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INTRODUCCIÓN.
En la enseñanza de la parábola como una cónica son muchos los investigadores que
coinciden con las dificultades que presentan los estudiantes en su estudio, al respecto Just
y Carpenter (1985), menciona que los sujetos identifican las figuras cónicas en un contexto
general, enunciándolas o visualizando un esquema a nivel gráfico; pero al hacer un trabajo
que involucre sus representaciones, características, propiedades y aplicaciones, hay
diferencias en su interpretación y el reconocimiento de sus elementos y generalmente se
responde de forma incorrecta. En el mismo sentido, Casanova (2009), determina en su
trabajo de estudio con las cónicas: dificultad en la relación entre elementos gráficos y
fórmulas o ecuaciones, escritura incorrecta en ecuaciones, representación gráfica
incorrecta a partir de una ecuación, no identifican el eje de simetría de una parábola y otras
cónicas. Asimismo, Gómez y Carulla (2000), asevera que los estudiantes aprenden de
memoria las ecuaciones, no se hacen procesos de análisis y tienen dificultad en relacionar
las diversas escrituras algebraicas, no relacionan de forma lógica una representación
algebraica y una geométrica.
Considerando las evidencias registradas en prácticas pedagógicas en grupos
universitarios en el espacio académico de geometría analítica, nos interesa conocer la
manera como los estudiantes de ingeniería de sistemas llegan a la
construcción/comprensión del concepto de la parábola como una cónica, y determinar
cuáles son las dificultades, las concepciones que se presentan, al igual el camino que
recorren a nivel didáctico, y los elementos matemáticos que se aplican en su construcción,
desde los diferentes sistemas de representación.
1. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
Atendiendo a nuestras experiencias como estudiantes del nivel medio de educación, en
curso de Dibujo Técnico, más específicamente en los objetivos de geometría analítica, nos
permite afirmar, que los estudiantes confrontan muchas dificultades al abordar el capítulo
de la Parábola, tales como: adquirir el concepto, ampliar su extensión en la construcción
de nuevos elementos y pasar de un tipo de representación a otra (Gaspar de Alba, 2007).
Consideramos que estas deficiencias están directamente relacionadas con la planeación
y la práctica del proceso de enseñanza del curso, que no cuenta con el tiempo realmente
necesario para la adecuada implementación de procesos efectivos para la formación y
desarrollo de este concepto.
Consecuentemente, planteamos el problema de investigación siguiente: ¿Cómo lograr que
los estudiantes consoliden la formación y desarrollo del concepto de la parábola? La
naturaleza del problema de investigación y el desarrollo alcanzado por la pedagogía, nos
sugiere la creación de un procedimiento didáctico que permita a los estudiantes construir
un marco conceptual cónsono con los procesos de formación y desarrollo del concepto de
la parábola. Las características de este concepto, hacen que elijamos la vía documental
para llevar a cabo su proceso de formación.
2. JUSTIFICACIÓN
La investigación es pertinente, dado que la esencia de la formación académica de la
educación media y diversificada nacional, tiende al aprendizaje centrado en el sujeto que
aprende. Esto, a fin de mejorar la eficiencia, efectividad y eficacia de las prácticas
pedagógicas que, convenientemente, sirven para que los estudiantes afiancen sus
conocimientos, con miras a un aprendizaje significativo. La trascendencia de esta
investigación está relacionada con el aporte de un marco conceptual didáctico, orientado
a facilitar a los estudiantes, la formación y desarrollo del concepto de la parábola,
contribuyendo a la motivación y generación de interés por el aprendizaje de la unidad de
estudio.
En relación al aspecto metodológico, el marco conceptual a elaborar estará disponible para
estudiantes y docentes que deseen utilizarlo en función a la mejora continua del proceso
de aprendizaje. De igual manera, se considera que el presente estudio servirá de base
para otras investigaciones que tengan como interés principal profundizar sobre la temática.
En consecuencia, se espera que la realización de esta investigación posibilite construir
información muy enriquecedora que sirva para la toma de futuras decisiones de índole
metodológico que tengan que asumirse en el desarrollo del proceso de aprendizaje en los
estudiantes.
Es evidente, entonces que la contribución de esta investigación desde el punto de vista
académico, es el aporte documental en el proceso de aprendizaje, favoreciendo un clima
propicio para estimular el interés del estudiantado por el estudio de la misma. Desde el
punto de vista social, la elaboración del marco conceptual contribuye a la construcción
colectiva de sus aprendizajes, incrementa la satisfacción por el estudio y estimula la
productividad estudiantil y la calidad del conocimiento, a fin de que cada estudiante,
conozca cómo orientar sus esfuerzos individuales y colectivos para su desempeño efectivo
en la solución al problema propuesto. Al estimar la utilidad del trabajo se destaca un alto
valor metodológico, pues refleja en orden lógico e integrado, los pasos necesarios para
llevar a cabo la elaboración de la propuesta metodológica.
3. OBJETIVO:
 La investigación, elaboración y presentación de un marco conceptual didáctico,
orientado a facilitar a los estudiantes del curso de Dibujo Técnico (bachillerato), la
formación y desarrollo del concepto de la parábola utilizando la vía documental.
