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ESTRUCTURACION Y COMPORTAMIENTO DE
ESTRUCTURAS FRENTE A SISMO
PROFESOR: ING. LUIS ITA ROBLES
UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO
FACULTAD DE INGENIERIA CICIL
APUNTES DE CLASES
CONCRETO ARMADO II
ABRIL DEL 2024
CAPITULO - 1
1.1. Área Académica: Estructuras
1.2. Carrera Profesional: Ingeniería Civil
1.3. Código de la asignatura: VE-C02
1.4. Requisitos: VE-E14 Ingeniería Antisísmica
1.5. Ciclo: IX
1.6. Semestre Académico: 2024 -I
1.7. Número de Créditos: 04
1.8. Modalidad: Presencial
1.9. Número de Horas: Teoría: 02; Practica: 04; Total: 06 horas
1.10. Duración: Fecha de Inicio: 08 de abril del 2024 Fecha de Término: 30 de julio
del 2024
1.11. Docente: Teoría y Práctica: Ing. Luis Ita Robles
Nombrado. Asociado. Dedicación exclusiva
E-Mail: luis_ita6@hotmail.com E-Mail: litar@unasam.edu.pe
SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
I. IDENTIFICACIÓN
Se estudia el comportamiento y la metodología de diseño de elementos de concreto armado
enfatizando el diseño sismorresistente, complementando lo aprendido en el curso de Concreto
Armado 1. Se estudia el diseño de muros de corte, cimentaciones, muros de contención, escaleras,
losas, entre otros elementos, comentando las normas de diseño en concreto armado, la Norma
peruana y la Norma del American Concrete Institute (ACI).
II. DESCRIPCIÓN DEL CURSO
Es un curso teórico-práctico perteneciente al área de Estructuras de la especialidad de Ingeniería
Civil. Aporta al desarrollo de todas las competencias del Perfil del Egresado en el nivel avanzado de
progresión. Temáticamente, aplica los conceptos básicos adquiridos en el curso previo a los
elementos estructurales típicos construidos con concreto armado, con énfasis en el diseño
sismorresistente. Se examina el diseño de elementos tales como vigas, columnas, muros de corte,
cimentaciones, muros de sostenimientos, losas, entre otros, considerando las reglamentaciones
especiales para cada elemento.
III. SUMILLA
SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
El objetivo principal del curso es completar el aprendizaje de los alumnos en el comportamiento de
elementos y estructuras de concreto armado. El alumno deberá ser capaz de diseñar las armaduras de
refuerzo necesarias para diferentes elementos de concreto armado, sometidos a diversas solicitaciones.
El presente curso aporta al desarrollo de las siguientes competencias del perfil del egresado de ingeniería
civil:
C1. Diseña y gestiona proyectos de infraestructura tomando en cuenta la normativa vigente, las
condiciones del entorno y el impacto ambiental, con criterios de seguridad, economía, utilidad y
funcionalidad.
C3. Investiga de manera crítica, reflexiva y creativa en temas de ingeniería civil, considerando aspectos de
pertinencia, viabilidad y sostenibilidad, y presenta formalmente sus resultados considerando el público
objetivo.
C8. Reconoce la necesidad del desarrollo profesional continuo y se compromete con el aprendizaje
permanente.
IV. OBJETIVOS
SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
V. PROGRAMA ANALÍTICO
CAPÍTULO 1 ESTRUCTURACIÓN Y COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS FRENTE A SISMO (2esiones)
1.1 Fuerzas sísmicas y la Norma E.030 1.2 Criterios de estructuración en edificios de concreto
armado: pórticos principales, pórticos secundarios, pórticos y muros de concreto, pórticos y muros
de albañilería, densidad de muros, influencia de la tabiquería, control de desplazamientos laterales.
1.3 Ejemplos de estructuras mixtas: muros portantes de ladrillo y pórticos 1.4 Ejemplos de centros
educativos, viviendas unifamiliares y multifamiliares
CAPÍTULO 2 DISEÑO SISMORRESISTENTE DE VIGAS Y COLUMNAS (2 sesiones)
2.1 Filosofía del diseño sísmico: fallas por corte y por flexión; falla por tracción o compresión en
flexión, efectos del confinamiento en la ductilidad del concreto armado. 2.2 Disposiciones especiales
para el Diseño Sísmico de la Norma E.060. 2.3 Requisitos del diseño sísmico en vigas: armaduras
longitudinales, empalmes de armaduras, concentración de estribos, diseño por capacidad. 2.4
Requisitos del diseño sísmico en columnas: armaduras longitudinales, empalmes de armaduras,
concentración de estribos, diseño por capacidad, relación de momentos nominales en nudos.
SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
V. PROGRAMA ANALÍTICO
SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
CAPÍTULO 3 DISEÑO DE MUROS ESTRUCTURALES (PLACAS) (2 sesiones)
3.1 Muros esbeltos y muros bajos, efectos locales y globales, núcleos reforzados y
confinamientos. 3.2 Diagramas de interacción y cálculo aproximado de muros bajos 3.3 Diseño de
juntas por corte fricción
CAPÍTULO 4 DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES (1 sesiones)
4.1 Losas con vigas y losas sin vigas. Ventajas y desventajas, problemas de trasmisión de
momentos en losas sin vigas. Punzonamiento. 4.2 Método de coeficientes de la Norma E.060.
CAPÍTULO 5 DISEÑO DE CIMENTACIONES SUPERFICIALES (2 sesiones)
5.1 Zapatas aisladas: Dimensionamiento y presiones en el terreno. Diseño por punzonamiento,
cortante y flexión. 5.2 Zapatas conectadas 5.3 Zapatas combinadas. Zapatas combinadas con viga
rígida 5.4 Plateas de cimentación.
V. PROGRAMA ANALÍTICO
SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
CAPÍTULO 6 DISEÑO DE CIMENTACIONES PROFUNDAS (2 sesiones)
6.1 Tipos de Pilotes 6.2 Zapatas aisladas sobre pilotes: dimensionamiento y formas; diseño por
punzonamiento, cortante y flexión. 6.3 Zapatas combinadas y conectadas.
CAPÍTULO 7 DISEÑO DE MUROS DE CONTENCIÓN (2 sesiones)
7.1 Muros en voladizo: volteo, deslizamiento, presiones en el terreno. Dimensionamiento y
diseño de punta, talón y del muro por flexión y cortante. 7.2 Muros con contrafuertes.
Comportamiento de la pared según el espaciamiento de contrafuertes. Equilibrio externo y
diseño del muro, los contrafuertes y la zapata. 7.3 Muros de sótano. Dimensionamiento y diseño.
7.4 Calzaduras y muros anclados 7.5 Muros sometidos a presión de agua, cisternas, piscinas y
tanques elevados. 7.6 Muros de gravedad.
CAPÍTULO 8 DISEÑO DE ESCALERAS (1 sesiones)
8.1 Tipos de escaleras. 8.2 Modelaje de escaleras 8.3 Armado de escaleras típicas
ESTRUCTURACION Y COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS FRENTE A SISMO
CAPITULO - 1
1. Fuerzas sísmicas y la Norma E.030
2. Criterios de estructuración en edificios de concreto armado: pórticos principales, pórticos
secundarios, pórticos y muros de concreto, pórticos y muros de albañilería, densidad de muros,
influencia de la tabiquería, control de desplazamientos laterales.
3. Ejemplos de estructuras mixtas: muros portantes de ladrillo y pórticos
4. Ejemplos de centros educativos, viviendas unifamiliares y multifamiliares
CONCRETO ARMADO II.
BIBLIOGRAFIA
• ESTRUCTURACIÓN Y DISEÑO DE EDIFICACIONES DE CONCRETO ARMADO
Blanco Blasco, Antonio
Colegio de Ingenieros del Perú, 1994
• ANALISIS DE EDIFICIOS
San Bartolomé, Angel
Fondo Editorial PUCP, 1999
• NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” (DECRETO SUPREMO N° 355-
2018-VIVIENDA)
Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento
INTRODUCCION
¿PORQUE EL PERÚ ES UN PAÍS SÍSMICO?
El Perú está ubicado en el cinturón Circumpacífico, zona del mundo donde se produce la mayor parte de
los sismos de nuestro planeta.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Filosofía y Principios del Diseño Sismorresistente
La filosofía del Diseño Sismorresistente consiste en:
a) Evitar pérdida de vidas humanas.
b) Asegurar la continuidad de los servicios básicos.
c) Minimizar los daños a la propiedad.
Se reconoce que dar protección completa frente a todos los sismos no es técnica ni económicamente factible
para la mayoría de las estructuras.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Filosofía y Principios del Diseño Sismorresistente
Diseño por desempeño
Estudios en regiones más extensas sugieren que las aceleraciones
asociadas a los cuatro sismos de diseño en la costa oeste de
América del Sur tendrían valores cercanos a los mostrados en la
tabla:
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Filosofía y Principios del Diseño Sismorresistente
Perú
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Filosofía y Principios del Diseño Sismorresistente
En concordancia con tal filosofía se establecen en la presente Norma los siguientes principios:
a) La estructura no debería colapsar ni causar daños graves a las personas, aunque podría presentar daños
importantes, debido a movimientos sísmicos calificados como severos para el lugar del proyecto.
b) La estructura debería soportar movimientos del suelo calificados como moderados para el lugar del
proyecto, pudiendo experimentar daños reparables dentro de límites aceptables.
c) Para las edificaciones esenciales, definidas en la Tabla Nº 5, se tendrán consideraciones especiales
orientadas a lograr que permanezcan en condiciones operativas luego de un sismo severo.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
OBJETIVOS DE LA INGENIERÍA SISMORRESISTENTE DE EDIFICACIONES:
Niveles de desempeño de las edificaciones
El desempeño de una edificación luego de un sismo se califica en función del nivel de
daño que sufre el sistema estructural, las instalaciones y su contenido en general. Se
muestran la propuesta del SEAOC.
Niveles de desempeño
Niveles de desempeño de las edificaciones
Niveles de desempeño
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
OBJETIVOS DE LA INGENIERÍA SISMORRESISTENTE DE EDIFICACIONES:
Niveles de desempeño de las edificaciones
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
OBJETIVOS DE LA INGENIERÍA SISMORRESISTENTE DE EDIFICACIONES:
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Consideraciones Generales
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Procedimientos de Análisis Sísmico
Deberá utilizarse uno de los procedimientos siguientes:
1) Análisis estático o de fuerzas estáticas
equivalentes (numeral 4.5).
2) Análisis dinámico modal espectral
(numeral 4.6).
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Procedimientos de Análisis Sísmico
El análisis se hará considerando un modelo de comportamiento lineal y elástico con las solicitaciones
sísmicas reducidas.
El procedimiento de análisis dinámico tiempo - historia, descrito en el numeral 4.7, podrá usarse con fines
de verificación, pero en ningún caso será exigido como sustituto de los procedimientos indicados en los
numerales 4.5 y 4.6.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
Este método representa las solicitaciones sísmicas mediante un conjunto de fuerzas actuando en el centro
de masas de cada nivel de la edificación.
Podrán analizarse mediante este procedimiento todas las estructuras regulares o irregulares ubicadas en la
zona sísmica 1, las estructuras clasificadas como regulares según el numeral 3.5 de no más de 30 m de
altura y las estructuras de muros portantes de concreto armado y albañilería armada o confinada de no más
de 15 m de altura, aun cuando sean irregulares.
METODO ESTATICO DE ANALISIS
SISMICO
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
METODO ESTATICO DE ANALISIS SISMICO
El método estático consiste en la aplicación de un sistema de fuerzas horizontales a la estructura. Las características
y magnitud de este sistema de fuerzas están previamente dadas en este caso, ya sea mediante algún estudio especial
anterior o por la aplicación de normas como las de diseño antisísmico de edificios que aparecen en el Reglamento
Nacional de Edificaciones (RNE).
1.- Características del sistema de fuerzas
El Reglamento Nacional de Edificaciones, representa las solicitaciones sísmicas mediante un conjunto de
fuerzas actuando en el centro de masas de cada nivel de la edificación.
Podrán analizarse mediante este procedimiento todas las estructuras regulares o irregulares ubicadas en la
zona sísmica 1, las estructuras clasificadas como regulares según el numeral 3.5 de no más de 30 m de altura y
las estructuras de muros portantes de concreto armado y albañilería armada o confinada de no más de 15 m
de altura, aun cuando sean irregulares.
2.- Fuerza Cortante en la Base
La fuerza cortante total en la base de la estructura, correspondiente a la dirección considerada, se determinará
por la siguiente expresión:
𝑉 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅
P 𝐶
𝑅
≥ 0.11
(2.1)
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
donde:
Z = factor de zona
A cada zona se asigna un factor Z según se indica en la Tabla N° 1 de la norma E.030. Este factor se
interpreta como la aceleración máxima horizontal en suelo rígido con una probabilidad de 10 % de ser
excedida en 50 años. El factor Z se expresa como una fracción de la aceleración de la gravedad.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
Representación del peligro sísmico según la Norma E030 del Peru:
S = Factor de suelo.
Los tipos de perfiles de suelos son cinco:
a. Perfil Tipo 𝑆0: Roca Dura
b. Perfil Tipo 𝑆1: Roca o Suelos Muy Rígidos
c. Perfil Tipo 𝑆2: Suelos Intermedios
d. Perfil Tipo 𝑆3: Suelos Blandos
e. Perfil Tipo 𝑆4: Condiciones Excepcionales
El factor de suelo depende de su perfil de suelos. Para los efectos de la Norma E.030, los perfiles de suelo
se clasifican tomando en cuenta la velocidad promedio de propagación de las ondas de corte (VS), o
alternativamente, para suelos granulares, el promedio ponderado de los N60 obtenidos mediante un
ensayo de penetración estándar (SPT), o el promedio ponderado de la resistencia al corte en condición no
drenada (Su) para suelos cohesivos. Estas propiedades deben determinarse para los 30 m superiores del
perfil de suelo medidos desde el nivel del fondo de cimentación.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
Parámetros de Sitio (S, 𝑇𝑃 y 𝑇𝐿)
Deberá considerarse el tipo de perfil que mejor describa las condiciones locales, utilizándose los
correspondientes valores del factor de amplificación del suelo S y de los períodos TP y TL dados en las
Tablas Nº 3 y Nº 4.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
El factor “S” depende del suelo y de la Zona
T P y TL solo dependen del suelo
𝑻𝑷 define la plataforma de C
𝑻𝑳 define el inicio de la zona espectral con desplazamiento constante
a) Perfil Tipo 𝑆0: Roca Dura
b) Perfil Tipo 𝑆1: Roca o Suelos Muy Rígido
c) Perfil Tipo 𝑆2: Suelos intermedio
d) Perfil Tipo 𝑆3: Suelos Blandos
e) Perfil Tipo 𝑆4: Condiciones Excepcionales.
C = factor de Amplificación Sísmica.
De acuerdo a las características de sitio, se define el factor de amplificación sísmica (C) por las siguientes
expresiones:
T < 𝑇𝑃 C = 2.5
𝑇𝑃 < 𝑇 < 𝑇𝑃 C = 2.5 (
𝑇𝑃
𝑇
)
𝑇 > 𝑇𝐿 C = 2.5 (
𝑇𝑃.𝑇𝐿
𝑇2 )
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
donde:
𝐶𝑇 = 35 Para edificios cuyos elementos resistentes en la dirección considerada sean únicamente:
a)Pórticos de concreto armado sin muros de corte.
b)Pórticos dúctiles de acero con uniones resistentes a momentos, sin arriostramiento.
𝐶𝑇 = 45 Para edificios cuyos elementos resistentes en la dirección considerada sean:
a)Pórticos de concreto armado con muros en las cajas de ascensores y escaleras.
b)Pórticos de acero arriostrados.
𝐶𝑇 = 60 Para edificios de albañilería y para todos los edificios de concreto armado duales, de muros
estructurales, y muros de ductilidad limitada.
Periodo Fundamental de vibración
El período fundamental de vibración para cada dirección se estimará con la siguiente expresión:
T =
ℎ𝑛
𝐶𝑇
Alternativamente podrá usarse la siguiente expresión:
- fi es la fuerza lateral en el nivel i correspondiente a una distribución en altura semejante a la del primer
modo en la dirección de análisis.
- di es el desplazamiento lateral del centro de masa del nivel i en traslación pura (restringiendo los giros en
planta) debido a las fuerzas fi. Los desplazamientos se calcularán suponiendo comportamiento lineal
elástico de la estructura y, para el caso de estructuras de concreto armado y de albañilería, considerando
las secciones sin fisurar.
Cuando el análisis no considere la rigidez de los elementos no estructurales, el período fundamental T
deberá tomarse como 0,85 del valor obtenido con la fórmula precedente.
donde:
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
U = factor de uso o importancia.
Cada estructura debe ser clasificada de acuerdo
con las categorías indicadas en la Tabla N° 5
(Norma E.030). El factor de uso o importancia
(U), definido en la Tabla N° 5 se usará según la
clasificación que se haga. Para edificios con
aislamiento sísmico en la base se podrá
considerar U = 1.
A.- Edificaciones Esenciales: U=1.5
B.- Edificaciones Importantes: U=1.3
C.- Edificaciones Comunes: U=1.0
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
CATEGORÍA Y SISTEMA ESTRUCTURALES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
De acuerdo a la categoría de una edificación y la zona donde se ubique, esta se proyecta empleando el
sistema estructural que se indica en la tabla N° 6 y respetando las restricciones a la irregularidad de la tabla
N° 10
CATEGORÍA Y SISTEMA ESTRUCTURALES
R = Coeficiente de Reducción de las Fuerzas Sísmicas.
El coeficiente de reducción de las fuerzas sísmicas se determinará como el producto del coeficiente básico
de reducción de las fuerzas sísmicas (𝑅0), determinado a partir de la Tabla Nº 7 y de los factores de
irregularidad en altura y planta 𝐼𝑎 , 𝐼𝑃 respectivamente obtenidos de las Tablas Nº 8 y Nº 9.
R = 𝑅0 . 𝐼𝑎 . 𝐼𝑃
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
CATEGORÍA Y SISTEMA ESTRUCTURALES
Fuente:A. Muñoz
Regularidad Estructural
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Fuente: Norma E-0.30
Regularidad Estructural
𝐼𝑎 = Factor de irregularidad en altura
𝐼𝑃 = Factor de irregularidad en planta
𝐼𝑎 = Menor valor entre las irregularidades en altura detectadas ( tabla 8 )
𝐼𝑃 = Menor valor entre las irregularidades en planta detectadas ( tabla 9 )
Tabla N° 8
IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA
Factor de
Irregularidad 𝑰𝒂
Tabla N° 9
IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA
Factor de
Irregularidad 𝑰𝑷
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA
Factor de Irregularidad 𝑰𝒂
Fuente:A. Muñoz
Irregularidad de rigidez - piso blando 0.75
Existe irregularidad de rigidez cuando, en cualquiera de las direcciones de análisis, en un entrepiso la rigidez
lateral es menor que el 70% de la rigidez lateral del entrepiso inmediato superior, o es menor que 80% de la
rigidez lateral promedio de los tres niveles superiores adyacentes.
Las rigideces laterales puede
calcularse como la razón entre la
fuerza cortante del entrepiso y el
correspondiente desplazamiento
relativo en el centro de masas,
ambos evaluados para la misma
condición de carga.
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN ALTURA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Fuente:A. Muñoz
Irregularidad de rigidez - piso blando 0.75
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN ALTURA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
SISMO EN DIRECCION X - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA
IRREGULARIDAD DE RIGIDEZ - PISO BLANDO
PISOS i 𝑭𝒊𝒙 𝑽𝒊𝒙 𝑫𝒊𝒙 ∆𝑫𝒊𝒙 𝑲𝒊𝒙 0.70𝑲𝒊𝒙+𝟏 𝑲𝒊𝒙 < 0.70𝑲𝒊𝒙+𝟏
1 16.513 68.1 0.0049 0.0049 13897.9592 10,942.697 NO
2 28.005 51.587 0.0082 0.0033 15632.4242 5,502.467 NO
3 23.582 23.582 0.0112 0.0030 7860.66667 - -
NO HAY IRREGULARIDAD DE RIGIDEZ - PISO BLANDO ∴ 𝑰𝒂𝒙 = 𝟏. 𝟎𝟎
Las rigideces laterales puede calcularse como
la razón entre la fuerza cortante del entrepiso
y el correspondiente desplazamiento relativo
en el centro de masas, ambos evaluados para
la misma condición de carga.
Existe irregularidad de resistencia cuando, en cualquiera de las direcciones de análisis, la resistencia de un
entrepiso frente a fuerzas cortantes es inferior a 80% de la resistencia del entrepiso inmediato superior.
SISMO EN DIRECCION X - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA
IRREGULARIDAD DE RESISTENCIA - PISO DEBIL
PISOS i 𝑭𝒊𝒙 𝑽𝒊𝒙 0.80𝐕𝒊𝒙+𝟏 𝑽𝒊𝒙 < 0.80𝐕𝒊𝒙+𝟏
1 16.513 68.1 41.2696 NO
2 28.005 51.587 18.8656 NO
3 23.582 23.582 - -
NO HAY IRREGULARIDAD DE RESISTENCIA - PISO DÉBIL ∴ 𝑰𝒂𝒙 = 𝟏. 𝟎𝟎
Irregularidad de resistencia - piso debil 0.75
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN ALTURA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Fuente:A. Muñoz
Se tiene irregularidad de masa (o peso) cuando el peso de un piso,
determinado según el artículo 26, es mayor que 1.5 veces el peso de un
piso adyacente. Este criterio no se aplica en azoteas ni en sótanos.
Irregularidad de masa o peso 0.90
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN ALTURA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Fuente:A. Muñoz
La configuración es irregular
cuando, en cualquiera de las
direcciones de análisis, la
dimensión en planta de la
estructura resistente a cargas
laterales es mayor que 1.3 veces
la correspondiente dimensión
en un piso adyacente. Este
criterio no se aplica en azoteas
ni en sótanos.
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN ALTURA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Irregularidad de geométrica vertical 0.90
Se califica a la estructura como irregular cuando en cualquier elemento que resista más de 10% de la fuerza
cortante se tiene un desalineamiento vertical, tanto por su cambio de orientación, como por un
desplazamiento del eje de magnitud mayor que 25% de la correspondiente dimensión del elemento.
SISMO EN DIRECCION X - IRREGULARIDADES
ESTRUCTURALES EN ALTURA
DISCONTINUIDAD EN LOS SISTEMAS RESISTENTES
CUANDO NO HAY DISCONTINUIDAD EN LOS SISTEMAS
RESISTENTES ∴ 𝑰𝒂𝒙 = 𝟏. 𝟎𝟎
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN ALTURA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Discontinuidad en los sistemas resistentes 0.80
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA
Factor de Irregularidad 𝑰𝑷
Existe irregularidad torsional, cuando,
en cualquiera de las direcciones de
análisis, el máximo desplazamiento
relativo de entrepiso en un extremo del
edificio ( ∆𝑚𝑎𝑥 ) en esa dirección,
calculado incluyendo excentricidad
accidental, es mayor que 1.3 veces el
desplazamiento relativo promedio de
los extremos del mismo entrepiso para
la misma condición de carga (∆𝑝𝑟𝑜𝑚).
Este criterio sólo se aplica en edificios
con diafragmas rígidos y sólo si el
máximo desplazamiento relativo de
entrepiso es mayor que 50% del
desplazamiento permisible indicado en
la Tabla N° 11.
