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𝑑 𝑒𝑥2
𝑦 = 𝑒𝑥2
𝑥3
𝑑𝑥 → ℎ𝑎𝑔𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠:
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑒𝑥2
𝑥3𝑑𝑥 =
1
2
𝑒𝑥2
𝑥22𝑥𝑑𝑥
𝑒𝑥2
𝑥3𝑑𝑥 =
1
2
𝑒𝑢𝑢 𝑑𝑢
→ 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑓𝑔′ = 𝑓𝑔 − 𝑓′𝑔
𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓 = 𝑢 ; 𝑔′ = 𝑒𝑢
1
2
𝑒𝑢𝑢 𝑑𝑢 =
1
2
𝑢 ∗ 𝑒𝑢 − 1 ∗ 𝑒𝑢 =
1
2
𝑒𝑢 𝑢 − 1 + 𝐶
𝑒𝑥2
𝑦 =
1
2
𝑒𝑥2
𝑥2 − 1 + 𝐶
𝑦 =
1
2
𝑒𝑥2
𝑥2
− 1 + 𝐶
𝑒𝑥2 =
1
2
𝑥2
− 1 + 𝐶𝑒−𝑥2
Ecuación Diferencial Homogénea:
𝒇𝒏 𝒙
𝒅𝒏
𝒚
𝒅𝒙𝒏
+ 𝒇𝒏−𝟏 𝒙
𝒅𝒏−𝟏
𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟏
+ ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎
𝒇𝒏 𝒙 𝒚𝒏
+ 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒚𝒏−𝟏
+ ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎
𝟑𝒙𝒚′′′
+ 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒚′
− 𝟑𝒚 = 𝟎
Ecuación Diferencial completa
𝒇𝒏 𝒙
𝒅𝒏𝒚
𝒅𝒙𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙
𝒅𝒏−𝟏𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙)
𝒇𝒏 𝒙 𝒚𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒚𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙)
𝟑𝒙𝒚′′′ + 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝒙𝟐
¿Qué fuerzas actúan?
𝐹1 = 𝑚𝑔 → 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑
Σ𝐹 = 𝑚𝑦′′
𝑡 → 2° 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛
Por tanto tenemos:
𝑚𝑦′′ 𝑡 = 𝑚𝑔 → 𝐸𝑑𝑜 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= 𝑔 → 𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑔𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑔𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑔𝑡 + 𝐶1 → 𝑌𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦′
𝑑𝑦 = (𝑔𝑡 + 𝐶1) 𝑑𝑡 ⇒ 𝑦 𝑡 =
1
2
𝑔𝑡2
+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2
Solución general, está dada por la suma de las soluciones de la homogéna y la
particular
Resuelvo como una cuadrática, es decir r =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
y me pueden
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iguales, raíces reales distintas o raíces complejas conjugadas
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  • 1.
  • 2.
  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • 6. 𝑑 𝑒𝑥2 𝑦 = 𝑒𝑥2 𝑥3 𝑑𝑥 → ℎ𝑎𝑔𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥2 𝑥3𝑑𝑥 = 1 2 𝑒𝑥2 𝑥22𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥2 𝑥3𝑑𝑥 = 1 2 𝑒𝑢𝑢 𝑑𝑢 → 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑓𝑔′ = 𝑓𝑔 − 𝑓′𝑔 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓 = 𝑢 ; 𝑔′ = 𝑒𝑢 1 2 𝑒𝑢𝑢 𝑑𝑢 = 1 2 𝑢 ∗ 𝑒𝑢 − 1 ∗ 𝑒𝑢 = 1 2 𝑒𝑢 𝑢 − 1 + 𝐶 𝑒𝑥2 𝑦 = 1 2 𝑒𝑥2 𝑥2 − 1 + 𝐶 𝑦 = 1 2 𝑒𝑥2 𝑥2 − 1 + 𝐶 𝑒𝑥2 = 1 2 𝑥2 − 1 + 𝐶𝑒−𝑥2
  • 7.
  • 8. Ecuación Diferencial Homogénea: 𝒇𝒏 𝒙 𝒅𝒏 𝒚 𝒅𝒙𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒅𝒏−𝟏 𝒚 𝒅𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎 𝒇𝒏 𝒙 𝒚𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒚𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎 𝟑𝒙𝒚′′′ + 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝟎 Ecuación Diferencial completa 𝒇𝒏 𝒙 𝒅𝒏𝒚 𝒅𝒙𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒅𝒏−𝟏𝒚 𝒅𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙) 𝒇𝒏 𝒙 𝒚𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒚𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙) 𝟑𝒙𝒚′′′ + 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝒙𝟐
  • 9. ¿Qué fuerzas actúan? 𝐹1 = 𝑚𝑔 → 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 Σ𝐹 = 𝑚𝑦′′ 𝑡 → 2° 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 Por tanto tenemos: 𝑚𝑦′′ 𝑡 = 𝑚𝑔 → 𝐸𝑑𝑜 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑔 → 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔𝑡 + 𝐶1 → 𝑌𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦′ 𝑑𝑦 = (𝑔𝑡 + 𝐶1) 𝑑𝑡 ⇒ 𝑦 𝑡 = 1 2 𝑔𝑡2 + 𝐶1𝑡 + 𝐶2 Solución general, está dada por la suma de las soluciones de la homogéna y la particular
  • 10.
  • 11.
  • 12. Resuelvo como una cuadrática, es decir r = −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 y me pueden dar 3 posibles resultados según el discriminante: raíces reales iguales, raíces reales distintas o raíces complejas conjugadas