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Ley del Enfriamiento de Newton
Zinedine Adrián Arias Vera
Diciembre 2022
ón
Hola a todos, mi nombre es Zinedine, soy estudiante del programa educativo de
Ingeniería en Aeronáutica de la Universidad Politécnica Metropolitana de Hidalgo. En
esta ocasión les vengo compartiendo una increíble teoría, se trata sobre la Ley del
Enfriamiento de Newton, esta ley es muy estudiada en la asignatura de Transferencia
de Calor y muy útil para aquellos estudiantes de ingeniería, y también para los ya
egresados, en este caso por supuesto Aeronáutica, principalmente para aquellos que
estamos interesados en la especialización del área de propulsión, donde se estudia
mucho la parte de cohetes, motores, turbinas, etc. Por lo que se debe tener una buena
base de Termodinámica y de Transferencia de Calor.
En este breve artículo, estaremos viendo la importancia de esta ley, ya que es muy
fundamental para la construcción de maquinas térmicas. Cualquier persona que tenga
una base sólida de ecuaciones diferenciales y de matemáticas en general será capaz de
entender esta ley, y, además, a diario la aplicamos inconscientemente en nuestra vida
cotidiana, pero para aquellos que quieran entender el por qué, el cómo, y el para qué,
este es su sitio ideal.
Isaac Newton
El Señor Isaac Newton, como muchos sabemos, fue un físico, filosofo, matemático,
alquimista y teólogo inglés, con toda su vida de dedicación, estableció las leyes de la
mecánica, que llevan su nombre: Leyes de Newton; también es conocido como el padre
del cálculo. Entre muchas teorías y contribuciones, se encuentra la ley del enfriamiento.
Todos hemos oído el dicho “Newton nos lleva a la Luna”, ya que se le atribuye como el
padre del cálculo diferencial e integral, aunque a Leibniz también se le ha atribuido
como el padre del cálculo, la forma de Newton es la que más se ha destacado, ya que
utilizo esas bases de cálculo para describir las leyes del movimiento mediante
ecuaciones diferenciales.
¿Qué dice la Ley del Enfriamiento de Newton?
Esta ley establece que la temperatura de un cuerpo cualquiera cambia a una velocidad
que es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas tanto del cuerpo
mismo y el medio ambiente. Esto quiere decir que nosotros al tener por ejemplo un café
en un cuarto, este va a igualarse a la temperatura a la que esté el cuarto en un
determinado intervalo de tiempo, para eso, se puede representar en una ecuación
diferencial, que quedaría de la siguiente manera:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚)
en donde T es temperatura, t es tiempo, K es una constante de proporcionalidad a esas
diferencias de temperaturas, T es la temperatura del cuerpo, y Tm la temperatura
ambiental (donde el cuerpo de estudio se encuentre).
Solución de la Ecuación Diferencial
Esta ecuación puede resolverse mediante el método de variables separables, lo que
queremos es tener a las temperaturas con el diferencial de las mismas, y la constante
de proporcionalidad con el diferencial del tiempo:
𝑑𝑇
(𝑇 − 𝑇𝑚)
= 𝐾𝑑𝑡
una vez teniendo la ecuación separada, procedemos a integrar ambos miembros para
no desequilibrar la ecuación. Los límites de integración van desde una temperatura
inicial a una final, y respecto al tiempo, desde 0 hasta otro tiempo cualquiera.
∫
𝑑𝑇
(𝑇 − 𝑇𝑚)
𝑇
𝑇𝑖
= ∫ 𝐾𝑑𝑡
𝑡
0
Al integrar ambos lados, tenemos que:
ln(𝑇 − 𝑇𝑚) |
𝑇
𝑇𝑖
= 𝐾𝑡 + 𝐶|
𝑡
0
Evaluando en T (no en Tm, esa es la temperatura del medio ambiente donde se
encuentre nuestro cuerpo de estudio, dependiendo del problema que se nos presente):
ln(𝑇 − 𝑇𝑚) − ln(𝑇𝑖 − 𝑇𝑚) = 𝐾𝑡
De tal manera que, al apoyarnos de una ley de los logaritmos cuando tenemos una
diferencia de los mismos, podemos reescribirlo como:
ln (
𝑇 − 𝑇𝑚
𝑇𝑖 − 𝑇𝑚
) = 𝐾𝑡
Pero podemos observar que la variable dependiente (Temperatura), está metida en el
logaritmo, para poder eliminarlo, debemos aplicar logaritmo entonces del otro lado
también, para no alterar nuestra solución general, pero nos conviene agregar también
un exponencial, ya que recordando: ln 𝑒 = 1; ln 𝑒 (𝑎) = 𝑎, esto podemos reescribirlo
como: ln 𝑒𝑎
= 𝑎.
