τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α
A’ Λ υ κ ε ι ο υ
Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ
Με πολυ μερακι
Για τους καλους φιλους μου
Τακης Τσακαλακος
Κερκυρα 2015 H δικη μου αποψη...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Advertisement

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
01. Σ η μ ε ι ο
Το σημειο δεν εχει διαστασεις. Το παριστανουμε με μια Α Β
τελεια και το ...

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
07. E υ θ υ γ ρ α μ μ ο Τ μ η μ α
Ειναι το μερος μιας ευθειας που περικλειεται απο
δυο σ...

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
12. Μ η κ ο ς E υ θ . Τ μ η μ α τ ο ς Α Β
( Α π ο σ τ α σ η τ ω ν Σ η μ ε ι ω ν Α , Β )
...

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
▪ Μ η κ υ ρ τ η γωνια ειναι το σχημα που αποτελειται
απ’τα σημεια του επιπεδου που δεν α...

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
▪ Α μ β λ ε ι α ειναι η κυρτη γωνια που ειναι μεγαλυτε-
ρη της ορθης και μικροτερη απ’τη...

Advertisement

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
κοινες πλευρες τους.
Ειναι A O Γ = Α O Β - Γ O Β
25. Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ε ς Γ ω ν...

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
29. Θ ε ω ρ η μ α
Οι διχοτoμοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνι-
ων ειναι καθετες.
Α...

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
33. Ι σ ο ι Κ υ κ λ ο ι
▪ Δυο κυκλοι ειναι ι σ ο ι , αν ο ενας με καταλληλη με-
τατοπιση...

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
37. Η μ ι κ υ κ λ ι ο
Ειναι ενα απ’ τα δυο ισα τοξα που χωριζει η διαμετρος
τον κυκλο.
3...

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
43. Μ ε τ ρ η σ η Τ ο ξ ω ν κ α ι Γ ω ν ι ω ν
▪ Τ ο ξ ο μ ι α ς μ ο ι ρ α ς :
Ειναι το τ...

Advertisement

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
45. Π ο λ υ γ ω ν ο
Ειναι μια κλειστη και απλη τεθλασμενη γραμμη.
▪ Κ υ ρ τ ο :
αν η τεθ...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
01. Α π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς :
Σε ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΒΓ...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
=
ˆ ˆΓΟΑ - ΓΟΒ
2
Α λ λ ι ω ς
ˆΑΟΒˆ ˆ ˆ ˆΓΟΔ = ΓΟΑ - ΑΟΔ = ΓΟΑ -
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΓΟΑ - ΓΟΒ...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
02. Μ ο ν α δ ι κ ο τ η τ α ( α π ο δ ε ι ξ η σ ε α τ ο π ο ) :
Να δειχτει οτι το μεσο Μ τ...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
□ Υποθεση : 0
Α Ο Γ + Β Ο Γ = 180
□ Συμπερασμα : 0
Δ Ο Ε = 90
Ειναι
ΟΔ διχοτομος
0
ΟΕ διχο...

Advertisement

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
05. Ε υ ρ ε σ η μ ε τ ρ ω ν γ ω ν ι ω ν α ν α λ ο γ ω ν π ρ ο ς α ρ ι θ μ ο υ ς :
Τεσσερις...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
i)
0 0(+ )
(- )0 0
ΑΓ - ΒΓ = 80 2ΑΓ = 260
ΑΓ + ΒΓ = 180 2ΒΓ = 100
    
⇒ ⇒  
  ...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
1.
Εστω τα διαδοχικα και συνευθειακα σημεια Α, Β, Γ και Μ, Ν τα μεσα των ΑΒ και ΒΓ
αντιστοιχα...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
8.
Μιας οξειας γωνιας το αθροισμα του τριπλασιου της συμπληρωματικης γωνιας και
του διπλασιου...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
14.
Σε μια ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ με ΑΒ = 5,
ΒΓ = x, Γ...

