Pesquisa Operacional

SUM´ARIO
1 Programa¸c˜ao Linear e Pesquisa Operacional 5
1.1 Fases da Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . ....

$6 Análise de Sensibilidade 59 6.0.1 Aplica¸cão da Análise de Sensibilidade: Intervalo de Estabilidade do Recurso I . . ...$

$CAPÍTULO 1 PROGRAMAÇ ÃO LINEAR E PESQUISA OPERACIONAL O estudo de Pesquisa Operacional teve seu inicio durante a Segund...$

$1.1 Fases da Pesquisa Operacional Não existe um número de fases espec´ıfico para a resolu¸cão de um problema em Pes- qui...$

$CAPÍTULO 2 MODELOS MATEMÁTICOS EM PROGRAMAÇ ÃO LINEAR Os modelos matemáticos são representa¸cões simplificadas da re...$

$3) Determina¸cão da Fun¸cão Objetivo: Em rela¸cão é fun¸cão objetivo, a Pro- grama¸cão Operacional busca encontrar o...$

$O problema ainda informa que a fábrica possui um total de 40 operários a serem alocados nas duas linhas de produ¸cão. O...$

$De uma forma geral, podemos escrever o modelo padr˜ao para maximiza¸c˜ao como: MaxZ = n j=1 cjxj Sujeita a: n j=1 aijxj ≤ ...$

$CAPÍTULO 3 RESOLUÇ ÃO GRÁFICA DE MODELOS Como já vimos anteriormente, a programa¸cão linear dispõe de várias técn...$

$• O segundo passo é relaxar a inequa¸cão e construir o gráfico de 4x1 + 2x2 = 16, mas para isto, devemos pôr x2 em fun¸...$

$A região de solu¸cões viáveis é a interseçcão das regiões delimitadas pelas retas, isto significa que, qualquer pont...$

$Figura 3.4: Observe que `a medida que o valor de FO1 aumenta `a reta se afasta da origem do sistema de eixos coordenados, ...$

$Figura 3.5: Figura 3.6: 15$

$MaxZ = 30x + 40y sujeito a :    x ≤ 24 2y ≤ 32 x + 2y ≤ 40 x ≥ 0, y ≥ 0 a) Tra¸cado da inequa¸c˜ao x ≤ 24: ...$

$Figura 3.8: 17$

$y = 16, seu gráfico é uma reta horizontal. c) Tra¸cado da inequa¸cão x + 2y ≤ 40 : Para que essa reta seja tra¸cada, bas...$

$Figura 3.9: Figura 3.10: 19$

$Figura 3.11: 3.1.4 Esbo¸co da Fun¸cão Objetivo A fun¸cão objetivo está escrita na forma da equa¸cão geral da reta, ist...$

$Figura 3.12: Fazendo a fun¸c˜ao objetivo passar pelo ponto H(0, 10), tem-se L = 30 · 0 + 40 · 10 o que nos d´a L = 400. Co...$

$3.1.5 Interpreta¸cão Gráfica Vértice a Vértice Com base em todas essas informa¸cões, podemos, por meio gráfico, realiz...$

$CAPÍTULO 4 MÉTODO SIMPLEX O Simplex é um método iterativo que percorre os pontos extremos do conjunto de solu¸cões co...$

$Observe que para Z = 0 temos 0, 2x1 + 2x2 + 4x3 = 0 e que se x1 entra na base com valor igual a 1, sendo x2 = x3 = 0, Z pa...$

$d) Tabela Simplex: A tabela é constru´ıda com os coeficientes do modelo. as colunas são indicadas por Ci, as linhas por L...$

$Para isso, identifique o menor quociente obtido da divisão dos termos independen- tes bi pelos elementos da coluna pivô, ...$

$O elemento que deve ser transformado no elemento pivô será obtido de C3 L2 que no caso é 2. O próximo passo é constru...$

$b)MaxZ = 2x1 + 3x2 + 4x3 sujeito a :    x1 + x2 + x3 ≤ 100 2x1 + x2 ≤ 210 x1 ≤ 80 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 So...$