Para dar solución al problema de investigación y dar cumplimiento al objetivo planteado,
utilizaremos Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC´s1), ya que son
1 Las TIC´s o Tecnologías de Información y Comunicaciones, se constituyen por un grupo diverso de prácticas,
conocimientos y herramientas, vinculados con el consumo y la transmisión de la información, desarrollados a
partir del cambio tecnológico vertiginoso que ha experimentado la humanidad en las últimas décadas, sobre todo
a raíz de la aparición de Internet.
mediadores importantes y son idóneas para la divulgación de la información entre los
estudiantes que participen en el proceso de enseñanza y aprendizaje (PEA2) del curso.
4. HIPÓTESIS.
El uso de diferentes registros de representación, y la participación de los estudiantes en el
paso de un tipo de registro a otro, es parte integrante de los procesos de formación y
desarrollo del concepto de parábola.
5. METODOLOGÍA.
En este sentido se consideran los aspectos involucrados en el contexto de la investigación
en el ámbito del Dibujo Técnico, más específicamente Curvas Cónicas - Parábolas, como
el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano, indicando para ello su
definición, características, propiedades, elementos, trazados, tangentes, puntos de
intersección y métodos de construcción. La metodología aplicada en este estudio; la cual
es de tipo Documental-Descriptiva, según lo refiere Alfonso (1995), citado por Rizo (2015,
p: 22), la investigación documental es un procedimiento científico, un proceso sistemático
de indagación, recolección, organización, análisis e interpretación de información o datos
en torno a un determinado tema. Al igual que otros tipos de investigación, éste es
conducente a la construcción de conocimientos, apoyada en la Ingeniería Didáctica de
Chevallard (1998).
La investigación se desarrolla en dos (2 fases: (a) elaboración de un esquema conceptual
de las Curvas Cónicas - Parábolas, donde serán descritas sus características,
propiedades y principales elementos. Posteriormente, (b) serán enunciados y explicados
los métodos de trazado y construcción de parábolas (incluyendo representaciones
gráficas), bajo las condiciones de Trazado, rectas tangentes, puntos de intersección y
arcos de circunferencia o radios de curvatura. Resulta importante destacar el alto valor
metodológico de esta investigación, pues refleja en orden lógico e integrado, los pasos
necesarios para la elaboración de la propuesta del marco conceptual.
2
PEA (Procesos de enseñanzas y aprendizajes), es aquel proceso educativo institucional que, de modo más
sistémico, organiza y estructura la enseñanza en relación con la manera que debe ocurrir el aprendizaje, a partir
de la relación esencial que se da entre los fines de la educación (objetivos); la precisión de los contenidos y de
éstos con la dinámica de los procesos de enseñanzas.
6. MARCO CONCEPTUAL.
6.1. PARÁBOLA.
Las parábolas están presentes de una forma muy significativa en nuestras vidas
cotidianas, a pesar de no ser plenamente conscientes de ello. De hecho, fue Galileo quien
descubrió que la bala disparada por un cañón, si despreciamos el rozamiento con el aire,
describe una trayectoria parabólica. En realidad, cualquier lanzamiento de un objeto traza
una parábola en el aire. El lanzamiento de un jugador de baloncesto, el pelotazo de un
jugador de futbol o el tiro de un golfista son ejemplos de parábolas que vemos con mucha
frecuencia. Incluso en las fuentes, cuando se dispara un chorro de agua se puede ver
que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos
considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a
cada desplazamiento horizontal x la altura y alcanzada por la pelota.
Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas
cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que
corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el
vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las
mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vértice. Por tanto, la
recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la
parábola.
También estamos acostumbrados a ver antenas parabólicas de algunas empresas de
servicio de televisión satelital a nuestro alrededor, que son paraboloides de revolución
(superficies que se generan al girar una parábola en torno a su eje), las cuales son
diseñadas y construidas de esta forma debido a la propiedad óptica de la parábola. Es
también el motivo por el que los faros de los coches e incluso las luminarias de los faros
marítimos estén basadas en esta curva. Al igual que en el caso de las otras curvas
cónicas, una lámpara puede proyectar una parábola de luz en la pared si tiene la
inclinación adecuada.
6.1.1. DEFINICIÓN.
a. Como sección del cono:
Una superficie cónica de revolución, está engendrada por la rotación de una recta
alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. La
denominada sección cónica, es la curva de intersección de un cono con un plano que
no pasa por su vértice. De la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la
inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes
secciones cónicas. La parábola es la curva obtenida al seccionar un cono de revolución
por un plano, de tal forma que el ángulo que forma el plano con el eje del cono es igual
que el formado por el eje y cualquier generatriz del cono.
FIGURA N°– PARABOLA COMO SECCIÓN DEL CONO.
b. Como lugar geométrico:
La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como un lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y
de una recta fija d, llamada directriz. Tiene un vértice V y un eje de simetría que
pasa por V y por el foco F, siendo perpendicular a la directriz d. La tangente en el
vértice a la curva es paralela a la directriz d. De manera más simple, es una curva
cónica, abierta, plana y de una sola rama, que, a su vez es conocido como el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo (denominado foco F) y
de una recta denominada (directriz d).