Advertisement

ΤΡΙΓΩΝΑ

ΤΡΙΓΩΝΑ
01. T ρ ι γ ω ν ο
Ειναι το κυρτο πολυγωνο που εχει τρεις γωνιες.
Τ ρ ι γ ω ν ο Α Β Γ :
▪ κ ο ρ υ φ ε ς :
τα σημεια...

ΤΡΙΓΩΝΑ
04. Δ ι α μ ε σ ο ς
Ειναι το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει μια κορυφη με
το μεσο της απεναντι πλευρας.
Οι διαμεσοι π...

ΤΡΙΓΩΝΑ
07. Ι σ ο τ η τ α T ρ ι γ ω ν ω ν
Δυο τριγωνα ειναι ισα αν μετα απο καταλληλη μετατο-
πιση ταυτιζονται.
▪ Δυο ισα ...

ΤΡΙΓΩΝΑ
▪ Θ ε ω ρ η μ α 1 ο
Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν την υποτεινουσα
και μια καθετη πλευρα αντιστοιχα ισες μια προς ...

Advertisement

ΤΡΙΓΩΝΑ
12. Π ο ρ ι σ μ α 3
Το υψος ισοσκελους τριγωνου που αντιστοιχει στη βαση
ειναι διαμεσος και διχοτομος της γωνιας τ...

ΤΡΙΓΩΝΑ
Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι :
□ ισοσκελες με βαση ΒΓ, αρα συμφωνα με προηγουμενο
θεωρημα ειναι: ˆ ˆΒ = Γ
□ ισοσκελες με β...

ΤΡΙΓΩΝΑ
19. Π ο ρ ι σ μ α 1 0
Δυο χορδες ενος κυκλου ειναι ισες αν και μονο αν τα α-
ποστηματα τους ειναι ισα.
Αποδειξη
Τα...

ΤΡΙΓΩΝΑ
21. Β α σ ι κ ο ι Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ι Τ ο π ο ι
▪ Κ υ κ λ ο ς :
ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
22. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο
Καθε εξωτερικη γωνια ενος τριγωνου ειναι μεγαλυτερη
απο καθεμια απο τις α...

Advertisement

ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
25. Ε φ α ρ μ ο γ η 1 η
Αν Μ ειναι ενα εσωτερικο σημειο ενος τριγωνου ΑΒΓ θα
ισχυει :
▪ ΒMΓ > A...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
28. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο
Aν δυο πλαγια τμηματα ειναι ισα, τοτε τα ιχνη τους ι-
σαπεχουν απο το ιχν...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
□ Αντιστροφα.
Εστω ΑΓ > ΑΒ.
Αν ηταν ΚΓ = ΚΒ, τοτε θα ειχαμε ΑΓ = ΑΒ, που ειναι
ατοπο.
Αν ΚΓ < Κ...

ΚΥΚΛΟΣ
31. Σ χ ε τ ι κ η Θ ε σ η Ε υ θ ε ι α ς – Κ υ κ λ ο υ
Η σχετικη θεση ευθειας ε και κυκλου (Ο,R) καθοριζεται
απο την...

ΚΥΚΛΟΣ
33. Θ ε ω ρ η μ α 2 ο
Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο ση-
μειο εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους.
Αποδ...

Advertisement

ΚΥΚΛΟΣ
34β. Μ ε Κ ο ι ν ο Σ η μ ε ι ο
▪ Ε φ α π τ ο μ ε ν ο ι ε ξ ω τ ε ρ ι κ α :
▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται...

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
01. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ μ η μ α τ ω ν :
Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και εστω Μ το μεσ...

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) προεκτεινω τις ΑΒ, ΑΓ κατα τμηματα ΒΔ = ΓΕ
αντιστοιχα. Να δειξετε ο...

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
04. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ ρ ι γ ω ν ω ν (με βοηθητικη ισοτητα τριγωνων) :
Δειξτε οτι τα τρ...

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
05. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν τ ρ ι γ ω ν ω ν:
Να δειξετε οτι τα μεσα των ισ...

Advertisement

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημειο Δ στο εσωτερικο του που ισα-
πεχει απ’τα ακρα της β...

