SlideShare a Scribd company logo
1 of 11
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
U opštem slučaju, predstavljanje brojeva u pokretnom zarezu nije
jedinstveno. Na primer, naelektrisanje elektrona možemo zapisati u obliku:
-1.6 · 10-19 C = -16 · 10-20 C = -0.16 · 10-18 C
Na isti način i binarni brojevi u eksponencijalnom obliku mogu biti
predstavljeni na više načina. Na primer, broj iz poslednjeg primera u
eksponencijalnom obliku može da izgleda:
11011.001 = 1101.1001·21 = 1.1011001·24 = 0.11011001·25 = 11011001·2-3
11011.001 = 1101.1001·101 = 1.1011001·10100 = 0.11011001·10101 = 11011001·10-11
U prvom zapisu su namerno osnova brojnog sistema i eksponent pisani u
dekadnom brojnom sistemu da bi se jasno videla veza izmedju broja pozicija
za koliko se decimalna tačka pomera i eksponenta (broja kojim se stepenuje
osnova 2). Ako bismo sve predstavili u binarnom brojnom sistemu, dobijamo
drugi zapis.
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Računaru ne smemo ostaviti nikakvu proizvoljnost u pogledu kako će nešto
biti zapisano. Zato je standardom IEEE 754 strogo definisano kako treba da
izgleda eksponencijalni zapis broja. Po tom standardu realni brojevi se u
pokretnom zarezu predstavljaju u obliku:
𝑧 𝑚 · 2𝐸
gde je:
z - znak broja,
m - normalizovana mantisa,
E - eksponent.
Normalizovana mantisa znači da je mantisa svedena na oblik:
1.bbbb...
gde je sa b označena proizvoljna cifra binarnog brojnog sistema. Dakle, u
normalizovanoj mantisi decimalna tačka se nalazi iza prve jedinice u zapisu
broja, odnosno, celobrojni deo normalizovane mantise je uvek 1.
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Kao što se iz zapisa vidi, pri memorisanju eksponencijalnog zapisa
broja, memorijsku reč opet delimo na tri zone: u prvu upisujemo
znak broja, u drugu eksponent, a u treću normalizovanu mantisu.
Veličine ovih zona su ovog puta fiksne (propisane standardom). Za
predstavljanje eksponenta se koristi 8 bitova, a za predstavljanje
normalizovane mantise preostali deo memorijske reči (23 bita).
Raspored ovih zona u memorijskoj reči prikazan je na slici:
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
znak eksponent normalizovana mantisa
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Za predstavljanje mantise broja koristi se prosto označavanje, što
znači da znak ima vrednost 0 za pozitivne brojeve, a vrednost 1 za
negativne, a u polju koje smo nazvali normalizovana mantisa
upisuje se njena apsolutna vrednost.
U tom polju se prva jedinica (jedinica koja se nalazi ispred
decimalne tačke) ne piše, već se tu navode samo cifre iz
razlomljenog dela normalizovane mantise. Pošto je cifra 1 ispred
decimalne tačke obavezna, ona se podrazumeva.
Eksponent se u ovom zapisu predstavlja u formatu sa pomerajem,
pri čemu se kao pomeraj koristi vrednost qn-1-1, tj. 27-1=127,
odnosno 01111111 u binarnom brojnom sistemu.
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Primer: Predstaviti broj 27.125 u 32-bitnoj reči računara u formatu sa
pokretnim zarezom.
