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ALGEBRA, TRIGONOMETRIAY GEOMETRIA
ANALITICA
Elementos, características y procedimientos de la Unidad 3 - Pensamiento
geométrico y analítico
JAIME URUETA
COD. 1046699518
GRUPO: 10
STEVENSON LIONS LAGUNA
(TUTOR)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN – ECEDU
Unidad 3
 Los Contenidos y referentes bibliográficos que se presentan a continuación, son las
referencias requeridas para realizar las actividades propuestas en las guías de
actividades asociadas a la Unidad 3.
 Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a.
ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
 Real, M. (2010). Secciones Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
Desarrollo de la unidad 3
 En la unidad 3 se da a conocer el tema sobre la geometría analítica, con referentes bibliográficos que
exponen de manera detallada los elementos de la geometría analítica, con esta presentación digital se quiere
llegar a lograr que el estudiante comprenda y analice los elementos, características y procedimientos que se
realizaron en el desarrollo de la unidad 3.
Figura 1. tomada de https://delphoslab.cl/index.php/min-mat-
menu/44-optimizando-el-valor-de-una-operacion-minera/226-
geometria-analitica-parabolas
Geometría analítica
 La geometría analítica es una de las ramas de la
matemática que estudia las figuras geométricas en el
plano cartesiano y sus representaciones algebraicas, de
cierto modo junta la geometría y el algebra para estudiar
dichas figuras geométricas para obtener ecuaciones
generales para cada figura geométrica.
Figura 2. tomada de https://encrypted-
tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRZ0G7p
DwNkZL4HogfFZX_WOt5dmN1YDsp7Jwt9hHRJS5
R7yQciJPkMJfxvL0N9LhmK_Pk&usqp=CAU
Hipérbolas
Se obtiene al cortar un cono recto con un plano no paralelo al eje de simetría, también se
conoce como un conjunto de puntos en un plano cartesiano, donde la diferencia de las
distancias entre los puntos y los focos es una constante positiva.
Elementos de una hipérbola
 Coordenadas de centro: es el punto medio del segmento de línea uniendo sus
focos.
 Vértices: es el punto de intersección donde se unen dos o más líneas, en el
caso de la hipérbola son los extremos de su eje transversal.
 Focos: Son dos puntos fijos, F1 y F2, que se encuentran en la línea que
contiene el eje transversal. Cada punto de la hipérbola es tal que la diferencia
entre las distancias desde ese punto a los dos focos es una constante.
 Excentricidad: Es la razón que existe entre la distancia del centro a uno de
sus focos (c) y la distancia del centro a uno de sus vértices (a).
 Grafica de sus elementos
Hipérbolas
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Elipse
Resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo
mayor que el de la generatriz, también se conoce como elipse el lugar geométrico de todos
los puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados
focos, siempre es constante. A esta longitud constante se le denomina eje mayo que puede
ser paralelo al eje “x”, paralelo al eje “y” en el plano cartesiano.
Elementos de una elipse
 Coordenadas de centro: es el punto medio del segmento de línea que une sus
focos. También es el punto medio del eje mayor y menor, y los ejes son perpendiculares
en el centro.
 Vértices: es el punto de intersección donde se unen dos o más líneas, en el caso de la
elipse son los extremos de los ejes mayor y menor y se juntan con los extremos de la
elipse.
 Focos: Son dos puntos fijos donde la suma de las distancias desde cualquier
punto P de la elipse a los dos focos es constante.
 Excentricidad: es la razón entre su semidistancia focal y su semieje mayor, su valor se
encuentra entre cero y uno.
 Grafica de sus elementos
Elipse
Imagen de autoría propia
Secciones cónicas
 Las secciones cónicas son las fórmulas necesarias para hallar los elementos de cada una
de las secciones cónicas, como la circunferencia, parábola, hipérbola y elipse.
Figura 3. tomada de https://www.shutterstock.com/image-
vector/conic-section-circle-ellipse-parabola-260nw-
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Ecuación canónica de una elipse
v1 = (−5; 1), v2 = (5; 1), v3 = (−1; 1), v4 = (1; 1)
 Lo primero es encontrar el centro de la elipse teniendo en cuenta la posición del eje mayor y el eje
menor.