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN PLANTA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Irregularidad Torsional 0.90
{Q}=
16.513
28.005
23.582
0
0
0
8.257
14.003
11.791
{Q}= KLE {D}
{D}=
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
𝐷5
𝐷6
𝐷7
𝐷8
𝐷9
=
𝐷 𝑥𝑥
𝐷 𝑦𝑥
ø 𝑧𝑥
=
0.0049
0.0087
0.0112
0.0000
0.0000
−0.0003
0.000048
0.000087
0.000121
𝑋1𝑟 =
−𝐷1𝑦
ø1
= 0.00
PRIMER NIVEL: C.R(𝑋1𝑟, 𝑌1𝑟)
𝑌1𝑟 =
𝐷1𝑥
ø1
= 0.00
∆𝑚á𝑥1
∆𝑚𝑖𝑛1
D1Xmáx= 0.0049+0.000048(5)=0.00514
D1Xmin= 0.0049 - 0.000048(5)=0.00466
D2Xmáx= 0.0087+0.000087(5)=0.00914
D2Xmin= 0.0087 - 0.000087(5)=0.00827
D3Xmáx= 0.0112+0.000121(5)=0.01181
D3Xmin= 0.0112 - 0.000121(5)=0.01060
𝑋2𝑟 =
−𝐷2𝑦
ø2
= 0.0145 𝑌2𝑟 =
𝐷2𝑥
ø2
= 0.0000
SEGUNDO NIVEL: C.R(𝑋2𝑟, 𝑌2𝑟)
TERCER NIVEL: C.R(𝑋3𝑟, 𝑌3𝑟)
𝑋3𝑟 =
−𝐷3𝑦
ø3
= 1.9165 𝑌3𝑟 =
𝐷3𝑥
ø3
= 0.0000
𝑪. 𝑹
SISMO EN DIRECCION DEL EJE X - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA
IRREGULARIDAD TORSIONAL
PISO 𝒉𝒊 𝑫𝒊𝒙𝒎á𝒙 Δ𝒊𝒙𝒎á𝒙 𝑫𝒊𝒙𝒎𝒊𝒏 Δ𝒊𝒙𝒎𝒊𝒏
DIST. ELAST.
MAX.
DIST. ELAST.
PROM.
DIST. INELAST.
MAX.
DIST. INELAST.
PROM.
1.3 DIST. INELAST.
PROM.
NORMA
E.030
DIST. INELAST. MAX. >
1.3DIST.INELAST.PROM.
Y
N° (m) (m) (m) (m) (m)
Δ𝒊𝒙𝒎á𝒙
𝒉𝒊
Δ𝒊𝒙𝒑𝒓𝒐𝒎
𝒉𝒊
0.75RΔ𝒊𝒙𝒎á𝒙
𝒉𝒊
0.75𝑹𝒙Δ𝒊𝒙𝒑𝒓𝒐𝒎
𝒉𝒊
0.975𝑹𝒙Δ𝒊𝒙𝒑𝒓𝒐𝒎
𝒉𝒊
0.5 (
𝚫𝐢
𝐡𝐢
)
perm.
DIST. INELAST. MAX. >
0.5 ( 𝚫𝐢
𝐡𝐢
)
𝐩𝐞𝐫𝐦.
1 3.50 0.00514 0.00514 0.00466 0.00466 0.00147 0.00140 0.00881 0.00840 0.01092 0.0035 NO
2 2.90 0.00914 0.00400 0.00827 0.00361 0.00138 0.00131 0.00828 0.00787 0.01023 0.0035 NO
3 2.90 0.01181 0.00267 0.01060 0.00233 0.00092 0.00086 0.00552 0.00517 0.00672 0.0035 NO
NO HAY IRREGULARIDAD TORSIONAL
𝑰𝒑𝒙 = 1.00
La estructura se califica como irregular
cuando tiene esquinas entrantes cuyas
dimensiones en ambas direcciones son
mayores que 20% de la correspondiente
dimensión total en planta.
SISMO EN DIRECCION Y - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN
PLANTA
ESQUINAS ENTRANTES
SI NO HAY I𝑹𝑹𝑬𝑮𝑼𝑳𝑨𝑹𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑷𝑶𝑹 𝑬𝑺𝑸𝑼𝑰𝑵𝑨𝑺 𝑬𝑵𝑻𝑹𝑨𝑵𝑻𝑬𝑺 ∴
𝑰𝒑 = 𝟏. 𝟎𝟎
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN PLANTA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Esquinas entrantes 𝑰𝑷= 0.90
SISMO EN DIRECCION Y - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA
DISCONTINUIDAD DEL DIAFRAGMA 𝑰𝑷 = 0.85
NO HAY DISCONTINUIDAD DEL DIAFRAGMA∴
𝑰𝒑𝒚 = 𝟏. 𝟎𝟎
L´
A´ = L´ e
L
A = L e
A- A´ < 25%A
discontinuidades
abruptas o variaciones
importantes en rigidez
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN PLANTA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Discontinuidad del diafragma 𝑰𝑷= 0.85
La estructura se califica como irregular cuando los diafragmas tienen
discontinuidades abruptas o variaciones importantes en rigidez,
incluyendo aberturas mayores que 50% del área bruta del diafragma.
También existe irregularidad
cuando, en cualquiera de los
pisos y para cualquiera de las
direcciones de análisis, se tiene
alguna sección transversal del
diafragma con un área neta
resistente menor que 25% del
área de la sección transversal
total de la misma dirección
calculada con las dimensiones
totales de la planta.
14.2.2.4.- SISTEMAS NO PARALELOS 𝑰𝑷 = 0.90
Se considera que existe irregularidad cuando en cualquiera de las direcciones de análisis los
elementos resistentes a fuerzas laterales no son paralelos. No se aplica si los ejes de los pórticos o
muros forman ángulos menores que 30° ni cuando los elementos no paralelos resisten menos que
10% de la fuerza cortante del piso.
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
IRREGULARIDADES EN PLANTA
REGULARIDAD ESTRUCTURAL
Esquinas entrantes 𝑰𝑷= 0.90
Categoría de la Edificación e Irregularidad
Fuente: Norma E-0.30
Restricciones a la irregularidad
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Sistemas de Transferencia
Fuente: Norma E-0.30
Restricciones a la irregularidad
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Fuente:A. Muñoz
Sistemas de Aislamiento Sísmico y Sistemas de Disipación de Energía
Se permite la utilización de sistemas de aislamiento sísmico o de sistemas
de disipación de energía en la edificación, siempre y cuando se cumplan las disposiciones de esta Norma
(mínima fuerza cortante en la base, distorsión de entrepiso máxima permisible), y en la medida que sean
aplicables los requisitos del documento siguiente:
“Minimum Design Loads for Building and Other Structures”, ASCE/SEI 7-10,
Structural Engineering Institute of the American Society of Civil Engineers, Reston,
Virginia, USA, 2010.
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Consideraciones Generales para el Análisis
Fuente:A. Muñoz
Para estructuras Regulares: … el total de las fuerzas sísmicas actúa independientemente en dos direcciones
ortogonales predominantes ( X, Y )
Para estructuras Irregulares: … la acción sísmicas ocurre en la más desfavorable para el diseño.
Fuerza sísmica vertical: para elementos de grandes luces, elementos pre y postensados, voladizos. Se
considera que actúa simultáneamente con la fuerza sísmica horizontal y en el sentido más desfavorable.
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Para edificios con sistema asimilables a diafragmas rígidos, se podrá usar un modelo con masas
concentradas y tres grados de libertad por diafragma (Dos Desplazamientos y un giro).
Representar adecuadamente la distribución espacial de masas y rigideces.
Fuente:A. Muñoz
Modelos para el Análisis
CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
a. En edificaciones de las categorías A y B, se tomará el 50 % de la carga viva.
b. En edificaciones de la categoría C, se tomará el 25 % de la carga viva.
c. En depósitos, el 80 % del peso total que es posible almacenar.
d. En azoteas y techos en general se tomará el 25 % de la carga viva.
e. En estructuras de tanques, silos y estructuras similares se considerará el 100 % de la carga que puede
contener.
P = Peso de la Edificación.
El peso (P), se calculará adicionando a la carga permanente y total de la edificación un porcentaje de la
carga viva o sobrecarga que se determinará de la siguiente manera:
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
3.- Distribución de la Fuerza Sísmica en Altura
Las fuerzas sísmicas horizontales en cualquier nivel i, correspondientes a la dirección considerada, se
calcularán mediante:
𝐹𝑖 = α𝑖 . V
Donde n es el número de pisos del edificio, k es un exponente relacionado con el período fundamental de
vibración de la estructura (T), en la dirección considerada, que se calcula de acuerdo a:
a) Para T menor o igual a 0,5 segundos: k = 1,0.
b) Para T mayor que 0,5 segundos: k = (0,75 + 0,5 T) ≤ 2,0.
𝑃𝑖 = Peso del nivel i
ℎ𝑖 = Altura desde el suelo al nivel i
(3.1)
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
4.- Efecto de torsión.
La línea de acción de la fuerza horizontal en cada nivel pasa por el centro de masa (C.M.) de cada nivel.
Cuando el C.M. no coincide con el centro de rigidez (C.R.) del nivel se produce entonces la torsión.
La distancia en planta entre el C.R. y el C.M. se llama excentricidad de la fuerza sísmica "𝑒𝑖".
.
.
C.R.
C.M.
𝐸2𝑖
𝐸1𝑖
Posiciones de Diseño
de la cortante
Posición calculada de la
Fuerza cortante sísmica
𝑒𝑖
/ /
/ /
/ /
Excentricidad en planta
B
𝐹𝑖
Luego el reglamento determina el momento torsor en
cada nivel según la ecuación (4.1).
𝑀𝑇𝑖 = 𝐹𝑖 x 𝐸𝑖
Donde:
𝐸𝑖 =
𝐸1𝑖 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎𝑐.𝑖
𝐸2𝑖 = 𝑒𝑖 - 𝑒𝑎𝑐.𝑖
(4.1)
(4.2)
(4.3)
𝑒𝑖 = excentricidad real
𝑒𝑎𝑐.𝑖 = 0.05 B se denomina excentricidad
accidental del nivel i
La ecuación (4.2) da los esfuerzos máximos
La ecuación (4.3) da la posibilidad de
inversión de esfuerzos
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
FORMULACION MATRICIAL DEL
PROBLEMA ESTATICO
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
FORMULACION MATRICIAL DEL PROBLEMA ESTATICO
Obteniendo la matriz de rigidez lateral del edificio 𝑲𝑳𝑬 , se puede
escribir la relación fuerza – desplazamientos laterales de la siguiente
manera.
{Q} − {D}
{Q} = 𝐾𝐿𝐸 {D}
{D} = 𝐾𝐿𝐸 −1
{Q}
Como el análisis sísmico se realiza en forma independiente en cada
dirección. El vector {Q} se define.
Sismo en dirección del eje x
{Q} =
𝐹𝑖𝑥
0
0
Sismo en dirección del eje y
{Q} =
0
𝐹𝑖𝑦
0
{Q} =
𝐹𝑖𝑥
0
0
0
𝐹𝑖𝑦
0
𝐹𝑖 = α𝑖 . V
α𝑖 =
𝑃𝑖 (ℎ𝑖)𝑘
𝑃𝑗 (ℎ𝑗)𝑘
𝐹𝑖𝑥 y 𝐹𝑖𝑦 son vectores fuerza en las dos direcciones principales
(5.0)
(6.0)
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
𝐹𝑖𝑥 = α𝑖 . 𝑉
𝑥
Los vectores 𝐹𝑖𝑥 y 𝐹𝑖𝑥 se determinan de acuerdo a la ecuación (3.1) y (2.1)
𝑉
𝑥 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅𝑥
P
𝐹𝑖 = α𝑖 . V
α𝑖 =
𝑃𝑖 (ℎ𝑖)𝑘
𝑃𝑗 (ℎ𝑗)𝑘
Sismo en dirección del eje x
𝑉 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅
P
𝐹𝑖𝑦 = α𝑖 . 𝑉
𝑦
𝑉
𝑦 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅𝑦
P
Sismo en dirección del eje y
𝐶
𝑅
≥ 0.11
{Q} =
𝐹𝑖𝑥
0
0
{Q} =
0
𝐹𝑖𝑦
0
{Q} =
𝐹𝑖𝑥
0
0
0
𝐹𝑖𝑦
0
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
Mediante la ecuación (6.0) se determinan los desplazamientos del Edificio
{Q} = 𝐾𝐿𝐸 {D}
{D} = 𝐾𝐿𝐸 −1
{Q} (6.0)
Sismo en dirección del eje x
Sismo en dirección del eje y
{Q} =
𝐹𝑖𝑥
0
0
{D} =
𝐷 𝑥𝑥
𝐷 𝑦𝑥
ø 𝑧𝑥
{Q} =
0
𝐹𝑖𝑦
0
{D} =
𝐷 𝑥𝑦
𝐷 𝑦𝑦
ø 𝑧𝑦
{D} =
𝐷 𝑥𝑥
𝐷 𝑦𝑥
ø 𝑧𝑥
𝐷 𝑥𝑦
𝐷 𝑦𝑦
ø 𝑧𝑦
(7.0)
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
Calculo de la rigidez torsional de entrepiso
Para efectuar la corrección torsional es necesario conocer la rigidez torsional de cada entrepiso; de una manera
general se sabe que:
Rigidez =
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
Luego, si se aplica la ecuación (6.0) con un sistema de fuerzas que sean momentos torsores conocidos, se
pueden hallar los desplazamientos correspondientes y luego los coeficientes de rigidez torsional.
El vector de fuerzas será un momento torsor unitario en el nivel N del edificio.
{Q} =
0
0
0
⋮
0
1
{D} =
𝐷 𝑥
𝐷 𝑦
ø 1
⋮
ø 𝑁−1
ø 𝑁 𝑧
Giros de un edificio debido a un momento unitario en el ultimo nivel: fig. 6.1
1
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
La rigidez torsional del entrepiso i “𝐾𝑡𝑖” se obtiene para el sistema de la fig. 6.1.
𝐾𝑡𝑖 =
𝑀
(ø𝑖 − ø𝑖−1 )
(8)
𝐾𝑡1 =
𝑀=1
ø1
Corrección por torsión.
Tomando los vectores ø𝑧𝑥 y ø𝑧𝑦 de la ecuación (7) y aplicando las ecuaciones (8) se obtienen los torsores reales
𝑀𝑋𝑖 y 𝑀𝑌𝑖 de entrepiso producidos por acción de la fuerza 𝐹𝑖𝑥 y 𝐹𝑖𝑦 actuando independientemente.
𝑀𝑋1 = 𝐾𝑡1 x ø𝑧𝑥1
𝑀𝑌1 = 𝐾𝑡1 x ø𝑧𝑦1
𝑀𝑋𝑖 = 𝐾𝑡𝑖 x (ø𝑧𝑥𝑖 - ø𝑧𝑥(𝑖−1))
𝑀𝑌𝑖 = 𝐾𝑡𝑖 x (ø𝑧𝑦𝑖 - ø𝑧𝑦(𝑖−1))
Para i = 2, …., N
1.- Torsores reales de entrepiso.
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Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
3.- Torsores accidentales de entrepiso.
𝑀𝐴𝐶𝑋𝑖 = 𝐹𝑖𝑥 x 𝐸𝑖𝑦
𝑀𝐴𝐶𝑌𝑖 = 𝐹𝑖𝑦 x 𝐸𝑖𝑥
La torsión accidental está dada para cada nivel y en cada sentido por:
Los torsores accidentales de entrepiso son la sumatoria de los torsores de piso sobre el entrepiso considerado y son:
2.- Torsor accidental en cada nivel (piso) .
𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑁 = 𝑀𝐴𝐶𝑋𝑁
𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑁 = 𝑀𝐴𝐶𝑌𝑁
𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑖 = 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑖+1 + 𝑀𝐴𝐶𝑋𝑖
𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑖 = 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑖+1 + 𝑀𝐴𝐶𝑌𝑖
Para i = N-1, ….., 1.
Luego tomando como base las normas peruanas de diseño antisísmico para la corrección por torsión, se
definen las ecuaciones de los momentos torsores adicionales al vector de fuerzas en cada dirección de la
siguiente manera:
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
Como la acción de la excentricidad está implícita en la aplicación de 𝐹𝑖𝑥 y 𝐹𝑖𝑦 en el C.M. de cada nivel
𝐸𝑖 =
𝐸1𝑖 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎𝑐.𝑖
𝐸2𝑖 = 𝑒𝑖 - 𝑒𝑎𝑐.𝑖
Como el análisis es tridimensional el efecto de la
excentricidad real 𝑒𝑖 es propio del análisis, en
consecuencia la excentricidad de diseño será:
𝐸1𝑖 = + 𝑒𝑎𝑐.𝑖 𝐸2𝑖 = - 𝑒𝑎𝑐.𝑖
Cuando actúa 𝐹𝑖𝑥 estos torsores adicionales son:
MX1 = 𝑀𝐴𝐶𝑋𝑖
MX2 =
0, 𝑠𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑖 < 𝑀𝑋𝑖
−𝑀𝐴𝐶𝑋𝑖, 𝑠𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑖 > 𝑀𝑋𝑖
Cuando actúa 𝐹𝑖𝑦 estos torsores adicionales son:
MY1 = 𝑀𝐴𝐶𝑌𝑖
MY2 =
0, 𝑠𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑖 < 𝑀𝑌𝑖
−𝑀𝐴𝐶𝑌𝑖, 𝑠𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑖 > 𝑀𝑌𝑖
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
Luego los vectores de solicitación del edificio corregidos por torsión según las normas de RNE se formaran
de la siguiente manera:
{Q} =
𝐹𝑖𝑥
0
𝑀𝑋1
𝐹𝑖𝑥
0
𝑀𝑋2
0
𝐹𝑖𝑦
𝑀𝑌1
0
𝐹𝑖𝑦
𝑀𝑌2
(9)
{D} = 𝐾𝐿𝐸 −1
{Q}
Aplicando luego la ecuación (6) y resolviendo el sistema para hallar los desplazamientos se obtiene:
{D} = 𝐷 1𝑥 𝐷 2𝑥 𝐷 1𝑦 𝐷 2𝑦 (10)
Que corresponde a los cuatro vectores de solicitación de la ecuación (9).
4.- Solicitaciones corregidos por torsión .
5.- Desplazamientos de los C.M. de cada nivel del edificio.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
6.- Desplazamiento lateral de cada pórtico. .
{d} = 𝐴 𝑃 {D}
Si se tienen los desplazamientos totales de cada nivel del edificio, es posible calcular los desplazamientos
laterales correspondientes de cada pórtico en su plano mediante la ecuación (2) que aquí se vuelve a escribir
como:
𝑨 𝑷 =
𝐴 1𝑃
𝐴 2𝑃
:
𝐴 𝑖𝑃
:
𝐴 𝑚𝑝
Donde:
Para un pórtico genérico ip tendremos:
𝑑 𝑖𝑝= 𝐴 𝑖𝑝 {D}
Que son los desplazamientos del pórtico ip en su plano, debido a los cuatro
vectores de solicitación del edificio.
𝑑 𝑖𝑝= 𝑑1𝑥 𝑖𝑝, 𝑑2𝑥 𝑖𝑝, 𝑑1𝑦 𝑖𝑝
, 𝑑2𝑦 𝑖𝑝
De donde se obtiene:
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
7.- Fuerzas laterales en cada pórtico {q}.
𝑞 𝑖𝑝 = 𝐾𝐿 𝑑 𝑖𝑝
Habiendo determinado los desplazamientos del pórtico en su plano 𝑑 𝑖𝑝 es posible calcular es posible
calcular sus correspondientes fuerzas laterales. Aplicando la ecuación de equilibrio en el sistema de
coordenadas {q} - {d}:
En esta etapa culmina el análisis sísmico de edificios. Conociendo 𝑞 𝑖𝑝 el análisis estructural se realiza
como cualquier problema. Es obvio que si se tienen 4 vectores de desplazamiento lateral también se
obtendrán 4 vectores de fuerzas laterales correspondientes.
𝐷 𝑖 = - 𝐾 𝑖𝑖
−1
𝐾 𝑖𝑟 𝐷 𝑟
NOTA: Conociendo los desplazamientos laterales 𝑑 𝑖𝑝, es posible determinar el vector de desplazamiento
interno del pórtico plano 𝐷 𝑖 a través de la siguiente ecuación.
𝐷 =
𝐷 𝑟
𝐷 𝑖
=
𝑑 𝑖𝑝
𝐷 𝑖
𝑄 - 𝐷
𝐷 𝑖 = - 𝐾 𝑖𝑖
−1
𝐾 𝑖𝑟 𝑑 𝑖𝑝
Los esfuerzos en los elementos se determina por superposición.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR)
El centro de rigidez lateral (CR), o centro de giro, se define como aquel punto del entrepiso sujeto sólo a
traslación, alrededor del cual rotan y se trasladan el resto de puntos. Este punto corresponde al centro
estático de las rigideces laterales de los diversos ejes estructurales que componen al entrepiso en estudio.
“DISEÑO SISMORRESISTENTE”
CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR)
“DISEÑO SISMORRESISTENTE”
1.- Centro de rigidez lateral (CR) calculado en función de la rigidez lateral del entrepiso
𝑋𝑖
𝑋𝐶𝑅𝑗
𝑌𝑖
𝑌𝐶𝑅𝑗
𝑋𝐶𝑅𝑗 =
𝐾𝑦𝑖𝑋𝑖
𝐾𝑦𝑖
𝑌𝐶𝑅𝑗 =
𝐾𝑥𝑖𝑌𝑖
𝐾𝑥𝑖
j = nivel o piso
i = N° de pórtico
CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR)
“DISEÑO SISMORRESISTENTE”
𝑐1= 25 x 50 cm
𝑐2= 25 x 25 cm
𝑐3= 50 x 25 cm
1
2
𝑐1 𝑐2
𝑐3
3
X
Y
Z
𝑐1 𝑐2
𝑐3
1
2
X
Y
8m
6m 3
La estructura de concreto armado (E=2.2x106
Ton/𝑚2
) esta conformada por una losa de 0.15 m. de espesor, soportada
por 3 columnas articuladas en los extremos superiores, como se muestra en la figura. Determine:
a.- El centro de rigidez
d.- La excentricidad real y accidental.
H=3 m.
𝑄 - 𝐷
PROBLEMA:
𝑐1= 25 x 50 cm
𝑐2= 25 x 25 cm
𝑐3= 50 x 25 cm
𝑐1 𝑐2
𝑐3
1
2
X
Y
8m
6m 3
1
2
𝑐1 𝑐2
𝑐3
3
X
Y
Z
𝑌𝐶𝑅1 =
𝐾𝑥𝑖𝑌𝑖
𝐾𝑥𝑖
=
3819.42 Ton.
875.28 Ton/m.
= 4.364 m.
𝐾𝑥𝑖 = 𝐾𝑥1+ 𝐾𝑥2 = 875.28 Ton/m.
𝐼1=
1
12
bℎ3
=
1
12
0.50 (0.25)3
= 0.0006510417
𝐼2=
1
12
bℎ3
=
1
12
0.25 (0.25)3
= 0.0003255208
𝐼3=
1
12
bℎ3
=
1
12
0.25 (0.50)3
= 0.0026041667
𝐾𝑥2 =
3𝐸𝐼3
𝐻3 = 636.57 Ton./m
𝐾𝑥1 =
3𝐸𝐼1
𝐻3 +
3𝐸𝐼2
𝐻3 = 159.14 + 79.57 = 238.71 Ton/m
𝐾𝑥1
𝐾𝑥2
1
𝐾𝑥𝑖 𝑌𝑖 = 𝐾𝑥1 𝑌1 + 𝐾𝑥2 𝑌2 = 0 + 636.57(6) = 3819.42 Ton.
CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR)
“DISEÑO SISMORRESISTENTE”
E 𝐼1= 1,432.29 Ton. 𝑚2
E 𝐼2= 716.15 Ton. 𝑚2
E 𝐼3= 5,729.17 Ton. 𝑚2
1
∆𝑖
H=3 m.
𝑉𝑖
𝐸𝐼𝑖
H=3 m.
SOLUCIÓN: 𝐷1=1, 𝐷2=0, 𝐷3=0
𝑐1= 25 x 50 cm
𝑐2= 25 x 25 cm
𝑐3= 50 x 25 cm
𝑐1 𝑐2
𝑐3
1
2
X
Y
8m
6m 3
1
2
𝑐1 𝑐2
𝑐3
3
X
Y
Z
𝑋𝐶𝑅1 =
𝐾𝑦𝑖𝑋𝑖
𝐾𝑦𝑖
=
1909.68 Ton.
875.28 Ton/m.
= 2.182 m.
𝐾𝑦𝑖 = 𝐾𝑦1+ 𝐾𝑦2 = 875.28 Ton/m.
𝐼1=
1
12
bℎ3
=
1
12
0.25 (0.50)3
= 0.0026041667
𝐼2=
1
12
bℎ3
=
1
12
0.25 (0.25)3
= 0.0003255208
𝐼3=
1
12
bℎ3
=
1
12
0.50 (0.25)3
= 0.0006510417
𝐾𝑦1 =
3𝐸𝐼1
𝐻3 = 636.57 Ton./m
𝐾𝑦2 =
3𝐸𝐼2
𝐻3 +
3𝐸𝐼3
𝐻3 = 79.57+159.14 = 238.71 Ton/m
𝐾𝑦1 𝐾𝑦2
1
𝐾𝑦𝑖 𝑋𝑖 = 𝐾𝑦1 𝑋1 + 𝐾𝑦2 𝑋2 = 0 + 238.71(8) = 1909.68 Ton.
CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR)
“DISEÑO SISMORRESISTENTE”
E 𝐼1= 5,729.17 Ton. 𝑚2
E 𝐼2= 716.15 Ton. 𝑚2
E 𝐼3= 1,432.29 Ton. 𝑚2
SOLUCIÓN: 𝐷1=0, 𝐷2=1, 𝐷3=0
4m 4m
3m
3m
CM
CR
1.818
1.364
CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR)
“DISEÑO SISMORRESISTENTE”
X
Y
𝑋𝐶𝑅1=2.182
𝑌
𝐶𝑅1
=
4.364
CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR)
“DISEÑO SISMORRESISTENTE”
2.- Centro de rigidez lateral (CR) calculado mediante la matriz de rigidez lateral del edificio
{Q} = 𝐾𝐿𝐸 {D}
Carga unitaria en dirección de la coordenada generalizada 3n
{Q} =
𝐹𝑖𝑥
𝐹𝑖𝑦
𝑀𝑖
{Q} − {D}
𝐾𝐿𝐸
{Q} =
0
0
0
⋮
1
{D} =
𝐷 𝑥
𝐷 𝑦
ø 𝑧
=
𝑋𝐶𝑅𝑖=
−𝐷𝑦𝑖
∅𝑖
𝑌𝐶𝑅𝑖=
𝐷𝑥𝑖
∅𝑖
𝐾 =
875.28 0 −1,193.58
0 875.28 −1,591.44
−1,193.58 −1,591.44 21,882.23
𝑄 =
0
0
1
𝑄 = 𝐾 𝐷
0
0
1
=
875.28 0 −1,193.58
0 875.28 −1,591.44
−1,193.58 −1,591.44 21,882.23
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷1
𝐷2
𝐷3
=
0.0000785502843 𝑚𝑡𝑠.
0.000104733712 𝑚𝑡𝑠.
0.0000576007778 𝑟𝑎𝑑.
𝑥𝐶𝑅 =
−𝛿𝑦
𝛿∅
=
−0.000104733712
0.0000576007778
= -1.818 mts.
𝑦𝐶𝑅 =
𝛿𝑥
𝛿∅
=
0.0000785502843
0.0000576007778
= 1.364 mts.
Por equilibrio sabemos:
Donde:
Reemplazando:
resolviendo:
𝑐1 𝑐2
𝑐3
1
2
X
Y
8m
6m 3
4m 4m
3m
3m
CM
CR
1.818
1.364
CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR)
“DISEÑO SISMORRESISTENTE”
SOLUCIÓN:
LOS FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y
SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴
RELACION ENTRE EL COEFICIENTE DE REDUCCION DE LAS FUERZAS
SISMICAS DE LA NORMA E.030 “R”
CON
Por tanto como resultado del procedimiento de diseño por Resistencia, la fuerza lateral que inicia el
comportamiento inelástico de una estructura resulta mayor que la resistencia nominal de diseño requerida
por una norma. A este incremento natural de resistencia lateral también contribuye el hecho que la
resistencia real de las estructuras suele ser en general mayor que los valores teóricos estimados. La
resistencia nominal y la fuerza lateral que inicia el comportamiento inelástico se representan con V y V1 en
la figura.
FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y
SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴
Sobrerresistencia , Ω
Para el caso de edificios aporticados esto
corresponde a una apropiada y paulatina
secuencia de formación de rótulas. Por otro
lado, el endurecimiento natural del acero y la
sobrerresistencia del concreto permiten que
cada elemento pueda incrementar las
solicitaciones que recibe y de esta manera la
estructura en su conjunto puede incrementar
significativamente la fuerza máxima que puede
recibir respecto a la fuerza lateral que inicia el
daño. En la figura la fuerza máxima se
representa por Vmax.
Sobrerresistencia , Ω
En un edificio bien proyectado y construido, inmediatamente después de iniciado el comportamiento
inelástico, existen zonas sin daño que permiten que la resistencia lateral pueda incrementarse durante los
posteriores desplazamientos inelásticos.
FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y
SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴
El incremento de resistencia lateral debida a los procedimientos de diseño, a la secuencia paulatina de
propagación del daño y a la sobrerresistencia mecánica de los elementos suele ser muy importante y explica
el menor daño que en general sufren las edificaciones durante sismos severos, en comparación a las
estimaciones teóricas. La sobrerresistencia estructural respecto a la resistencia de diseño se representa por
𝑅Ω y se estima por el cociente Vmax / V
.
Sobrerresistencia , Ω
La fuerza máxima que una estructura puede resistir lateralmente, Vmax , es sólo una fracción de la fuerza
máxima que recibiría en un sismo severo, si pudiera comportarse elásticamente, Vmax ela . Esta reducción
de resistencia origina que las estructuras sufran daño durante terremotos importantes, razón por la cual es
necesario dotarlas de un apropiado comportamiento dúctil. El cociente entre la demanda elástica y la
resistencia real se denomina factor de reducción por ductilidad y se representa por 𝑹𝝁.,𝑹𝝁=
𝑽𝒎á𝒙 𝒆𝒍𝒂
𝑽𝒎á𝒙
.
Mientras mayor ductilidad pueda desarrollar una estructura, mayor podría ser el valor de este factor de
reducción.
Para establecer la resistencia lateral mínima, las NDSR toman en cuenta tanto la sobrerresistencia
estructural como la reducción de resistencia por comportamiento dúctil, mediante un factor de reducción
combinado, R, definido como: 𝑹𝒐 = 𝑹𝜴 𝑹𝝁
FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y
SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴
𝑹 = 𝑹𝟎 𝑰𝒂 𝑰𝒑
FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y
SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴
METODO DINÁMICO DE ANALISIS
SISMICO
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico
Una estructura de n grados de libertad, tendrá n modos de vibrar ∅ 𝑖. A cada forma de vibrar le
corresponde una frecuencia angular, al menor valor se le denomina frecuencia fundamental.
Ejemplo la estructura mostrada tiene 3 gdl. En consecuencia tendrá 3 modos de vibrar.
#g.d.l = 3
1
2
3
𝑤1 𝑤2 𝑤3
<
<
𝑤1 es la frecuencia fundamental.
∅ 1 ∅ 2 ∅ 3
1.- Formulación de la ecuación diferencial del movimiento en un sistema de n grados de libertad en un
evento sísmico.
𝑋𝑇𝑛(𝑡)
𝑋𝑆(𝑡)
Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de
libertad, en un evento sísmico con comportamiento elástico lineal es:
𝑀 𝑋 𝑇
+ 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = 0 (1)
Desplazamiento absoluto: 𝑋 𝑇 =
𝑋𝑇1
𝑋𝑇2
⋮
𝑋𝑇𝑛
Desplazamiento relativo: 𝑋 =
𝑋1
𝑋2
⋮
𝑋𝑛
𝑋 𝑇 =
𝑋𝑇1
𝑋𝑇2
⋮
𝑋𝑇𝑛
=
𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋1
𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋2
⋮
𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋𝑛
=
𝑋𝑆(𝑡)
𝑋𝑆(𝑡)
⋮
𝑋𝑆(𝑡)
+
𝑋1
𝑋2
⋮
𝑋𝑛
=
1
1
⋮
1
𝑋𝑆(𝑡) +
𝑋1
𝑋2
⋮
𝑋𝑛
Donde:
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico
Introduciendo la notación:
ℎ =
1
1
⋮
1
𝑋 𝑇 = ℎ 𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋 (2)
Es el vector de compatibilidad que transforma los desplazamientos del suelo en
desplazamientos correspondientes a los grados de libertad dinámicos, no siempre resulta
unitario. es un vector constante, denominado también vector de transformación de
desplazamientos del suelo.
Tendremos:
Reemplazando (2) en (1) tendremos:
𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) (3)
Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de libertad, en un evento
sísmico con comportamiento elástico lineal con una sola variable se da mediante la ecuación (3):
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico
CASO PARTICULAR: Ecuación diferencial del movimiento en un análisis pseudo tridimensional
1.- Sismo en dirección del eje x
ℎ = ℎ 𝑥 =
1
⋮
1 𝑛
0
⋮
0 𝑛
0
⋮
0 𝑛
𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 ℎ 𝑥𝑋𝑆(𝑡) (4)
Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de libertad, en un evento
sísmico con comportamiento elástico lineal se da mediante la ecuación:
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico
CASO PARTICULAR: Ecuación diferencial del movimiento en un análisis pseudo tridimensional
2.- Sismo en dirección del eje y
ℎ = ℎ 𝑦 =
0
⋮
0 𝑛
1
⋮
1 𝑛
0
⋮
0 𝑛
𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 ℎ 𝑦𝑋𝑆(𝑡) (5)
Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de libertad,
en un evento sísmico con comportamiento elástico lineal se da mediante la ecuación:
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico
CASO PARTICULAR: Ecuación diferencial del movimiento en un análisis pseudo tridimensional
3.- Sismo en direcciones de los ejes x, y simultáneamente
𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 𝐻
𝑋𝑆𝑥(𝑡)
𝑋𝑆𝑦(𝑡)
(6)
𝐻 = ℎ 𝑥 ℎ 𝑦 =
1
⋮
1 𝑛
0
⋮
0 𝑛
0
⋮
0 𝑛
0
⋮
0 𝑛
1
⋮
1 𝑛
0
⋮
0 𝑛
𝑋𝑆𝑥(𝑡)
Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de
libertad, en un evento sísmico en dos direcciones simultáneamente, con comportamiento
elástico lineal se da mediante la ecuación:
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico
𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) (7)
Respuesta Dinámica Elástica.
La ecuación de equilibrio dinámico es igual a:
Para poder determinar la respuesta dinámica elástica de la estructura será necesario resolver la ecuación
(7), para lo cual desacoplaremos previamente la ecuación.
Haciendo un cambio de variable: 𝑋 = ∅ 𝑍 (8)
𝑍 son las coordenadas normales
Donde.
∅ es la matriz modal
Reemplazando (8) en (7)
𝑀 ∅ 𝑍 + 𝐶 ∅ 𝑍 + 𝐾 ∅ 𝑍 = - 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡)
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico
Pre multiplicando por ∅ 𝑇: ∅ 𝑇
𝑀 ∅ 𝑍 + ∅ 𝑇
𝐶 ∅ 𝑍 + ∅ 𝑇
𝐾 ∅ 𝑍 = − ∅ 𝑇
𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡)
∅ 1
𝑇
M ∅ 1
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
∅ 𝑖
𝑇
M ∅ 𝑖
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
∅ 𝑛
𝑇
M ∅ 𝑛
𝑍1
⋮
𝑍𝑖
⋮
𝑍𝑛
+
∅ 1
𝑇
C ∅ 1
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
∅ 𝑖
𝑇
C ∅ 𝑖
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
∅ 𝑛
𝑇
C ∅ 𝑛
𝑍1
⋮
𝑍𝑖
⋮
𝑍𝑛
+
∅ 1
𝑇
K ∅ 1
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
∅ 𝑖
𝑇
K ∅ 𝑖
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
∅ 𝑛
𝑇
K ∅ 𝑛
𝑍1
⋮
𝑍𝑖
⋮
𝑍𝑛
=
− ∅ 1
𝑇
𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡)
⋮
− ∅ 𝑖
𝑇
𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡)
⋮
− ∅ 𝑛
𝑇
𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡)
(9)
Desarrollando tendremos:
La ecuación (9) se encuentra completamente desacoplado y constituye “n” problemas de 1 gdl.
Cada coordenada normal 𝑍𝑖(𝑡) se obtiene construyendo, con el modo respectivo, un oscilador equivalente.
Respuesta Dinámica Elástica.
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico
𝑚𝑖
∗
= ∅ 𝑖
𝑇
M ∅ 𝑖 : masa generalizada
𝑐𝑖
∗
= ∅ 𝑖
𝑇
C ∅ 𝑖 : amortiguamiento generalizado
𝑘𝑖
∗
= ∅ 𝑖
𝑇
K ∅ 𝑖 : rigidez generalizada
𝐿𝑖 = ∅ 𝑖
𝑇
𝑀 ℎ : masa participante
𝑚1
∗
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
𝑚𝑖
∗
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
𝑚𝑛
∗
𝑍1
⋮
𝑍𝑖
⋮
𝑍𝑛
+
𝑐1
∗
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
𝑐𝑖
∗
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
𝑐𝑛
∗
𝑍1
⋮
𝑍𝑖
⋮
𝑍𝑛
+
𝑘1
∗
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
𝑘𝑖
∗
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
𝑘𝑛
∗
𝑍1
⋮
𝑍𝑖
⋮
𝑍𝑛
=
−𝐿1𝑋𝑆(𝑡)
⋮
−𝐿𝑖𝑋𝑆(𝑡)
⋮
−𝐿𝑛𝑋𝑆(𝑡)
reemplazando en la ecuación (9)
En general la ecuación típica es igual a: 𝑚𝑖
∗
𝑍𝑖 + 𝑐𝑖
∗
𝑍𝑖 + 𝑘𝑖
∗
𝑍𝑖 = -𝐿𝑖𝑋𝑆(𝑡) (10)
La diferencia está en que, en este caso ya no se asume una forma, sino más bien se emplea la forma real del
modo respectivo i y las propiedades generalizadas se calculan como :
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico - Respuesta Dinámica
Las coordenadas modales 𝑍 , se determinan resolviendo la ecuación diferencial (12), usando cualquier
método descrito anteriormente. Si usa el método de la integral de Duhamel.
𝑍𝑖 = -
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗ 𝑤𝐷𝑖
𝑒−ξ𝑤(𝑡−λ)𝑋𝑆(λ)
𝑡
0
sin 𝑤𝐷𝑖(𝑡 − λ) dλ
la aceleración en la base de este oscilador equivalente es igual al producto de la aceleración del suelo por el
factor de participación del modo (
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗) y la ecuación de equilibrio dinámico para cada oscilador equivalente
es: 𝑍𝑖 + 2ξ𝑤𝑖 𝑍𝑖 +𝑤𝑖
2
𝑍𝑖 = -
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗ 𝑋𝑆(𝑡) (11)
𝑋 = ∅ 𝑍
Respuesta Elástica de Estructuras:
Análisis Dinámico - Respuesta Dinámica
Si se representa con 𝑉𝑖(𝑡) la respuesta de un oscilador de masa puntual con igual periodo que el modo “i”,
sometido a la aceleración original del suelo, la relación
entre 𝑉𝑖(𝑡) y 𝑍𝑖 será:
𝑍𝑖(𝑡) =
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗𝑤𝐷𝑖
𝑉𝑖(𝑡)
Respuesta dinámica en el tiempo por superposición modal
𝑋 = ∅ 𝑍 = ∅ 1 ∅ 2 … ∅ 𝑖 … ∅ 𝑛
𝑍1
⋮
𝑍𝑖
⋮
𝑍𝑛
Según esto, el vector de desplazamientos relativos al suelo se puede obtener en todo instante como:
𝑋 = ∅ 1𝑍1 + ∅ 2𝑍2 + ⋯ + ∅ 𝑛𝑍𝑛 (12)
𝑉𝑖(𝑡) =
1
𝜔𝑖𝐷
𝑒−ξ𝑤(𝑡−λ)
𝑋𝑆(λ)
𝑡
0
sin 𝑤𝐷𝑖(𝑡 − λ) dλ
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Dinámica en el dominio del tiempo
Y, por tanto, la respuesta en el tiempo para toda la estructura se puede reescribir como:
𝑋 = ∅ 1
𝐿1
𝑚1
∗ 𝑉1(𝑡)+ ∅ 2
𝐿2
𝑚2
∗ 𝑉𝑖(𝑡)+ ⋯ + ∅ 𝑛
𝐿𝑛
𝑚𝑛
∗ 𝑉𝑛(𝑡) (13)
Podemos ver, ahora, que la respuesta en el tiempo resulta ser una combinación lineal de las formas
naturales de vibración, donde el peso de cada modo está dado por dos factores (factor de participación y la
función 𝑉𝑖(𝑡)).
𝑋 = 𝑋 1 + 𝑋 2 + ⋯ + 𝑋 𝑛 (14)
El desplazamiento de toda la estructura a lo largo del tiempo, se puede expresar también como:
En general la repuesta dinámica 𝑟 se determina en forma independiente para cada modo de vibrar 𝑟 𝑖.
Al final se aplica superposición modal, de esta manera tendremos:
𝑟 = 𝑟 1 + 𝑟 2 + ⋯ + 𝑟 𝑛 (15)
Donde: 𝑋 𝑖 = ∅ 𝑖
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗ 𝑉𝑖(𝑡)
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Dinámica en el dominio del tiempo
Aun cuando se pueden obtener historias de desplazamientos y fuerzas internas con relativa facilidad,
cuando se trata de estructuras en el rango elástico, casi siempre es suficiente con los valores máximos de la
respuesta.
Se presentan los procedimientos para estimar la respuesta máxima de una estructura, en función de los
valores máximos de la respuesta asociada con cada modo de vibración
La historia de desplazamientos de una estructura se puede expresar como una combinación en el tiempo de
las formas modales:
𝑋 = ∅ 1
𝐿1
𝑚1
∗ 𝑉1(𝑡)+ ∅ 2
𝐿2
𝑚2
∗ 𝑉𝑖(𝑡)+ ⋯ + ∅ 𝑛
𝐿𝑛
𝑚𝑛
∗ 𝑉𝑛(𝑡)
Consecuentemente, la máxima contribución del modo “i” en el desplazamiento de la estructura, 𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥, se
calculará como:
𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ∅ 𝑖
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗ 𝑆𝑑𝑖
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta espectral
Donde 𝑆𝑑𝑖, es el espectro desplazamiento
Como: 𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ∅ 𝑖
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗ 𝑆𝑑𝑖 la combinación espectral resulta:
𝑋 𝑚𝑎𝑥= 𝑋 1𝑚𝑎𝑥 + 𝑋 2𝑚𝑎𝑥 + ⋯ + 𝑋 𝑛𝑚𝑎𝑥 (16)
Combinación espectral
Las respuestas espectrales correspondientes de los diferentes modos de vibración, son valores máximos que
se producen en instantes diferentes y, por tanto, resulta improbable que todas las respuestas máximas
coincidan en el tiempo.
Como la respuesta máxima se presenta en instantes diferentes, se han propuesto algunos criterios para
combinar las respuestas modales máximas, con el fin de estimar la respuesta máxima de la estructura
usaremos algunos conceptos estadísticos.(Respuesta máxima probable).
El desplazamiento espectral de toda la estructura, se puede expresar como:
En general la respuesta espectral resulta: 𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝑟 1𝑚𝑎𝑥 + 𝑟 2𝑚𝑎𝑥 + ⋯ + 𝑟 𝑛𝑚𝑎𝑥
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta espectral
Entonces: 𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ∅ 𝑖
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗ 𝑃𝑆𝑑𝑖
En cualquier caso: 𝑆𝑑𝑖(Espectro desplazamiento) = P𝑆𝑑𝑖(Pseudo espectro desplazamiento)
En el campo de ingeniería civil ξ ≤ 20 % 𝜔𝑖𝐷 ≅ 𝜔𝑖
𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ∅ 𝑖
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗ 𝑃𝑆𝑑𝑖 = ∅ 𝑖
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗
𝑃𝑆𝑉𝑖
𝜔𝑖
= ∅ 𝑖
𝐿𝑖
𝑚𝑖
∗
𝑃𝑆𝑎𝑖
𝜔𝑖
2
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral
En general la respuesta espectral resulta: 𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝑟 1𝑚𝑎𝑥 + 𝑟 2𝑚𝑎𝑥 + ⋯ + 𝑟 𝑛𝑚𝑎𝑥
Fuente:A. Muñoz
Combinación espectral
3.- Ponderado entre la media cuadrática y la suma de valores absolutos.
𝒓𝒎𝒂𝒙 = 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 +…+ 𝒓𝒏
𝒓𝒎𝒂𝒙 = 𝒓𝟏
𝟐 + 𝒓𝟐
𝟐 + ⋯ . 𝒓𝒏
𝟐
𝒓𝑴Á𝒙 = α ∗ ( 𝒓𝟏
𝟐 + 𝒓𝟐
𝟐 + ⋯ . 𝒓𝒏
𝟐) + ß ∗ ( 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 +…+ 𝒓𝒏
𝜶 , ß son escalares menores o iguales a uno
1.- Suma de valores absolutos:
2.- Media cuadrática SRSS:
4.- Alternativamente, la respuesta máxima podrá estimarse mediante la siguiente expresión. (E-030 perú)
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral
Probablemente, el criterio más difundido y estudiado es el de Combinación Cuadrática Completa
(CQC). Se menciona en la norma E-030 del Perú.
Este criterio se encuentra disponible en casi todos los programas comerciales de análisis sísmico, a los
cuales debe indicarse el porcentaje de amortiguamiento que se desea emplear (generalmente, 5 o 7 % en
edificios convencionales).
5.- Combinación cuadrática completa CQC:
Mediante los criterios de combinación que se indican, se podrá obtener la respuesta máxima elástica
esperada 𝑟 𝑚𝑎𝑥 tanto para las fuerzas internas en los elementos componentes de la estructura, como
para los parámetros globales del edificio como fuerza cortante en la base, cortantes de entrepiso,
momentos de volteo, desplazamientos totales y relativos de entrepiso.
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral
La respuesta máxima elástica esperada 𝑟 𝑚𝑎𝑥 correspondiente al efecto conjunto de los diferentes
modos de vibración empleados podrá determinarse usando la combinación cuadrática completa de los
valores calculados para cada modo 𝑟 𝑖𝑚𝑎𝑥 (𝑟𝑖).
Donde r representa las respuestas modales, desplazamientos o fuerzas.
