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DEFINIÇÃO: Ângulo é a região do plano situada entre duas semirretas distintas de mesma origem.
Semana de 21 a 25/06 – Geometria 6º Ano
4. ÂNGULOS
4.1. Conceito, elementos e notação.
 CONCEITO
Observe que na figura ao lado temos:
 Duas retas concorrentes AC e BD no plano ;
 O ponto V, interseção entre as duas retas;
^ ^ ^ ^
 As regiões AVB, BVC, CVD e DVA do plano.
^
Vamos destacar a região BVC:
 Complete:
VB é uma................................ de origem em........................
V
VC é uma ...............................de origem em ......................
 ELEMENTOS
Os elementos de um ângulo são:
 Vértice  Ponto de origem das duas semirretas.
 Lados  Cada uma das semirretas.
 Abertura  Região interna determinada pelas semirretas.
Vértice
 NOTAÇÃO
Um ângulo pode ser identificado dos seguintes modos:
a)  BVC
^
b) BVC
^ V
c) V

A B
V
D C
B
C
Lado B
Abertura
V
C
Lado C
B
C
ATENÇÃO: Lembre-se que, na notação, a letra
que corresponde ao vértice fica sempre entre as
outras duas: B
^
.
VC
A
( 1 )
B
( 2 )
C
A
( 3 )
A
+
C
+
+
B
+
D
EXERCÍCIOS
1. Indique os elementos do ângulo dado: 2. Desenhe os ângulos AB
‸ C e BC
‸ D e pinte suas
regiões internas de azul e amarelo, respectivamente:
3. Para cada ângulo dado, indique o vértice e os lados:
Vértice: ................................ Vértice: ................................ Vértice:.................................
Lados: ................................. Lados: .................................. Lados: ..................................
M K
B
V
P
T
D
4. Relacione a coluna da direita com os ângulos 1, 2 e 3 abaixo:
A B
(.....)  BAC
(.....) ACB
B (....)  ABC
C C
5. Marque, os ângulos pedidos:
^
a) ABC
^
b) RPS
R
^
c) EHL
P
A B + +
+ +
+
+ C S
A
F
H
+
+
E
+
L
_______
E
D
F
6. Identifique os ângulos abaixo:
a) b) c)
G
______
T
_______
S
R M N
7. Observe a imagem abaixo e complete as lacunas:
a) Ângulo é a região do plano situada entre duas ___________distintas
de mesma _____________
b) Os elementos desse ângulo são: um .____________ (ponto A), dois
__________ (semirretas _______ e _______) e a __________, região
A
interna do ângulo.
8. Identifique os ângulos que existem na figura:
M
N
Ângulos: ____________________________
........................................................................................... .
P
O
D
9. Observe a imagem ao lado (reprodução da obra Geraldo de
Barros - Função Diagonal - 1952) e destaque os ângulos
pedidos, contornando-os:
a)
b)
c)
C
B
B E
A F
C G
B
α C
^
4.2. USO DO TRANSFERIDOR
 MEDIDAS DE ÂNGULOS
E
β
A D
Observe os ângulos ao lado:
 Eles são diferentes uma vez que não têm a mesma abertura.
Então, podemos dizer que eles possuem medidas diferentes.
F
Podemos, também, indicar o ângulo utilizando uma letra minúscula do alfabeto grego acompanhada de um
arco ligando seus lados. Este arco indica a região do ângulo a ser medida (onde começa e termina o ângulo), e a letra
grega representa esta medida.
α ≠ β ou BAC ≠
^
EDF
Para medir ângulos utilizamos um instrumento chamado transferidor e sua unidade de medida é o grau.
Existem dois tipos de transferidores facilmente encontrados no mercado: o de 180º e o de 360º.
VAMOS CONHECER O TRANSFERIDOR!
Este instrumento tem os seguintes elementos:
 LINHA DE FÉ: Reta que liga as graduações dos ângulos de 0º e 180º.
 CENTRO DO TRANSFERIDOR: Ponto médio da linha de fé.