Izvršimo najpre prevodjenje ovog broja u binarni brojni sistem i zatim
izvršimo normalizaciju mantise
(27.125)10 = (11011.001)2 = (1.1011001 · 10100)2.
Da bismo memorisali broj, treba još odrediti zapis eksponenta u formatu sa
pomerajem:
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
znak eksponent normalizovana mantisa
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Ovo odbacivanje cifre koja se nalazi ispred decimalnog zareza
dovodi do povećanja broja cifara koje možemo zapisati u
memorijskoj reči, ali stvara problem pri predstavljanju nule u ovom
formatu. Da bi se taj problem prevazišao, standardom je propisano
da se nula predstavlja tako što se i na mesto eksponenta i na mesto
mantise upišu sve nule.
Druga karakteristična vrednost eksponenta je 11111111. Ona
označava da je došlo do prekoračenja opsega vrednosti koje mogu
biti registrovane u ovom formatu (tada su u mantisi sve cifre 0) ili je
došlo do neke izuzetne situacije prilikom izračunavanja, kao što su
0/0, −1 i slično (tada u mantisi nisu sve cifre jednake 0).
Poslednje vrednosti se obeležavaju sa NaN (što je skraćenica
engleskog izraza “Not a Number”).
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Najmanji broj po apsolutnoj vrednosti koji na ovaj način može biti
registrovan u računaru je:
1.0 ∙ 2−126 ≈ 10−38
a najveći:
1.11111111111111111111111 ∙ 2127 ≈ 1038
To znači da je opseg brojeva koji se na ovaj način mogu predstaviti
u računaru
[-1038, 1038]
a da je preciznost kojom se brojevi predstavljaju do 24 binarne cifre,
što odgovara preciznosti od 7 dekadnih cifara.
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Ovaj opseg brojeva, i ovaj broj značajnih cifara često nisu dovoljni
da zadovolje potrebe korisnika. Zato je uveden i proširen oblik za
predstavljanje brojeva u računaru u pokretnom zarezu koji se zove
još i pokretni zarez sa dvostrukom preciznošću (ili ekponencijalni
zapis sa dvostrukom preciznošću).
U skladu sa tim, oblik pokretnog zareza o kojem je do sada bilo reč,
se u literaturi sreće i pod nazivom pokretni zarez jednostruke
preciznosti (odnosno, eksponencijalni zapis jednostruke
preciznosti).
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Za predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom
dvostruke preciznosti koriste se 2 susedne memorijske reči. U prvu
reč se upisuje znak broja, eksponent (za čije predstavljanje se sad
koristi 11 bitova) i viši deo mantise (prvih 20 bitova iz razlomljenog
dela mantise). Cela druga reč se koristi za niži deo mantise (za
preostale cifre mantise).
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
znak eksponent viši deo normalizovane mantise
niži deo normalizovane mantise
3.3. Predstavljanje realnih brojeva u
formatu sa pokretnim zarezom
Pomeraj koji se u ovom formatu dodaje ekspnentu je
210−1 = 1023, odnosno 01111111111 u binarnom brojnom sistemu.
Opseg brojeva koji se može registrovati je povećan na čak
[-10308, 10308]
preciznost sad iznosi 53 binarne cifre, tj. približno 15 dekadnih
cifara.
Hvala na pažnji!