Los coeficientes de correlación están dados por:
ξ , fracción del amortiguamiento crítico, que se puede suponer constante para todos los modos igual a 0,05
𝑤𝑖 , 𝑤𝑗 son las frecuencias angulares de los modos i, j
𝜌𝑖𝑗 =
8 ξ2 1+ β𝑖𝑗 β𝑖𝑗
3/2
(1−β𝑖𝑗
2 )2 +4ξ2β𝑖𝑗 (1+β𝑖𝑗 )2
β𝑖𝑗 =
𝒘𝒊
𝒘𝒋
𝑟 = 𝑟𝑖 𝜌𝑖𝑗 𝑟𝑗
𝑛
𝑗
𝑛
𝑖
Ejemplo: para n = 3 𝑟 = 𝑟1
2
+ 𝑟2
2
+ 𝑟3
2
+ 2 𝜌12 𝑟1 𝑟2 + 2 𝜌13 𝑟1 𝑟3 + 2 𝜌23 𝑟2 𝑟3
5.- Combinación cuadrática completa CQC:
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral
Pseudo Aceleración Espectral Elástica - E.030
𝑇𝑃 𝑇𝐿
C=2.5 (
𝑇𝑃
𝑇
)
𝑇𝑃 < T < 𝑇𝐿
C=2.5 (
𝑇𝑃𝑇𝐿
𝑇2 )
T > 𝑇𝐿
C=2.5
T < 𝑇𝑃
T
𝑃𝑆𝑎𝐻
𝑃𝑆𝑎𝐻 = 𝑍. 𝑈. 𝑆. 𝐶 g
Para cada una de las direcciones horizontales
Respuesta Elástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral
Pseudo Aceleración Espectral Elástica - E.030
𝑃𝑆𝑎𝑉 =
2
3
𝑍. 𝑈. 𝑆. 𝐶 g
Para la direcciones vertical
𝑇𝑃 𝑇𝐿
C=2.5 (
𝑇𝑃
𝑇
)
𝑇𝑃 < T < 𝑇𝐿
C=2.5 (
𝑇𝑃𝑇𝐿
𝑇2 )
T > 𝑇𝐿
C=2.5 0.2𝑇𝑃 < T < 𝑇𝑃
T
𝑃𝑆𝑎𝑉
0.2𝑇𝑃
C= 1 + 7.5 (
𝑇𝑃
𝑇
)
T < 0.2𝑇𝑃
1
Respuesta Inelástica de Estructuras:
Espectros inelásticos
Respuesta Inelástica de Estructuras:
La respuesta máxima de un conjunto de estructuras inelásticas sometidas a un movimiento en su base
puede organizarse en espectros inelásticos de dos tipos.
Dependiendo de la forma como se establece la resistencia lateral de las estructuras, los espectros pueden ser
de resistencia constante o de ductilidad constante. En ambos casos, el movimiento se representa por un
acelerograma y se asume la misma fracción de amortiguamiento crítico para todas las estructuras.
Además de los valores espectrales de desplazamiento, velocidad y aceleración, se construyen curvas de
resistencia requerida por unidad de masa. Esta resistencia requerida por unidad de masa se representa por
𝑆𝑎𝑦 y puede expresarse en función del desplazamiento de fluencia como:
1.- Espectros de resistencia constante
Espectros inelásticos
Respuesta Inelástica de Estructuras:
Cuando la resistencia lateral se define empleando un juego predeterminado de factores de reducción
Rµ1, Rµ2, ... Rµn,, los valores espectrales se organizan en curvas; cada una de las cuales corresponde a un
factor determinado. La respuesta elástica se incluye en la curva Rµ1 = 1. El juego de curvas constituye
el espectro de resistencia constante del acelerograma empleado.
La figura muestra el espectro de
resistencia requerida por unidad
de masa, para un acelerograma
peruano obtenido en el
terremoto de 1970, escalado a
0.4g.; se empleó 5% de
amortiguamiento y factores de
reducción Rµ = 1, 2.5, 4, 6, 7.5,
10.
Demandas de resistencia para factores de reducción de fuerza sísmica de Rµ=1, 2.5, 4,
6, 7.5 y 10; señal mayo 70, componente N08E, escalada a 0.4 g
Espectros inelásticos
Espectro de aceleración
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟏
Espectros de resistencia constante
Espectros inelásticos
Espectros de desplazamientos totales para factores de reducción de fuerza sísmica de
Rµ=1, 2.5, 4, 6, 7.5 y 10; señal mayo 70, componente N08E, escalada a 0.4 g
Periodo (s)
Espectro de desplazamiento
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 2
2.- Espectros de ductilidad constante
Espectros inelásticos
Respuesta Inelástica de Estructuras:
Un espectro de este tipo muestra la respuesta máxima de estructuras con igual amortiguamiento, en las
cuales la ductilidad demandada alcanza valores preestablecidos 𝜇1, 𝜇2, . . 𝜇𝑛. Los valores espectrales se
organizan en curvas; cada una de las cuales corresponde a un valor de ductilidad 𝜇𝑖. La respuesta
elástica se incluye en la curva correspondiente a 𝜇1= 1.
La figura muestra los
espectros de resistencia
requerida correspondientes
a una señal peruana
representativa, escalada a
0.4 g ; se usó 5 % de
amortiguamiento y valores
de ductilidad 𝜇 =1, 1.5, 2,
3, 5, 10.
Periodo (s)
Espectros de ductilidad constante
Espectros inelásticos
Espectro de resistencia demandada para valores de ductilidad constante = 1, 1.5, 2, 3, 5 y 10;
señal mayo 70 N08E
Periodo (s)
Espectro de aceleración
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 3
Espectros de ductilidad constante
Espectros inelásticos
Espectro de desplazamientos para valores de ductilidad constante = 1, 1.5, 2, 3, 5 y 10; señal
mayo 70 N08E
Espectro de desplazamiento
Periodo (s)
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 4
Relación ductilidad - factor de reducción
Espectros inelásticos
Periodo (s)
Demandas de ductilidad para factores de reducción de fuerza
sísmica de Rµ=1, 2.5, 4, 6, 7.5 y 10; señal mayo 70 N08E
Se observa que, en la zona de
periodos cortos (0,≈0.3), las
demandas de ductilidad, 𝜇, son
elevadas y numérica-mente
muy altas en relación con los
valores del factor de reducción
de fuerza sísmica, Rµ. En
cambio, para periodos de 0.5
seg. o más, la ductilidad
demandada es moderada y
numéricamente comparable al
factor de reducción.
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 5
Relación ductilidad - factor de reducción
Espectros inelásticos
Ductilidad
Demandada
(𝜇)
Factor de Reducción (𝑅𝜇)
El gráfico: muestra la relación - Rµ
extraída del espectro anterior para 6
estructuras específicas cuyos periodos
están entre 0.1 y 2 seg.
Factor de reducción y ductilidad demandada para estructuras
en las tres zonas del espectro; señal mayo 70 N08E
Se observa que, para las estructuras de
periodo T=0.9 seg. y T=2 seg (curvas
inferiores en la figura), los valores de Rµ
se mantienen aproximadamente propor-
cionales a los valores de 𝜇. En cambio,
para las estructuras de periodos cortos
(curvas superiores), la figura sugiere que la
ductilidad crece con una potencia de Rµ.
Los ejemplos estudiados muestran que la
relación 𝜇 – Rµ es compleja y fuertemente
dependiente de la zona de periodos que se
considere. Para fines prácticos, es
necesario representar esta relación
mediante expresiones sencillas en cada
zona del espectro.
𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 6
Espectros inelásticos
Expresiones sencillas para la relación 𝜇 - Rµ
Usando los desplazamientos espectrales presentados en la figura 2, se determinó el cociente entre el
desplazamiento de cada estructura inelástica asociada con un valor de R y el desplazamiento de la
correspondiente estructura elástica del mismo periodo. Los resultados se muestran en la figura 7.
𝑆
𝑑
inelastico/
𝑆
𝑑
elástico
Periodo (seg)
Factor de amplificación de la respuesta inelástica con relación a la respuesta
elástica para factores de reducción de Rµ=1, 2.5, 4, 6.0, 7.5 y 10; señal
mayo 70 N08E
Figura 7
Espectros inelásticos
Expresiones sencillas para la relación 𝜇 - Rµ
Para periodos medios y largos, 0.5 en adelante, se observa que el cociente entre los desplazamientos
espectrales, correspondientes a una estructura inelástica y a otra estructura elástica del mismo periodo, es un
valor cercano a la unidad. Por tanto, con el fin de obtener una expresión sencilla que relacione la ductilidad
demandada y el factor reducción, podemos suponer que ambos desplazamientos tienen el mismo valor.
La figura 8 muestra la historia fuerza-desplazamiento para dos estructuras del mismo periodo, una elástica
y la otra inelástica; los trazos resaltados corresponden a los intervalos en que se producen los
desplazamientos máximos. Como ambas estructuras son de periodo largo, además de tener el mismo valor
de periodo, sus desplazamientos máximos alcanzan valores similares.
Figura 8
Relaciones fuerza desplazamiento para dos estructuras con el mismo valor de periodo largo, una elástica y otra inelástica
𝑋max 𝑒𝑙𝑎 =
𝐹max 𝑒𝑙𝑎
𝐾
=
𝑅𝜇𝑉𝑦
𝐾
𝑋𝑦
𝑋max 𝑖𝑛𝑒𝑙 = 𝜇 𝑋𝑦 = 𝜇
𝑉𝑦
𝐾
𝑅𝜇 =
𝐹max 𝑒𝑙𝑎
𝑉𝑦
K
Como se trata de estructuras de periodo largo 𝑋max 𝑒𝑙𝑎= 𝑋max 𝑖𝑛𝑒𝑙
𝜇 = 𝑅𝜇 Para periodos medios y largos
La figura 9 muestra los desplazamientos y fuerzas máximas en dos estructuras de igual periodo. Una
estructura tiene comportamiento linealmente elástico y, para la otra, se ha supuesto comportamiento
elastoplástico perfecto. Como se trata de estructuras de periodo corto, el desplazamiento máximo de la
estructura inelástica es significativamente mayor que el correspondiente desplazamiento de la estructura
elástica.
Espectros inelásticos
Expresiones sencillas para la relación 𝜇 - Rµ
Relación fuerza- desplazamiento para una estructura elástica y otra inelástica de igual periodo en la zona de aceleraciones
Figura 9
Con el fin de obtener una expresión sencilla para la
relación 𝜇 – 𝑅𝑢 , se puede suponer que la energía de
deformación máxima que alcanza la estructura elástica es
similar al trabajo que la estructura inelástica tendría que
desarrollar en un recorrido continuo desde su posición
indeformada hasta alcanzar el desplazamiento máximo.
Con relación a figura 6.30, esto equivale a igualar el área
del triángulo OAB con el área del cuadrilátero OCDE:
𝜇 =
1
2
(𝑅𝜇
2 + 1)
Espectros inelásticos
Expresiones sencillas para la relación 𝜇 - Rµ
La figura 10 muestra las dos expresiones sencillas obtenidas para la relación 𝜇 -𝑅𝜇, junto a los valores para 6
estructuras sometidas a un acelerograma registrado en suelo duro, durante un terremoto de subducción.
Relación - Rµ, expresiones sencillas y 6 casos de estructuras entre 0.1 y 2 seg de periodo
Figura 10
Se observa que las curvas
correspondientes a T=0.9 y T=2.0 seg
pueden ser aceptablemente aproximadas
por la expresión 𝜇 = Rµ, deducida para
periodos largos. Sin embargo, las curvas
correspondientes a las estructuras de
periodo corto muestran diferencias
importantes respecto de la ecuación 𝜇 =
(Rµ²+1) / 2.
La relación 𝜇 - Rµ es compleja y
dependiente de muchos factores; sin
embargo, para fines prácticos se maneja
con expresiones sencillas, como las
mostradas en este acápite.
Respuesta espectral inelástica
Respuesta espectral inelástica
Las estructuras convencionales tienen una resistencia lateral menor que la fuerza máxima que los sismos
severos impondrían en una estructura ideal elástica; por tanto, en terremotos fuertes, estas estructuras se
verán demandadas más allá del rango elástico. Los espectros inelásticos, junto a las características propias
de cada estructura, permiten estimar el desplazamiento de respuesta, la ductilidad demandada y el factor de
reducción correspondiente a estos eventos. La figura 11 presenta el problema.
Figura 11 Respuesta espectral
inelástica
A manera de ejemplo, estimemos la respuesta de una estructura de 500 ton de peso, rigidez K= 12500 ton/m
y resistencia lateral Vy = 165 ton, sometida a un movimiento sísmico representado por el espectro de
ductilidad constante mostrado en la figura
Respuesta espectral inelástica
Estructura inelástica sometida a un movimiento
sísmico representado por un espectro de ductilidad
constante
El periodo de la estructura se estima en: T=2𝜋
𝑀
𝐾
= 0.4 seg.
Respuesta espectral inelástica
Si la estructura pudiera comportarse elásticamente durante este evento, alcanzaría una aceleración espectral
Say = 0.7𝑔 ( curva = 1, T= 0.4 ); por tanto, recibiría una fuerza máxima 𝑉𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎 = 0.7𝑔 x M = 0.7 x Peso
𝑉𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎= 0.7 x 500 = 350 ton y alcanzaría un desplazamiento de 𝑋𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎 =
𝑉𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎
𝐾
=
350
12,500
= 2.8 cm.
Como la estructura tiene una resistencia lateral de sólo 𝑉
𝑦=165 ton, le corresponde un factor de reducción
de 𝑅𝜇 =
𝑉𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎
𝑉𝑦
=
350
165
= 2.12
La resistencia real de la estructura por unidad de masa (espectro aceleración 𝑆𝑎𝑦) es 𝑆𝑎𝑦 =
𝑽𝒚
𝒎
=
𝟏𝟔𝟓
𝟓𝟎𝟎/𝒈
=0.33g
Ubicando en el espectro este valor para T = 0.4 seg, vemos que
la ductilidad demandada será un valor entre 3 y 5; interpolado,
obtenemos un valor aproximado de 𝜇 = 3.6. Como el
desplazamiento de fluencia es 𝑋𝑦 =
𝑉𝑦
𝐾
=
165
12,500
=1.32 cm, el
desplazamiento máximo esperado será de 𝑋𝑚á𝑥 𝑖𝑛𝑒 = 𝜇 𝑋𝑦
𝑋𝑚á𝑥 𝑖𝑛𝑒 = 3.6 x 1.32 = 4.8 cm.
usando espectros inelásticos de demanda
Respuesta espectral inelástica
Respuesta espectral inelástica
usando espectros inelásticos de demanda
Existen procedimientos para estimar la demanda inelástica empleando el espectro de capacidad estructural
junto a un juego de curvas espectrales de ductilidad constante en formato de demanda (𝑆𝑑 - 𝑆𝑎𝑦).
La figura 11 muestra las curvas de demanda correspondientes al juego de ductilidades = 1, 3, 4, 5 y 6 junto
al espectro de capacidad de una estructura.
En el espectro de capacidad, a cada desplazamiento lateral corresponde una ductilidad que la estructura
debe desarrollar; usando círculos (“•”), se han resaltado los puntos de la esta curva correspondientes a
ductilidades de 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Las intersecciones de la curva de capacidad con las curvas de demanda se
muestran resaltados con un aspa (“x”). Como se nota fácilmente, los valores de ductilidad de las curvas no
corresponden a los valores de ductilidad en el espectro de capacidad.
Respuesta espectral inelástica
usando espectros inelásticos de demanda
Figura 11
Respuesta inelástica usando espectros de demanda y
capacidad
Siguiendo el espectro de capacidad de
izquierda a derecha vemos que, conforme
crece el desplazamiento lateral crece la
ductilidad que tendría que desarrollar la
estructura (puntos en “•”). En cambio, si nos
fijamos en las intercepciones del espectro de
capacidad con las curvas de demanda
(puntos en “x” ), vemos que, de izquierda a
derecha la ductilidad de cada curva decrece.
El desplazamiento de respuesta se debe encontrar en la intersección del espectro de capacidad con una
curva de demanda cuyo valor de ductilidad sea igual al valor que la estructura debe desarrollar para tal
desplazamiento de respuesta.
La figura 11.b muestra el procedimiento para encontrar la respuesta. Se construyen curvas ductilidad-
desplazamiento correspondientes a la capacidad estructural (“•”) y a la demanda (“x”); la ductilidad y
desplazamiento espectral buscados corresponden a la intersección de estas curvas. Cuando se trata de
edificios de varios pisos, el desplazamiento del nivel más alto se obtiene luego como X =(
𝐿
𝑚∗) 𝑆𝑑.
( b )
usando espectros de amortiguamiento variable
Respuesta espectral inelástica
Respuesta espectral inelástica
usando espectros de amortiguamiento variable
Existen aproximaciones que permiten estimar la respuesta inelástica de una estructura empleando un
modelo elástico de mayor periodo y amortiguamiento que la estructura. El incremento en el periodo intenta
estimar la pérdida de rigidez de la estructura durante un movimiento severo; el incremento del
amortiguamiento trata de representar la disipación de energía histerética mediante energía de
amortiguamiento.
A mayores incursiones inelásticas, el periodo del modelo elástico y el amortiguamiento equivalente crecen.
Debido al incremento del amortiguamiento equivalente, la demanda elástica equivalente decrece. Esto
permite establecer, para cada nivel de desplazamiento lateral de la estructura inelástica, un amortiguamiento
equivalente y, luego, una demanda elástica reducida. De este modo, es posible construir una curva
denominada espectro de amortiguamiento variable (EDAV) en formato de demanda.
El uso conjunto del espectro de capacidad de la estructura y el espectro de amortiguamiento variable
permiten estimar la respuesta estructural inelástica.
La figura muestra la curva de capacidad de
una estructura en la cual, para distintos
valores del desplazamiento lateral, se asocia
un periodo efectivo, un amortiguamiento
equivalente y un valor del espectro elástico
reducido por amortiguamiento. La curva que
une los nuevos valores espectrales reducidos
por ductilidad (EDAV) se intersecta con la
curva de capacidad de la estructura para
encontrar la respuesta espectral (𝑆𝑑) y luego el
desplazamiento del techo por medio de factor
de participación (
𝐿
𝑀∗)
Respuesta espectral inelástica
usando espectros de amortiguamiento variable
Determinación de la respuesta espectral usando el espectro de capacidad de la estructura y un espectro de
amortiguamiento variable (EDAV)
Respuesta usando espectros
elásticos y factores de ajuste
Este método permite estimar el desplazamiento máximo de un edificio bajo solicitaciones sísmicas
representadas por espectros elásticos. El desplazamiento del nivel superior, , se obtiene usando el
desplazamiento espectral correspondiente al periodo fundamental, junto a factores que permiten el paso
hacia el edificio como sistema de varios grados de libertad y en régimen inelástico.
La figura muestra el procedimiento general.
Respuesta espectral inelástica
usando espectros elásticos y factores de ajuste
x (
𝑳
𝑴∗) x 𝑪𝑹 x 𝑪𝑫 x 𝑪𝑷−𝑨
Respuesta inelástica espectral usando factores de ajuste
El factor (
𝑳
𝑴∗) es propio de cada edificio y permite pasar del oscilador de un grado de libertad hacia el
sistema de varios grados de libertad en régimen elástico.
Cuando el modo fundamental tiene fuerte importancia en la respuesta del edificio, (como cuando la masa
participante es 80 % o más de la masa total), el cálculo de (
𝑳
𝑴∗) puede hacerse usando la forma de
vibración fundamental. Es posible también emplear formas asociadas a sistemas de cargas o
desplazamientos preestablecidos.
Respuesta espectral inelástica
usando espectros elásticos y factores de ajuste
Para edificios de un piso el valor de
𝑳
𝑴∗ es 1, para edificios bajos (4 ó 7 pisos) el valor es cercano a 1.3 y para
edificios altos (12 o más pisos) pueden usarse valores cercanos a 1.4.
El factor CR incorpora el efecto del comportamiento inelástico estable, sin degradación; sus valores
corresponden al cociente entre el desplazamiento máximo de un modelo bilineal y el
correspondiente desplazamiento de un modelo elástico. Se conoce que para osciladores de
periodo largo, el desplazamiento
máximo que se obtienen con un modelo bilineal es similar al correspondiente valor obtenido con un
modelo elástico; en cambio para osciladores de periodo corto, el valor del desplazamiento de un
modelo bilineal es mayor al de un modelo elástico.
Por tanto para estructuras de periodo largo se asume CR = 1 y para estructuras de periodo corto,
mediante ajustes estadísticos se obtienen funciones que dependen tanto del factor de reducción de
fuerza sísmica como del propio periodo estructural en relación al periodo del suelo.
El factor 𝐶𝑅 incorpora el efecto del comportamiento inelástico estable, sin degradación; sus valores
corresponden al cociente entre el desplazamiento máximo de un modelo bilineal y el correspondiente
desplazamiento de un modelo elástico. Se conoce que para osciladores de periodo largo, el desplazamiento
máximo que se obtienen con un modelo bilineal es similar al correspondiente valor obtenido con un modelo
elástico; en cambio para osciladores de periodo corto, el valor del desplazamiento de un modelo bilineal es
mayor al de un modelo elástico.
Por tanto para estructuras de periodo largo se asume 𝐶𝑅 = 1 y para estructuras de periodo corto, mediante
ajustes estadísticos se obtienen funciones que dependen tanto del factor de reducción de fuerza sísmica
como del propio periodo estructural en relación al periodo del suelo.
Respuesta espectral inelástica
usando espectros elásticos y factores de ajuste
Durante sismos severos la rigidez y resistencia lateral de algunas estructuras pueden reducirse
considerablemente dependiendo de las características del propio sistema estructural y del nivel de
desplazamiento lateral que la estructura alcance.
El factor 𝐶𝐷 intenta tomar en cuenta tanto la forma de la curva fuerza desplazamiento como su variación
durante el movimiento, en relación a los resultados de modelos bilineales. Para estructuras diseñadas y
construidas con requerimientos moderados y especiales de ductilidad se sugiere 𝐶𝐷 = 1; para estructuras sin
consideraciones especiales de ductilidad puede usarse 𝐶𝐷 = 1.3 ó 1.5 según el nivel de desplazamiento que
se alcance en la curva de capacidad.
Respuesta Pseudo espectral Inelástica – E.030
Respuesta espectral inelástica
Respuesta Inelástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral Inelástica – E.030
Pseudo Aceleración Espectral Inelástica - E.030
𝑇𝑃 𝑇𝐿
C=2.5 (
𝑇𝑃
𝑇
)
𝑇𝑃 < T < 𝑇𝐿
C=2.5 (
𝑇𝑃𝑇𝐿
𝑇2 )
T > 𝑇𝐿
C=2.5
T < 𝑇𝑃
T
𝑃𝑆𝑎𝐻
𝑃𝑆𝑎𝐻 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅
𝑔
Para cada una de las direcciones horizontales
Para la direcciones vertical
𝑇𝑃 𝑇𝐿
C=2.5 (
𝑇𝑃
𝑇
)
𝑇𝑃 < T < 𝑇𝐿
C=2.5 (
𝑇𝑃𝑇𝐿
𝑇2 )
T > 𝑇𝐿
C=2.5 0.2𝑇𝑃 < T < 𝑇𝑃
T
𝑃𝑆𝑎𝑉
0.2𝑇𝑃
C= 1 + 7.5 (
𝑇𝑃
𝑇
)
T < 0.2𝑇𝑃
1
Respuesta Inelástica de Estructuras:
Respuesta Pseudo espectral Inelástica – E.030
Pseudo Aceleración Espectral Inelástica - E.030
𝑃𝑆𝑎𝑉 =
2
3
(
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅
) 𝑔
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Dinámico Modal Espectral
Modos de Vibración
Los modos de vibración podrán determinarse por un procedimiento de análisis que considere
apropiadamente las características de rigidez y la distribución de las masas.
En cada dirección se considerarán aquellos modos de vibración cuya suma de masas efectivas sea por lo
menos el 90 % de la masa total, pero deberá tomarse en cuenta por lo menos los tres primeros modos
predominantes en la dirección de análisis.