 Extremos del eje mayor v1 = (−5; 1), v2 = (5; 1)
 Extremos del eje menor v3 = (−1; 1), v4 = (1; 1)


−5+(5)
2
,
1+(1)
2
= (0,1)

−1+(1)
2
,
1+(1)
2
= (0,1)
 Teniendo en cuenta la información sabemos que el centro de la elipse es (0,1)
 Semieje mayor 𝑎:
 𝛼 =
1
2
(−5 − 0)2 + (1 − (1))2 =
5
2
× 2 = 5
 Semieje menor 𝑏:
 𝑏 =
1
2
(−1 − 0)2 + (1 − (1))2 =
1
2
× 2 = 1
 Entonces, la ecuación canónica de la elipse es:

(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1

 donde (ℎ, 𝑘) es el centro de la elipse, 𝑎 es el semieje mayor y 𝑏 es el semieje menor.
 Sustituyendo: h = 0, k = 1, a = 5, b = 1

(𝑥−0)2
52 +
(𝑦−1)2
12 = 1
Pendiente de una recta paralela
 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3; -6) y es paralela a la
ecuación y =
1
3
x − 4.
 Para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3; -6), se tiene en cuenta
algunos factores como la pendiente de la recta y que si las rectas son paralelas deberán
tener la misma pendiente.
 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 → 𝑦 =
1
3
𝑥 − 4
 𝑚1 = 𝑚2, 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 (𝑚)
 𝑚1 =
1
3
 𝑚2 =
1
3
 Una vez se conozca la pendiente de la segunda recta y los puntos por donde pasa, es
posible remplazar los datos de la ecuación general de la recta.
 −3, −6
 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
 𝑦 − −6 =
1
3
𝑥 − −3 , se simplifica la expresión, teniendo en cuenta los signos.
 𝑦 + 6 =
1
3
(𝑥 + 3), se realiza la operación del lado derecho de la igualdad.
 𝑦 + 6 =
1
3
𝑥 + 1, luego se despeja la (y) para obtener la ecuación de la recta.
 𝑦 =
1
3
𝑥 + 1 − 6, se realiza la operación.
 𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙 − 𝟓, y se obtiene la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−3, −6).
Conclusión
Luego de observar la presentación digital, es posible concluir la importancia de esta rama de las
matemáticas, donde busca representar algebraicamente las figuras geométricas representadas en un
plano cartesiano, y como futuros educadores matemáticos es de suma importancia la apropiación
de los conocimientos brindados en la unidad 3.
Referencias bibliográficas
 Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a.
ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
 Real, M. (2010). Secciones Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583