 LIMBO: Região do transferidor que contém a graduação dos ângulos.
Transferidor de 360º
LINHA
DE FÉ
130
120
110
100 90
80
70
60
50
LIMBO
Transferidor de 180º
160
170
150
140 40
30
20
10
150
140
130
120
110
100
90 80
70
60
50
40
30
180
190 Colégio Pedro II
0 - 360
350
160 20
170 10
200
210
CENTRO DO
TRANSFERIDOR
340
330
180 0
Colégio Pedro II
220 320
230
240
250
260 270 280
290
300
310
LINHA
DE FÉ
CENTRO DO
TRANSFERIDOR
B
BÔA = ...47º..........
B
100 90 80
110 70
120
70
80 90 100
60
Para saber quanto mede o
ângulo BÔA, olhe o outro lado
do ângulo (outra semirreta).
110
130
60
50
120
140 50 130 40
40
150
140
30
30 150
160 20
20 160
170 10 170 10
180 0 180 0
O Colégio Pedro II
A
Vamos medir o ângulo BÔA!
O A
Para medir o ângulo com o transferidor:
 Coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo coincidir o centro
do instrumento com o vértice do ângulo e, a linha de fé, com um
dos lados do ângulo.
 Iniciando a contagem sempre do zero, verifique o número da
graduação que se encontra no outro lado do ângulo. O valor
indicado é a medida do ângulo.
 Se achar necessário prolongue os lados com a régua.
100 90 80
110 70
Coincida a linha de fé com
um dos lados do ângulo.
120 90
70
80 100
60
110 B
130
60
50
120
140 50 130 40
40
150
140
30
30 150
160 20
20 160
170 10 170 10
180 0 180 0
Colégio Pedro II
O A
Coincida o centro do transferidor
com o vértice do ângulo.
Atenção: Comece a contar do 0°
e cada marcação vale 1º.
N
100 90 80
110 70
120 60
70
80 90
100
110
130 60 120
50
140 50
NLM =............
____________
___
^
40
150
130 40
140
30
30 150
160 20
20 160
170 10 170 10
180 0
L
180 0
Colégio Pedro II
M
T
100 90 80
110 70
120
70
80 90 100 110
60
130 60 120
50
140 50 130 40
40
^
150
140
30
RST = ........... 30 150
160 20
20 160
R S Colégio Pedro II
ATENÇÃO:
Comece a contar do 0° que está na
semirreta (lado) apoiada na linha de fé.
AGORA É SUA VEZ !
Quanto mede os ângulos abaixo:
170 10 170 10
180 0 180 0
Cuidado! Lembre-se que além do centro do transferidor ser coincidente com o vértice, a linha de fé deve SEMPRE
estar sobre um dos lados do ângulo. Sendo assim, a posição do transferidor deverá acompanhar a posição do
^
ângulo. Observe o ângulo RST em outra posição:
T
R
R
RST = ............
^
S
T
120
110 100 90
80
130 70 80
140 60 90 70
50 100
110 60
150 40
120 50
30
160
130
20 40
170 140
10
30
180 0 150
160 20
170 10
S
180 0
1º passo: Trace uma semirreta de
origem no ponto D.
D
100 90 80
110 70
120
70
80
130
90 100
110
60
60 120
50
140 50 130 40
150
40 140
30
30 150
160 20
20 160
170 10 170 10
180 0 180 0
D
Colégio Pedro II
E
ED
2º passo: Posicione corretamente o transferidor,
coincidindo o seu centro com o ponto D e a linha
de fé com a semirreta DE. Marque com um traço
o ângulo desejado (130°).
3º passo: Retire o transferidor. Trace
o segundo lado do ângulo ligando, com
o auxílio da régua, o traço marcado
com o ponto D.
F Finalize marcando o ponto F e
reforçando o traçado.
 CONSTRUINDO UM ÂNGULO COM O TRANSFERIDOR:
Também podemos construir ângulos com as medidas que desejamos, usando o transferidor.