La masa efectiva correspondiente al modo de vibración i equivale a:
𝐿𝑖
2
𝑚𝑖
∗
Aceleración Espectral
Para cada una de las direcciones horizontales analizadas se utilizará un espectro inelástico de pseudo
aceleraciones definido por:
𝑆𝑎 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅
g
Aceleración Espectral
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Dinámico Modal Espectral
𝑆𝑎𝑥 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅𝑥
g
Sismo en dirección del eje x
𝑆𝑎 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅
g
𝑆𝑎𝑦 =
𝑍.𝑈.𝑆.𝐶
𝑅𝑦
g
Sismo en dirección del eje y
𝑋𝑆𝑥(𝑡)
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Análisis Dinámico Modal Espectral
Fuerza Cortante Mínima
Para cada una de las direcciones consideradas en el análisis, la fuerza cortante en el primer entrepiso del
edificio no podrá ser menor que el 80 % del 𝑉𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 para estructuras regulares, ni menor que el 90 % del
𝑉𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 para estructuras irregulares.
Si fuera necesario incrementar el cortante para cumplir los mínimos señalados, se deberán escalar
proporcionalmente todos los otros resultados obtenidos, excepto los desplazamientos.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Requisitos de Rigidez, Resistencia y Ductilidad
Determinación de Desplazamientos Laterales
Para estructuras regulares, los desplazamientos laterales se calcularán multiplicando por 0,75 R los
resultados obtenidos del análisis lineal y elástico con las solicitaciones sísmicas reducidas. Para estructuras
irregulares, los desplazamientos laterales se calcularán multiplicando por 0,85 R los resultados obtenidos del
análisis lineal elástico.
Para el cálculo de los desplazamientos laterales no se considerarán los valores mínimos de C/R indicados en
el numeral 28.2
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Requisitos de Rigidez, Resistencia y Ductilidad
Desplazamientos Laterales Relativos Admisibles
El máximo desplazamiento relativo de entrepiso, calculado según el articulo 31, no deberá exceder la
fracción de la altura de entrepiso (distorsión) que se indica en la Tabla N° 11.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Requisitos de Rigidez, Resistencia y Ductilidad
Separación entre Edificios (s)
Toda estructura debe estar separada de las estructuras vecinas, desde el nivel del terreno natural, una
distancia mínima s para evitar el contacto durante un movimiento sísmico.
Esta distancia no será menor que los 2/3 de la suma de los desplazamientos máximos de los edificios
adyacentes ni menor que:
s = 0,006 h ≥ 0,03 m
Donde h es la altura medida desde el nivel del terreno natural hasta el nivel considerado para evaluar s.
NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
Requisitos de Rigidez, Resistencia y Ductilidad
Separación entre Edificios (s)
El edificio se retirará de los límites de propiedad adyacentes a otros lotes edificables, o con edificaciones,
distancias no menores de 2/3 del desplazamiento máximo calculado según el Articulo 33 ni menores que s/2
si la edificación existente cuenta con una junta sísmica reglamentaria.
En caso de que no exista la junta sísmica reglamentaria, el edificio deberá separarse de la edificación
existente el valor de s/2 que le corresponde más el valor s/2 de la estructura vecina.
𝑆 = 𝑆𝐿1 + 𝑆𝐿2
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS
DE CONCRETO ARMADO
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
Mientras mas compleja es la estructura, mas difícil resulta predecir su comportamiento sísmico. Por esta
razón, es aconsejable que la estructuración sea lo mas simple y limpia posible, de manera que la
idealización necesaria para su análisis sísmico se acerque lo mas posible a la estructura real. Los principales
criterios que es necesario tomar en cuenta para lograr una estructura sismo-resistente, son:
1) Simplicidad y simetría
2) Resistencia y ductilidad
3) Hiperestaticidad y monolitismo
4) Uniformidad y continuidad de la estructura
5) Rigidez lateral
6) Diafragma rígido
7) Elementos no estructurales
8) Cimentación
9) Diseño en concreto armado
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
1) Simplicidad y simetría
La experiencia ha demostrado repetidamente que las estructuras simples se comportan mejor durante
los sismos. Hay dos razones principales para que esto sea así:
– Primero, nuestra habilidad para predecir el comportamiento sísmico de una estructura es
marcadamente mayor para las estructuras simples que para las complejas;
– Segundo, nuestra habilidad para idealizar los elementos estructurales es mayor para las estructuras
simples que para las complicadas.
Cuando las estructuras son complejas existen dificultades en el modelo a realizar, haciéndose
simplificaciones que no permiten asegurar la similitud del modelo y el comportamiento real.
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
1) Simplicidad y simetría
La simetría de la estructura en dos direcciones es deseable por las mismas razones; la falta de simetría
produce efectos torsionales que son difíciles de evaluar y pueden ser muy destructivos.
Las fuerzas de sismo se podrán idealizar actuando en el centro de masas de cada piso, mientras las
fuerzas que absorben los elementos estarán ubicadas en el centro de rigidez; si no existe coincidencia
entre el centro de masas y el centro de rigidez el movimiento sísmico no solo ocasionará un movimiento
de traslación, sino adicionalmente un giro en la planta estructural (torsión), la cual hace incrementar
los esfuerzos debidos al sismo.
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
2) Resistencia y ductilidad
Las estructuras deben tener resistencia sísmica adecuada en todas las direcciones. El sistema de
resistencia sísmica debe existir por lo menos en dos direcciones ortogonales o aproximadamente
ortogonales, de tal manera que se garantice la estabilidad tanto de la estructura como un todo, como de
cada uno de sus elementos.
La característica fundamental de la solicitación sísmica es su eventualidad. Ello se traduce en que un
determinado nivel de esfuerzos se produce en la estructura durante un corto tiempo. Por esta razón, las
fuerzas de sismo se establecen para valores intermedios de la solicitación, confiriendo a la estructura una
resistencia inferior a la máxima necesaria, debiendo complementarse el saldo otorgándole una adecuada
ductilidad. Esto requiere preparar a la estructura para ingresar en una etapa plástica, sin que se llegue a
la falla.
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
2) Resistencia y ductilidad
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
2) Resistencia y ductilidad
Los criterios de ductilidad deben también extenderse al dimensionamiento por corte, ya que en el
concreto armado la falla por corte es de naturaleza frágil. Para lograr este objetivo, debe verificarse en el
caso de una viga, que la suma de los momentos flectores extremos divididos por la luz sea menor que la
capacidad resistente al corte de la viga; y en general, para cualquier elemento, que la resistencia
proporcionada por corte sea mayor que la resistencia proporcionada por flexión.
Al diseñar una estructura de concreto armado, debe garantizarse que la falla se produzca por f1uencia
del acero y no por compresión del concreto.
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
3) Hiperestaticidad y monolitismo
Como concepto general de diseño sismo-resistente, debe indicarse la conveniencia de que las estructuras
tengan una disposición hiperestática. Ello logra una mayor capacidad resistente, al permitir que, por
producción de rótulas plásticas, se disipe en mejor forma la energía sísmica y, por otra parte, al aumentar
la capacidad resistente se otorga a la estructura un mayor grado de seguridad.
En el diseño de estructuras donde el sistema de resistencia sísmica no sea hiperestático, es necesario
tener en cuenta el efecto adverso que implicaría la falla de uno de los elementos o conexiones en la
estabilidad de la estructura.
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
4) Uniformidad y continuidad de la estructura
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
4) Uniformidad y continuidad de la estructura
Irregularidad piso blando
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
5) Rigidez lateral
Para que una estructura pueda resistir fuerzas horizontales sin tener deformaciones importantes, será
necesario proveerla de elementos estructurales que aporten rigidez lateral en sus direcciones principales.
Las deformaciones importantes durante un sismo, ocasionan mayor efecto de pánico en los usuarios de
la estructura, mayores daños en los elementos no estructurales y en general mayores efectos perjudiciales,
habiéndose comprobado un mejor comportamiento en estructuras rígidas que en estructuras flexibles.
Buscar que además de tener una adecuada rigidez lateral, exista rigidez torsional en la estructura.
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
6) Diafragma rígido
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
7) Elementos no estructurales
En algunos casos la tabiquería puede presentar efectos nocivos en la estructura; así tenemos por ejemplo
el caso de tabiquería colocada en forma asimétrica en planta, o tabiquería que produce columnas cortas
(ventanas altas). En estos casos debe corregirse estos defectos mediante la independización de los
tabiques o mediante la inclusión de otros elementos de concreto armado que anulen los efectos
mencionados.
Si la estructura está conformada básicamente por pórticos, con abundancia de tabiquería, esta no se
podrá despreciar en el análisis, pues su rigidez será apreciable, obteniéndose una rigidez del conjunto
tabiquería-pórticos muy diferente a la de los pórticos solamente. En estos casos se deberá realizar el
análisis usando modelos estructurales que incluyan la tabiquería.
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
8) Cimentación
La regla básica respecto a la resistencia sísmica de la cimentación es que se debe obtener una acción
integral de la misma durante un sismo; además de las cargas verticales que actúan, los siguiente factores
deberán considerarse respecto al diseño de la cimentación:
a) Transmisión del cortante basal de la estructura al suelo.
b) Provisión para los momentos de volteo.
c) Posibilidad de movimientos diferenciales de los elementos de la cimentación.
d) Licuefacción del subsuelo.
Cuando una estructura está cimentada sobre dos tipos diferentes de suelos los cuidados deben ser
mayores para obtener una acción integral.
Mientras menos rígidos sean los terrenos de cimentación es mayor la importancia de considerar la
posibilidad de giro de la cimentación, el cual afecta desde la determinación del período de vibración, el
coeficiente sísmico, la distribución de fuerzas entre placas y pórticos y la distribución de esfuerzos en
altura (distintos pisos) hasta los diseños de los diferentes elementos estructurales.
CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO
ARMADO
9) Diseño en concreto armado
Las consideraciones mas importantes para el diseño sismo-resistente son:
a) En el diseño por flexión buscar la falla por tracción evitando la falla por compresión, limitando la
cuantía de acero a valores que proporcionen ductilidad adecuada.
b) En un elemento sometido a flexión y cortante, dar más capacidad por cortante buscando evitar la
falla por cortante. Esta es frágil mientras que la falla por flexión es dúctil.
c) En un elemento comprimido o en zonas donde existen compresiones importantes (máximo
momento) confinar al concreto con refuerzo de acero transversal; ejerciendo éste por reacción, una
presión de confinamiento, la cual evita el desprendimiento del núcleo aumentando la capacidad de
deformación en la etapa plástica (ductilidad) si el refuerzo y su confinamiento son adecuados.
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  • 1. ESTRUCTURACION Y COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS FRENTE A SISMO PROFESOR: ING. LUIS ITA ROBLES UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO FACULTAD DE INGENIERIA CICIL APUNTES DE CLASES CONCRETO ARMADO II ABRIL DEL 2024 CAPITULO - 1
  • 2. 1.1. Área Académica: Estructuras 1.2. Carrera Profesional: Ingeniería Civil 1.3. Código de la asignatura: VE-C02 1.4. Requisitos: VE-E14 Ingeniería Antisísmica 1.5. Ciclo: IX 1.6. Semestre Académico: 2024 -I 1.7. Número de Créditos: 04 1.8. Modalidad: Presencial 1.9. Número de Horas: Teoría: 02; Practica: 04; Total: 06 horas 1.10. Duración: Fecha de Inicio: 08 de abril del 2024 Fecha de Término: 30 de julio del 2024 1.11. Docente: Teoría y Práctica: Ing. Luis Ita Robles Nombrado. Asociado. Dedicación exclusiva E-Mail: luis_ita6@hotmail.com E-Mail: litar@unasam.edu.pe SILABO DE CONCRETO ARMADO II. I. IDENTIFICACIÓN
  • 3. Se estudia el comportamiento y la metodología de diseño de elementos de concreto armado enfatizando el diseño sismorresistente, complementando lo aprendido en el curso de Concreto Armado 1. Se estudia el diseño de muros de corte, cimentaciones, muros de contención, escaleras, losas, entre otros elementos, comentando las normas de diseño en concreto armado, la Norma peruana y la Norma del American Concrete Institute (ACI). II. DESCRIPCIÓN DEL CURSO Es un curso teórico-práctico perteneciente al área de Estructuras de la especialidad de Ingeniería Civil. Aporta al desarrollo de todas las competencias del Perfil del Egresado en el nivel avanzado de progresión. Temáticamente, aplica los conceptos básicos adquiridos en el curso previo a los elementos estructurales típicos construidos con concreto armado, con énfasis en el diseño sismorresistente. Se examina el diseño de elementos tales como vigas, columnas, muros de corte, cimentaciones, muros de sostenimientos, losas, entre otros, considerando las reglamentaciones especiales para cada elemento. III. SUMILLA SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
  • 4. El objetivo principal del curso es completar el aprendizaje de los alumnos en el comportamiento de elementos y estructuras de concreto armado. El alumno deberá ser capaz de diseñar las armaduras de refuerzo necesarias para diferentes elementos de concreto armado, sometidos a diversas solicitaciones. El presente curso aporta al desarrollo de las siguientes competencias del perfil del egresado de ingeniería civil: C1. Diseña y gestiona proyectos de infraestructura tomando en cuenta la normativa vigente, las condiciones del entorno y el impacto ambiental, con criterios de seguridad, economía, utilidad y funcionalidad. C3. Investiga de manera crítica, reflexiva y creativa en temas de ingeniería civil, considerando aspectos de pertinencia, viabilidad y sostenibilidad, y presenta formalmente sus resultados considerando el público objetivo. C8. Reconoce la necesidad del desarrollo profesional continuo y se compromete con el aprendizaje permanente. IV. OBJETIVOS SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
  • 5. V. PROGRAMA ANALÍTICO CAPÍTULO 1 ESTRUCTURACIÓN Y COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS FRENTE A SISMO (2esiones) 1.1 Fuerzas sísmicas y la Norma E.030 1.2 Criterios de estructuración en edificios de concreto armado: pórticos principales, pórticos secundarios, pórticos y muros de concreto, pórticos y muros de albañilería, densidad de muros, influencia de la tabiquería, control de desplazamientos laterales. 1.3 Ejemplos de estructuras mixtas: muros portantes de ladrillo y pórticos 1.4 Ejemplos de centros educativos, viviendas unifamiliares y multifamiliares CAPÍTULO 2 DISEÑO SISMORRESISTENTE DE VIGAS Y COLUMNAS (2 sesiones) 2.1 Filosofía del diseño sísmico: fallas por corte y por flexión; falla por tracción o compresión en flexión, efectos del confinamiento en la ductilidad del concreto armado. 2.2 Disposiciones especiales para el Diseño Sísmico de la Norma E.060. 2.3 Requisitos del diseño sísmico en vigas: armaduras longitudinales, empalmes de armaduras, concentración de estribos, diseño por capacidad. 2.4 Requisitos del diseño sísmico en columnas: armaduras longitudinales, empalmes de armaduras, concentración de estribos, diseño por capacidad, relación de momentos nominales en nudos. SILABO DE CONCRETO ARMADO II.
  • 6. V. PROGRAMA ANALÍTICO SILABO DE CONCRETO ARMADO II. CAPÍTULO 3 DISEÑO DE MUROS ESTRUCTURALES (PLACAS) (2 sesiones) 3.1 Muros esbeltos y muros bajos, efectos locales y globales, núcleos reforzados y confinamientos. 3.2 Diagramas de interacción y cálculo aproximado de muros bajos 3.3 Diseño de juntas por corte fricción CAPÍTULO 4 DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES (1 sesiones) 4.1 Losas con vigas y losas sin vigas. Ventajas y desventajas, problemas de trasmisión de momentos en losas sin vigas. Punzonamiento. 4.2 Método de coeficientes de la Norma E.060. CAPÍTULO 5 DISEÑO DE CIMENTACIONES SUPERFICIALES (2 sesiones) 5.1 Zapatas aisladas: Dimensionamiento y presiones en el terreno. Diseño por punzonamiento, cortante y flexión. 5.2 Zapatas conectadas 5.3 Zapatas combinadas. Zapatas combinadas con viga rígida 5.4 Plateas de cimentación.
  • 7. V. PROGRAMA ANALÍTICO SILABO DE CONCRETO ARMADO II. CAPÍTULO 6 DISEÑO DE CIMENTACIONES PROFUNDAS (2 sesiones) 6.1 Tipos de Pilotes 6.2 Zapatas aisladas sobre pilotes: dimensionamiento y formas; diseño por punzonamiento, cortante y flexión. 6.3 Zapatas combinadas y conectadas. CAPÍTULO 7 DISEÑO DE MUROS DE CONTENCIÓN (2 sesiones) 7.1 Muros en voladizo: volteo, deslizamiento, presiones en el terreno. Dimensionamiento y diseño de punta, talón y del muro por flexión y cortante. 7.2 Muros con contrafuertes. Comportamiento de la pared según el espaciamiento de contrafuertes. Equilibrio externo y diseño del muro, los contrafuertes y la zapata. 7.3 Muros de sótano. Dimensionamiento y diseño. 7.4 Calzaduras y muros anclados 7.5 Muros sometidos a presión de agua, cisternas, piscinas y tanques elevados. 7.6 Muros de gravedad. CAPÍTULO 8 DISEÑO DE ESCALERAS (1 sesiones) 8.1 Tipos de escaleras. 8.2 Modelaje de escaleras 8.3 Armado de escaleras típicas
  • 8. ESTRUCTURACION Y COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS FRENTE A SISMO CAPITULO - 1 1. Fuerzas sísmicas y la Norma E.030 2. Criterios de estructuración en edificios de concreto armado: pórticos principales, pórticos secundarios, pórticos y muros de concreto, pórticos y muros de albañilería, densidad de muros, influencia de la tabiquería, control de desplazamientos laterales. 3. Ejemplos de estructuras mixtas: muros portantes de ladrillo y pórticos 4. Ejemplos de centros educativos, viviendas unifamiliares y multifamiliares CONCRETO ARMADO II.
  • 9. BIBLIOGRAFIA • ESTRUCTURACIÓN Y DISEÑO DE EDIFICACIONES DE CONCRETO ARMADO Blanco Blasco, Antonio Colegio de Ingenieros del Perú, 1994 • ANALISIS DE EDIFICIOS San Bartolomé, Angel Fondo Editorial PUCP, 1999 • NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” (DECRETO SUPREMO N° 355- 2018-VIVIENDA) Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento
  • 10. INTRODUCCION ¿PORQUE EL PERÚ ES UN PAÍS SÍSMICO? El Perú está ubicado en el cinturón Circumpacífico, zona del mundo donde se produce la mayor parte de los sismos de nuestro planeta.
  • 11. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Filosofía y Principios del Diseño Sismorresistente La filosofía del Diseño Sismorresistente consiste en: a) Evitar pérdida de vidas humanas. b) Asegurar la continuidad de los servicios básicos. c) Minimizar los daños a la propiedad. Se reconoce que dar protección completa frente a todos los sismos no es técnica ni económicamente factible para la mayoría de las estructuras.
  • 12. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Filosofía y Principios del Diseño Sismorresistente Diseño por desempeño
  • 13. Estudios en regiones más extensas sugieren que las aceleraciones asociadas a los cuatro sismos de diseño en la costa oeste de América del Sur tendrían valores cercanos a los mostrados en la tabla: NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Filosofía y Principios del Diseño Sismorresistente Perú
  • 14. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Filosofía y Principios del Diseño Sismorresistente En concordancia con tal filosofía se establecen en la presente Norma los siguientes principios: a) La estructura no debería colapsar ni causar daños graves a las personas, aunque podría presentar daños importantes, debido a movimientos sísmicos calificados como severos para el lugar del proyecto. b) La estructura debería soportar movimientos del suelo calificados como moderados para el lugar del proyecto, pudiendo experimentar daños reparables dentro de límites aceptables. c) Para las edificaciones esenciales, definidas en la Tabla Nº 5, se tendrán consideraciones especiales orientadas a lograr que permanezcan en condiciones operativas luego de un sismo severo.
  • 15. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” OBJETIVOS DE LA INGENIERÍA SISMORRESISTENTE DE EDIFICACIONES: Niveles de desempeño de las edificaciones El desempeño de una edificación luego de un sismo se califica en función del nivel de daño que sufre el sistema estructural, las instalaciones y su contenido en general. Se muestran la propuesta del SEAOC. Niveles de desempeño
  • 16. Niveles de desempeño de las edificaciones Niveles de desempeño NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” OBJETIVOS DE LA INGENIERÍA SISMORRESISTENTE DE EDIFICACIONES:
  • 17. Niveles de desempeño de las edificaciones NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” OBJETIVOS DE LA INGENIERÍA SISMORRESISTENTE DE EDIFICACIONES:
  • 18. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Consideraciones Generales
  • 19. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Procedimientos de Análisis Sísmico Deberá utilizarse uno de los procedimientos siguientes: 1) Análisis estático o de fuerzas estáticas equivalentes (numeral 4.5). 2) Análisis dinámico modal espectral (numeral 4.6).
  • 20. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Procedimientos de Análisis Sísmico El análisis se hará considerando un modelo de comportamiento lineal y elástico con las solicitaciones sísmicas reducidas. El procedimiento de análisis dinámico tiempo - historia, descrito en el numeral 4.7, podrá usarse con fines de verificación, pero en ningún caso será exigido como sustituto de los procedimientos indicados en los numerales 4.5 y 4.6.
  • 21. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes Este método representa las solicitaciones sísmicas mediante un conjunto de fuerzas actuando en el centro de masas de cada nivel de la edificación. Podrán analizarse mediante este procedimiento todas las estructuras regulares o irregulares ubicadas en la zona sísmica 1, las estructuras clasificadas como regulares según el numeral 3.5 de no más de 30 m de altura y las estructuras de muros portantes de concreto armado y albañilería armada o confinada de no más de 15 m de altura, aun cuando sean irregulares.
  • 22. METODO ESTATICO DE ANALISIS SISMICO NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 23. METODO ESTATICO DE ANALISIS SISMICO El método estático consiste en la aplicación de un sistema de fuerzas horizontales a la estructura. Las características y magnitud de este sistema de fuerzas están previamente dadas en este caso, ya sea mediante algún estudio especial anterior o por la aplicación de normas como las de diseño antisísmico de edificios que aparecen en el Reglamento Nacional de Edificaciones (RNE). 1.- Características del sistema de fuerzas El Reglamento Nacional de Edificaciones, representa las solicitaciones sísmicas mediante un conjunto de fuerzas actuando en el centro de masas de cada nivel de la edificación. Podrán analizarse mediante este procedimiento todas las estructuras regulares o irregulares ubicadas en la zona sísmica 1, las estructuras clasificadas como regulares según el numeral 3.5 de no más de 30 m de altura y las estructuras de muros portantes de concreto armado y albañilería armada o confinada de no más de 15 m de altura, aun cuando sean irregulares. 2.- Fuerza Cortante en la Base La fuerza cortante total en la base de la estructura, correspondiente a la dirección considerada, se determinará por la siguiente expresión: 𝑉 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅 P 𝐶 𝑅 ≥ 0.11 (2.1) NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 24. donde: Z = factor de zona A cada zona se asigna un factor Z según se indica en la Tabla N° 1 de la norma E.030. Este factor se interpreta como la aceleración máxima horizontal en suelo rígido con una probabilidad de 10 % de ser excedida en 50 años. El factor Z se expresa como una fracción de la aceleración de la gravedad. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes Representación del peligro sísmico según la Norma E030 del Peru:
  • 25. S = Factor de suelo. Los tipos de perfiles de suelos son cinco: a. Perfil Tipo 𝑆0: Roca Dura b. Perfil Tipo 𝑆1: Roca o Suelos Muy Rígidos c. Perfil Tipo 𝑆2: Suelos Intermedios d. Perfil Tipo 𝑆3: Suelos Blandos e. Perfil Tipo 𝑆4: Condiciones Excepcionales El factor de suelo depende de su perfil de suelos. Para los efectos de la Norma E.030, los perfiles de suelo se clasifican tomando en cuenta la velocidad promedio de propagación de las ondas de corte (VS), o alternativamente, para suelos granulares, el promedio ponderado de los N60 obtenidos mediante un ensayo de penetración estándar (SPT), o el promedio ponderado de la resistencia al corte en condición no drenada (Su) para suelos cohesivos. Estas propiedades deben determinarse para los 30 m superiores del perfil de suelo medidos desde el nivel del fondo de cimentación. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 26. Parámetros de Sitio (S, 𝑇𝑃 y 𝑇𝐿) Deberá considerarse el tipo de perfil que mejor describa las condiciones locales, utilizándose los correspondientes valores del factor de amplificación del suelo S y de los períodos TP y TL dados en las Tablas Nº 3 y Nº 4. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes El factor “S” depende del suelo y de la Zona T P y TL solo dependen del suelo 𝑻𝑷 define la plataforma de C 𝑻𝑳 define el inicio de la zona espectral con desplazamiento constante a) Perfil Tipo 𝑆0: Roca Dura b) Perfil Tipo 𝑆1: Roca o Suelos Muy Rígido c) Perfil Tipo 𝑆2: Suelos intermedio d) Perfil Tipo 𝑆3: Suelos Blandos e) Perfil Tipo 𝑆4: Condiciones Excepcionales.