FIGURA N° – PARABOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
6.1.2. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.
a. Eje:
Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera
de las ramas de la parábola.
b. Vértice:
Se denomina vértice V, al punto de intersección de la curva con el eje, la tangente en
V a la curva es paralela a la directriz. Por ser V un punto de la curva, equidista del
foco y la directriz. Es la recta ortogonal a la directriz que pasa por el foco, es el eje de
la parábola. Este eje corta a la parábola en un único punto llamado vértice.
c. Foco:
En un punto fijo que no perteneciente a la parábola, se ubica en el eje focal al interior
de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice. Se denota por F y está sobre
el eje.
d. Directriz:
En una línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice
y fuera de las ramas de la parábola. Es una recta fija que no pasa por el foco y es
perpendicular al eje. Se denota por d.
e. Parámetro:
Es la distancia del foco a la directriz, y se designa por p. El vértice está en el punto
medio del segmento que une perpendicularmente el foco con la directriz; así pues, la
distancia del vértice al foco es p y la distancia del vértice a la directriz también es p.
f. Radio vector:
Es una línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice
y fuera de las ramas de la parábola. Es un segmento que une un punto cualquiera de
la parábola con el foco.
g. Cuerda focal:
Es un segmento que une dos puntos de la parábola y que pasa por el foco. La mínima
cuerda focal, es decir, la que es perpendicular al eje, es el latus rectum de la parábola.
FIGURA N° – ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA.
6.1.3. CONSTRUCCIONES DE LA PARÁBOLA.
a. Con cuerda:
Este método se basa en la definición de la parábola como lugar geométrico. Para ello
se utiliza un cartabón, una regla, una cuerda y una chincheta. Se fijan en primer lugar
la directriz y el foco; sobre la directriz se apoya la regla, que ha de quedar fija para
poder deslizar sobre ella el cartabón. La cuerda, que debe tener la misma longitud que
el cateto mayor del cartabón, se ata en uno de sus extremos a la chincheta, y esta se
clava en el foco. El otro extremo de la cuerda se fija en el cartabón, justo en el vértice
de este que forman el cateto mayor y la hipotenusa. A continuación, se apoya el
cartabón en la regla (que tenemos fijada sobre la directriz) sobre su cateto menor, y
mientras deslizamos éste por la regla, con un lápiz mantenemos tensa la cuerda, lo que
nos dibujará una parábola.
FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON CUERDA.
b. Método del sastre:
Se dibuja un ángulo cualquiera. Se marcan divisiones iguales en cada uno de los dos
lados de dicho ángulo y se numeran. Se unen los puntos con números iguales mediante
segmentos que serán tangentes a la parábola. La curva queda definida como
envolvente de los segmentos tangentes.
FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON MÉTODO DE SASTRE.
c. Mediante circunferencias concéntricas:
Se parte de un punto fijo F, el foco, y una recta también fija d, la directriz. Trazamos
rectas paralelas equidistantes a la directriz (una de ellas pasando por el foco) y con esa
misma distancia como radio, dibujamos circunferencias concéntricas de centro F. El
vértice de la parábola estará a la misma distancia de F y de d, y ese punto (vértice) es
el de tangencia de una recta y una circunferencia. Tomando la siguiente recta en
dirección hacia el foco, buscamos su intersección con la circunferencia de radio una
unidad más que la anterior; esos dos puntos serán puntos de la parábola. Repetimos
el proceso con las rectas y las circunferencias sucesivas, obteniendo puntos que
posteriormente unimos para obtener la parábola buscada.
FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA MEDIANTE
CIRCUNSFERENCIAS CONCÉNTRICAS.
d. Por puntos:
Partimos de los siguientes datos conocidos: el eje de la parábola, la directriz y el foco.
A partir de aquí hallamos el vértice V, punto medio del segmento AF, siendo A el punto
de intersección del eje con la directriz.
FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA POR PUNTOS.
e. Parabológrafos:
Son instrumentos diseñados y fabricados para trazar parábolas, muy usados antes de
la irrupción de la informática.
FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON PARABOLÓGRAFO.
6.1.4. TRAZADO DE PARÁBOLAS.
a. Conociendo la Directriz y el Foco:
Teniendo en cuanta la definición de la parábola, se buscan puntos equidistantes del
foco F, y la directriz d. Para ello, se determinarán una serie de puntos sobre el eje, por
los que trazaremos paralelas a la directriz. Trazando arcos de circunferencia de centro
en F y radios, determinaremos sobre las correspondientes paralelas anteriores, los
puntos de la parábola buscada. Con cada pareja de radios vectores, se determinarán
dos puntos de la parábola, uno en cada rama de la misma. Cuanto mayor sea el número
de puntos, mayor será la precisión del trazado de la parábola, que deberá realizarse, o
bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA CONOCIENDO LA DIRECTRIZ Y EL
FOCO.
b. Trazado de la parábola, por haces proyectivos
Se inicia obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, se traza un
rectángulo APCV y se dividen los lados AP y PC en un mismo número de partes
iguales. Por las divisiones de AP, se trazan paralelas al eje de la curva y se unen las
divisiones de CP, con el vértice V de la curva. La intersección de estas rectas con las
paralelas anteriores, determinarán puntos, como el P, pertenecientes a la parábola
buscada. Esto se repetirá para la otra rama de la parábola.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA CONOCIENDO POR HACES
PROYECTIVOS.
c. Trazado de la parábola, por envolventes
Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal, en este caso,
la tangente a la curva en el vértice, es el lugar geométrico de los pies de las
perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la parábola. Para este trazado
partiremos de puntos de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco
F y trazaremos por los puntos anteriores perpendiculares a los segmentos, obteniendo
las rectas tangentes a la parábola. La curva se determinará mediante tangentes a
dichas rectas.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR ENVOLVENTES.