More Related Content

More from AleksandarSpasic5 (20)

OIR11-L3.pptx
OIR11-L3.pptxOIR11-L3.pptx
OIR11-L3.pptx
 
OIR11-L2.pptx
OIR11-L2.pptxOIR11-L2.pptx
OIR11-L2.pptx
 
OIR11-L1.pptx
OIR11-L1.pptxOIR11-L1.pptx
OIR11-L1.pptx
 
OIR-V8.pptx
OIR-V8.pptxOIR-V8.pptx
OIR-V8.pptx
 
OIR10-L5.pptx
OIR10-L5.pptxOIR10-L5.pptx
OIR10-L5.pptx
 
OIR10-L4.pptx
OIR10-L4.pptxOIR10-L4.pptx
OIR10-L4.pptx
 
OIR10-L3.pptx
OIR10-L3.pptxOIR10-L3.pptx
OIR10-L3.pptx
 
OIR10-L2.pptx
OIR10-L2.pptxOIR10-L2.pptx
OIR10-L2.pptx
 
OIR10-L1.pptx
OIR10-L1.pptxOIR10-L1.pptx
OIR10-L1.pptx
 
OIR-V7.pptx
OIR-V7.pptxOIR-V7.pptx
OIR-V7.pptx
 
OIR9-L3.pptx
OIR9-L3.pptxOIR9-L3.pptx
OIR9-L3.pptx
 
OIR9-L2.pptx
OIR9-L2.pptxOIR9-L2.pptx
OIR9-L2.pptx
 
OIR9-L1.pptx
OIR9-L1.pptxOIR9-L1.pptx
OIR9-L1.pptx
 
OIR-V6.pptx
OIR-V6.pptxOIR-V6.pptx
OIR-V6.pptx
 
OIR-V5.pptx
OIR-V5.pptxOIR-V5.pptx
OIR-V5.pptx
 
OIR8-L1.pptx
OIR8-L1.pptxOIR8-L1.pptx
OIR8-L1.pptx
 
OIR8-L2.pptx
OIR8-L2.pptxOIR8-L2.pptx
OIR8-L2.pptx
 
OIR8-L3.pptx
OIR8-L3.pptxOIR8-L3.pptx
OIR8-L3.pptx
 
OIR8-L4.pptx
OIR8-L4.pptxOIR8-L4.pptx
OIR8-L4.pptx
 
OIR8-L5.pptx
OIR8-L5.pptxOIR8-L5.pptx
OIR8-L5.pptx
 

OIR3-L3.pptx

  • 1. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom U opštem slučaju, predstavljanje brojeva u pokretnom zarezu nije jedinstveno. Na primer, naelektrisanje elektrona možemo zapisati u obliku: -1.6 · 10-19 C = -16 · 10-20 C = -0.16 · 10-18 C Na isti način i binarni brojevi u eksponencijalnom obliku mogu biti predstavljeni na više načina. Na primer, broj iz poslednjeg primera u eksponencijalnom obliku može da izgleda: 11011.001 = 1101.1001·21 = 1.1011001·24 = 0.11011001·25 = 11011001·2-3 11011.001 = 1101.1001·101 = 1.1011001·10100 = 0.11011001·10101 = 11011001·10-11 U prvom zapisu su namerno osnova brojnog sistema i eksponent pisani u dekadnom brojnom sistemu da bi se jasno videla veza izmedju broja pozicija za koliko se decimalna tačka pomera i eksponenta (broja kojim se stepenuje osnova 2). Ako bismo sve predstavili u binarnom brojnom sistemu, dobijamo drugi zapis.
  • 2. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Računaru ne smemo ostaviti nikakvu proizvoljnost u pogledu kako će nešto biti zapisano. Zato je standardom IEEE 754 strogo definisano kako treba da izgleda eksponencijalni zapis broja. Po tom standardu realni brojevi se u pokretnom zarezu predstavljaju u obliku: 𝑧 𝑚 · 2𝐸 gde je: z - znak broja, m - normalizovana mantisa, E - eksponent. Normalizovana mantisa znači da je mantisa svedena na oblik: 1.bbbb... gde je sa b označena proizvoljna cifra binarnog brojnog sistema. Dakle, u normalizovanoj mantisi decimalna tačka se nalazi iza prve jedinice u zapisu broja, odnosno, celobrojni deo normalizovane mantise je uvek 1.
  • 3. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Kao što se iz zapisa vidi, pri memorisanju eksponencijalnog zapisa broja, memorijsku reč opet delimo na tri zone: u prvu upisujemo znak broja, u drugu eksponent, a u treću normalizovanu mantisu. Veličine ovih zona su ovog puta fiksne (propisane standardom). Za predstavljanje eksponenta se koristi 8 bitova, a za predstavljanje normalizovane mantise preostali deo memorijske reči (23 bita). Raspored ovih zona u memorijskoj reči prikazan je na slici: 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 znak eksponent normalizovana mantisa