^
Vamos traçar o ângulo F de 130°.
E
D E
D E
a. ( ) 100 90 80
110 70
120
70
80 90 100 110
60
130 60 120
50
140 50 130 40
150
40
30
30 150
160 20
20
170 10
160
170 10
180 0 180 0
Colégio Pedro II
EXERCÍCIOS
1. Meça os ângulos e indique suas medidas:
c)  = .........






2. Meça os ângulos a seguir, utilizando o transferidor. Escreva as medidas dentro do ângulo:
M C T S
L J E Y
3. A professora da turma de Rafaela pediu aos seus alunos que traçassem um ângulo de 125°. No entanto, alguns
alunos ficaram com dúvida na hora de traçar este ângulo.
Marque com (X) o ângulo que corresponde a 125°:
a)  = .......

b)  = .......

Atenção: Na medição de ângulos, às vezes é necessário prolongar os
lados da figura, com traços bem suaves, para alcançar o limbo e obter
uma leitura mais precisa.
b. ( ) 100 90 80
110 70
120
70
80 90 100 60
130
110
60 120
50
140 50 130 40
150
40
30
30 150
160 20
20 160
170 10 170 10
180 0 180 0
Colégio Pedro II
4. Trace o ângulo CÔB = 75° nas duas semirretas abaixo, observe que eles irão ficar para duas direções diferentes:
Ângulo AGUDO
Medida < 90°
Ângulo OBTUSO
Medida > 90° e < 180°
C
CL
LA
AS
SS
SI
IF
FI
IC
CA
AÇ
ÇÃ
ÃO
O DE ÂNGULOS
Os ângulos são classificados de acordo com a abertura (medida) que possuem.
Eles podem ser: reto, agudo, obtuso, raso ou meia volta, reentrante ou côncavo e pleno ou volta completa.
VAMOS CONHECER CADA UM DELES:
 ÂNGULO RETO
Observe a figura:
 O círculo foi dividido em quatro regiões congruentes.
 Um círculo inteiro tem 360°, cada uma dessas regiões tem 90°.
 A cada um desses ângulos denominamos ângulo reto.
 E suas semirretas são perpendiculares entre si.
 ÂNGULO AGUDO
Todo ângulo menor que o ângulo reto é chamado de ângulo agudo.
Assim, a medida de um ângulo agudo é menor que 90°.
 ÂNGULO OBTUSO
Todo ângulo maior que o ângulo reto é chamado ângulo obtuso.
Assim, a medida de um ângulo obtuso é maior que 90° e menor que 180°.
Ângulo RETO
Medida = 90°
Ângulo RASO
Medida = 180°
Ângulo CÔNCAVO
Medida > 180° e < 360°
Ângulo PLENO
Medida = 360°
 ÂNGULO RASO OU ÂNGULO DE MEIA-VOLTA
Todo ângulo cuja medida é igual a 180° é chamado de ângulo raso.
O ângulo raso é o dobro do ângulo reto.
 ÂNGULO REENTRANTE OU CÔNCAVO
Todo ângulo maior que o ângulo de 1800
e menor que 3600
é chamado
ângulo côncavo ou reentrante.
 ÂNGULO PLENO OU ÂNGULO DE VOLTA COMPLETA
Todo ângulo cuja medida é igual a 3600
é chamado ângulo pleno ou
ângulo de volta completa.
g) QRS = 230
α = .....
Classificação:
.......................
β
β = ..........
Classificação:
.............................
π = .......
Classificação:
....................
π γ
γ = .............
Classificação:
.....................
EXERCÍCIOS
1. Com auxílio do transferidor, meça os ângulos abaixo e, a seguir, classifique-os quanto às suas aberturas:
OBS: Lembre-se de prolongar os lados dos ângulos para conseguir medi-los.
2. Dados as medidas dos ângulos, classifique-os:
^ º ^ º
a) RST = 180  ......................................….. e) ABD = 95  ...............................