d. Trazado de la parábola, en base a la definición de la curva:
Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de
los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la
circunferencia focal. Comenzaremos trazando las rectas F1, F2, F3, etc., que unen el
foco de la curva F, con puntos de la directriz d. Seguidamente trazaremos las
perpendiculares a los segmentos anteriores, en su punto de intersección con la
circunferencia principal, en el caso del segmento F1, en el punto s. Esta perpendicular
resulta ser la mediatriz del segmento F1, y tangente a la curva. Trazando por el punto 1,
una paralela al eje de la curva, dicha paralela interceptará a la tangente anteriormente
trazada en el punto T1, punto de la parábola. Repitiendo con el resto de puntos,
obtendremos los suficientes puntos de la curva para poder ser trazada.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA EN BASE A LA DEFINICIÓN DE LA
CURVA.
e. Recta tangente y normal en un punto de la parábola
La tangente a la parábola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman
los radios vectores en dicho punto. La normal en P, es la perpendicular a la tangente
en dicho punto.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA CON RECTA TANGENTE Y
NORMAL EN UN PUNTO DE LA PARÁBOLA.
f. Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior, por circunferencia focal
Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal (directriz), como el
lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la
parábola. Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la
circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal (directriz), en los
puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la
parábola desde el punto P. Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F–
F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la parábola
buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por F1 y F2,
rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los
puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR RECTAS TANGENTES A LA
PARÁBOLA.
g. Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior, por circunferencia
principal
Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia
principal (tangente en el vértice), y a continuación la circunferencia de centro en C, y
diámetro P–F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2. Las rectas P–
1 y P–2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de
tangencia, haremos 1–F1=1–F y 2–F2=2–F, y por F1 y F2, trazaremos rectas paralelas
al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2,
puntos de tangencia buscados.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR RECTAS TANGENTES A LA
PARÁBOLA.
h. Rectas tangentes a la parábola, paralelas a una dirección dada, por circunferencia
focal
Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo
que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito. Dada la
dirección d, comenzaremos trazando la recta perpendicular a la dirección d, y que pase
por el foco F. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal (directriz), el punto F1.
La mediatriz del segmento F–F1, será la tangente a la parábola t buscada. Para
determinar el punto de tangencia, trazaremos pro F1, la recta paralela al eje de la curva,
que determinarán sobre la tangente t, el punto T1, punto de tangencia buscado.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR RECTAS TANGENTES A LA
PARÁBOLA.
i. Rectas tangentes a la parábola, paralelas a una dirección dada por circunferencia
principal
Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el
vértice), y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el
foco F. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en el punto 1, perteneciente
a la tangente buscada. Solo restará trazar por 1 la recta t, paralela a la dirección dada,
siendo esta la tangente buscada. Para determinar los puntos de tangencia, haremos 1–
F1=1–F, y por F1 trazaremos una recta paralela al eje de la curva, que terminará sobre
la tangente t el punto T1, punto de tangencia buscado.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR RECTAS TANGENTES A LA
PARÁBOLA.
j. Puntos de intersección de una recta con una parábola:
Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de
los centros de circunferencias que pasan por el foco, y son tangentes a la circunferencia
focal del otro foco (directriz). Se inicia trazando una circunferencia cualquiera con centro
en la recta r pasando por el foco F. Sobre dicha circunferencia determinaremos el
punto F1, simétrico del foco F, respecto a la recta r. Los puntos de intersección
buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando
por F1 y F, sean tangentes a la circunferencia focal (directriz). Por lo tanto, el problema
se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a
una recta dada (directriz).
Prolongando la recta F–F1, determinaremos sobre la directriz el punto Cr, centro radical
de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por F y F1. Con centro en pm,
punto medio del segmento F–Cr, trazaremos la circunferencia de diámetro F–Cr y
por F1 la perpendicular a dicho diámetro, determinando sobre la circunferencia anterior
el punto 1. Con centro en Cr trazaremos el arco de circunferencia de radio Cr–1, que
nos determinará sobre la directriz, los puntos T1 y T2. Las perpendiculares a la directriz
en dichos puntos, determinarán sobre la recta r los puntos I1 e I2, de intersección de la
recta con la parábola.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR PUNTOS DE INTERSECCIÓN
DE UNA RECTA.
k. Trazado de la parábola por arcos de circunferencia. Radios de curvatura:
Para determinar el centro de curvatura en un punto P de la parábola, trazaremos la
normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto. La
normal trazada, cortará al eje en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la
perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta trazada por P y paralela al
eje, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la perpendicular al eje, que interceptará a
la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado. El centro de curva en el vértice
de la curva Cv, lo determinaremos haciendo F–C.
FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA CONOCIENDO POR ARCOS DE
CIRCUNFERENCIA.
CONCLUSIONES
La aplicación de una ingeniería didáctica en el marco de las situaciones didácticas, permite
a los investigadores hacer un análisis conjunto de los instrumentos utilizados desde las
dimensiones epistemológicas y cognitiva del objeto matemático en estudio. La utilización
de secuencias de enseñanza mediadas por algunos entornos informáticos le permite al
investigador hacer una planeación de la clase y validar cada una de las secuencias, con
el propósito de crear los ambientes de aprendizaje necesarios para que los sujetos se
apropien de forma consciente, real y progresiva del concepto de parábola en el
pensamiento matemático avanzado característicos de la enseñanza universitaria.