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
0
Στο τριγωνο ΑΒΔ ειναι :
Α Α
ΑΔΒ + Β + = 180 ΑΔΒ + Β +
2 2
⇒ 0 Α
= 90 +
2
0 0
0
Β Γ
+ +
2 2
Β Γ Β- Γ
...

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
1 2
(1)
Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι :
ΑΔ = κοινη
Οποτε και τα υπολοιπα σημεια
ΑΕ = ΑΓ (υποθ...

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Αν ΑΜ η διαμεσος και ΑΔ η διχοτομος τριγωνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, να δειξετε οτι :
▪ ΔΒ < ΔΓ ▪ δα < μα
1
1 ...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
1.
Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε σημεια Δ, Ε, Ζ αντι-
στοιχα, ωστε ΑΔ = ΒΕ ...

Advertisement

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
9.
Εστω το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Παιρνουμε σημειο Δ
της ΑΒ και σημειο Ε ...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
17.
Σε ενα πενταγωνο ΑΒΓΔΕ ειναι ΑΒ = ΕΔ , ΒΓ = ΔΓ και Β = Δ. Να δειξετε οτι η μεσο-
καθετος της πλευρας...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
23.
Εξωτερικα ενος ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) κατασκευαζουμε τα...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
30.
Εστω το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Φερνουμε το ΜΔ
καθετο στην ΑΒ και το Μ...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
38.
Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0
A = 90 ) και ΒΔ η διχοτομος της γωνιας Β .
Απ’το Δ φερνουμε ΔΕ Β...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
44.
Εστω η γωνια ˆxOy . Πανω στην Οx παιρνουμε τα τμηματα ΟΑ, ΟΒ και πανω στην Οy
παιρνουμε τα τμηματα Ο...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
50.
Εστω τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και ΑΔ η διχοτομος του.
Να δειχτει οτι:
▪ Α Δ Γ - Α ΔΒ = Β - Γ ▪ 0 Β - Γ
...