^ º ^ º
b) GHF = 78  ........................................... f) MOP = 135  .............................
^ º
c) JLH = 360  ...................................…...
^ º
 ............................
^ º ^ º
d) EFG = 25  ......................................... h) TUV = 90  ...............................
α
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  • 1. DEFINIÇÃO: Ângulo é a região do plano situada entre duas semirretas distintas de mesma origem. Semana de 21 a 25/06 – Geometria 6º Ano 4. ÂNGULOS 4.1. Conceito, elementos e notação.  CONCEITO Observe que na figura ao lado temos:  Duas retas concorrentes AC e BD no plano ;  O ponto V, interseção entre as duas retas; ^ ^ ^ ^  As regiões AVB, BVC, CVD e DVA do plano. ^ Vamos destacar a região BVC:  Complete: VB é uma................................ de origem em........................ V VC é uma ...............................de origem em ......................  ELEMENTOS Os elementos de um ângulo são:  Vértice  Ponto de origem das duas semirretas.  Lados  Cada uma das semirretas.  Abertura  Região interna determinada pelas semirretas. Vértice  NOTAÇÃO Um ângulo pode ser identificado dos seguintes modos: a)  BVC ^ b) BVC ^ V c) V  A B V D C B C Lado B Abertura V C Lado C B C ATENÇÃO: Lembre-se que, na notação, a letra que corresponde ao vértice fica sempre entre as outras duas: B ^ . VC
  • 2. A ( 1 ) B ( 2 ) C A ( 3 ) A + C + + B + D EXERCÍCIOS 1. Indique os elementos do ângulo dado: 2. Desenhe os ângulos AB ‸ C e BC ‸ D e pinte suas regiões internas de azul e amarelo, respectivamente: 3. Para cada ângulo dado, indique o vértice e os lados: Vértice: ................................ Vértice: ................................ Vértice:................................. Lados: ................................. Lados: .................................. Lados: .................................. M K B V P T D 4. Relacione a coluna da direita com os ângulos 1, 2 e 3 abaixo: A B (.....)  BAC (.....) ACB B (....)  ABC C C 5. Marque, os ângulos pedidos: ^ a) ABC ^ b) RPS R ^ c) EHL P A B + + + + + + C S A F H + + E + L
  • 3. _______ E D F 6. Identifique os ângulos abaixo: a) b) c) G ______ T _______ S R M N 7. Observe a imagem abaixo e complete as lacunas: a) Ângulo é a região do plano situada entre duas ___________distintas de mesma _____________ b) Os elementos desse ângulo são: um .____________ (ponto A), dois __________ (semirretas _______ e _______) e a __________, região A interna do ângulo. 8. Identifique os ângulos que existem na figura: M N Ângulos: ____________________________ ........................................................................................... . P O D 9. Observe a imagem ao lado (reprodução da obra Geraldo de Barros - Função Diagonal - 1952) e destaque os ângulos pedidos, contornando-os: a) b) c) C B B E A F C G
  • 4. B α C ^ 4.2. USO DO TRANSFERIDOR  MEDIDAS DE ÂNGULOS E β A D Observe os ângulos ao lado:  Eles são diferentes uma vez que não têm a mesma abertura. Então, podemos dizer que eles possuem medidas diferentes. F Podemos, também, indicar o ângulo utilizando uma letra minúscula do alfabeto grego acompanhada de um arco ligando seus lados. Este arco indica a região do ângulo a ser medida (onde começa e termina o ângulo), e a letra grega representa esta medida. α ≠ β ou BAC ≠ ^ EDF Para medir ângulos utilizamos um instrumento chamado transferidor e sua unidade de medida é o grau. Existem dois tipos de transferidores facilmente encontrados no mercado: o de 180º e o de 360º. VAMOS CONHECER O TRANSFERIDOR! Este instrumento tem os seguintes elementos:  LINHA DE FÉ: Reta que liga as graduações dos ângulos de 0º e 180º.  