En relación a la comprensión/construcción del concepto de parábola, según estudios
realizados y lo cual se evidencia en la fase a-didáctica de esta investigación, el estudiante
muestra concepciones equivocadas y errores que son frecuentes en la solución de tareas,
sobre todo la falta de conocimiento en la construcción del lugar geométrico y el
desconocimiento de algunas características y propiedades de la cónica. En la fase
didáctica, las secuencias didácticas permiten el reconocimiento y estudio de nociones
básicas que implican ecuaciones de segundo grado, el concepto de función, de distancia
y simetrías, y de esta forma establecer patrones en los elementos de la parábola, en la
construcción de las ecuaciones canónicas de la parábola, realizar transformaciones de
ecuaciones en el mismo sistema de representación y lograr la coordinación entre los
sistemas de representación gráfico, algebraico y analítico, donde intervienen procesos de
inferencia, generalización, síntesis, definición, que son la base de la construcción del
concepto matemático.

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  • 1. INTRODUCCIÓN. En la enseñanza de la parábola como una cónica son muchos los investigadores que coinciden con las dificultades que presentan los estudiantes en su estudio, al respecto Just y Carpenter (1985), menciona que los sujetos identifican las figuras cónicas en un contexto general, enunciándolas o visualizando un esquema a nivel gráfico; pero al hacer un trabajo que involucre sus representaciones, características, propiedades y aplicaciones, hay diferencias en su interpretación y el reconocimiento de sus elementos y generalmente se responde de forma incorrecta. En el mismo sentido, Casanova (2009), determina en su trabajo de estudio con las cónicas: dificultad en la relación entre elementos gráficos y fórmulas o ecuaciones, escritura incorrecta en ecuaciones, representación gráfica incorrecta a partir de una ecuación, no identifican el eje de simetría de una parábola y otras cónicas. Asimismo, Gómez y Carulla (2000), asevera que los estudiantes aprenden de memoria las ecuaciones, no se hacen procesos de análisis y tienen dificultad en relacionar las diversas escrituras algebraicas, no relacionan de forma lógica una representación algebraica y una geométrica. Considerando las evidencias registradas en prácticas pedagógicas en grupos universitarios en el espacio académico de geometría analítica, nos interesa conocer la manera como los estudiantes de ingeniería de sistemas llegan a la construcción/comprensión del concepto de la parábola como una cónica, y determinar cuáles son las dificultades, las concepciones que se presentan, al igual el camino que recorren a nivel didáctico, y los elementos matemáticos que se aplican en su construcción, desde los diferentes sistemas de representación.
  • 2. 1. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Atendiendo a nuestras experiencias como estudiantes del nivel medio de educación, en curso de Dibujo Técnico, más específicamente en los objetivos de geometría analítica, nos permite afirmar, que los estudiantes confrontan muchas dificultades al abordar el capítulo de la Parábola, tales como: adquirir el concepto, ampliar su extensión en la construcción de nuevos elementos y pasar de un tipo de representación a otra (Gaspar de Alba, 2007). Consideramos que estas deficiencias están directamente relacionadas con la planeación y la práctica del proceso de enseñanza del curso, que no cuenta con el tiempo realmente necesario para la adecuada implementación de procesos efectivos para la formación y desarrollo de este concepto. Consecuentemente, planteamos el problema de investigación siguiente: ¿Cómo lograr que los estudiantes consoliden la formación y desarrollo del concepto de la parábola? La naturaleza del problema de investigación y el desarrollo alcanzado por la pedagogía, nos sugiere la creación de un procedimiento didáctico que permita a los estudiantes construir un marco conceptual cónsono con los procesos de formación y desarrollo del concepto de la parábola. Las características de este concepto, hacen que elijamos la vía documental para llevar a cabo su proceso de formación. 2. JUSTIFICACIÓN La investigación es pertinente, dado que la esencia de la formación académica de la educación media y diversificada nacional, tiende al aprendizaje centrado en el sujeto que aprende. Esto, a fin de mejorar la eficiencia, efectividad y eficacia de las prácticas pedagógicas que, convenientemente, sirven para que los estudiantes afiancen sus conocimientos, con miras a un aprendizaje significativo. La trascendencia de esta investigación está relacionada con el aporte de un marco conceptual didáctico, orientado a facilitar a los estudiantes, la formación y desarrollo del concepto de la parábola, contribuyendo a la motivación y generación de interés por el aprendizaje de la unidad de estudio.