  • 27. C = factor de Amplificación Sísmica. De acuerdo a las características de sitio, se define el factor de amplificación sísmica (C) por las siguientes expresiones: T < 𝑇𝑃 C = 2.5 𝑇𝑃 < 𝑇 < 𝑇𝑃 C = 2.5 ( 𝑇𝑃 𝑇 ) 𝑇 > 𝑇𝐿 C = 2.5 ( 𝑇𝑃.𝑇𝐿 𝑇2 ) NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 28. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes donde: 𝐶𝑇 = 35 Para edificios cuyos elementos resistentes en la dirección considerada sean únicamente: a)Pórticos de concreto armado sin muros de corte. b)Pórticos dúctiles de acero con uniones resistentes a momentos, sin arriostramiento. 𝐶𝑇 = 45 Para edificios cuyos elementos resistentes en la dirección considerada sean: a)Pórticos de concreto armado con muros en las cajas de ascensores y escaleras. b)Pórticos de acero arriostrados. 𝐶𝑇 = 60 Para edificios de albañilería y para todos los edificios de concreto armado duales, de muros estructurales, y muros de ductilidad limitada. Periodo Fundamental de vibración El período fundamental de vibración para cada dirección se estimará con la siguiente expresión: T = ℎ𝑛 𝐶𝑇
  • 29. Alternativamente podrá usarse la siguiente expresión: - fi es la fuerza lateral en el nivel i correspondiente a una distribución en altura semejante a la del primer modo en la dirección de análisis. - di es el desplazamiento lateral del centro de masa del nivel i en traslación pura (restringiendo los giros en planta) debido a las fuerzas fi. Los desplazamientos se calcularán suponiendo comportamiento lineal elástico de la estructura y, para el caso de estructuras de concreto armado y de albañilería, considerando las secciones sin fisurar. Cuando el análisis no considere la rigidez de los elementos no estructurales, el período fundamental T deberá tomarse como 0,85 del valor obtenido con la fórmula precedente. donde: NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 30. U = factor de uso o importancia. Cada estructura debe ser clasificada de acuerdo con las categorías indicadas en la Tabla N° 5 (Norma E.030). El factor de uso o importancia (U), definido en la Tabla N° 5 se usará según la clasificación que se haga. Para edificios con aislamiento sísmico en la base se podrá considerar U = 1. A.- Edificaciones Esenciales: U=1.5 B.- Edificaciones Importantes: U=1.3 C.- Edificaciones Comunes: U=1.0 NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 31. CATEGORÍA Y SISTEMA ESTRUCTURALES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” De acuerdo a la categoría de una edificación y la zona donde se ubique, esta se proyecta empleando el sistema estructural que se indica en la tabla N° 6 y respetando las restricciones a la irregularidad de la tabla N° 10 CATEGORÍA Y SISTEMA ESTRUCTURALES
  • 32. R = Coeficiente de Reducción de las Fuerzas Sísmicas. El coeficiente de reducción de las fuerzas sísmicas se determinará como el producto del coeficiente básico de reducción de las fuerzas sísmicas (𝑅0), determinado a partir de la Tabla Nº 7 y de los factores de irregularidad en altura y planta 𝐼𝑎 , 𝐼𝑃 respectivamente obtenidos de las Tablas Nº 8 y Nº 9. R = 𝑅0 . 𝐼𝑎 . 𝐼𝑃 NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” CATEGORÍA Y SISTEMA ESTRUCTURALES
  • 33. Fuente:A. Muñoz Regularidad Estructural CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 34. Fuente: Norma E-0.30 Regularidad Estructural 𝐼𝑎 = Factor de irregularidad en altura 𝐼𝑃 = Factor de irregularidad en planta 𝐼𝑎 = Menor valor entre las irregularidades en altura detectadas ( tabla 8 ) 𝐼𝑃 = Menor valor entre las irregularidades en planta detectadas ( tabla 9 ) Tabla N° 8 IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA Factor de Irregularidad 𝑰𝒂 Tabla N° 9 IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA Factor de Irregularidad 𝑰𝑷 CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 35. CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA Factor de Irregularidad 𝑰𝒂
  • 36. Fuente:A. Muñoz Irregularidad de rigidez - piso blando 0.75 Existe irregularidad de rigidez cuando, en cualquiera de las direcciones de análisis, en un entrepiso la rigidez lateral es menor que el 70% de la rigidez lateral del entrepiso inmediato superior, o es menor que 80% de la rigidez lateral promedio de los tres niveles superiores adyacentes. Las rigideces laterales puede calcularse como la razón entre la fuerza cortante del entrepiso y el correspondiente desplazamiento relativo en el centro de masas, ambos evaluados para la misma condición de carga. CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN ALTURA REGULARIDAD ESTRUCTURAL
  • 37. Fuente:A. Muñoz Irregularidad de rigidez - piso blando 0.75 CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN ALTURA REGULARIDAD ESTRUCTURAL SISMO EN DIRECCION X - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA IRREGULARIDAD DE RIGIDEZ - PISO BLANDO PISOS i 𝑭𝒊𝒙 𝑽𝒊𝒙 𝑫𝒊𝒙 ∆𝑫𝒊𝒙 𝑲𝒊𝒙 0.70𝑲𝒊𝒙+𝟏 𝑲𝒊𝒙 < 0.70𝑲𝒊𝒙+𝟏 1 16.513 68.1 0.0049 0.0049 13897.9592 10,942.697 NO 2 28.005 51.587 0.0082 0.0033 15632.4242 5,502.467 NO 3 23.582 23.582 0.0112 0.0030 7860.66667 - - NO HAY IRREGULARIDAD DE RIGIDEZ - PISO BLANDO ∴ 𝑰𝒂𝒙 = 𝟏. 𝟎𝟎 Las rigideces laterales puede calcularse como la razón entre la fuerza cortante del entrepiso y el correspondiente desplazamiento relativo en el centro de masas, ambos evaluados para la misma condición de carga.
  • 38. Existe irregularidad de resistencia cuando, en cualquiera de las direcciones de análisis, la resistencia de un entrepiso frente a fuerzas cortantes es inferior a 80% de la resistencia del entrepiso inmediato superior. SISMO EN DIRECCION X - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA IRREGULARIDAD DE RESISTENCIA - PISO DEBIL PISOS i 𝑭𝒊𝒙 𝑽𝒊𝒙 0.80𝐕𝒊𝒙+𝟏 𝑽𝒊𝒙 < 0.80𝐕𝒊𝒙+𝟏 1 16.513 68.1 41.2696 NO 2 28.005 51.587 18.8656 NO 3 23.582 23.582 - - NO HAY IRREGULARIDAD DE RESISTENCIA - PISO DÉBIL ∴ 𝑰𝒂𝒙 = 𝟏. 𝟎𝟎 Irregularidad de resistencia - piso debil 0.75 CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN ALTURA REGULARIDAD ESTRUCTURAL
  • 39. Fuente:A. Muñoz Se tiene irregularidad de masa (o peso) cuando el peso de un piso, determinado según el artículo 26, es mayor que 1.5 veces el peso de un piso adyacente. Este criterio no se aplica en azoteas ni en sótanos. Irregularidad de masa o peso 0.90 CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN ALTURA REGULARIDAD ESTRUCTURAL
  • 40. Fuente:A. Muñoz La configuración es irregular cuando, en cualquiera de las direcciones de análisis, la dimensión en planta de la estructura resistente a cargas laterales es mayor que 1.3 veces la correspondiente dimensión en un piso adyacente. Este criterio no se aplica en azoteas ni en sótanos. CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN ALTURA REGULARIDAD ESTRUCTURAL Irregularidad de geométrica vertical 0.90
  • 41. Se califica a la estructura como irregular cuando en cualquier elemento que resista más de 10% de la fuerza cortante se tiene un desalineamiento vertical, tanto por su cambio de orientación, como por un desplazamiento del eje de magnitud mayor que 25% de la correspondiente dimensión del elemento. SISMO EN DIRECCION X - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA DISCONTINUIDAD EN LOS SISTEMAS RESISTENTES CUANDO NO HAY DISCONTINUIDAD EN LOS SISTEMAS RESISTENTES ∴ 𝑰𝒂𝒙 = 𝟏. 𝟎𝟎 CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN ALTURA REGULARIDAD ESTRUCTURAL Discontinuidad en los sistemas resistentes 0.80
  • 42. CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA Factor de Irregularidad 𝑰𝑷
  • 43. Existe irregularidad torsional, cuando, en cualquiera de las direcciones de análisis, el máximo desplazamiento relativo de entrepiso en un extremo del edificio ( ∆𝑚𝑎𝑥 ) en esa dirección, calculado incluyendo excentricidad accidental, es mayor que 1.3 veces el desplazamiento relativo promedio de los extremos del mismo entrepiso para la misma condición de carga (∆𝑝𝑟𝑜𝑚). Este criterio sólo se aplica en edificios con diafragmas rígidos y sólo si el máximo desplazamiento relativo de entrepiso es mayor que 50% del desplazamiento permisible indicado en la Tabla N° 11. CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN PLANTA REGULARIDAD ESTRUCTURAL Irregularidad Torsional 0.90
  • 44. {Q}= 16.513 28.005 23.582 0 0 0 8.257 14.003 11.791 {Q}= KLE {D} {D}= 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 = 𝐷 𝑥𝑥 𝐷 𝑦𝑥 ø 𝑧𝑥 = 0.0049 0.0087 0.0112 0.0000 0.0000 −0.0003 0.000048 0.000087 0.000121 𝑋1𝑟 = −𝐷1𝑦 ø1 = 0.00 PRIMER NIVEL: C.R(𝑋1𝑟, 𝑌1𝑟) 𝑌1𝑟 = 𝐷1𝑥 ø1 = 0.00 ∆𝑚á𝑥1 ∆𝑚𝑖𝑛1 D1Xmáx= 0.0049+0.000048(5)=0.00514 D1Xmin= 0.0049 - 0.000048(5)=0.00466 D2Xmáx= 0.0087+0.000087(5)=0.00914 D2Xmin= 0.0087 - 0.000087(5)=0.00827 D3Xmáx= 0.0112+0.000121(5)=0.01181 D3Xmin= 0.0112 - 0.000121(5)=0.01060 𝑋2𝑟 = −𝐷2𝑦 ø2 = 0.0145 𝑌2𝑟 = 𝐷2𝑥 ø2 = 0.0000 SEGUNDO NIVEL: C.R(𝑋2𝑟, 𝑌2𝑟) TERCER NIVEL: C.R(𝑋3𝑟, 𝑌3𝑟) 𝑋3𝑟 = −𝐷3𝑦 ø3 = 1.9165 𝑌3𝑟 = 𝐷3𝑥 ø3 = 0.0000 𝑪. 𝑹
  • 45. SISMO EN DIRECCION DEL EJE X - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA IRREGULARIDAD TORSIONAL PISO 𝒉𝒊 𝑫𝒊𝒙𝒎á𝒙 Δ𝒊𝒙𝒎á𝒙 𝑫𝒊𝒙𝒎𝒊𝒏 Δ𝒊𝒙𝒎𝒊𝒏 DIST. ELAST. MAX. DIST. ELAST. PROM. DIST. INELAST. MAX. DIST. INELAST. PROM. 1.3 DIST. INELAST. PROM. NORMA E.030 DIST. INELAST. MAX. > 1.3DIST.INELAST.PROM. Y N° (m) (m) (m) (m) (m) Δ𝒊𝒙𝒎á𝒙 𝒉𝒊 Δ𝒊𝒙𝒑𝒓𝒐𝒎 𝒉𝒊 0.75RΔ𝒊𝒙𝒎á𝒙 𝒉𝒊 0.75𝑹𝒙Δ𝒊𝒙𝒑𝒓𝒐𝒎 𝒉𝒊 0.975𝑹𝒙Δ𝒊𝒙𝒑𝒓𝒐𝒎 𝒉𝒊 0.5 ( 𝚫𝐢 𝐡𝐢 ) perm. DIST. INELAST. MAX. > 0.5 ( 𝚫𝐢 𝐡𝐢 ) 𝐩𝐞𝐫𝐦. 1 3.50 0.00514 0.00514 0.00466 0.00466 0.00147 0.00140 0.00881 0.00840 0.01092 0.0035 NO 2 2.90 0.00914 0.00400 0.00827 0.00361 0.00138 0.00131 0.00828 0.00787 0.01023 0.0035 NO 3 2.90 0.01181 0.00267 0.01060 0.00233 0.00092 0.00086 0.00552 0.00517 0.00672 0.0035 NO NO HAY IRREGULARIDAD TORSIONAL 𝑰𝒑𝒙 = 1.00
  • 46. La estructura se califica como irregular cuando tiene esquinas entrantes cuyas dimensiones en ambas direcciones son mayores que 20% de la correspondiente dimensión total en planta. SISMO EN DIRECCION Y - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA ESQUINAS ENTRANTES SI NO HAY I𝑹𝑹𝑬𝑮𝑼𝑳𝑨𝑹𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑷𝑶𝑹 𝑬𝑺𝑸𝑼𝑰𝑵𝑨𝑺 𝑬𝑵𝑻𝑹𝑨𝑵𝑻𝑬𝑺 ∴ 𝑰𝒑 = 𝟏. 𝟎𝟎 CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN PLANTA REGULARIDAD ESTRUCTURAL Esquinas entrantes 𝑰𝑷= 0.90
  • 47. SISMO EN DIRECCION Y - IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA DISCONTINUIDAD DEL DIAFRAGMA 𝑰𝑷 = 0.85 NO HAY DISCONTINUIDAD DEL DIAFRAGMA∴ 𝑰𝒑𝒚 = 𝟏. 𝟎𝟎 L´ A´ = L´ e L A = L e A- A´ < 25%A discontinuidades abruptas o variaciones importantes en rigidez CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN PLANTA REGULARIDAD ESTRUCTURAL Discontinuidad del diafragma 𝑰𝑷= 0.85 La estructura se califica como irregular cuando los diafragmas tienen discontinuidades abruptas o variaciones importantes en rigidez, incluyendo aberturas mayores que 50% del área bruta del diafragma. También existe irregularidad cuando, en cualquiera de los pisos y para cualquiera de las direcciones de análisis, se tiene alguna sección transversal del diafragma con un área neta resistente menor que 25% del área de la sección transversal total de la misma dirección calculada con las dimensiones totales de la planta.
  • 48. 14.2.2.4.- SISTEMAS NO PARALELOS 𝑰𝑷 = 0.90 Se considera que existe irregularidad cuando en cualquiera de las direcciones de análisis los elementos resistentes a fuerzas laterales no son paralelos. No se aplica si los ejes de los pórticos o muros forman ángulos menores que 30° ni cuando los elementos no paralelos resisten menos que 10% de la fuerza cortante del piso. CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” IRREGULARIDADES EN PLANTA REGULARIDAD ESTRUCTURAL Esquinas entrantes 𝑰𝑷= 0.90
  • 49. Categoría de la Edificación e Irregularidad Fuente: Norma E-0.30 Restricciones a la irregularidad CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 50. Sistemas de Transferencia Fuente: Norma E-0.30 Restricciones a la irregularidad CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 51. Fuente:A. Muñoz Sistemas de Aislamiento Sísmico y Sistemas de Disipación de Energía Se permite la utilización de sistemas de aislamiento sísmico o de sistemas de disipación de energía en la edificación, siempre y cuando se cumplan las disposiciones de esta Norma (mínima fuerza cortante en la base, distorsión de entrepiso máxima permisible), y en la medida que sean aplicables los requisitos del documento siguiente: “Minimum Design Loads for Building and Other Structures”, ASCE/SEI 7-10, Structural Engineering Institute of the American Society of Civil Engineers, Reston, Virginia, USA, 2010. CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 52. Consideraciones Generales para el Análisis Fuente:A. Muñoz Para estructuras Regulares: … el total de las fuerzas sísmicas actúa independientemente en dos direcciones ortogonales predominantes ( X, Y ) Para estructuras Irregulares: … la acción sísmicas ocurre en la más desfavorable para el diseño. Fuerza sísmica vertical: para elementos de grandes luces, elementos pre y postensados, voladizos. Se considera que actúa simultáneamente con la fuerza sísmica horizontal y en el sentido más desfavorable. CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 53. Para edificios con sistema asimilables a diafragmas rígidos, se podrá usar un modelo con masas concentradas y tres grados de libertad por diafragma (Dos Desplazamientos y un giro). Representar adecuadamente la distribución espacial de masas y rigideces. Fuente:A. Muñoz Modelos para el Análisis CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 54. a. En edificaciones de las categorías A y B, se tomará el 50 % de la carga viva. b. En edificaciones de la categoría C, se tomará el 25 % de la carga viva. c. En depósitos, el 80 % del peso total que es posible almacenar. d. En azoteas y techos en general se tomará el 25 % de la carga viva. e. En estructuras de tanques, silos y estructuras similares se considerará el 100 % de la carga que puede contener. P = Peso de la Edificación. El peso (P), se calculará adicionando a la carga permanente y total de la edificación un porcentaje de la carga viva o sobrecarga que se determinará de la siguiente manera: NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 55. 3.- Distribución de la Fuerza Sísmica en Altura Las fuerzas sísmicas horizontales en cualquier nivel i, correspondientes a la dirección considerada, se calcularán mediante: 𝐹𝑖 = α𝑖 . V Donde n es el número de pisos del edificio, k es un exponente relacionado con el período fundamental de vibración de la estructura (T), en la dirección considerada, que se calcula de acuerdo a: a) Para T menor o igual a 0,5 segundos: k = 1,0. b) Para T mayor que 0,5 segundos: k = (0,75 + 0,5 T) ≤ 2,0. 𝑃𝑖 = Peso del nivel i ℎ𝑖 = Altura desde el suelo al nivel i (3.1) NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 56. 4.- Efecto de torsión. La línea de acción de la fuerza horizontal en cada nivel pasa por el centro de masa (C.M.) de cada nivel. Cuando el C.M. no coincide con el centro de rigidez (C.R.) del nivel se produce entonces la torsión. La distancia en planta entre el C.R. y el C.M. se llama excentricidad de la fuerza sísmica "𝑒𝑖". . . C.R. C.M. 𝐸2𝑖 𝐸1𝑖 Posiciones de Diseño de la cortante Posición calculada de la Fuerza cortante sísmica 𝑒𝑖 / / / / / / Excentricidad en planta B 𝐹𝑖 Luego el reglamento determina el momento torsor en cada nivel según la ecuación (4.1). 𝑀𝑇𝑖 = 𝐹𝑖 x 𝐸𝑖 Donde: 𝐸𝑖 = 𝐸1𝑖 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎𝑐.𝑖 𝐸2𝑖 = 𝑒𝑖 - 𝑒𝑎𝑐.𝑖 (4.1) (4.2) (4.3) 𝑒𝑖 = excentricidad real 𝑒𝑎𝑐.𝑖 = 0.05 B se denomina excentricidad accidental del nivel i La ecuación (4.2) da los esfuerzos máximos La ecuación (4.3) da la posibilidad de inversión de esfuerzos NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 57. FORMULACION MATRICIAL DEL PROBLEMA ESTATICO NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 58. FORMULACION MATRICIAL DEL PROBLEMA ESTATICO Obteniendo la matriz de rigidez lateral del edificio 𝑲𝑳𝑬 , se puede escribir la relación fuerza – desplazamientos laterales de la siguiente manera. {Q} − {D} {Q} = 𝐾𝐿𝐸 {D} {D} = 𝐾𝐿𝐸 −1 {Q} Como el análisis sísmico se realiza en forma independiente en cada dirección. El vector {Q} se define. Sismo en dirección del eje x {Q} = 𝐹𝑖𝑥 0 0 Sismo en dirección del eje y {Q} = 0 𝐹𝑖𝑦 0 {Q} = 𝐹𝑖𝑥 0 0 0 𝐹𝑖𝑦 0 𝐹𝑖 = α𝑖 . V α𝑖 = 𝑃𝑖 (ℎ𝑖)𝑘 𝑃𝑗 (ℎ𝑗)𝑘 𝐹𝑖𝑥 y 𝐹𝑖𝑦 son vectores fuerza en las dos direcciones principales (5.0) (6.0) NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 59. 𝐹𝑖𝑥 = α𝑖 . 𝑉 𝑥 Los vectores 𝐹𝑖𝑥 y 𝐹𝑖𝑥 se determinan de acuerdo a la ecuación (3.1) y (2.1) 𝑉 𝑥 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅𝑥 P 𝐹𝑖 = α𝑖 . V α𝑖 = 𝑃𝑖 (ℎ𝑖)𝑘 𝑃𝑗 (ℎ𝑗)𝑘 Sismo en dirección del eje x 𝑉 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅 P 𝐹𝑖𝑦 = α𝑖 . 𝑉 𝑦 𝑉 𝑦 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅𝑦 P Sismo en dirección del eje y 𝐶 𝑅 ≥ 0.11 {Q} = 𝐹𝑖𝑥 0 0 {Q} = 0 𝐹𝑖𝑦 0 {Q} = 𝐹𝑖𝑥 0 0 0 𝐹𝑖𝑦 0 NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 60. Mediante la ecuación (6.0) se determinan los desplazamientos del Edificio {Q} = 𝐾𝐿𝐸 {D} {D} = 𝐾𝐿𝐸 −1 {Q} (6.0) Sismo en dirección del eje x Sismo en dirección del eje y {Q} = 𝐹𝑖𝑥 0 0 {D} = 𝐷 𝑥𝑥 𝐷 𝑦𝑥 ø 𝑧𝑥 {Q} = 0 𝐹𝑖𝑦 0 {D} = 𝐷 𝑥𝑦 𝐷 𝑦𝑦 ø 𝑧𝑦 {D} = 𝐷 𝑥𝑥 𝐷 𝑦𝑥 ø 𝑧𝑥 𝐷 𝑥𝑦 𝐷 𝑦𝑦 ø 𝑧𝑦 (7.0) NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 61. Calculo de la rigidez torsional de entrepiso Para efectuar la corrección torsional es necesario conocer la rigidez torsional de cada entrepiso; de una manera general se sabe que: Rigidez = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 Luego, si se aplica la ecuación (6.0) con un sistema de fuerzas que sean momentos torsores conocidos, se pueden hallar los desplazamientos correspondientes y luego los coeficientes de rigidez torsional. El vector de fuerzas será un momento torsor unitario en el nivel N del edificio. {Q} = 0 0 0 ⋮ 0 1 {D} = 𝐷 𝑥 𝐷 𝑦 ø 1 ⋮ ø 𝑁−1 ø 𝑁 𝑧 Giros de un edificio debido a un momento unitario en el ultimo nivel: fig. 6.1 1 NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 62. La rigidez torsional del entrepiso i “𝐾𝑡𝑖” se obtiene para el sistema de la fig. 6.1. 