CENTRO DO TRANSFERIDOR: Ponto médio da linha de fé.  LIMBO: Região do transferidor que contém a graduação dos ângulos. Transferidor de 360º LINHA DE FÉ 130 120 110 100 90 80 70 60 50 LIMBO Transferidor de 180º 160 170 150 140 40 30 20 10 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 180 190 Colégio Pedro II 0 - 360 350 160 20 170 10 200 210 CENTRO DO TRANSFERIDOR 340 330 180 0 Colégio Pedro II 220 320 230 240 250 260 270 280 290 300 310 LINHA DE FÉ CENTRO DO TRANSFERIDOR
  • 5. B BÔA = ...47º.......... B 100 90 80 110 70 120 70 80 90 100 60 Para saber quanto mede o ângulo BÔA, olhe o outro lado do ângulo (outra semirreta). 110 130 60 50 120 140 50 130 40 40 150 140 30 30 150 160 20 20 160 170 10 170 10 180 0 180 0 O Colégio Pedro II A Vamos medir o ângulo BÔA! O A Para medir o ângulo com o transferidor:  Coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo coincidir o centro do instrumento com o vértice do ângulo e, a linha de fé, com um dos lados do ângulo.  Iniciando a contagem sempre do zero, verifique o número da graduação que se encontra no outro lado do ângulo. O valor indicado é a medida do ângulo.  Se achar necessário prolongue os lados com a régua. 100 90 80 110 70 Coincida a linha de fé com um dos lados do ângulo. 120 90 70 80 100 60 110 B 130 60 50 120 140 50 130 40 40 150 140 30 30 150 160 20 20 160 170 10 170 10 180 0 180 0 Colégio Pedro II O A Coincida o centro do transferidor com o vértice do ângulo. Atenção: Comece a contar do 0° e cada marcação vale 1º.
  • 6. N 100 90 80 110 70 120 60 70 80 90 100 110 130 60 120 50 140 50 NLM =............ ____________ ___ ^ 40 150 130 40 140 30 30 150 160 20 20 160 170 10 170 10 180 0 L 180 0 Colégio Pedro II M T 100 90 80 110 70 120 70 80 90 100 110 60 130 60 120 50 140 50 130 40 40 ^ 150 140 30 RST = ........... 30 150 160 20 20 160 R S Colégio Pedro II ATENÇÃO: Comece a contar do 0° que está na semirreta (lado) apoiada na linha de fé. AGORA É SUA VEZ ! Quanto mede os ângulos abaixo: 170 10 170 10 180 0 180 0 Cuidado! Lembre-se que além do centro do transferidor ser coincidente com o vértice, a linha de fé deve SEMPRE estar sobre um dos lados do ângulo. Sendo assim, a posição do transferidor deverá acompanhar a posição do ^ ângulo. Observe o ângulo RST em outra posição: T R R RST = ............ ^ S T 120 110 100 90 80 130 70 80 140 60 90 70 50 100 110 60 150 40 120 50 30 160 130 20 40 170 140 10 30 180 0 150 160 20 170 10 S 180 0
  • 7. 1º passo: Trace uma semirreta de origem no ponto D. D 100 90 80 110 70 120 70 80 130 90 100 110 60 60 120 50 140 50 130 40 150 40 140 30 30 150 160 20 20 160 170 10 170 10 180 0 180 0 D Colégio Pedro II E ED 2º passo: Posicione corretamente o transferidor, coincidindo o seu centro com o ponto D e a linha de fé com a semirreta DE. Marque com um traço o ângulo desejado (130°). 3º passo: Retire o transferidor. Trace o segundo lado do ângulo ligando, com o auxílio da régua, o traço marcado com o ponto D. F Finalize marcando o ponto F e reforçando o traçado.  CONSTRUINDO UM ÂNGULO COM O TRANSFERIDOR: Também podemos construir ângulos com as medidas que desejamos, usando o transferidor. ^ Vamos traçar o ângulo F de 130°. E D E D E