  • 3. En relación al aspecto metodológico, el marco conceptual a elaborar estará disponible para estudiantes y docentes que deseen utilizarlo en función a la mejora continua del proceso de aprendizaje. De igual manera, se considera que el presente estudio servirá de base para otras investigaciones que tengan como interés principal profundizar sobre la temática. En consecuencia, se espera que la realización de esta investigación posibilite construir información muy enriquecedora que sirva para la toma de futuras decisiones de índole metodológico que tengan que asumirse en el desarrollo del proceso de aprendizaje en los estudiantes. Es evidente, entonces que la contribución de esta investigación desde el punto de vista académico, es el aporte documental en el proceso de aprendizaje, favoreciendo un clima propicio para estimular el interés del estudiantado por el estudio de la misma. Desde el punto de vista social, la elaboración del marco conceptual contribuye a la construcción colectiva de sus aprendizajes, incrementa la satisfacción por el estudio y estimula la productividad estudiantil y la calidad del conocimiento, a fin de que cada estudiante, conozca cómo orientar sus esfuerzos individuales y colectivos para su desempeño efectivo en la solución al problema propuesto. Al estimar la utilidad del trabajo se destaca un alto valor metodológico, pues refleja en orden lógico e integrado, los pasos necesarios para llevar a cabo la elaboración de la propuesta metodológica. 3. OBJETIVO:  La investigación, elaboración y presentación de un marco conceptual didáctico, orientado a facilitar a los estudiantes del curso de Dibujo Técnico (bachillerato), la formación y desarrollo del concepto de la parábola utilizando la vía documental. Para dar solución al problema de investigación y dar cumplimiento al objetivo planteado, utilizaremos Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC´s1), ya que son 1 Las TIC´s o Tecnologías de Información y Comunicaciones, se constituyen por un grupo diverso de prácticas, conocimientos y herramientas, vinculados con el consumo y la transmisión de la información, desarrollados a partir del cambio tecnológico vertiginoso que ha experimentado la humanidad en las últimas décadas, sobre todo a raíz de la aparición de Internet.
  • 4. mediadores importantes y son idóneas para la divulgación de la información entre los estudiantes que participen en el proceso de enseñanza y aprendizaje (PEA2) del curso. 4. HIPÓTESIS. El uso de diferentes registros de representación, y la participación de los estudiantes en el paso de un tipo de registro a otro, es parte integrante de los procesos de formación y desarrollo del concepto de parábola. 5. METODOLOGÍA. En este sentido se consideran los aspectos involucrados en el contexto de la investigación en el ámbito del Dibujo Técnico, más específicamente Curvas Cónicas - Parábolas, como el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano, indicando para ello su definición, características, propiedades, elementos, trazados, tangentes, puntos de intersección y métodos de construcción. La metodología aplicada en este estudio; la cual es de tipo Documental-Descriptiva, según lo refiere Alfonso (1995), citado por Rizo (2015, p: 22), la investigación documental es un procedimiento científico, un proceso sistemático de indagación, recolección, organización, análisis e interpretación de información o datos en torno a un determinado tema. Al igual que otros tipos de investigación, éste es conducente a la construcción de conocimientos, apoyada en la Ingeniería Didáctica de Chevallard (1998). La investigación se desarrolla en dos (2 fases: (a) elaboración de un esquema conceptual de las Curvas Cónicas - Parábolas, donde serán descritas sus características, propiedades y principales elementos. Posteriormente, (b) serán enunciados y explicados los métodos de trazado y construcción de parábolas (incluyendo representaciones gráficas), bajo las condiciones de Trazado, rectas tangentes, puntos de intersección y arcos de circunferencia o radios de curvatura. Resulta importante destacar el alto valor metodológico de esta investigación, pues refleja en orden lógico e integrado, los pasos necesarios para la elaboración de la propuesta del marco conceptual. 2 PEA (Procesos de enseñanzas y aprendizajes), es aquel proceso educativo institucional que, de modo más sistémico, organiza y estructura la enseñanza en relación con la manera que debe ocurrir el aprendizaje, a partir de la relación esencial que se da entre los fines de la educación (objetivos); la precisión de los contenidos y de éstos con la dinámica de los procesos de enseñanzas.
  • 5. 6. MARCO CONCEPTUAL. 6.1. PARÁBOLA. Las parábolas están presentes de una forma muy significativa en nuestras vidas cotidianas, a pesar de no ser plenamente conscientes de ello. De hecho, fue Galileo quien descubrió que la bala disparada por un cañón, si despreciamos el rozamiento con el aire, describe una trayectoria parabólica. En realidad, cualquier lanzamiento de un objeto traza una parábola en el aire. El lanzamiento de un jugador de baloncesto, el pelotazo de un jugador de futbol o el tiro de un golfista son ejemplos de parábolas que vemos con mucha frecuencia. Incluso en las fuentes, cuando se dispara un chorro de agua se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal x la altura y alcanzada por la pelota. Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola. También estamos acostumbrados a ver antenas parabólicas de algunas empresas de servicio de televisión satelital a nuestro alrededor, que son paraboloides de revolución (superficies que se generan al girar una parábola en torno a su eje), las cuales son diseñadas y construidas de esta forma debido a la propiedad óptica de la parábola. Es también el motivo por el que los faros de los coches e incluso las luminarias de los faros marítimos estén basadas en esta curva. Al igual que en el caso de las otras curvas cónicas, una lámpara puede proyectar una parábola de luz en la pared si tiene la inclinación adecuada.
  • 6. 6.1.1. DEFINICIÓN. a. Como sección del cono: Una superficie cónica de revolución, está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. La denominada sección cónica, es la curva de intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. De la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas. La parábola es la curva obtenida al seccionar un cono de revolución por un plano, de tal forma que el ángulo que forma el plano con el eje del cono es igual que el formado por el eje y cualquier generatriz del cono. FIGURA N°– PARABOLA COMO SECCIÓN DEL CONO.
  • 7. b. Como lugar geométrico: La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. Tiene un vértice V y un eje de simetría que pasa por V y por el foco F, siendo perpendicular a la directriz d. La tangente en el vértice a la curva es paralela a la directriz d. De manera más simple, es una curva cónica, abierta, plana y de una sola rama, que, a su vez es conocido como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo (denominado foco F) y de una recta denominada (directriz d). FIGURA N° – PARABOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO. 6.1.2. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA. a. Eje: Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola.