𝐾𝑡𝑖 = 𝑀 (ø𝑖 − ø𝑖−1 ) (8) 𝐾𝑡1 = 𝑀=1 ø1 Corrección por torsión. Tomando los vectores ø𝑧𝑥 y ø𝑧𝑦 de la ecuación (7) y aplicando las ecuaciones (8) se obtienen los torsores reales 𝑀𝑋𝑖 y 𝑀𝑌𝑖 de entrepiso producidos por acción de la fuerza 𝐹𝑖𝑥 y 𝐹𝑖𝑦 actuando independientemente. 𝑀𝑋1 = 𝐾𝑡1 x ø𝑧𝑥1 𝑀𝑌1 = 𝐾𝑡1 x ø𝑧𝑦1 𝑀𝑋𝑖 = 𝐾𝑡𝑖 x (ø𝑧𝑥𝑖 - ø𝑧𝑥(𝑖−1)) 𝑀𝑌𝑖 = 𝐾𝑡𝑖 x (ø𝑧𝑦𝑖 - ø𝑧𝑦(𝑖−1)) Para i = 2, …., N 1.- Torsores reales de entrepiso. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 63. 3.- Torsores accidentales de entrepiso. 𝑀𝐴𝐶𝑋𝑖 = 𝐹𝑖𝑥 x 𝐸𝑖𝑦 𝑀𝐴𝐶𝑌𝑖 = 𝐹𝑖𝑦 x 𝐸𝑖𝑥 La torsión accidental está dada para cada nivel y en cada sentido por: Los torsores accidentales de entrepiso son la sumatoria de los torsores de piso sobre el entrepiso considerado y son: 2.- Torsor accidental en cada nivel (piso) . 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑁 = 𝑀𝐴𝐶𝑋𝑁 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑁 = 𝑀𝐴𝐶𝑌𝑁 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑖 = 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑖+1 + 𝑀𝐴𝐶𝑋𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑖 = 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑖+1 + 𝑀𝐴𝐶𝑌𝑖 Para i = N-1, ….., 1. Luego tomando como base las normas peruanas de diseño antisísmico para la corrección por torsión, se definen las ecuaciones de los momentos torsores adicionales al vector de fuerzas en cada dirección de la siguiente manera: NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 64. Como la acción de la excentricidad está implícita en la aplicación de 𝐹𝑖𝑥 y 𝐹𝑖𝑦 en el C.M. de cada nivel 𝐸𝑖 = 𝐸1𝑖 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎𝑐.𝑖 𝐸2𝑖 = 𝑒𝑖 - 𝑒𝑎𝑐.𝑖 Como el análisis es tridimensional el efecto de la excentricidad real 𝑒𝑖 es propio del análisis, en consecuencia la excentricidad de diseño será: 𝐸1𝑖 = + 𝑒𝑎𝑐.𝑖 𝐸2𝑖 = - 𝑒𝑎𝑐.𝑖 Cuando actúa 𝐹𝑖𝑥 estos torsores adicionales son: MX1 = 𝑀𝐴𝐶𝑋𝑖 MX2 = 0, 𝑠𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑖 < 𝑀𝑋𝑖 −𝑀𝐴𝐶𝑋𝑖, 𝑠𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑋𝑖 > 𝑀𝑋𝑖 Cuando actúa 𝐹𝑖𝑦 estos torsores adicionales son: MY1 = 𝑀𝐴𝐶𝑌𝑖 MY2 = 0, 𝑠𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑖 < 𝑀𝑌𝑖 −𝑀𝐴𝐶𝑌𝑖, 𝑠𝑖 𝑀𝐴𝐶𝐸𝑌𝑖 > 𝑀𝑌𝑖 NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 65. Luego los vectores de solicitación del edificio corregidos por torsión según las normas de RNE se formaran de la siguiente manera: {Q} = 𝐹𝑖𝑥 0 𝑀𝑋1 𝐹𝑖𝑥 0 𝑀𝑋2 0 𝐹𝑖𝑦 𝑀𝑌1 0 𝐹𝑖𝑦 𝑀𝑌2 (9) {D} = 𝐾𝐿𝐸 −1 {Q} Aplicando luego la ecuación (6) y resolviendo el sistema para hallar los desplazamientos se obtiene: {D} = 𝐷 1𝑥 𝐷 2𝑥 𝐷 1𝑦 𝐷 2𝑦 (10) Que corresponde a los cuatro vectores de solicitación de la ecuación (9). 4.- Solicitaciones corregidos por torsión . 5.- Desplazamientos de los C.M. de cada nivel del edificio. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 66. 6.- Desplazamiento lateral de cada pórtico. . {d} = 𝐴 𝑃 {D} Si se tienen los desplazamientos totales de cada nivel del edificio, es posible calcular los desplazamientos laterales correspondientes de cada pórtico en su plano mediante la ecuación (2) que aquí se vuelve a escribir como: 𝑨 𝑷 = 𝐴 1𝑃 𝐴 2𝑃 : 𝐴 𝑖𝑃 : 𝐴 𝑚𝑝 Donde: Para un pórtico genérico ip tendremos: 𝑑 𝑖𝑝= 𝐴 𝑖𝑝 {D} Que son los desplazamientos del pórtico ip en su plano, debido a los cuatro vectores de solicitación del edificio. 𝑑 𝑖𝑝= 𝑑1𝑥 𝑖𝑝, 𝑑2𝑥 𝑖𝑝, 𝑑1𝑦 𝑖𝑝 , 𝑑2𝑦 𝑖𝑝 De donde se obtiene: NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 67. 7.- Fuerzas laterales en cada pórtico {q}. 𝑞 𝑖𝑝 = 𝐾𝐿 𝑑 𝑖𝑝 Habiendo determinado los desplazamientos del pórtico en su plano 𝑑 𝑖𝑝 es posible calcular es posible calcular sus correspondientes fuerzas laterales. Aplicando la ecuación de equilibrio en el sistema de coordenadas {q} - {d}: En esta etapa culmina el análisis sísmico de edificios. Conociendo 𝑞 𝑖𝑝 el análisis estructural se realiza como cualquier problema. Es obvio que si se tienen 4 vectores de desplazamiento lateral también se obtendrán 4 vectores de fuerzas laterales correspondientes. 𝐷 𝑖 = - 𝐾 𝑖𝑖 −1 𝐾 𝑖𝑟 𝐷 𝑟 NOTA: Conociendo los desplazamientos laterales 𝑑 𝑖𝑝, es posible determinar el vector de desplazamiento interno del pórtico plano 𝐷 𝑖 a través de la siguiente ecuación. 𝐷 = 𝐷 𝑟 𝐷 𝑖 = 𝑑 𝑖𝑝 𝐷 𝑖 𝑄 - 𝐷 𝐷 𝑖 = - 𝐾 𝑖𝑖 −1 𝐾 𝑖𝑟 𝑑 𝑖𝑝 Los esfuerzos en los elementos se determina por superposición. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Estático o de Fuerzas Estáticas Equivalentes
  • 68. CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR) El centro de rigidez lateral (CR), o centro de giro, se define como aquel punto del entrepiso sujeto sólo a traslación, alrededor del cual rotan y se trasladan el resto de puntos. Este punto corresponde al centro estático de las rigideces laterales de los diversos ejes estructurales que componen al entrepiso en estudio. “DISEÑO SISMORRESISTENTE”
  • 69. CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR) “DISEÑO SISMORRESISTENTE” 1.- Centro de rigidez lateral (CR) calculado en función de la rigidez lateral del entrepiso 𝑋𝑖 𝑋𝐶𝑅𝑗 𝑌𝑖 𝑌𝐶𝑅𝑗 𝑋𝐶𝑅𝑗 = 𝐾𝑦𝑖𝑋𝑖 𝐾𝑦𝑖 𝑌𝐶𝑅𝑗 = 𝐾𝑥𝑖𝑌𝑖 𝐾𝑥𝑖 j = nivel o piso i = N° de pórtico
  • 70. CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR) “DISEÑO SISMORRESISTENTE” 𝑐1= 25 x 50 cm 𝑐2= 25 x 25 cm 𝑐3= 50 x 25 cm 1 2 𝑐1 𝑐2 𝑐3 3 X Y Z 𝑐1 𝑐2 𝑐3 1 2 X Y 8m 6m 3 La estructura de concreto armado (E=2.2x106 Ton/𝑚2 ) esta conformada por una losa de 0.15 m. de espesor, soportada por 3 columnas articuladas en los extremos superiores, como se muestra en la figura. Determine: a.- El centro de rigidez d.- La excentricidad real y accidental. H=3 m. 𝑄 - 𝐷 PROBLEMA:
  • 71. 𝑐1= 25 x 50 cm 𝑐2= 25 x 25 cm 𝑐3= 50 x 25 cm 𝑐1 𝑐2 𝑐3 1 2 X Y 8m 6m 3 1 2 𝑐1 𝑐2 𝑐3 3 X Y Z 𝑌𝐶𝑅1 = 𝐾𝑥𝑖𝑌𝑖 𝐾𝑥𝑖 = 3819.42 Ton. 875.28 Ton/m. = 4.364 m. 𝐾𝑥𝑖 = 𝐾𝑥1+ 𝐾𝑥2 = 875.28 Ton/m. 𝐼1= 1 12 bℎ3 = 1 12 0.50 (0.25)3 = 0.0006510417 𝐼2= 1 12 bℎ3 = 1 12 0.25 (0.25)3 = 0.0003255208 𝐼3= 1 12 bℎ3 = 1 12 0.25 (0.50)3 = 0.0026041667 𝐾𝑥2 = 3𝐸𝐼3 𝐻3 = 636.57 Ton./m 𝐾𝑥1 = 3𝐸𝐼1 𝐻3 + 3𝐸𝐼2 𝐻3 = 159.14 + 79.57 = 238.71 Ton/m 𝐾𝑥1 𝐾𝑥2 1 𝐾𝑥𝑖 𝑌𝑖 = 𝐾𝑥1 𝑌1 + 𝐾𝑥2 𝑌2 = 0 + 636.57(6) = 3819.42 Ton. CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR) “DISEÑO SISMORRESISTENTE” E 𝐼1= 1,432.29 Ton. 𝑚2 E 𝐼2= 716.15 Ton. 𝑚2 E 𝐼3= 5,729.17 Ton. 𝑚2 1 ∆𝑖 H=3 m. 𝑉𝑖 𝐸𝐼𝑖 H=3 m. SOLUCIÓN: 𝐷1=1, 𝐷2=0, 𝐷3=0
  • 72. 𝑐1= 25 x 50 cm 𝑐2= 25 x 25 cm 𝑐3= 50 x 25 cm 𝑐1 𝑐2 𝑐3 1 2 X Y 8m 6m 3 1 2 𝑐1 𝑐2 𝑐3 3 X Y Z 𝑋𝐶𝑅1 = 𝐾𝑦𝑖𝑋𝑖 𝐾𝑦𝑖 = 1909.68 Ton. 875.28 Ton/m. = 2.182 m. 𝐾𝑦𝑖 = 𝐾𝑦1+ 𝐾𝑦2 = 875.28 Ton/m. 𝐼1= 1 12 bℎ3 = 1 12 0.25 (0.50)3 = 0.0026041667 𝐼2= 1 12 bℎ3 = 1 12 0.25 (0.25)3 = 0.0003255208 𝐼3= 1 12 bℎ3 = 1 12 0.50 (0.25)3 = 0.0006510417 𝐾𝑦1 = 3𝐸𝐼1 𝐻3 = 636.57 Ton./m 𝐾𝑦2 = 3𝐸𝐼2 𝐻3 + 3𝐸𝐼3 𝐻3 = 79.57+159.14 = 238.71 Ton/m 𝐾𝑦1 𝐾𝑦2 1 𝐾𝑦𝑖 𝑋𝑖 = 𝐾𝑦1 𝑋1 + 𝐾𝑦2 𝑋2 = 0 + 238.71(8) = 1909.68 Ton. CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR) “DISEÑO SISMORRESISTENTE” E 𝐼1= 5,729.17 Ton. 𝑚2 E 𝐼2= 716.15 Ton. 𝑚2 E 𝐼3= 1,432.29 Ton. 𝑚2 SOLUCIÓN: 𝐷1=0, 𝐷2=1, 𝐷3=0
  • 73. 4m 4m 3m 3m CM CR 1.818 1.364 CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR) “DISEÑO SISMORRESISTENTE” X Y 𝑋𝐶𝑅1=2.182 𝑌 𝐶𝑅1 = 4.364
  • 74. CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR) “DISEÑO SISMORRESISTENTE” 2.- Centro de rigidez lateral (CR) calculado mediante la matriz de rigidez lateral del edificio {Q} = 𝐾𝐿𝐸 {D} Carga unitaria en dirección de la coordenada generalizada 3n {Q} = 𝐹𝑖𝑥 𝐹𝑖𝑦 𝑀𝑖 {Q} − {D} 𝐾𝐿𝐸 {Q} = 0 0 0 ⋮ 1 {D} = 𝐷 𝑥 𝐷 𝑦 ø 𝑧 = 𝑋𝐶𝑅𝑖= −𝐷𝑦𝑖 ∅𝑖 𝑌𝐶𝑅𝑖= 𝐷𝑥𝑖 ∅𝑖
  • 75. 𝐾 = 875.28 0 −1,193.58 0 875.28 −1,591.44 −1,193.58 −1,591.44 21,882.23 𝑄 = 0 0 1 𝑄 = 𝐾 𝐷 0 0 1 = 875.28 0 −1,193.58 0 875.28 −1,591.44 −1,193.58 −1,591.44 21,882.23 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷1 𝐷2 𝐷3 = 0.0000785502843 𝑚𝑡𝑠. 0.000104733712 𝑚𝑡𝑠. 0.0000576007778 𝑟𝑎𝑑. 𝑥𝐶𝑅 = −𝛿𝑦 𝛿∅ = −0.000104733712 0.0000576007778 = -1.818 mts. 𝑦𝐶𝑅 = 𝛿𝑥 𝛿∅ = 0.0000785502843 0.0000576007778 = 1.364 mts. Por equilibrio sabemos: Donde: Reemplazando: resolviendo: 𝑐1 𝑐2 𝑐3 1 2 X Y 8m 6m 3 4m 4m 3m 3m CM CR 1.818 1.364 CENTRO DE RIGIDEZ LATERAL (CR) “DISEÑO SISMORRESISTENTE” SOLUCIÓN:
  • 76. LOS FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴 RELACION ENTRE EL COEFICIENTE DE REDUCCION DE LAS FUERZAS SISMICAS DE LA NORMA E.030 “R” CON
  • 77. Por tanto como resultado del procedimiento de diseño por Resistencia, la fuerza lateral que inicia el comportamiento inelástico de una estructura resulta mayor que la resistencia nominal de diseño requerida por una norma. A este incremento natural de resistencia lateral también contribuye el hecho que la resistencia real de las estructuras suele ser en general mayor que los valores teóricos estimados. La resistencia nominal y la fuerza lateral que inicia el comportamiento inelástico se representan con V y V1 en la figura. FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴 Sobrerresistencia , Ω
  • 78. Para el caso de edificios aporticados esto corresponde a una apropiada y paulatina secuencia de formación de rótulas. Por otro lado, el endurecimiento natural del acero y la sobrerresistencia del concreto permiten que cada elemento pueda incrementar las solicitaciones que recibe y de esta manera la estructura en su conjunto puede incrementar significativamente la fuerza máxima que puede recibir respecto a la fuerza lateral que inicia el daño. En la figura la fuerza máxima se representa por Vmax. Sobrerresistencia , Ω En un edificio bien proyectado y construido, inmediatamente después de iniciado el comportamiento inelástico, existen zonas sin daño que permiten que la resistencia lateral pueda incrementarse durante los posteriores desplazamientos inelásticos. FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴
  • 79. El incremento de resistencia lateral debida a los procedimientos de diseño, a la secuencia paulatina de propagación del daño y a la sobrerresistencia mecánica de los elementos suele ser muy importante y explica el menor daño que en general sufren las edificaciones durante sismos severos, en comparación a las estimaciones teóricas. La sobrerresistencia estructural respecto a la resistencia de diseño se representa por 𝑅Ω y se estima por el cociente Vmax / V . Sobrerresistencia , Ω La fuerza máxima que una estructura puede resistir lateralmente, Vmax , es sólo una fracción de la fuerza máxima que recibiría en un sismo severo, si pudiera comportarse elásticamente, Vmax ela . Esta reducción de resistencia origina que las estructuras sufran daño durante terremotos importantes, razón por la cual es necesario dotarlas de un apropiado comportamiento dúctil. El cociente entre la demanda elástica y la resistencia real se denomina factor de reducción por ductilidad y se representa por 𝑹𝝁.,𝑹𝝁= 𝑽𝒎á𝒙 𝒆𝒍𝒂 𝑽𝒎á𝒙 . Mientras mayor ductilidad pueda desarrollar una estructura, mayor podría ser el valor de este factor de reducción. Para establecer la resistencia lateral mínima, las NDSR toman en cuenta tanto la sobrerresistencia estructural como la reducción de resistencia por comportamiento dúctil, mediante un factor de reducción combinado, R, definido como: 𝑹𝒐 = 𝑹𝜴 𝑹𝝁 FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴
  • 80. 𝑹 = 𝑹𝟎 𝑰𝒂 𝑰𝒑 FACTORES DE REDUCCION POR DUCTILIDAD 𝑹𝝁 Y SOBRERRESISTENCIA 𝑹𝜴
  • 81. METODO DINÁMICO DE ANALISIS SISMICO
  • 82. Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico Una estructura de n grados de libertad, tendrá n modos de vibrar ∅ 𝑖. A cada forma de vibrar le corresponde una frecuencia angular, al menor valor se le denomina frecuencia fundamental. Ejemplo la estructura mostrada tiene 3 gdl. En consecuencia tendrá 3 modos de vibrar. #g.d.l = 3 1 2 3 𝑤1 𝑤2 𝑤3 < < 𝑤1 es la frecuencia fundamental. ∅ 1 ∅ 2 ∅ 3
  • 83. 1.- Formulación de la ecuación diferencial del movimiento en un sistema de n grados de libertad en un evento sísmico. 𝑋𝑇𝑛(𝑡) 𝑋𝑆(𝑡) Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de libertad, en un evento sísmico con comportamiento elástico lineal es: 𝑀 𝑋 𝑇 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = 0 (1) Desplazamiento absoluto: 𝑋 𝑇 = 𝑋𝑇1 𝑋𝑇2 ⋮ 𝑋𝑇𝑛 Desplazamiento relativo: 𝑋 = 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑛 𝑋 𝑇 = 𝑋𝑇1 𝑋𝑇2 ⋮ 𝑋𝑇𝑛 = 𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋1 𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋𝑛 = 𝑋𝑆(𝑡) 𝑋𝑆(𝑡) ⋮ 𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑛 = 1 1 ⋮ 1 𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑛 Donde: Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico
  • 84. Introduciendo la notación: ℎ = 1 1 ⋮ 1 𝑋 𝑇 = ℎ 𝑋𝑆(𝑡) + 𝑋 (2) Es el vector de compatibilidad que transforma los desplazamientos del suelo en desplazamientos correspondientes a los grados de libertad dinámicos, no siempre resulta unitario. es un vector constante, denominado también vector de transformación de desplazamientos del suelo. Tendremos: Reemplazando (2) en (1) tendremos: 𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) (3) Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de libertad, en un evento sísmico con comportamiento elástico lineal con una sola variable se da mediante la ecuación (3): Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico
  • 85. CASO PARTICULAR: Ecuación diferencial del movimiento en un análisis pseudo tridimensional 1.- Sismo en dirección del eje x ℎ = ℎ 𝑥 = 1 ⋮ 1 𝑛 0 ⋮ 0 𝑛 0 ⋮ 0 𝑛 𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 ℎ 𝑥𝑋𝑆(𝑡) (4) Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de libertad, en un evento sísmico con comportamiento elástico lineal se da mediante la ecuación: Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico
  • 86. CASO PARTICULAR: Ecuación diferencial del movimiento en un análisis pseudo tridimensional 2.- Sismo en dirección del eje y ℎ = ℎ 𝑦 = 0 ⋮ 0 𝑛 1 ⋮ 1 𝑛 0 ⋮ 0 𝑛 𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 ℎ 𝑦𝑋𝑆(𝑡) (5) Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de libertad, en un evento sísmico con comportamiento elástico lineal se da mediante la ecuación: Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico
  • 87. CASO PARTICULAR: Ecuación diferencial del movimiento en un análisis pseudo tridimensional 3.- Sismo en direcciones de los ejes x, y simultáneamente 𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 𝐻 𝑋𝑆𝑥(𝑡) 𝑋𝑆𝑦(𝑡) (6) 𝐻 = ℎ 𝑥 ℎ 𝑦 = 1 ⋮ 1 𝑛 0 ⋮ 0 𝑛 0 ⋮ 0 𝑛 0 ⋮ 0 𝑛 1 ⋮ 1 𝑛 0 ⋮ 0 𝑛 𝑋𝑆𝑥(𝑡) Por lo tanto la ecuación de equilibrio dinámico para el sistema de varios grados de libertad, en un evento sísmico en dos direcciones simultáneamente, con comportamiento elástico lineal se da mediante la ecuación: Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico
  • 88. 𝑀 𝑋 + 𝐶 𝑋 + 𝐾 𝑋 = - 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) (7) Respuesta Dinámica Elástica. La ecuación de equilibrio dinámico es igual a: Para poder determinar la respuesta dinámica elástica de la estructura será necesario resolver la ecuación (7), para lo cual desacoplaremos previamente la ecuación. Haciendo un cambio de variable: 𝑋 = ∅ 𝑍 (8) 𝑍 son las coordenadas normales Donde. ∅ es la matriz modal Reemplazando (8) en (7) 𝑀 ∅ 𝑍 + 𝐶 ∅ 𝑍 + 𝐾 ∅ 𝑍 = - 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico
  • 89. Pre multiplicando por ∅ 𝑇: ∅ 𝑇 𝑀 ∅ 𝑍 + ∅ 𝑇 𝐶 ∅ 𝑍 + ∅ 𝑇 𝐾 ∅ 𝑍 = − ∅ 𝑇 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) ∅ 1 𝑇 M ∅ 1 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 ∅ 𝑖 𝑇 M ∅ 𝑖 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 ∅ 𝑛 𝑇 M ∅ 𝑛 𝑍1 ⋮ 𝑍𝑖 ⋮ 𝑍𝑛 + ∅ 1 𝑇 C ∅ 1 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 ∅ 𝑖 𝑇 C ∅ 𝑖 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 ∅ 𝑛 𝑇 C ∅ 𝑛 𝑍1 ⋮ 𝑍𝑖 ⋮ 𝑍𝑛 + ∅ 1 𝑇 K ∅ 1 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 ∅ 𝑖 𝑇 K ∅ 𝑖 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 ∅ 𝑛 𝑇 K ∅ 𝑛 𝑍1 ⋮ 𝑍𝑖 ⋮ 𝑍𝑛 = − ∅ 1 𝑇 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) ⋮ − ∅ 𝑖 𝑇 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) ⋮ − ∅ 𝑛 𝑇 𝑀 ℎ 𝑋𝑆(𝑡) (9) Desarrollando tendremos: La ecuación (9) se encuentra completamente desacoplado y constituye “n” problemas de 1 gdl. Cada coordenada normal 𝑍𝑖(𝑡) se obtiene construyendo, con el modo respectivo, un oscilador equivalente. Respuesta Dinámica Elástica. Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico
  • 90. 𝑚𝑖 ∗ = ∅ 𝑖 𝑇 M ∅ 𝑖 : masa generalizada 𝑐𝑖 ∗ = ∅ 𝑖 𝑇 C ∅ 𝑖 : amortiguamiento generalizado 𝑘𝑖 ∗ = ∅ 𝑖 𝑇 K ∅ 𝑖 : rigidez generalizada 𝐿𝑖 = ∅ 𝑖 𝑇 𝑀 ℎ : masa participante 𝑚1 ∗ 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 𝑚𝑖 ∗ 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 𝑚𝑛 ∗ 𝑍1 ⋮ 𝑍𝑖 ⋮ 𝑍𝑛 + 𝑐1 ∗ 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 𝑐𝑖 ∗ 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 𝑐𝑛 ∗ 𝑍1 ⋮ 𝑍𝑖 ⋮ 𝑍𝑛 + 𝑘1 ∗ 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 𝑘𝑖 ∗ 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 𝑘𝑛 ∗ 𝑍1 ⋮ 𝑍𝑖 ⋮ 𝑍𝑛 = −𝐿1𝑋𝑆(𝑡) ⋮ −𝐿𝑖𝑋𝑆(𝑡) ⋮ −𝐿𝑛𝑋𝑆(𝑡) reemplazando en la ecuación (9) En general la ecuación típica es igual a: 𝑚𝑖 ∗ 𝑍𝑖 + 𝑐𝑖 ∗ 𝑍𝑖 + 𝑘𝑖 ∗ 𝑍𝑖 = -𝐿𝑖𝑋𝑆(𝑡) (10) La diferencia está en que, en este caso ya no se asume una forma, sino más bien se emplea la forma real del modo respectivo i y las propiedades generalizadas se calculan como : Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico - Respuesta Dinámica