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
57.
∆ινεταιαμβλυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ (A > 90 0)και Ο ενα σημειο στο εσωτερικο αυτου.
Αν οι ευθειες ΟΒ και Ο...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
01. Ο ρ ι σ μ ο ς
Δυο ευθειες ε1, ε2 ενος επιπεδου λεγονται παραλληλες
αν δεν εχουν κανενα κοινο σημειο...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
05. Θ ε ω ρ η μ α
Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο
εντος και επι τα αυτα μερη γωνιες...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
09. Π ο ρ ι σ μ α
Αν δυο ευθειες παραλληλες τεμνονται απο τριτη σχημα-
τιζουν τις εντος και επι τα αυτα...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
13. Π ρ ο τ α σ η
Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν τις
εντος και επι τα αυτα μερη γωνιες...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
Αρα Ο σημειο τομης μεσοκαθετων και επειδη
ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ το Ο ειναι το κεντρο του κυκλου που διερ-
χεται ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
18. Π ο ρ ι σ μ α
Αν δυο τριγωνα εχουν δυο γωνιες ισες, μια προς μια,
εχουν και τις τριτες γωνιες τους ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
22. Π ο ρ ι σ μ α
Δυο αμβλειες γωνιες που εχουν τις πλευρες τους καθε-
τες ειναι ισες.
Αποδειξη :
ο
ο
ο...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
01. Υ π ο λ ο γ ι σ μ ο ς μ ε τ ρ ο υ γ ω ν ι ω ν :
,
1 2 2
0
1
0
Εστω οι παραλληλες ευθει...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημειο Δ
της πλευρας ΑΒ. Αν ο κυκλος (Δ, ΔΒ) τ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Aν η διχοτομος της εξωτερικης γωνιας Α τριγωνου ΑΒΓ τεμνει την προεκταση της ΓΒ
στο σημειο...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
05. Ε υ ρ ε σ η γ ω ν ι α ς (με χρηση αθροισματος γωνιων τετραπλευρου) :
Θεωρουμε τετραπλε...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( 0
Α = 90 ) με 0
Β = 60 φερνουμε ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ
1.
Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου. Απο το Α φερ-
νουμε παρα...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ
9.
Εστω τριγωνο ΑΒΓ με Α= 60ο και Γ = 50ο . Αν το υψος ΑΗ και η διχοτομος ΒΔ τεμνον-
ται στο ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ
17.
Προεκτεινουμε τη διαμετρο ΑΒ ενος κυκλου (Ο,R) κατα τμημα ΑΜ και απο το Μ φερ-
νουμε τεμν...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ
25.
Στο τριγωνο ΑΒΓ με Β = 2Γ ΒΔ ειναι διχοτομος. Απ’το μεσο Μ της ΑΓ φερνω παραλ-
ληλη στην ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ
33.
Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ( ˆ 0
A = 90 ), η ευθεια της διχοτομου της γωνιας εξΓ
τεμνει τι...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ
Να δειχθει οτι:
▪ Το τριγωνο ΑΕΒ ειναι ισοσκελες.
▪ ΚΓ = ΚΒ + ΑΒ
40.
Εστω ισοσκελες τριγωνο Α...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
01. Ο ρ ι σ μ ο ι
▪ Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο :
Λεγεται το τετραπλευρο που εχει τις απεναντι πλευρες
τ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
04. Κ ρ ι τ η ρ ι ο 1 ο
Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν οι απεναν-
τι πλευρες του ανα δυο ειναι ι...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
08. Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο
▪ Ο ρ ι σ μ ο ς
ειναι το παραλληλογραμμο που εχει μια
ορθη γωνια.
▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
11. Ι δ ι ο τ η τ ε ς Ρ ο μ β ο υ
▪ Εχει ολες τις ιδιοτητες του παραλληλογραμμου.
▪ Ολες οι πλευρες του ει...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
▪ Κ ρ ι τ η ρ ι α :
Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν εχει μια ιδι-
οτητα (κριτηριο) του ορθογωνιου κ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
17. Θ ε ω ρ η μ α
Εστω δυο παραλληλες ευθειες ε1, ε2 και Κ το μεσο της α-
ποστασης τους ΑΒ. Καθε σημειο τη...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
19. Θ ε ω ρ η μ α ( Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ο Τ ρ ι γ ω ν ο υ )
Οι φορεις των υψων ενος τριγωνου διερχονται απο ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
21. Θ ε ω ρ η μ α
Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αν-
τιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγων...

ΤΡΑΠΕΖΙΑ
24. Ο ρ ι σ μ ο ι
▪ Τ ρ α π ε ζ ι ο :
Ειναι το κυρτο τετραπλευρο που εχει μονο δυο πλευρες
παραλληλες.
▪ Β α σ ε ...

ΤΡΑΠΕΖΙΑ
Ε,Κ,Λμεσα πλευρων
ΓΔ ΑΒ ΓΔ - ΑΒ
ΚΛ = ΕΛ - ΕΚ = - =
2 2 2
27. Ι σ ο σ κ ε λ ε ς Τ ρ α π ε ζ ι ο
Λεγεται το τραπεζι...

ΤΡΑΠΕΖΙΑ
▪ Οι διαγωνιοι του ειναι ισες.
Αποδειξη :
1 1
Τα τριγ.Ορθογωνια ΑΗΓ και ΒΚΔ ειναι ισα γιατι :
1.Ορθογωνια
ˆ ˆ2. Α...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
01. Α π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ο Α Β Γ Δ ε ι ν α ι π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο :
Στις πλευρες ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
ΒΓ
τριγωνο ΑΒΓ : Δ,Εμεσα, αρα ΔΕ =||
2
ΒΓ
τριγωνο ΒΘΓ : Η,Ζμεσα, ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Δειξτε οτι τα μεσα των διαγωνιων και τα μεσα δυο απεναντι πλευρων...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Στο τριγωνο ΑΒΛ :Εμεσο της ΑΒ και ΕΚ||ΒΛ.
Αρα Κμεσο της ΑΛ και ΑΚ = ΚΛ (1)
Στο τριγωνο ΒΓΛ : ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Το ΑΕΓΖ ειναι παραλληλογραμμο
(ΑΕ =||ΖΓ,μισα απεναντι πλευρων παραλληλογραμμου)
και ημια διαγ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( 0
Α = 90 ) με υψος ΑΔ ισχυει ΒΓ = 4ΑΔ.
Να υπολογισετε τις γωνιες τ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με κεντρο Ο και ΒΔ = 2 ΑΓ. Αν Ε, Ζ ειναι τα
μεσα των ΟΒ και ΟΔ α...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Αν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων Α∆, ΒΓ αντιστοιχως ορθογωνιου ΑΒΓ∆, Η το ση-
μειο τομης των...

ΤΡΑΠΕΖΙΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Κ, Λμεσα των ΑΒ, ΒΓ : ΚΛ||ΑΓ
Μ, Λμεσα των ΓΔ, ΒΓ : ΜΛ||ΒΔ ΚΛ ΜΛ (ΙΙΙ)
ΑΓ ΒΔ
 
 
⇒ ⊥ 
 ⊥ 
Α...

ΤΡΑΠΕΖΙΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Στο τριγωνο ΑΜΔ, ηΜΝ ειναι διαμεσος στην πλευρα ΑΔ
ΑΔ
και ισχυει ΜΝ = . Αρα τα τριγωνα ΑΜΝ και ΝΜΔ ε...

ΤΡΑΠΕΖΙΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Δινεται ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ||ΓΔ) με ΑΔ = ΑΒ = ΒΓ και ΔΒ = ΔΓ.
Να βρεθουν οι γωνιες του τραπεζ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
1.
Ευθεια ε περνα απ'το μεσο Μ ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ.
Αν ΑΔ ε, ΒΖ ε να δειχτει οτι :
ΑΔ = ΒΖ Α...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
8.
Απο την κορυφη Α ενος παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ φερνουμε παραλληλη προς την
διαγωνιο ΒΔ , που τεμ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
16.
Να αποδειξετε οτι η ευθεια που συνδεει τα μεσα δυο απεναντι πλευρων παραλληλο-
γραμμου ειναι...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
24.
Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ τα σημεια Μ, Ν ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
32.
Θεωρουμε τριγωνο ΑΒΓ, ορθογωνιο στο Α με 0
Β = 75 . Να αποδειξετε οτι το υψος
ΑΔ =
ΒΓ
4
. Ισ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
40.
Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0
Α = 90 ) με υψος ΑΗ και μεσα Μ, Ν των πλευρων
ΑΓ και ΑΒ αντισ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
48.
Προεκτεινουμε τη πλευρα ΑΒ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ κατα τμημα ΒΕ = ΑΒ.
Αν ΔΕ τεμνει την ΑΓ στο...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
54.
Σε τετραγωνο ΑΒΓΔ εστω Μ το μεσο της πλευρας του ΑΒ.
▪ Αν η ΜΓ τεμνει τη ΒΔ στο σ...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
61.
Σε τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) ειναι ΑΗ υψος και ΑΜ διαμεσος. Προεκτεινουμε την ΑΜ
κατα...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
66.
Σε ενα τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) με ΓΔ = 3ΑΒ, τα Κ, Λ ειναι τα μεσα των διαγωνιων
το...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
73.
Σε ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ, ΑΒ < ΓΔ) ΕΖ ειναι η διαμεσος και ΓΗ ΑΒ⊥ .
Να ...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
01. Ε π ι κ ε ν τ ρ η Γ ω ν ι α
Λεγεται η γωνια που η κορυφη της ειναι στο κεντρο του
κυκλου .
Το μετ...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
06. Π ο ρ ι σ μ α
▪ Το μετρο μιας εγγεγραμμενης γωνιας ισουται με το μι-
σο του μετρου του αντιστοιχο...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
08. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν η Γ ω ν ι α
Η γωνια που σχηματιζεται απο μια χορδη κυκλου και
την εφαπτομεν...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
11. Θ ε ω ρ η μ α
Καθε πλευρα ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου ΑΒΓΔ,
φαινεται απ’τις απεναντι κορυφες ...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων που η χορδη ΓΔ φαι-
νεται απο γωνια φ ειναι δυο συμμετρικα ως προς τη...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
01. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς – ε π ι κ ε ν τ ρ ε ς γ ω ν ι ε ς :
Α
0
Δινεται τετραπλευρ...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
μισα
ισων
Αφου ΑΒ = ΑΓ τοτε και ΑΒ = ΑΓ ΑΜ = ΜΒ = ΓΝ = ΝΑ
Ετσι,
ΑΜΝ = ΜΑΒ = ΓΑΝ = ΑΝΜ πο...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Σε κυκλο (O,ρ) ΑΒ διαμετρος, ΑΓ χορδη και η διχοτομος της Β ΑΓ που τεμνει το κυ-
κλο στο...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
03. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν α τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ α :
Απ’τα σημεια τομης Α,Β δυο κυκλων φε...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
0 0
0 0
ΑΔΓ (Δ = 90 ) :ΔΑΓ + Γ = 90
ΔΑΓ = ΕΒΓ (1)
ΒΕΓ (Ε = 90 ) :ΕΒΓ + Γ = 90
ΑΗΖισοσκελ...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
1.
Να αποδεiξετε οτι τα υψη Α∆, ΒΕ και ΓΖ τριγωνου ΑΒΓ ειναι διχοτομοι των γωνιων
του τριγω...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
8.
Σε ημικυκλιο διαμετρου ΑΒ, θεωρουμε το μεσο του Μ. Εστω Λ τυχαιο σημειο του τοξου
ΑΒ . Φ...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
15.
Σε τριγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμενο σε κυκλο (Κ, ρ) φερνουμε την εφαπτομενη Ax και ευ-
θεια ε||...