$O próximo passo, como já sabemos, é construir uma matriz a partir da tabela e trans- formar os elementos da coluna pivˆ...$

$4.1.1 Aplica¸cão do Método Simplex: Problema de Aloca¸cão (Rádios Standard e Rádios Luxo): Recordemos agora o problem...$

$Tabela Simplex: C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Z x1 x2 f1 f2 f3 bi L1 1 -30 -40 0 0 0 0 L2 0 1 0 1 0 0 24 L3 0 0 1 0 1 0 16 L4 0 1 2...$

$a) Cálculo da Nova Solu¸cão Básica A variável que entra na base é x1, pois | − 30| = 30. A coluna pivô é C2. A vari...$

$c) Cálculo da Nova Solu¸cão Básica: A variável que entra na base é f2, pois | − 20| = 20 e a coluna pivô é C5. A va...$

$Agora, a nova solu¸cão básica é: (I) Variáveis não básicas: f1 = 0, f3 = 0 (II) Variáveis básicas: x1 = 24, x2 = 8...$

$não influencia no espa¸co das solu¸cões do problema. fazendo uma análise gráfica, tal restri¸cão não interfere na regi...$

$C´alculo da Nova Solu¸c˜ao:    1 −3 −9 0 0 0 0 1/4 1 1/4 0 2 0 1 2 0 1 4    L1 −→ L1 + 9L2 L3 −→ L3 − 2L2    1 −3...$

$Veja que x1 = 0 (variável básica), o que indica a solu¸cão degenerada. O fato de o decisor saber a priore que uma das r...$

$sujeito a :    x1 + 2x2 + f1 = 5 x1 + x2 + f2 = 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0 a) Solu¸c˜ao B´asica Inicial (SB...$

$   1 0 0 2 0 10 0 1/2 1 1/2 0 5/2 0 1/2 0 −1/2 1 3/2    L3 −→ 2L3    1 0 0 2 0 10 0 1/2 1 1/2 0 5/2 0 1 0 −1 2 3 ...$

$Observe o gráfico do problema: Figura 4.2: b) Problema da Solu¸cão Ilimitada: Quando a variável que entra na base não p...$

$Para tratar de problemas que envolvem a minimiza¸cão da fun¸cão objetivo, devemos multiplicá-la por -1, assim, obter-se...$

$sujeito a :    2x1 + x2 ≥ 10 x1 + 5x2 ≥ 15 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Para aplica¸c˜ao do M´etodo Simplex, fa¸camos uma breve...$

$• Fique Atento!: O objetivo inicial não é determinar a solu¸cão ótima, mas eliminar as variáveis auxiliares, portanto...$

$• Elemento Pivô: C3 L3 = 5 (5 é o elemento que deverá ser transformado no elemento pivô). Aplicaremos a opera¸cão e...$

$L1 −→ L1 − 13 5 L2 L3 −→ L3 − 1 5 L2 L4 −→ L4 + 9 5 L2       −1 0 0 13/9 1/9 −13/9 −1/9 −145/9 0 1 0 −5/9 1/9 5/9 −1...$

$CAPÍTULO 5 DUALIDADE Um problema que dá origem a maximiza¸cão ou minimiza¸cão em Programa¸cão Linear, é chamado de M...$

$O modelo dual associado ao primal ser´a escrito como: MinW = m i=1 biyi Sujeita a: m i=1 aijyi ≥ cj ∀ j = 1, 2, 3, . . . ,...$

$Vejamos um exemplo: MaxZ = 4x1 + 6x2 + 5x3 sujeito a :    2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 23 x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 19 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0...$

$• O número de restri¸cões do dual, corresponde ao número de variáveis do primal com a perda de uma variável, no caso ...$

$Modelo Dual MinW = 23y1 + 19y2 sujeito a :    2y1 + y2 ≥ 4 5y1 + 3y2 ≥ 6 3y1 + 4y2 ≥ 5 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 5.1.1...$