  • 8. b. Vértice: Se denomina vértice V, al punto de intersección de la curva con el eje, la tangente en V a la curva es paralela a la directriz. Por ser V un punto de la curva, equidista del foco y la directriz. Es la recta ortogonal a la directriz que pasa por el foco, es el eje de la parábola. Este eje corta a la parábola en un único punto llamado vértice. c. Foco: En un punto fijo que no perteneciente a la parábola, se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice. Se denota por F y está sobre el eje. d. Directriz: En una línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola. Es una recta fija que no pasa por el foco y es perpendicular al eje. Se denota por d. e. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, y se designa por p. El vértice está en el punto medio del segmento que une perpendicularmente el foco con la directriz; así pues, la distancia del vértice al foco es p y la distancia del vértice a la directriz también es p. f. Radio vector: Es una línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola. Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. g. Cuerda focal: Es un segmento que une dos puntos de la parábola y que pasa por el foco. La mínima cuerda focal, es decir, la que es perpendicular al eje, es el latus rectum de la parábola. FIGURA N° – ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA.
  • 9. 6.1.3. CONSTRUCCIONES DE LA PARÁBOLA. a. Con cuerda: Este método se basa en la definición de la parábola como lugar geométrico. Para ello se utiliza un cartabón, una regla, una cuerda y una chincheta. Se fijan en primer lugar la directriz y el foco; sobre la directriz se apoya la regla, que ha de quedar fija para poder deslizar sobre ella el cartabón. La cuerda, que debe tener la misma longitud que el cateto mayor del cartabón, se ata en uno de sus extremos a la chincheta, y esta se clava en el foco. El otro extremo de la cuerda se fija en el cartabón, justo en el vértice de este que forman el cateto mayor y la hipotenusa. A continuación, se apoya el cartabón en la regla (que tenemos fijada sobre la directriz) sobre su cateto menor, y mientras deslizamos éste por la regla, con un lápiz mantenemos tensa la cuerda, lo que nos dibujará una parábola. FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON CUERDA.
  • 10. b. Método del sastre: Se dibuja un ángulo cualquiera. Se marcan divisiones iguales en cada uno de los dos lados de dicho ángulo y se numeran. Se unen los puntos con números iguales mediante segmentos que serán tangentes a la parábola. La curva queda definida como envolvente de los segmentos tangentes. FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON MÉTODO DE SASTRE. c. Mediante circunferencias concéntricas:
  • 11. Se parte de un punto fijo F, el foco, y una recta también fija d, la directriz. Trazamos rectas paralelas equidistantes a la directriz (una de ellas pasando por el foco) y con esa misma distancia como radio, dibujamos circunferencias concéntricas de centro F. El vértice de la parábola estará a la misma distancia de F y de d, y ese punto (vértice) es el de tangencia de una recta y una circunferencia. Tomando la siguiente recta en dirección hacia el foco, buscamos su intersección con la circunferencia de radio una unidad más que la anterior; esos dos puntos serán puntos de la parábola. Repetimos el proceso con las rectas y las circunferencias sucesivas, obteniendo puntos que posteriormente unimos para obtener la parábola buscada. FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA MEDIANTE CIRCUNSFERENCIAS CONCÉNTRICAS. d. Por puntos: Partimos de los siguientes datos conocidos: el eje de la parábola, la directriz y el foco. A partir de aquí hallamos el vértice V, punto medio del segmento AF, siendo A el punto de intersección del eje con la directriz. FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA POR PUNTOS.
  • 12. e. Parabológrafos: Son instrumentos diseñados y fabricados para trazar parábolas, muy usados antes de la irrupción de la informática. FIGURA N° – CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON PARABOLÓGRAFO. 6.1.4. TRAZADO DE PARÁBOLAS. a. Conociendo la Directriz y el Foco:
  • 13. Teniendo en cuanta la definición de la parábola, se buscan puntos equidistantes del foco F, y la directriz d. Para ello, se determinarán una serie de puntos sobre el eje, por los que trazaremos paralelas a la directriz. Trazando arcos de circunferencia de centro en F y radios, determinaremos sobre las correspondientes paralelas anteriores, los puntos de la parábola buscada. Con cada pareja de radios vectores, se determinarán dos puntos de la parábola, uno en cada rama de la misma. Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la parábola, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA CONOCIENDO LA DIRECTRIZ Y EL FOCO. b. Trazado de la parábola, por haces proyectivos Se inicia obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, se traza un rectángulo APCV y se dividen los lados AP y PC en un mismo número de partes iguales. Por las divisiones de AP, se trazan paralelas al eje de la curva y se unen las divisiones de CP, con el vértice V de la curva. La intersección de estas rectas con las paralelas anteriores, determinarán puntos, como el P, pertenecientes a la parábola buscada. Esto se repetirá para la otra rama de la parábola.
  • 14. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA CONOCIENDO POR HACES PROYECTIVOS. c. Trazado de la parábola, por envolventes Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal, en este caso, la tangente a la curva en el vértice, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la parábola. Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco F y trazaremos por los puntos anteriores perpendiculares a los segmentos, obteniendo las rectas tangentes a la parábola. La curva se determinará mediante tangentes a dichas rectas. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR ENVOLVENTES.
