δ
λ

≥ 1 − δ :
Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12

More Related Content

Featured

AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfAI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
marketingartwork
 
Skeleton Culture Code
Skeleton Culture CodeSkeleton Culture Code
Skeleton Culture Code
Skeleton Technologies
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
Neil Kimberley
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
contently
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
Albert Qian
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Kurio // The Social Media Age(ncy)
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Search Engine Journal
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
SpeakerHub
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
Tessa Mero
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Lily Ray
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
Rajiv Jayarajah, MAppComm, ACC
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
Christy Abraham Joy
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity -  Best PracticesTime Management & Productivity -  Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
Vit Horky
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
MindGenius
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
RachelPearson36
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Applitools
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
GetSmarter
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
Alireza Esmikhani
 
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike RoutesMore than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
Project for Public Spaces & National Center for Biking and Walking
 

Featured (20)

AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfAI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
 
Skeleton Culture Code
Skeleton Culture CodeSkeleton Culture Code
Skeleton Culture Code
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity -  Best PracticesTime Management & Productivity -  Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
 
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike RoutesMore than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
 

PAC-Bayesian-generalization-bounds-seminar-2

  • 1. Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատականներ Հանդիպում 2՝ Կատոնիի ընդհանրացման գնահատական Արշակ Մինասյան Նոյեմբերի 24, 2021 Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 1 / 12
  • 2. Սեմինարների մասին Կանենք 5-6 սեմինար։ Չորեքշաբթի օրերին, երեկոյան ժամը 7-ին։ Ցանկացած պահի կարող եք հարց տալ կամ դիտողություն անել: Սեմինարները կտեսագրվեն, վիդեոները և սլայդները կտեղադրենք mlevn.org-ում։ Հայտարարությունները կանենք ML reading group Yerevan խմբում՝ https://groups.google.com/g/ml-reading-group-yerevan Տերմինների հայերեն թարգմանության մասին քննարկումները այստեղ՝ https://ml-hye.talkyard.net : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 2 / 12
  • 3. Նախորդ սեմինարին… Պնդում (Պակ Բայեսյան գնահատականներ վերջավոր և անվերջ դասերի համար) Ենթադրենք ℓ(y′ , y) ∈ [0, 1]. Ապա կամայական P տվյալների բաշխման և ĥ ուսուցման ալգորիթմի և 1 վերջավոր |H| < ∞ հիպոթեզների դասի համար P
  • 4.
  • 5.
  • 7.
  • 8.