ln (
𝑇 − 𝑇𝑚
𝑇𝑖 − 𝑇𝑚
) = ln 𝑒𝑘𝑡
Ahora bien, lo que nosotros queremos es conocer T, ya que, en muchas ocasiones, la
temperatura inicial es conocida, la temperatura ambiental también, entonces, T es
nuestra incógnita, por lo tanto, ambos lados tienen que ser iguales, y si en ambos hay
logaritmos, al operar, los logaritmos se cancelan, por lo que nos quedaría lo siguiente:
𝑇 − 𝑇𝑚
𝑇𝑖 − 𝑇𝑚
= 𝑒𝑘𝑡
Operando paso a paso para conocer T:
𝑇 − 𝑇𝑚 = (𝑇𝑖 − 𝑇𝑚)𝑒𝑘𝑡
y finalmente tendríamos que: 𝑻 = 𝑻𝒎 + (𝑻𝒊 − 𝑻𝒎)𝒆𝒌𝒕
Entonces, si se diera el caso de que nos pregunten el tiempo, la K, o cualquier variable
de esa ecuación, solo tendríamos que despejar. A continuación, se nos presenta un
ejemplo de aplicación sobre la ley del enfriamiento de Newton.
Ejemplo de Aplicación
En 𝑡 = 0, se tiene una temperatura inicial 𝑇𝑖 = 30º𝐶, además, cuando han transcurrido
𝑡 = 60𝑠 se tiene una temperatura 𝑇 = 26º𝐶; ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que
se tenga una temperatura 𝑇 = 23º𝐶? Además, se cuenta con una temperatura
ambiental 𝑇𝑚 = 20º𝐶.
Solución:
Observemos bien que, nos están preguntando el tiempo, no la temperatura, los datos
que conocemos de la ecuación que hemos deducido son los que están marcados en rojo:
𝑇 = 𝑇𝑚 + (𝑇𝑖 − 𝑇𝑚)𝑒𝑘𝑡
Por lo tanto, primero debemos calcular cuánto vale nuestra constante de
proporcionalidad, para eso, el tiempo SI ES CONOCIDO, son 60s, para que después con
ayuda de estos datos: 𝑇 = 26º𝐶, 𝑇𝑚 = 20º𝐶, 𝑇𝑖 = 30º𝐶, 𝑡 = 60𝑠; podamos encontrar
un t2 que responda la pregunta, entonces:
26 = 20 + (30 − 20)𝑒𝑘60
26 − 20
10
= 𝑒𝑘60
=>
6
10
= 𝑒𝑘60
Estamos frente a una ecuación exponencial, ¿Cómo la resolvemos?, muy fácil, aplicando
logaritmos a ambos lados de la ecuación, porque al tener un exponencial y le aplicamos
un logaritmo, se tiene que: ln 𝑒 = 1 y ln 𝑒𝑎
= ln 𝑒(𝑎):
ln
3
5
= ln 𝑒𝑘60
ln
3
5
= 𝑘60
𝑘 =
ln 3 − ln 5
60
𝑘 = −0.008514
Ahora sí, con k conocida, podemos calcular el tiempo que tiene que pasar para que se
tenga una temperatura de 𝑇 = 23º𝐶
Datos conocidos: 23 = 20 + (30 − 20)𝑒−0.008514𝑡
𝑇 = 23º𝐶 Ahora, nuestra incógnita es el tiempo t.
𝑇𝑚 = 20º𝐶
𝑇𝑖 = 30º𝐶
𝑘 = −0.008514
Operando algebraicamente:
23 − 20
10
= 𝑒−0.008514𝑡
3
10
= 𝑒−0.008514𝑡
Nuevamente, se nos presenta una ecuación exponencial, aplicamos logaritmos a ambos
miembros de la ecuación otra vez:
ln
3
10
= ln 𝑒−0−008514𝑡
ln
3
10
= −0.008514𝑡
𝑡 =
ln 3 − ln 10
−0.008514
𝑡 = 141.64𝑠
De tal manera que, tienen que pasar 141.64 segundos o bien, 2.36 minutos para que se
tenga una temperatura 𝑇 = 23º𝐶. Podemos comprobar igualmente, que, al tener ya
todos los datos, llegaremos a la respuesta.