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  • 1. ALGEBRA, TRIGONOMETRIAY GEOMETRIA ANALITICA Elementos, características y procedimientos de la Unidad 3 - Pensamiento geométrico y analítico JAIME URUETA COD. 1046699518 GRUPO: 10 STEVENSON LIONS LAGUNA (TUTOR) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN – ECEDU
  • 2. Unidad 3  Los Contenidos y referentes bibliográficos que se presentan a continuación, son las referencias requeridas para realizar las actividades propuestas en las guías de actividades asociadas a la Unidad 3.  Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51  Real, M. (2010). Secciones Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690  Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
  • 3. Desarrollo de la unidad 3  En la unidad 3 se da a conocer el tema sobre la geometría analítica, con referentes bibliográficos que exponen de manera detallada los elementos de la geometría analítica, con esta presentación digital se quiere llegar a lograr que el estudiante comprenda y analice los elementos, características y procedimientos que se realizaron en el desarrollo de la unidad 3. Figura 1. tomada de https://delphoslab.cl/index.php/min-mat- menu/44-optimizando-el-valor-de-una-operacion-minera/226- geometria-analitica-parabolas
  • 4. Geometría analítica  La geometría analítica es una de las ramas de la matemática que estudia las figuras geométricas en el plano cartesiano y sus representaciones algebraicas, de cierto modo junta la geometría y el algebra para estudiar dichas figuras geométricas para obtener ecuaciones generales para cada figura geométrica. Figura 2. tomada de https://encrypted- tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRZ0G7p DwNkZL4HogfFZX_WOt5dmN1YDsp7Jwt9hHRJS5 R7yQciJPkMJfxvL0N9LhmK_Pk&usqp=CAU
  • 5. Hipérbolas Se obtiene al cortar un cono recto con un plano no paralelo al eje de simetría, también se conoce como un conjunto de puntos en un plano cartesiano, donde la diferencia de las distancias entre los puntos y los focos es una constante positiva. Elementos de una hipérbola  Coordenadas de centro: es el punto medio del segmento de línea uniendo sus focos.  Vértices: es el punto de intersección donde se unen dos o más líneas, en el caso de la hipérbola son los extremos de su eje transversal.  Focos: Son dos puntos fijos, F1 y F2, que se encuentran en la línea que contiene el eje transversal. Cada punto de la hipérbola es tal que la diferencia entre las distancias desde ese punto a los dos focos es una constante.  Excentricidad: Es la razón que existe entre la distancia del centro a uno de sus focos (c) y la distancia del centro a uno de sus vértices (a).
  • 6.  Grafica de sus elementos Hipérbolas Imagen de autoría propia
  • 7. Elipse Resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz, también se conoce como elipse el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, siempre es constante. A esta longitud constante se le denomina eje mayo que puede ser paralelo al eje “x”, paralelo al eje “y” en el plano cartesiano. Elementos de una elipse  Coordenadas de centro: es el punto medio del segmento de línea que une sus focos. También es el punto medio del eje mayor y menor, y los ejes son perpendiculares en el centro.  Vértices: es el punto de intersección donde se unen dos o más líneas, en el caso de la elipse son los extremos de los ejes mayor y menor y se juntan con los extremos de la elipse.  Focos: Son dos puntos fijos donde la suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante.  Excentricidad: es la razón entre su semidistancia focal y su semieje mayor, su valor se encuentra entre cero y uno.
  • 8.  Grafica de sus elementos Elipse Imagen de autoría propia
  • 9. Secciones cónicas  Las secciones cónicas son las fórmulas necesarias para hallar los elementos de cada una de las secciones cónicas, como la circunferencia, parábola, hipérbola y elipse. Figura 3. tomada de https://www.shutterstock.com/image- vector/conic-section-circle-ellipse-parabola-260nw- 1930037984.jpg
  • 10. Ecuación canónica de una elipse v1 = (−5; 1), v2 = (5; 1), v3 = (−1; 1), v4 = (1; 1)  Lo primero es encontrar el centro de la elipse teniendo en cuenta la posición del eje mayor y el eje menor.   Extremos del eje mayor v1 = (−5; 1), v2 = (5; 1)  Extremos del eje menor v3 = (−1; 1), v4 = (1; 1)   −5+(5) 2 , 1+(1) 2 = (0,1)  −1+(1) 2 , 1+(1) 2 = (0,1)  Teniendo en cuenta la información sabemos que el centro de la elipse es (0,1)
  • 11.  Semieje mayor 𝑎:  𝛼 = 1 2 (−5 − 0)2 + (1 − (1))2 = 5 2 × 2 = 5  Semieje menor 𝑏:  𝑏 = 1 2 (−1 − 0)2 + (1 − (1))2 = 1 2 × 2 = 1  Entonces, la ecuación canónica de la elipse es:  (𝑥−ℎ)2 𝑎2 + (𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1   donde (ℎ, 𝑘) es el centro de la elipse, 𝑎 es el semieje mayor y 𝑏 es el semieje menor.  Sustituyendo: h = 0, k = 1, a = 5, b = 1  (𝑥−0)2 52 + (𝑦−1)2 12 = 1
  • 12. Pendiente de una recta paralela  Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3; -6) y es paralela a la ecuación y = 1 3 x − 4.  Para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3; -6), se tiene en cuenta algunos factores como la pendiente de la recta y que si las rectas son paralelas deberán tener la misma pendiente.  𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 → 𝑦 = 1 3 𝑥 − 4  𝑚1 = 𝑚2, 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 (𝑚)  𝑚1 = 1 3  𝑚2 = 1 3
  • 13.  Una vez se conozca la pendiente de la segunda recta y los puntos por donde pasa, es posible remplazar los datos de la ecuación general de la recta.  −3, −6  𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)  𝑦 − −6 = 1 3 𝑥 − −3 , se simplifica la expresión, teniendo en cuenta los signos.  𝑦 + 6 = 1 3 (𝑥 + 3), se realiza la operación del lado derecho de la igualdad.  𝑦 + 6 = 1 3 𝑥 + 1, luego se despeja la (y) para obtener la ecuación de la recta.  𝑦 = 1 3 𝑥 + 1 − 6, se realiza la operación.  𝒚 = 𝟏 𝟑 𝒙 − 𝟓, y se obtiene la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−3, −6).
  • 14. Conclusión Luego de observar la presentación digital, es posible concluir la importancia de esta rama de las matemáticas, donde busca representar algebraicamente las figuras geométricas representadas en un plano cartesiano, y como futuros educadores matemáticos es de suma importancia la apropiación de los conocimientos brindados en la unidad 3.
  • 15. Referencias bibliográficas  Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51  Real, M. (2010). Secciones Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690  Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583