  • 9. ≥ s 1 2n log 2 |H| δ ! ≤ δ : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 3 / 12
  • 10. Նախորդ սեմինարին… Պնդում (Պակ Բայեսյան գնահատականներ վերջավոր և անվերջ դասերի համար) Ենթադրենք ℓ(y′ , y) ∈ [0, 1]. Ապա կամայական P տվյալների բաշխման և ĥ ուսուցման ալգորիթմի և 1 վերջավոր |H| ∞ հիպոթեզների դասի համար P
  • 11.
  • 12.
  • 14.
  • 15.
  • 16. ≥ s 1 2n log 2 |H| δ ! ≤ δ : 2 անվերջ հաշվելի H = {h1, h2, . . . } և ρ բաշխման համար, այնպես որ ρ(hi) ≥ 0 և P∞ i=1 ρ(hi) = 1 P ∀i, |R(hi) − r(hi)| ≤ s 1 2n log 2 ρ(hi)δ ! ≥ 1 − δ : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 3 / 12
  • 17. Բովանդակություն Կուլբակ-Լայբլեռի տարամիտություն (KL divergence) Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացոն բանաձև, Գիբսի չափ Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 4 / 12
  • 18. Բովանդակություն Կուլբակ-Լայբլեռի տարամիտություն (KL divergence) Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացոն բանաձև, Գիբսի չափ Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Կատոնիի ընդհանրացման գնահատականի կախվածությունը պարամետրից, հետագա օպտիմիզացիայի քայլեր Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 4 / 12
  • 19. Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն Սահմանում. Դիցուք ν, µ երկու հավանականային չափեր են P(Θ)-ից։ Ապա ν-ի Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտությունը µ-ից սահմանվում է KL(µ||ν) = Z log dµ dν (θ) ! µ(dθ), (1) եթե dµ dν (θ) գոյություն ունի (ν ≪ µ), հակառակ դեպքում՝ KL(µ||ν) = +∞.1 1տե՛ս https://www.stat.cmu.edu/~cshalizi/754/2006/notes/lecture-28.pdf Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
  • 20. Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն Դիսկրետ բաշխումների դեպքում (հաշվելի Θ) Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտությունը դառնում է KL(µ||ν) = X θ∈Θ log µ(θ) ν(θ) ! µ(θ) : ▶ Վերևում 0 log 0 0 -ն և (0 log 0)-ն 0 են սահմանվում։ ▶ KL-ը վերջավոր արժեք ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ ∀θ ∈ σ(Θ), ν(θ) = 0 ⇒ µ(θ) = 0։ Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
  • 21. Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն Եթե µ-ն և ν-ն ունեն խտության ֆունկցիաներ p(θ) և q(θ), ապա KL(µ||ν) = Z θ∈Θ log p(θ) q(θ) p(θ)dθ = Ep log p(θ) q(θ) : ▶ Վերևում 0 log 0 0 -ն և (0 log 0)-ն 0 են սահմանվում։ ▶ KL-ը վերջավոր արժեք ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ q(θ) = 0 ⇒ p(θ) = 0։ Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
  • 22. Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն Հատկություններ՝ ▶ KL (µ∥µ) = 0: ▶ Ընդհանուր դեպքում KL (µ∥ν) ̸= KL (ν∥µ)։ ▶ KL (µ∥ν) ≥ 0։ Հավասարությունն տեղի ունի միայն µ = ν դեպքում։ Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
  • 23. Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն Հատկություններ՝ ▶ KL (µ∥µ) = 0: ▶ Ընդհանուր դեպքում KL (µ∥ν) ̸= KL (ν∥µ)։ ▶ KL (µ∥ν) ≥ 0։ Հավասարությունն տեղի ունի միայն µ = ν դեպքում։ Ապացույց։ KL(µ||ν) = Z log dµ dν (θ) ! µ(dθ) = −Eµ log dν dµ # Jensen ≥ − log Eµ dν dµ # | {z } =1 = 0 : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
  • 24. Կուլբակ-Լայբլերի տարամիտություն Հատկություններ՝ ▶ KL (µ∥µ) = 0: ▶ Ընդհանուր դեպքում KL (µ∥ν) ̸= KL (ν∥µ)։ ▶ KL (µ∥ν) ≥ 0։ Հավասարությունն տեղի ունի միայն µ = ν դեպքում։ Ապացույց։ KL(µ||ν) = Z log p(θ) q(θ) p(θ)dθ = − Ep log q(θ) p(θ) Jensen ≥ − log Ep q(θ) p(θ) | {z } =1 = 0 : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 5 / 12