  • 8. a. ( ) 100 90 80 110 70 120 70 80 90 100 110 60 130 60 120 50 140 50 130 40 150 40 30 30 150 160 20 20 170 10 160 170 10 180 0 180 0 Colégio Pedro II EXERCÍCIOS 1. Meça os ângulos e indique suas medidas: c)  = .........       2. Meça os ângulos a seguir, utilizando o transferidor. Escreva as medidas dentro do ângulo: M C T S L J E Y 3. A professora da turma de Rafaela pediu aos seus alunos que traçassem um ângulo de 125°. No entanto, alguns alunos ficaram com dúvida na hora de traçar este ângulo. Marque com (X) o ângulo que corresponde a 125°: a)  = .......  b)  = .......  Atenção: Na medição de ângulos, às vezes é necessário prolongar os lados da figura, com traços bem suaves, para alcançar o limbo e obter uma leitura mais precisa. b. ( ) 100 90 80 110 70 120 70 80 90 100 60 130 110 60 120 50 140 50 130 40 150 40 30 30 150 160 20 20 160 170 10 170 10 180 0 180 0 Colégio Pedro II
  • 9. 4. Trace o ângulo CÔB = 75° nas duas semirretas abaixo, observe que eles irão ficar para duas direções diferentes:
  • 10. Ângulo AGUDO Medida < 90° Ângulo OBTUSO Medida > 90° e < 180° C CL LA AS SS SI IF FI IC CA AÇ ÇÃ ÃO O DE ÂNGULOS Os ângulos são classificados de acordo com a abertura (medida) que possuem. Eles podem ser: reto, agudo, obtuso, raso ou meia volta, reentrante ou côncavo e pleno ou volta completa. VAMOS CONHECER CADA UM DELES:  ÂNGULO RETO Observe a figura:  O círculo foi dividido em quatro regiões congruentes.  Um círculo inteiro tem 360°, cada uma dessas regiões tem 90°.  A cada um desses ângulos denominamos ângulo reto.  E suas semirretas são perpendiculares entre si.  ÂNGULO AGUDO Todo ângulo menor que o ângulo reto é chamado de ângulo agudo. Assim, a medida de um ângulo agudo é menor que 90°.  ÂNGULO OBTUSO Todo ângulo maior que o ângulo reto é chamado ângulo obtuso. Assim, a medida de um ângulo obtuso é maior que 90° e menor que 180°. Ângulo RETO Medida = 90°
  • 11. Ângulo RASO Medida = 180° Ângulo CÔNCAVO Medida > 180° e < 360° Ângulo PLENO Medida = 360°  ÂNGULO RASO OU ÂNGULO DE MEIA-VOLTA Todo ângulo cuja medida é igual a 180° é chamado de ângulo raso. O ângulo raso é o dobro do ângulo reto.  ÂNGULO REENTRANTE OU CÔNCAVO Todo ângulo maior que o ângulo de 1800 e menor que 3600 é chamado ângulo côncavo ou reentrante.  ÂNGULO PLENO OU ÂNGULO DE VOLTA COMPLETA Todo ângulo cuja medida é igual a 3600 é chamado ângulo pleno ou ângulo de volta completa.
  • 12. g) QRS = 230 α = ..... Classificação: ....................... β β = .......... Classificação: ............................. π = ....... Classificação: .................... π γ γ = ............. Classificação: ..................... EXERCÍCIOS 1. Com auxílio do transferidor, meça os ângulos abaixo e, a seguir, classifique-os quanto às suas aberturas: OBS: Lembre-se de prolongar os lados dos ângulos para conseguir medi-los. 2. Dados as medidas dos ângulos, classifique-os: ^ º ^ º a) RST = 180  ......................................….. e) ABD = 95  ............................... ^ º ^ º b) GHF = 78  ........................................... f) MOP = 135  ............................. ^ º c) JLH = 360  ...................................…... ^ º  ............................ ^ º ^ º d) EFG = 25  ......................................... h) TUV = 90  ............................... α