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
23.
Ενας κυκλος διερχεται απ’τις κορυφες Β και Γ τριγωνου ΑΒΓ και τεμνει τις πλευρες
ΑΒ και...

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
Στις προεκτασεις των ισων πλευρων ΒΑ και ΓΑ ισοσκελους τριγωνου ΑΒΓ θεωρου-
με ισα τμηματα ΑΔ, ΑΕ αντι...

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
3.
Στις προεκτασεις των πλευρων ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ παιρνουμε
τμηματα ΒΔ = ΓΕ = ΑΖ.
Δειξτε...

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
5.
0
Στην προεκταση της υποτεινουσας ορθογωνιου τριγωνου ΑΒΓ ( Α = 90 ) παιρνουμε
τμημα ΓΚ = γ.
Φερνουμε ...

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
7.
Δειξτε οτι τα μεσα των πλευρων μη κυρτου τετραπλευρου ειναι κορυφες παραλλη-
λογραμμου.
Φερνω το ΑΓ.
Σ...

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
9.
Εστω Δτο μεσο της διαμεσου ΑΜ τριγωνου ΑΒΓ. Αν η ΒΔτεμνει την ΑΓ στο Ε να δει -
ξετε οτι ΕΓ = 2ΑΕ.
Φερ...

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
11.
Σε τριγωνο ΑΒΓ εχουμε υψος ΑΔ και Κ, Λ, Μ τα μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ
αντιστοιχα.
Να δειχτει ο...

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
13.
.0
Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ||ΔΓ) και Μ μεσο της πλευρας ΒΓ.
Αν ΑΔ = ΑΒ + ΓΔνα δειξετε οτι ΑΜΔ = 90
0
...

Share Slideshare

LinkedIn
Facebook
Twitter

Embed

Size (px)

Show related Slideshows at end

WordPress Shortcode

Link

Share
Email

Xrish.tomh by Διονύσης Μάργαρης 1869 views
μαθηματικά και λογοτεχνία by Ρεβέκα Θεοδωροπούλου 1662 views
Δημιουργια blog by Nikos Papastamatiou 5003 views
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis by Christos Loizos 14233 views
22 0002-02 algebra-a-lyk_lyseis by Christos Loizos 15677 views
Aalg sxol 2016-2017_papagrigorakis by Christos Loizos 15652 views

View on Slideshare

1 of 134 Ad

View on Slideshare

1 of 134 Ad