  • 25. Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացիոն բանաձև Պնդում (Դոնսկեռ-Վարադհան) Ցանկացած չափելի և սահմանափակ h : Θ → R ֆունկցիայի համար ճիշտ է log Eθ∼π[eh(θ) ] = sup ρ∈P(Θ) Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π) : (1) Ավելին՝ πh = arg supρ∈P(Θ) {Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)} բաշխման համար ունենք հետևյալ առնչությունը՝ dπh dπ (θ) = eh(θ) Eθ′∼π[eh(θ′)] : (2) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 6 / 12
  • 26. Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացիոն բանաձև Ապացույց։ Նկատենք, որ կամայական ρ ∈ P(Θ)-ի և վերոնշյալ πh-ի համար KL(ρ||πh) − KL(ρ||π) = − Z log dπh dπ (θ)ρ(dθ) = −Eθ∼ρ[h(θ)] + log Eθ∼πeh(θ) : Հետևաբար Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π) = log Eθ∼π[eh(θ) ] − KL(ρ||πh) : Օգտագործելով KL(ρ||πh) ≥ 0 և վերցնելով սուպրեմում երկու կողմից՝ ստանում ենք, որ sup ρ∈P(Θ) Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π) = log Eθ∼π[eh(θ) ], որտեղ հավասարության դեպքը ստացվում է ρ = πh կետում։ Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 7 / 12
  • 27. Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացիոն բանաձև Պնդում (Դոնսկեռ-Վարադհան) Ցանկացած չափելի և սահմանափակ h : Θ → R ֆունկցիայի համար ճիշտ է log Eθ∼π[eh(θ) ] = sup ρ∈P(Θ) Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π) : (3) Ավելին՝ πh = arg supρ∈P(Θ) {Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)} բաշխման համար ունենք հետևյալ առնչությունը՝ dπh dπ (θ) = eh(θ) Eθ′∼π[eh(θ′)] : (4) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 8 / 12
  • 28. Դոնսկեռ-Վարադհանի վարիացիոն բանաձև Պնդում (Դոնսկեռ-Վարադհան) Ցանկացած չափելի և սահմանափակ h : Θ → R ֆունկցիայի համար ճիշտ է log Eθ∼π[eh(θ) ] = sup ρ∈P(Θ) Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π) : (3) Ավելին՝ πh = arg supρ∈P(Θ) {Eθ∼ρ[h(θ)] − KL(ρ||π)} բաշխման համար ունենք հետևյալ առնչությունը՝ dπh dπ (θ) = eh(θ) Eθ′∼π[eh(θ′)] : (4) Եթե նշանակենք π-ի խտության ֆունկցիան p-ով, իսկ πh՝ ph-ով, ապա (4) կստանա հետևյալ տեսքը՝ ph(θ) p(θ) = eh(θ) Ep[eh] (5) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 8 / 12
  • 29. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 9 / 12
  • 30. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Ֆիքսենք հավանականային չափ π ∈ P(Θ)։ π-ն կանվանենք նախնական (prior) բաշխում։ Թեորեմ Կամայական λ 0 և δ ∈ (0, 1) համար PS ∀ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (6) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 31. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Ապացույց։ Ըստ Հյոֆդինգի լեմմայի ունենք, որ ∀θ ∈ Θ ES [eλ(R(θ)−r(θ)) ] ≤ e λ2 8n : Վերցնելով մաթսպասում ըստ θ ∼ π-ի և օգտագործելով Ֆուբինի թեորեմը՝ ստանում ենք Eθ∼πES [eλ(R(θ)−r(θ)) ] = ES Eθ∼π[eλ(R(θ)−r(θ)) ] ≤ e λ2 8n : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 32. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Ապացույց։ Ըստ Հյոֆդինգի լեմմայի ունենք, որ ∀θ ∈ Θ ES [eλ(R(θ)−r(θ)) ] ≤ e λ2 8n : Վերցնելով մաթսպասում ըստ θ ∼ π-ի և օգտագործելով Ֆուբինի թեորեմը՝ ստանում ենք Eθ∼πES [eλ(R(θ)−r(θ)) ] = ES Eθ∼π[eλ(R(θ)−r(θ)) ] ≤ e λ2 8n : Կիրառելով Դոնսկեռ-Վարադհանի բանաձևը՝ ES exp sup ρ∈P(Θ) λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π) !# ≤ e λ2 8n : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 33. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Կիրառելով Դոնսկեռ-Վարադհանի բանաձևը՝ ES exp sup ρ∈P(Θ) λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π) !# ≤ e λ2 8n : Նկատենք, որ ըստ Չեռնոֆի անհավասարության ունենք, որ PS sup ρ∈P(Θ) {λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π)} − λ2 8n s # ≤ ES exp sup ρ∈P(Θ) λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π) − λ2 8n !# · e−s ≤ e−s : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 34. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Նկատենք, որ ըստ Չեռնոֆի անհավասարության ունենք, որ PS sup ρ∈P(Θ) {λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π)} − λ2 8n s # ≤ ES exp sup ρ∈P(Θ) λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π) − λ2 8n !# · e−s ≤ e−s : Վերցնելով e−s = δ ստանում ենք, որ s = log(1/δ), իսկ վերջին անհավասարությունը դառնում է PS sup ρ∈P(Θ) λEθ∼ρ[R(θ) − r(θ)] − KL(ρ||π) − λ2 8n log 1 δ # ≤ δ ⇒ PS ∃ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρR(θ) Eθ∼ρr(θ) + KL(ρ||π) + log(1/δ) λ + λ 8n # ≤ δ : Ապացույցը ավարտելու համար մնում է դիտարկել այս պատահույթի լրացումը։ Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 35. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Ֆիքսենք հավանականային չափ π ∈ P(Θ)։ π-ն կանվանենք նախնական (prior) բաշխում։ Թեորեմ Կամայական λ 0 և δ ∈ (0, 1) համար PS ∀ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (6) Նկատողություն։ Քանի որ (6)-ի մեջ անհավասարությունը տեղի ունի բոլոր ρ-երի համար, կարելի է այն ընտրել տվյալներից կախված։ Հետևաբար (6)-ն կարելի է գրել ցանկացած ρ̂(S) ստոխաստիկ ուսուցման ալգորիթմի համար՝ PS Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ̂||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 36. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Նկատողություն։ Քանի որ (6)-ի մեջ անհավասարությունը տեղի ունի բոլոր ρ-երի համար, կարելի է այն ընտրել տվյալներից կախված։ Հետևաբար (6)-ն կարելի է գրել ցանկացած ρ̂(S) ստոխաստիկ ուսուցման ալգորիթմի համար՝ PS Eθ∼ρ̂[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ̂[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ̂||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : Մասնավորապես, կարող ենք ρ̂-ն ընտրել այնպես, որ ընդհանրացման գնահատականը լինի հնարավորինս փոքր՝ b ρλ(S) = arg min ρ∈P(Θ) ( Eθ∼ρr(θ) + KL(ρ||π) λ ) : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 37. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Մասնավորապես, կարող ենք ρ̂-ն ընտրել այնպես, որ ընդհանրացման գնահատականը լինի հնարավորինս փոքր՝ b ρλ(S) = arg min ρ∈P(Θ) ( Eθ∼ρr(θ) + KL(ρ||π) λ ) : Այն գոյություն ունի ըստ Դոնսկեռ-Վարադհանի բանաձևի և ունի հետյալ տեսքը՝ b ρλ(S)(dθ) = e−λr(θ) π(dθ) Eν∼π[e−λr(ν)] : (Gibbs distribution) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 38. Կատոնիի Պակ-Բայեսյան ընդհանրացման գնահատական Այն գոյություն ունի ըստ Դոնսկեռ-Վարադհանի բանաձևի և ունի հետյալ տեսքը՝ b ρλ(S)(dθ) = e−λr(θ) π(dθ) Eν∼π[e−λr(ν)] : (Gibbs distribution) Հետևաբար Կատոնիի գնահատանը p̂λ Գիբսի բաշխման համար ստանում է հետևյալ տեսքը՝ PS Eθ∼b ρλ [R(θ)] ≤ inf ρ∈P(Θ) h Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ||π) + log 1 δ λ i ≥ 1 − δ : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 10 / 12
  • 39. Կիրառություն՝ հիպոթեզների հաշվելի անվերջ դաս Ենթադրենք Θ-ն հաշվելի անվերջ է՝ Θ = {θ1, θ2, . . .}։ Այս դեպքում նախնական բաշխումը՝ π-ն, կլինի այսպիսին՝ π(θi) ≥ 0, ∞ X i=1 π(θi) = 1 : (6) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 11 / 12