$Que corresponde ao modelo dual MinW = 23y1 + 19y2 sujeito a :    2y1 + y2 ≥ 4 5y1 + 3y2 ≥ 6 3y1 + 4y2 ≥ 5 y...$

$MODELO PRIMAL MaxZ = 5x1 + 8x2 Sujeito a :    60x1 + 100x2 ≤ 10.000 20x1 + 25x2 ≤ 3000 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 b) Vamos ap...$

$Dadas todas as informa¸cões necessárias, vamos às itera¸cões que nos mostrará a nova solu¸cão. Cálculo da Nova Solu...$

$Cálculo da nova solu¸cão básica:    1 −1/5 0 8/100 0 800 0 3/5 1 1/100 0 100 0 1 0 −1/20 1/5 100    L1 −→ L1 + 1 ...$

$Ent˜ao o modelo dual ser´a: MinW = 10.000y1 + 3.000y2 Sujeito a :    60y1 + 20y2 ≥ 5 100y1 + 25y2 ≥ 8 y1 ≥ 0, y2 ...$

$Se o valor de mercado for menor que o valor interno, o produto poderá ser ou não fabricado. Mas fique atento, se o valor ...$

$Pergunta-se: a) Qual o modelo Dual? b) Qual o quadro Dual Simplex (situa¸c˜ao ﬁnal)? c) Qual o valor de oportunidade do re...$

$Já o recurso R2 (mão de obra),não é escasso6 . Veja que de fato o resultado é lógico, se y2 = 0, então existem 40 h...$

$CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Segundo Lachtermacher (2009) uma das hipótese dos problemas de programa¸cão linear...$

$Existem dois tipos b´asicos de an´alise de sensibilidade. O primeiro estabelece limites inferiores e superiores para todos...$

$Analisando o último quadro, podemos afirmar que: Para maximizar os lucros da fábrica de tijolos em R$ 1.560 u.m é necess...$

$Para isso, vamos considerar apenas as restri¸c˜oes do modelo primal Sujeito a :    2x1 + 5x2 ≤ 400 4x1 + 5x2 ≤ 60...$

$6.0.2 Aplica¸c˜ao da An´alise de Sensibilidade: Intervalo de Es- tabilidade do Recurso II Vamos obter o intervalo de varia...$

$Vamos, inicialmente, descobrir os coeﬁcientes angulares de cada uma das retas que representam as restri¸c˜oes: • 2x1 + 5x2...$

$Interpreta¸cão dos resultados: É sabido que os coeficientes da fun¸cão objetivo é a contribui¸cão individual de cada v...$

$CAPÍTULO 7 TRANSPORTES O problema de transportes é um problema de fluxo de redes, que esquematicamente é representado po...$

$7.1 Rela¸cão entre Redes e Transporte Num modelo de distribui¸cão é necessário identificar duas informa¸cões muito imp...$

$7.2 Sistemas Equilibrados e N˜ao Equilibrados Dois casos podem ocorrer quando da necessidade de resolver um problema de di...$

$De forma análoga, se a quantidade do que se procura é maior do que a quantidade ofer- tada, então acrescenta-se uma ori...$

$Podemos dizer então que a fun¸cão objetivo é um somatório duplo das cargas a serem transportadas em que os ´ındices re...$

$Do problema proposto inicialmente tem-se: MinZ = 10x11 + 12x12 + 20x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32 Sujeito a:   ...$

$7.4.1 Método do Canto Noroeste Este método tem o intuito de alocar carga a partir da primeira célula situada no canto n...$

$CAP´ITULO 8 PESQUISA OPERACIONAL NO EXCEL - SOLVER 73$

$CAPÍTULO 9 COLETÂNEA DE EXERCÍCIOS 1. Problema de Dosagem em Formula¸cão de Petróleo: Uma re- finaria de petróleo des...$

$3. Estudo de Caso: A Verga¸co do Norte, empresa localizada no munic´ıpio de Canoas, estado do Rio Grande do Sul, ap´os an´...$

$b) Qual o intervalo de estabilidade para o coeﬁciente de f1? c) O que signiﬁca o intervalo obtido no item (a)? d) Como pod...$