Comprobación:
𝑇 = 𝑇𝑚 + (𝑇𝑖 − 𝑇𝑚)𝑒𝑘𝑡
𝑇 = 20 + (30 − 20)𝑒(−0.008514)(141.64)
𝑇 = 20 + (10)𝑒−1.2040
𝑇 = 20 + 3
𝑇 = 23º𝐶
Hemos confirmado que, efectivamente, ese tiempo tiene que pasar para que se tenga
una temperatura indicada, por lo tanto, se concluye que esta ley establecida por el Sir.
Isaac Newton, es verdadera, y que el planteamiento de la ecuación diferencial es
sumamente efectivo.
Esta ley no solo se aplica a ejemplos cotidianos, si no que como comentaba al inició, se
utiliza mucho en la construcción de maquinas térmicas, para conocer la temperatura
ideal de nuestra turbina, el tiempo que debe transcurrir para que alcance la misma, una
temperatura inicial que pueda hacer efectiva a nuestra turbina, motor, etc. También es
muy frecuente en la construcción de casas, ya que, dependiendo de la temperatura
ambiental, se eligen los materiales de las paredes, que aislantes usar, y cuanta cantidad.
Por ejemplo, suponiendo que vivimos al Norte de California, ¿Por qué las casas están
hechas de madera?, porque cuando es invierno, ese material de alguna forma mantiene
el calor dentro de la cabaña o casa cuando es época de nieve, la madera hace que la
temperatura dentro de la casa se mantenga fresca, de lo contrario, si estuviera hecha de
ladrillos, la casa se sentiría demasiado fría, ya que el ladrillo no es un buen conductor
térmico. Por eso en algunas partes del mundo las casas están hechas de distintos
materiales, en lugares donde hace mucho calor, ya no se utiliza madera, si no block o
ladrillos, ya que como el ladrillo no es buen conductor térmico, entonces, al haber
mucho calor, no deja que dentro de la casa aumente la temperatura. Es por eso que
existen los sistemas térmicos de aire acondicionado, no solo en casas, si no en autos
también. Entonces, esta ley, en términos físicos, nos permite describir el
comportamiento de la temperatura de cualquier fenómeno al interaccionar con la
temperatura ambiental, gracias a esta ley, se han podido crear varios sistemas de
refrigeración para sentirnos en un ambiente agradable de alguna manera.
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  • 1. Ley del Enfriamiento de Newton Zinedine Adrián Arias Vera Diciembre 2022 ón Hola a todos, mi nombre es Zinedine, soy estudiante del programa educativo de Ingeniería en Aeronáutica de la Universidad Politécnica Metropolitana de Hidalgo. En esta ocasión les vengo compartiendo una increíble teoría, se trata sobre la Ley del Enfriamiento de Newton, esta ley es muy estudiada en la asignatura de Transferencia de Calor y muy útil para aquellos estudiantes de ingeniería, y también para los ya egresados, en este caso por supuesto Aeronáutica, principalmente para aquellos que estamos interesados en la especialización del área de propulsión, donde se estudia mucho la parte de cohetes, motores, turbinas, etc. Por lo que se debe tener una buena base de Termodinámica y de Transferencia de Calor. En este breve artículo, estaremos viendo la importancia de esta ley, ya que es muy fundamental para la construcción de maquinas térmicas. Cualquier persona que tenga una base sólida de ecuaciones diferenciales y de matemáticas en general será capaz de entender esta ley, y, además, a diario la aplicamos inconscientemente en nuestra vida cotidiana, pero para aquellos que quieran entender el por qué, el cómo, y el para qué, este es su sitio ideal. Isaac Newton El Señor Isaac Newton, como muchos sabemos, fue un físico, filosofo, matemático, alquimista y teólogo inglés, con toda su vida de dedicación, estableció las leyes de la mecánica, que llevan su nombre: Leyes de Newton; también es conocido como el padre del cálculo. Entre muchas teorías y contribuciones, se encuentra la ley del enfriamiento. Todos hemos oído el dicho “Newton nos lleva a la Luna”, ya que se le atribuye como el padre del cálculo diferencial e integral, aunque a Leibniz también se le ha atribuido como el padre del cálculo, la forma de Newton es la que más se ha destacado, ya que utilizo esas bases de cálculo para describir las leyes del movimiento mediante ecuaciones diferenciales.