  • 40. Կիրառություն՝ հիպոթեզների հաշվելի անվերջ դաս Ենթադրենք Θ-ն հաշվելի անվերջ է՝ Θ = {θ1, θ2, . . .}։ Այս դեպքում նախնական բաշխումը՝ π-ն, կլինի այսպիսին՝ π(θi) ≥ 0, ∞ X i=1 π(θi) = 1 : (6) Եկեք ρi-ով նշանակենք այն բաշխումը, որի համար ρi(θj) = 1{i=j}: Նշանակենք այսպիսի բաշխումների բազմությունը D-ով՝ D = {ρi : i ∈ N} ⊂ P(Θ) : Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 11 / 12
  • 41. Կիրառություն՝ հիպոթեզների հաշվելի անվերջ դաս Եկեք ρi-ով նշանակենք այն բաշխումը, որի համար ρi(θj) = 1{i=j}: Նշանակենք այսպիսի բաշխումների բազմությունը D-ով՝ D = {ρi : i ∈ N} ⊂ P(Θ) : Կատոնիի գնահատականից ունենք որ PS ∀ρ ∈ P(Θ), Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (6) Հետևաբար՝ PS ∀ρ ∈ D, Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (7) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 11 / 12
  • 42. Կիրառություն՝ հիպոթեզների հաշվելի անվերջ դաս Եկեք ρi-ով նշանակենք այն բաշխումը, որի համար ρi(θj) = 1{i=j}: Նշանակենք այսպիսի բաշխումների բազմությունը D-ով՝ D = {ρi : i ∈ N} ⊂ P(Θ) : Հետևաբար՝ PS ∀ρ ∈ D, Eθ∼ρ[R(θ)] ≤ Eθ∼ρ[r(θ)] + λ 8n + KL(ρ||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (6) Սա նույն է ինչ PS ∀i ∈ N, Eθ∼ρi [R(θ)] ≤ Eθ∼ρi [r(θ)] + λ 8n + KL(ρi||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (7) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 11 / 12
  • 43. Կիրառություն՝ հիպոթեզների հաշվելի անվերջ դաս Եկեք ρi-ով նշանակենք այն բաշխումը, որի համար ρi(θj) = 1{i=j}: Նշանակենք այսպիսի բաշխումների բազմությունը D-ով՝ D = {ρi : i ∈ N} ⊂ P(Θ) : Սա նույն է ինչ PS ∀i ∈ N, Eθ∼ρi [R(θ)] ≤ Eθ∼ρi [r(θ)] + λ 8n + KL(ρi||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (6) Ըստ ρi-ի սահմանման կստանանք որ PS ∀i ∈ N, R(θi) ≤ r(θi) + λ 8n + KL(ρi||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (7) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 11 / 12
  • 44. Կիրառություն՝ հիպոթեզների հաշվելի անվերջ դաս Ըստ ρi-ի սահմանման կստանանք որ PS ∀i ∈ N, R(θi) ≤ r(θi) + λ 8n + KL(ρi||π) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (6) Նկատենք որ KL (ρi∥π) = P j ρi(θj) log ρi(θj) π(θj) = log 1 π(θi) : Հետևաբար՝ PS ∀i ∈ N, R(θi) ≤ r(θi) + λ 8n + log 1 π(θi) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (7) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 11 / 12
  • 45. Կիրառություն՝ հիպոթեզների հաշվելի անվերջ դաս Նկատենք որ KL (ρi∥π) = P j ρi(θj) log ρi(θj) π(θj) = log 1 π(θi) : Հետևաբար՝ PS ∀i ∈ N, R(θi) ≤ r(θi) + λ 8n + log 1 π(θi) + log 1 δ λ ≥ 1 − δ : (6) Վերջապես, նկատենք որ 2 q b a ≤ λ a + b λ ։ Հետևաբար՝ λ 8n + log 1 δπ(θi) λ ≥ 2 s log 1 δπ(θi) 8n : Տեղադրելով (6)-ում ստանում ենք՝ PS ∀i ∈ N, R(θi) ≤ r(θi) + s 1 2n log 1 δπ(θi) ! ≥ 1 − δ : (7) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 11 / 12
  • 46. Կիրառություն՝ հիպոթեզների հաշվելի անվերջ դաս Վերջապես, նկատենք որ 2 q b a ≤ λ a + b λ ։ Հետևաբար՝ λ 8n + log 1 δπ(θi) λ ≥ 2 s log 1 δπ(θi) 8n : Տեղադրելով (6)-ում ստանում ենք՝ PS ∀i ∈ N, R(θi) ≤ r(θi) + s 1 2n log 1 δπ(θi) ! ≥ 1 − δ : (6) Անցյալ սեմինարին ստացել էինք որ P ∀i, |R(θi) − r(θi)| ≤ s 1 2n log 2 δπ(θi) ! ≥ 1 − δ : (7) Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 11 / 12
  • 47. Շնորհակալություն Արշակ Մինասյան Պակ-Բայեսյան գնահատականներ Նոյեմբերի 24, 2021 12 / 12