  • 15. d. Trazado de la parábola, en base a la definición de la curva: Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal. Comenzaremos trazando las rectas F1, F2, F3, etc., que unen el foco de la curva F, con puntos de la directriz d. Seguidamente trazaremos las perpendiculares a los segmentos anteriores, en su punto de intersección con la circunferencia principal, en el caso del segmento F1, en el punto s. Esta perpendicular resulta ser la mediatriz del segmento F1, y tangente a la curva. Trazando por el punto 1, una paralela al eje de la curva, dicha paralela interceptará a la tangente anteriormente trazada en el punto T1, punto de la parábola. Repitiendo con el resto de puntos, obtendremos los suficientes puntos de la curva para poder ser trazada. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA EN BASE A LA DEFINICIÓN DE LA CURVA.
  • 16. e. Recta tangente y normal en un punto de la parábola La tangente a la parábola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto. La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA CON RECTA TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO DE LA PARÁBOLA.
  • 17. f. Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior, por circunferencia focal Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal (directriz), como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la parábola. Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal (directriz), en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la parábola desde el punto P. Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F– F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la parábola buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por F1 y F2, rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA.
  • 18. g. Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior, por circunferencia principal Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el vértice), y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P–F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2. Las rectas P– 1 y P–2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, haremos 1–F1=1–F y 2–F2=2–F, y por F1 y F2, trazaremos rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA.
  • 19. h. Rectas tangentes a la parábola, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito. Dada la dirección d, comenzaremos trazando la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal (directriz), el punto F1. La mediatriz del segmento F–F1, será la tangente a la parábola t buscada. Para determinar el punto de tangencia, trazaremos pro F1, la recta paralela al eje de la curva, que determinarán sobre la tangente t, el punto T1, punto de tangencia buscado. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA.
  • 20. i. Rectas tangentes a la parábola, paralelas a una dirección dada por circunferencia principal Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el vértice), y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en el punto 1, perteneciente a la tangente buscada. Solo restará trazar por 1 la recta t, paralela a la dirección dada, siendo esta la tangente buscada. Para determinar los puntos de tangencia, haremos 1– F1=1–F, y por F1 trazaremos una recta paralela al eje de la curva, que terminará sobre la tangente t el punto T1, punto de tangencia buscado. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA.
  • 21. j. Puntos de intersección de una recta con una parábola: Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por el foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco (directriz). Se inicia trazando una circunferencia cualquiera con centro en la recta r pasando por el foco F. Sobre dicha circunferencia determinaremos el punto F1, simétrico del foco F, respecto a la recta r. Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por F1 y F, sean tangentes a la circunferencia focal (directriz). Por lo tanto, el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a una recta dada (directriz). Prolongando la recta F–F1, determinaremos sobre la directriz el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por F y F1. Con centro en pm, punto medio del segmento F–Cr, trazaremos la circunferencia de diámetro F–Cr y por F1 la perpendicular a dicho diámetro, determinando sobre la circunferencia anterior el punto 1. Con centro en Cr trazaremos el arco de circunferencia de radio Cr–1, que nos determinará sobre la directriz, los puntos T1 y T2. Las perpendiculares a la directriz en dichos puntos, determinarán sobre la recta r los puntos I1 e I2, de intersección de la recta con la parábola.
  • 22. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA POR PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA. k. Trazado de la parábola por arcos de circunferencia. Radios de curvatura: Para determinar el centro de curvatura en un punto P de la parábola, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto. La normal trazada, cortará al eje en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta trazada por P y paralela al eje, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la perpendicular al eje, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado. El centro de curva en el vértice de la curva Cv, lo determinaremos haciendo F–C. FIGURA N° – TRAZADO DE UNA PARÁBOLA CONOCIENDO POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIA.
  • 23.
  • 24. CONCLUSIONES La aplicación de una ingeniería didáctica en el marco de las situaciones didácticas, permite a los investigadores hacer un análisis conjunto de los instrumentos utilizados desde las dimensiones epistemológicas y cognitiva del objeto matemático en estudio. La utilización de secuencias de enseñanza mediadas por algunos entornos informáticos le permite al investigador hacer una planeación de la clase y validar cada una de las secuencias, con el propósito de crear los ambientes de aprendizaje necesarios para que los sujetos se apropien de forma consciente, real y progresiva del concepto de parábola en el pensamiento matemático avanzado característicos de la enseñanza universitaria. En relación a la comprensión/construcción del concepto de parábola, según estudios realizados y lo cual se evidencia en la fase a-didáctica de esta investigación, el estudiante muestra concepciones equivocadas y errores que son frecuentes en la solución de tareas, sobre todo la falta de conocimiento en la construcción del lugar geométrico y el desconocimiento de algunas características y propiedades de la cónica. En la fase didáctica, las secuencias didácticas permiten el reconocimiento y estudio de nociones básicas que implican ecuaciones de segundo grado, el concepto de función, de distancia y simetrías, y de esta forma establecer patrones en los elementos de la parábola, en la construcción de las ecuaciones canónicas de la parábola, realizar transformaciones de ecuaciones en el mismo sistema de representación y lograr la coordinación entre los sistemas de representación gráfico, algebraico y analítico, donde intervienen procesos de inferencia, generalización, síntesis, definición, que son la base de la construcción del concepto matemático.