  • 2. ¿Qué dice la Ley del Enfriamiento de Newton? Esta ley establece que la temperatura de un cuerpo cualquiera cambia a una velocidad que es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas tanto del cuerpo mismo y el medio ambiente. Esto quiere decir que nosotros al tener por ejemplo un café en un cuarto, este va a igualarse a la temperatura a la que esté el cuarto en un determinado intervalo de tiempo, para eso, se puede representar en una ecuación diferencial, que quedaría de la siguiente manera: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚) en donde T es temperatura, t es tiempo, K es una constante de proporcionalidad a esas diferencias de temperaturas, T es la temperatura del cuerpo, y Tm la temperatura ambiental (donde el cuerpo de estudio se encuentre). Solución de la Ecuación Diferencial Esta ecuación puede resolverse mediante el método de variables separables, lo que queremos es tener a las temperaturas con el diferencial de las mismas, y la constante de proporcionalidad con el diferencial del tiempo: 𝑑𝑇 (𝑇 − 𝑇𝑚) = 𝐾𝑑𝑡 una vez teniendo la ecuación separada, procedemos a integrar ambos miembros para no desequilibrar la ecuación. Los límites de integración van desde una temperatura inicial a una final, y respecto al tiempo, desde 0 hasta otro tiempo cualquiera. ∫ 𝑑𝑇 (𝑇 − 𝑇𝑚) 𝑇 𝑇𝑖 = ∫ 𝐾𝑑𝑡 𝑡 0 Al integrar ambos lados, tenemos que: ln(𝑇 − 𝑇𝑚) | 𝑇 𝑇𝑖 = 𝐾𝑡 + 𝐶| 𝑡 0 Evaluando en T (no en Tm, esa es la temperatura del medio ambiente donde se encuentre nuestro cuerpo de estudio, dependiendo del problema que se nos presente): ln(𝑇 − 𝑇𝑚) − ln(𝑇𝑖 − 𝑇𝑚) = 𝐾𝑡 De tal manera que, al apoyarnos de una ley de los logaritmos cuando tenemos una diferencia de los mismos, podemos reescribirlo como: ln ( 𝑇 − 𝑇𝑚 𝑇𝑖 − 𝑇𝑚 ) = 𝐾𝑡
  • 3. Pero podemos observar que la variable dependiente (Temperatura), está metida en el logaritmo, para poder eliminarlo, debemos aplicar logaritmo entonces del otro lado también, para no alterar nuestra solución general, pero nos conviene agregar también un exponencial, ya que recordando: ln 𝑒 = 1; ln 𝑒 (𝑎) = 𝑎, esto podemos reescribirlo como: ln 𝑒𝑎 = 𝑎. ln ( 𝑇 − 𝑇𝑚 𝑇𝑖 − 𝑇𝑚 ) = ln 𝑒𝑘𝑡 Ahora bien, lo que nosotros queremos es conocer T, ya que, en muchas ocasiones, la temperatura inicial es conocida, la temperatura ambiental también, entonces, T es nuestra incógnita, por lo tanto, ambos lados tienen que ser iguales, y si en ambos hay logaritmos, al operar, los logaritmos se cancelan, por lo que nos quedaría lo siguiente: 𝑇 − 𝑇𝑚 𝑇𝑖 − 𝑇𝑚 = 𝑒𝑘𝑡 Operando paso a paso para conocer T: 𝑇 − 𝑇𝑚 = (𝑇𝑖 − 𝑇𝑚)𝑒𝑘𝑡 y finalmente tendríamos que: 𝑻 = 𝑻𝒎 + (𝑻𝒊 − 𝑻𝒎)𝒆𝒌𝒕 Entonces, si se diera el caso de que nos pregunten el tiempo, la K, o cualquier variable de esa ecuación, solo tendríamos que despejar. A continuación, se nos presenta un ejemplo de aplicación sobre la ley del enfriamiento de Newton. Ejemplo de Aplicación En 𝑡 = 0, se tiene una temperatura inicial 𝑇𝑖 = 30º𝐶, además, cuando han transcurrido 𝑡 = 60𝑠 se tiene una temperatura 𝑇 = 26º𝐶; ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que se tenga una temperatura 𝑇 = 23º𝐶? Además, se cuenta con una temperatura ambiental 𝑇𝑚 = 20º𝐶. Solución: Observemos bien que, nos están preguntando el tiempo, no la temperatura, los datos que conocemos de la ecuación que hemos deducido son los que están marcados en rojo: 𝑇 = 𝑇𝑚 + (𝑇𝑖 − 𝑇𝑚)𝑒𝑘𝑡 Por lo tanto, primero debemos calcular cuánto vale nuestra constante de proporcionalidad, para eso, el tiempo SI ES CONOCIDO, son 60s, para que después con ayuda de estos datos: 𝑇 = 26º𝐶, 𝑇𝑚 = 20º𝐶, 𝑇𝑖 = 30º𝐶, 𝑡 = 60𝑠; podamos encontrar un t2 que responda la pregunta, entonces: 26 = 20 + (30 − 20)𝑒𝑘60 26 − 20 10 = 𝑒𝑘60 => 6 10 = 𝑒𝑘60