  • 4. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Za predstavljanje mantise broja koristi se prosto označavanje, što znači da znak ima vrednost 0 za pozitivne brojeve, a vrednost 1 za negativne, a u polju koje smo nazvali normalizovana mantisa upisuje se njena apsolutna vrednost. U tom polju se prva jedinica (jedinica koja se nalazi ispred decimalne tačke) ne piše, već se tu navode samo cifre iz razlomljenog dela normalizovane mantise. Pošto je cifra 1 ispred decimalne tačke obavezna, ona se podrazumeva. Eksponent se u ovom zapisu predstavlja u formatu sa pomerajem, pri čemu se kao pomeraj koristi vrednost qn-1-1, tj. 27-1=127, odnosno 01111111 u binarnom brojnom sistemu.
  • 5. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Primer: Predstaviti broj 27.125 u 32-bitnoj reči računara u formatu sa pokretnim zarezom. Izvršimo najpre prevodjenje ovog broja u binarni brojni sistem i zatim izvršimo normalizaciju mantise (27.125)10 = (11011.001)2 = (1.1011001 · 10100)2. Da bismo memorisali broj, treba još odrediti zapis eksponenta u formatu sa pomerajem: 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 znak eksponent normalizovana mantisa
  • 6. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Ovo odbacivanje cifre koja se nalazi ispred decimalnog zareza dovodi do povećanja broja cifara koje možemo zapisati u memorijskoj reči, ali stvara problem pri predstavljanju nule u ovom formatu. Da bi se taj problem prevazišao, standardom je propisano da se nula predstavlja tako što se i na mesto eksponenta i na mesto mantise upišu sve nule. Druga karakteristična vrednost eksponenta je 11111111. Ona označava da je došlo do prekoračenja opsega vrednosti koje mogu biti registrovane u ovom formatu (tada su u mantisi sve cifre 0) ili je došlo do neke izuzetne situacije prilikom izračunavanja, kao što su 0/0, −1 i slično (tada u mantisi nisu sve cifre jednake 0). Poslednje vrednosti se obeležavaju sa NaN (što je skraćenica engleskog izraza “Not a Number”).
  • 7. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Najmanji broj po apsolutnoj vrednosti koji na ovaj način može biti registrovan u računaru je: 1.0 ∙ 2−126 ≈ 10−38 a najveći: 1.11111111111111111111111 ∙ 2127 ≈ 1038 To znači da je opseg brojeva koji se na ovaj način mogu predstaviti u računaru [-1038, 1038] a da je preciznost kojom se brojevi predstavljaju do 24 binarne cifre, što odgovara preciznosti od 7 dekadnih cifara.
  • 8. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Ovaj opseg brojeva, i ovaj broj značajnih cifara često nisu dovoljni da zadovolje potrebe korisnika. Zato je uveden i proširen oblik za predstavljanje brojeva u računaru u pokretnom zarezu koji se zove još i pokretni zarez sa dvostrukom preciznošću (ili ekponencijalni zapis sa dvostrukom preciznošću). U skladu sa tim, oblik pokretnog zareza o kojem je do sada bilo reč, se u literaturi sreće i pod nazivom pokretni zarez jednostruke preciznosti (odnosno, eksponencijalni zapis jednostruke preciznosti).
  • 9. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Za predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom dvostruke preciznosti koriste se 2 susedne memorijske reči. U prvu reč se upisuje znak broja, eksponent (za čije predstavljanje se sad koristi 11 bitova) i viši deo mantise (prvih 20 bitova iz razlomljenog dela mantise). Cela druga reč se koristi za niži deo mantise (za preostale cifre mantise). 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 znak eksponent viši deo normalizovane mantise niži deo normalizovane mantise
  • 10. 3.3. Predstavljanje realnih brojeva u formatu sa pokretnim zarezom Pomeraj koji se u ovom formatu dodaje ekspnentu je 210−1 = 1023, odnosno 01111111111 u binarnom brojnom sistemu. Opseg brojeva koji se može registrovati je povećan na čak [-10308, 10308] preciznost sad iznosi 53 binarne cifre, tj. približno 15 dekadnih cifara.