  • 4. Estamos frente a una ecuación exponencial, ¿Cómo la resolvemos?, muy fácil, aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación, porque al tener un exponencial y le aplicamos un logaritmo, se tiene que: ln 𝑒 = 1 y ln 𝑒𝑎 = ln 𝑒(𝑎): ln 3 5 = ln 𝑒𝑘60 ln 3 5 = 𝑘60 𝑘 = ln 3 − ln 5 60 𝑘 = −0.008514 Ahora sí, con k conocida, podemos calcular el tiempo que tiene que pasar para que se tenga una temperatura de 𝑇 = 23º𝐶 Datos conocidos: 23 = 20 + (30 − 20)𝑒−0.008514𝑡 𝑇 = 23º𝐶 Ahora, nuestra incógnita es el tiempo t. 𝑇𝑚 = 20º𝐶 𝑇𝑖 = 30º𝐶 𝑘 = −0.008514 Operando algebraicamente: 23 − 20 10 = 𝑒−0.008514𝑡 3 10 = 𝑒−0.008514𝑡 Nuevamente, se nos presenta una ecuación exponencial, aplicamos logaritmos a ambos miembros de la ecuación otra vez: ln 3 10 = ln 𝑒−0−008514𝑡 ln 3 10 = −0.008514𝑡 𝑡 = ln 3 − ln 10 −0.008514 𝑡 = 141.64𝑠
  • 5. De tal manera que, tienen que pasar 141.64 segundos o bien, 2.36 minutos para que se tenga una temperatura 𝑇 = 23º𝐶. Podemos comprobar igualmente, que, al tener ya todos los datos, llegaremos a la respuesta. Comprobación: 𝑇 = 𝑇𝑚 + (𝑇𝑖 − 𝑇𝑚)𝑒𝑘𝑡 𝑇 = 20 + (30 − 20)𝑒(−0.008514)(141.64) 𝑇 = 20 + (10)𝑒−1.2040 𝑇 = 20 + 3 𝑇 = 23º𝐶 Hemos confirmado que, efectivamente, ese tiempo tiene que pasar para que se tenga una temperatura indicada, por lo tanto, se concluye que esta ley establecida por el Sir. Isaac Newton, es verdadera, y que el planteamiento de la ecuación diferencial es sumamente efectivo. Esta ley no solo se aplica a ejemplos cotidianos, si no que como comentaba al inició, se utiliza mucho en la construcción de maquinas térmicas, para conocer la temperatura ideal de nuestra turbina, el tiempo que debe transcurrir para que alcance la misma, una temperatura inicial que pueda hacer efectiva a nuestra turbina, motor, etc. También es muy frecuente en la construcción de casas, ya que, dependiendo de la temperatura ambiental, se eligen los materiales de las paredes, que aislantes usar, y cuanta cantidad. Por ejemplo, suponiendo que vivimos al Norte de California, ¿Por qué las casas están hechas de madera?, porque cuando es invierno, ese material de alguna forma mantiene el calor dentro de la cabaña o casa cuando es época de nieve, la madera hace que la temperatura dentro de la casa se mantenga fresca, de lo contrario, si estuviera hecha de ladrillos, la casa se sentiría demasiado fría, ya que el ladrillo no es un buen conductor térmico. Por eso en algunas partes del mundo las casas están hechas de distintos materiales, en lugares donde hace mucho calor, ya no se utiliza madera, si no block o ladrillos, ya que como el ladrillo no es buen conductor térmico, entonces, al haber mucho calor, no deja que dentro de la casa aumente la temperatura. Es por eso que existen los sistemas térmicos de aire acondicionado, no solo en casas, si no en autos también. Entonces, esta ley, en términos físicos, nos permite describir el comportamiento de la temperatura de cualquier fenómeno al interaccionar con la temperatura ambiental, gracias a esta ley, se han podido crear varios sistemas de refrigeración para sentirnos en un ambiente agradable de alguna manera.