  • 91. Las coordenadas modales 𝑍 , se determinan resolviendo la ecuación diferencial (12), usando cualquier método descrito anteriormente. Si usa el método de la integral de Duhamel. 𝑍𝑖 = - 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑤𝐷𝑖 𝑒−ξ𝑤(𝑡−λ)𝑋𝑆(λ) 𝑡 0 sin 𝑤𝐷𝑖(𝑡 − λ) dλ la aceleración en la base de este oscilador equivalente es igual al producto de la aceleración del suelo por el factor de participación del modo ( 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗) y la ecuación de equilibrio dinámico para cada oscilador equivalente es: 𝑍𝑖 + 2ξ𝑤𝑖 𝑍𝑖 +𝑤𝑖 2 𝑍𝑖 = - 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑋𝑆(𝑡) (11) 𝑋 = ∅ 𝑍 Respuesta Elástica de Estructuras: Análisis Dinámico - Respuesta Dinámica
  • 92. Si se representa con 𝑉𝑖(𝑡) la respuesta de un oscilador de masa puntual con igual periodo que el modo “i”, sometido a la aceleración original del suelo, la relación entre 𝑉𝑖(𝑡) y 𝑍𝑖 será: 𝑍𝑖(𝑡) = 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗𝑤𝐷𝑖 𝑉𝑖(𝑡) Respuesta dinámica en el tiempo por superposición modal 𝑋 = ∅ 𝑍 = ∅ 1 ∅ 2 … ∅ 𝑖 … ∅ 𝑛 𝑍1 ⋮ 𝑍𝑖 ⋮ 𝑍𝑛 Según esto, el vector de desplazamientos relativos al suelo se puede obtener en todo instante como: 𝑋 = ∅ 1𝑍1 + ∅ 2𝑍2 + ⋯ + ∅ 𝑛𝑍𝑛 (12) 𝑉𝑖(𝑡) = 1 𝜔𝑖𝐷 𝑒−ξ𝑤(𝑡−λ) 𝑋𝑆(λ) 𝑡 0 sin 𝑤𝐷𝑖(𝑡 − λ) dλ Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Dinámica en el dominio del tiempo
  • 93. Y, por tanto, la respuesta en el tiempo para toda la estructura se puede reescribir como: 𝑋 = ∅ 1 𝐿1 𝑚1 ∗ 𝑉1(𝑡)+ ∅ 2 𝐿2 𝑚2 ∗ 𝑉𝑖(𝑡)+ ⋯ + ∅ 𝑛 𝐿𝑛 𝑚𝑛 ∗ 𝑉𝑛(𝑡) (13) Podemos ver, ahora, que la respuesta en el tiempo resulta ser una combinación lineal de las formas naturales de vibración, donde el peso de cada modo está dado por dos factores (factor de participación y la función 𝑉𝑖(𝑡)). 𝑋 = 𝑋 1 + 𝑋 2 + ⋯ + 𝑋 𝑛 (14) El desplazamiento de toda la estructura a lo largo del tiempo, se puede expresar también como: En general la repuesta dinámica 𝑟 se determina en forma independiente para cada modo de vibrar 𝑟 𝑖. Al final se aplica superposición modal, de esta manera tendremos: 𝑟 = 𝑟 1 + 𝑟 2 + ⋯ + 𝑟 𝑛 (15) Donde: 𝑋 𝑖 = ∅ 𝑖 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑉𝑖(𝑡) Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Dinámica en el dominio del tiempo
  • 94. Aun cuando se pueden obtener historias de desplazamientos y fuerzas internas con relativa facilidad, cuando se trata de estructuras en el rango elástico, casi siempre es suficiente con los valores máximos de la respuesta. Se presentan los procedimientos para estimar la respuesta máxima de una estructura, en función de los valores máximos de la respuesta asociada con cada modo de vibración La historia de desplazamientos de una estructura se puede expresar como una combinación en el tiempo de las formas modales: 𝑋 = ∅ 1 𝐿1 𝑚1 ∗ 𝑉1(𝑡)+ ∅ 2 𝐿2 𝑚2 ∗ 𝑉𝑖(𝑡)+ ⋯ + ∅ 𝑛 𝐿𝑛 𝑚𝑛 ∗ 𝑉𝑛(𝑡) Consecuentemente, la máxima contribución del modo “i” en el desplazamiento de la estructura, 𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥, se calculará como: 𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ∅ 𝑖 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑆𝑑𝑖 Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta espectral Donde 𝑆𝑑𝑖, es el espectro desplazamiento
  • 95. Como: 𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ∅ 𝑖 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑆𝑑𝑖 la combinación espectral resulta: 𝑋 𝑚𝑎𝑥= 𝑋 1𝑚𝑎𝑥 + 𝑋 2𝑚𝑎𝑥 + ⋯ + 𝑋 𝑛𝑚𝑎𝑥 (16) Combinación espectral Las respuestas espectrales correspondientes de los diferentes modos de vibración, son valores máximos que se producen en instantes diferentes y, por tanto, resulta improbable que todas las respuestas máximas coincidan en el tiempo. Como la respuesta máxima se presenta en instantes diferentes, se han propuesto algunos criterios para combinar las respuestas modales máximas, con el fin de estimar la respuesta máxima de la estructura usaremos algunos conceptos estadísticos.(Respuesta máxima probable). El desplazamiento espectral de toda la estructura, se puede expresar como: En general la respuesta espectral resulta: 𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝑟 1𝑚𝑎𝑥 + 𝑟 2𝑚𝑎𝑥 + ⋯ + 𝑟 𝑛𝑚𝑎𝑥 Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta espectral
  • 96. Entonces: 𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ∅ 𝑖 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑃𝑆𝑑𝑖 En cualquier caso: 𝑆𝑑𝑖(Espectro desplazamiento) = P𝑆𝑑𝑖(Pseudo espectro desplazamiento) En el campo de ingeniería civil ξ ≤ 20 % 𝜔𝑖𝐷 ≅ 𝜔𝑖 𝑋 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ∅ 𝑖 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑃𝑆𝑑𝑖 = ∅ 𝑖 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑃𝑆𝑉𝑖 𝜔𝑖 = ∅ 𝑖 𝐿𝑖 𝑚𝑖 ∗ 𝑃𝑆𝑎𝑖 𝜔𝑖 2 Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral En general la respuesta espectral resulta: 𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝑟 1𝑚𝑎𝑥 + 𝑟 2𝑚𝑎𝑥 + ⋯ + 𝑟 𝑛𝑚𝑎𝑥
  • 97. Fuente:A. Muñoz Combinación espectral 3.- Ponderado entre la media cuadrática y la suma de valores absolutos. 𝒓𝒎𝒂𝒙 = 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 +…+ 𝒓𝒏 𝒓𝒎𝒂𝒙 = 𝒓𝟏 𝟐 + 𝒓𝟐 𝟐 + ⋯ . 𝒓𝒏 𝟐 𝒓𝑴Á𝒙 = α ∗ ( 𝒓𝟏 𝟐 + 𝒓𝟐 𝟐 + ⋯ . 𝒓𝒏 𝟐) + ß ∗ ( 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 +…+ 𝒓𝒏 𝜶 , ß son escalares menores o iguales a uno 1.- Suma de valores absolutos: 2.- Media cuadrática SRSS: 4.- Alternativamente, la respuesta máxima podrá estimarse mediante la siguiente expresión. (E-030 perú) Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral
  • 98. Probablemente, el criterio más difundido y estudiado es el de Combinación Cuadrática Completa (CQC). Se menciona en la norma E-030 del Perú. Este criterio se encuentra disponible en casi todos los programas comerciales de análisis sísmico, a los cuales debe indicarse el porcentaje de amortiguamiento que se desea emplear (generalmente, 5 o 7 % en edificios convencionales). 5.- Combinación cuadrática completa CQC: Mediante los criterios de combinación que se indican, se podrá obtener la respuesta máxima elástica esperada 𝑟 𝑚𝑎𝑥 tanto para las fuerzas internas en los elementos componentes de la estructura, como para los parámetros globales del edificio como fuerza cortante en la base, cortantes de entrepiso, momentos de volteo, desplazamientos totales y relativos de entrepiso. Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral La respuesta máxima elástica esperada 𝑟 𝑚𝑎𝑥 correspondiente al efecto conjunto de los diferentes modos de vibración empleados podrá determinarse usando la combinación cuadrática completa de los valores calculados para cada modo 𝑟 𝑖𝑚𝑎𝑥 (𝑟𝑖).
  • 99. Donde r representa las respuestas modales, desplazamientos o fuerzas. Los coeficientes de correlación están dados por: ξ , fracción del amortiguamiento crítico, que se puede suponer constante para todos los modos igual a 0,05 𝑤𝑖 , 𝑤𝑗 son las frecuencias angulares de los modos i, j 𝜌𝑖𝑗 = 8 ξ2 1+ β𝑖𝑗 β𝑖𝑗 3/2 (1−β𝑖𝑗 2 )2 +4ξ2β𝑖𝑗 (1+β𝑖𝑗 )2 β𝑖𝑗 = 𝒘𝒊 𝒘𝒋 𝑟 = 𝑟𝑖 𝜌𝑖𝑗 𝑟𝑗 𝑛 𝑗 𝑛 𝑖 Ejemplo: para n = 3 𝑟 = 𝑟1 2 + 𝑟2 2 + 𝑟3 2 + 2 𝜌12 𝑟1 𝑟2 + 2 𝜌13 𝑟1 𝑟3 + 2 𝜌23 𝑟2 𝑟3 5.- Combinación cuadrática completa CQC: Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral
  • 100. Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral
  • 101. Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral Pseudo Aceleración Espectral Elástica - E.030 𝑇𝑃 𝑇𝐿 C=2.5 ( 𝑇𝑃 𝑇 ) 𝑇𝑃 < T < 𝑇𝐿 C=2.5 ( 𝑇𝑃𝑇𝐿 𝑇2 ) T > 𝑇𝐿 C=2.5 T < 𝑇𝑃 T 𝑃𝑆𝑎𝐻 𝑃𝑆𝑎𝐻 = 𝑍. 𝑈. 𝑆. 𝐶 g Para cada una de las direcciones horizontales
  • 102. Respuesta Elástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral Pseudo Aceleración Espectral Elástica - E.030 𝑃𝑆𝑎𝑉 = 2 3 𝑍. 𝑈. 𝑆. 𝐶 g Para la direcciones vertical 𝑇𝑃 𝑇𝐿 C=2.5 ( 𝑇𝑃 𝑇 ) 𝑇𝑃 < T < 𝑇𝐿 C=2.5 ( 𝑇𝑃𝑇𝐿 𝑇2 ) T > 𝑇𝐿 C=2.5 0.2𝑇𝑃 < T < 𝑇𝑃 T 𝑃𝑆𝑎𝑉 0.2𝑇𝑃 C= 1 + 7.5 ( 𝑇𝑃 𝑇 ) T < 0.2𝑇𝑃 1
  • 103. Respuesta Inelástica de Estructuras:
  • 104. Espectros inelásticos Respuesta Inelástica de Estructuras: La respuesta máxima de un conjunto de estructuras inelásticas sometidas a un movimiento en su base puede organizarse en espectros inelásticos de dos tipos. Dependiendo de la forma como se establece la resistencia lateral de las estructuras, los espectros pueden ser de resistencia constante o de ductilidad constante. En ambos casos, el movimiento se representa por un acelerograma y se asume la misma fracción de amortiguamiento crítico para todas las estructuras. Además de los valores espectrales de desplazamiento, velocidad y aceleración, se construyen curvas de resistencia requerida por unidad de masa. Esta resistencia requerida por unidad de masa se representa por 𝑆𝑎𝑦 y puede expresarse en función del desplazamiento de fluencia como:
  • 105. 1.- Espectros de resistencia constante Espectros inelásticos Respuesta Inelástica de Estructuras: Cuando la resistencia lateral se define empleando un juego predeterminado de factores de reducción Rµ1, Rµ2, ... Rµn,, los valores espectrales se organizan en curvas; cada una de las cuales corresponde a un factor determinado. La respuesta elástica se incluye en la curva Rµ1 = 1. El juego de curvas constituye el espectro de resistencia constante del acelerograma empleado. La figura muestra el espectro de resistencia requerida por unidad de masa, para un acelerograma peruano obtenido en el terremoto de 1970, escalado a 0.4g.; se empleó 5% de amortiguamiento y factores de reducción Rµ = 1, 2.5, 4, 6, 7.5, 10.
  • 106. Demandas de resistencia para factores de reducción de fuerza sísmica de Rµ=1, 2.5, 4, 6, 7.5 y 10; señal mayo 70, componente N08E, escalada a 0.4 g Espectros inelásticos Espectro de aceleración 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟏
  • 107. Espectros de resistencia constante Espectros inelásticos Espectros de desplazamientos totales para factores de reducción de fuerza sísmica de Rµ=1, 2.5, 4, 6, 7.5 y 10; señal mayo 70, componente N08E, escalada a 0.4 g Periodo (s) Espectro de desplazamiento 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 2
  • 108. 2.- Espectros de ductilidad constante Espectros inelásticos Respuesta Inelástica de Estructuras: Un espectro de este tipo muestra la respuesta máxima de estructuras con igual amortiguamiento, en las cuales la ductilidad demandada alcanza valores preestablecidos 𝜇1, 𝜇2, . . 𝜇𝑛. Los valores espectrales se organizan en curvas; cada una de las cuales corresponde a un valor de ductilidad 𝜇𝑖. La respuesta elástica se incluye en la curva correspondiente a 𝜇1= 1. La figura muestra los espectros de resistencia requerida correspondientes a una señal peruana representativa, escalada a 0.4 g ; se usó 5 % de amortiguamiento y valores de ductilidad 𝜇 =1, 1.5, 2, 3, 5, 10. Periodo (s)
  • 109. Espectros de ductilidad constante Espectros inelásticos Espectro de resistencia demandada para valores de ductilidad constante = 1, 1.5, 2, 3, 5 y 10; señal mayo 70 N08E Periodo (s) Espectro de aceleración 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 3
  • 110. Espectros de ductilidad constante Espectros inelásticos Espectro de desplazamientos para valores de ductilidad constante = 1, 1.5, 2, 3, 5 y 10; señal mayo 70 N08E Espectro de desplazamiento Periodo (s) 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 4
  • 111. Relación ductilidad - factor de reducción Espectros inelásticos Periodo (s) Demandas de ductilidad para factores de reducción de fuerza sísmica de Rµ=1, 2.5, 4, 6, 7.5 y 10; señal mayo 70 N08E Se observa que, en la zona de periodos cortos (0,≈0.3), las demandas de ductilidad, 𝜇, son elevadas y numérica-mente muy altas en relación con los valores del factor de reducción de fuerza sísmica, Rµ. En cambio, para periodos de 0.5 seg. o más, la ductilidad demandada es moderada y numéricamente comparable al factor de reducción. 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 5
  • 112. Relación ductilidad - factor de reducción Espectros inelásticos Ductilidad Demandada (𝜇) Factor de Reducción (𝑅𝜇) El gráfico: muestra la relación - Rµ extraída del espectro anterior para 6 estructuras específicas cuyos periodos están entre 0.1 y 2 seg. Factor de reducción y ductilidad demandada para estructuras en las tres zonas del espectro; señal mayo 70 N08E Se observa que, para las estructuras de periodo T=0.9 seg. y T=2 seg (curvas inferiores en la figura), los valores de Rµ se mantienen aproximadamente propor- cionales a los valores de 𝜇. En cambio, para las estructuras de periodos cortos (curvas superiores), la figura sugiere que la ductilidad crece con una potencia de Rµ. Los ejemplos estudiados muestran que la relación 𝜇 – Rµ es compleja y fuertemente dependiente de la zona de periodos que se considere. Para fines prácticos, es necesario representar esta relación mediante expresiones sencillas en cada zona del espectro. 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 6
  • 113. Espectros inelásticos Expresiones sencillas para la relación 𝜇 - Rµ Usando los desplazamientos espectrales presentados en la figura 2, se determinó el cociente entre el desplazamiento de cada estructura inelástica asociada con un valor de R y el desplazamiento de la correspondiente estructura elástica del mismo periodo. Los resultados se muestran en la figura 7. 𝑆 𝑑 inelastico/ 𝑆 𝑑 elástico Periodo (seg) Factor de amplificación de la respuesta inelástica con relación a la respuesta elástica para factores de reducción de Rµ=1, 2.5, 4, 6.0, 7.5 y 10; señal mayo 70 N08E Figura 7
  • 114. Espectros inelásticos Expresiones sencillas para la relación 𝜇 - Rµ Para periodos medios y largos, 0.5 en adelante, se observa que el cociente entre los desplazamientos espectrales, correspondientes a una estructura inelástica y a otra estructura elástica del mismo periodo, es un valor cercano a la unidad. Por tanto, con el fin de obtener una expresión sencilla que relacione la ductilidad demandada y el factor reducción, podemos suponer que ambos desplazamientos tienen el mismo valor. La figura 8 muestra la historia fuerza-desplazamiento para dos estructuras del mismo periodo, una elástica y la otra inelástica; los trazos resaltados corresponden a los intervalos en que se producen los desplazamientos máximos. Como ambas estructuras son de periodo largo, además de tener el mismo valor de periodo, sus desplazamientos máximos alcanzan valores similares. Figura 8 Relaciones fuerza desplazamiento para dos estructuras con el mismo valor de periodo largo, una elástica y otra inelástica 𝑋max 𝑒𝑙𝑎 = 𝐹max 𝑒𝑙𝑎 𝐾 = 𝑅𝜇𝑉𝑦 𝐾 𝑋𝑦 𝑋max 𝑖𝑛𝑒𝑙 = 𝜇 𝑋𝑦 = 𝜇 𝑉𝑦 𝐾 𝑅𝜇 = 𝐹max 𝑒𝑙𝑎 𝑉𝑦 K Como se trata de estructuras de periodo largo 𝑋max 𝑒𝑙𝑎= 𝑋max 𝑖𝑛𝑒𝑙 𝜇 = 𝑅𝜇 Para periodos medios y largos
  • 115. La figura 9 muestra los desplazamientos y fuerzas máximas en dos estructuras de igual periodo. Una estructura tiene comportamiento linealmente elástico y, para la otra, se ha supuesto comportamiento elastoplástico perfecto. Como se trata de estructuras de periodo corto, el desplazamiento máximo de la estructura inelástica es significativamente mayor que el correspondiente desplazamiento de la estructura elástica. Espectros inelásticos Expresiones sencillas para la relación 𝜇 - Rµ Relación fuerza- desplazamiento para una estructura elástica y otra inelástica de igual periodo en la zona de aceleraciones Figura 9 Con el fin de obtener una expresión sencilla para la relación 𝜇 – 𝑅𝑢 , se puede suponer que la energía de deformación máxima que alcanza la estructura elástica es similar al trabajo que la estructura inelástica tendría que desarrollar en un recorrido continuo desde su posición indeformada hasta alcanzar el desplazamiento máximo. Con relación a figura 6.30, esto equivale a igualar el área del triángulo OAB con el área del cuadrilátero OCDE: 𝜇 = 1 2 (𝑅𝜇 2 + 1)
  • 116. Espectros inelásticos Expresiones sencillas para la relación 𝜇 - Rµ La figura 10 muestra las dos expresiones sencillas obtenidas para la relación 𝜇 -𝑅𝜇, junto a los valores para 6 estructuras sometidas a un acelerograma registrado en suelo duro, durante un terremoto de subducción. Relación - Rµ, expresiones sencillas y 6 casos de estructuras entre 0.1 y 2 seg de periodo Figura 10 Se observa que las curvas correspondientes a T=0.9 y T=2.0 seg pueden ser aceptablemente aproximadas por la expresión 𝜇 = Rµ, deducida para periodos largos. Sin embargo, las curvas correspondientes a las estructuras de periodo corto muestran diferencias importantes respecto de la ecuación 𝜇 = (Rµ²+1) / 2. La relación 𝜇 - Rµ es compleja y dependiente de muchos factores; sin embargo, para fines prácticos se maneja con expresiones sencillas, como las mostradas en este acápite.
  • 118. Respuesta espectral inelástica Las estructuras convencionales tienen una resistencia lateral menor que la fuerza máxima que los sismos severos impondrían en una estructura ideal elástica; por tanto, en terremotos fuertes, estas estructuras se verán demandadas más allá del rango elástico. Los espectros inelásticos, junto a las características propias de cada estructura, permiten estimar el desplazamiento de respuesta, la ductilidad demandada y el factor de reducción correspondiente a estos eventos. La figura 11 presenta el problema. Figura 11 Respuesta espectral inelástica
  • 119. A manera de ejemplo, estimemos la respuesta de una estructura de 500 ton de peso, rigidez K= 12500 ton/m y resistencia lateral Vy = 165 ton, sometida a un movimiento sísmico representado por el espectro de ductilidad constante mostrado en la figura Respuesta espectral inelástica Estructura inelástica sometida a un movimiento sísmico representado por un espectro de ductilidad constante
  • 120. El periodo de la estructura se estima en: T=2𝜋 𝑀 𝐾 = 0.4 seg. Respuesta espectral inelástica Si la estructura pudiera comportarse elásticamente durante este evento, alcanzaría una aceleración espectral Say = 0.7𝑔 ( curva = 1, T= 0.4 ); por tanto, recibiría una fuerza máxima 𝑉𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎 = 0.7𝑔 x M = 0.7 x Peso 𝑉𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎= 0.7 x 500 = 350 ton y alcanzaría un desplazamiento de 𝑋𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎 = 𝑉𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎 𝐾 = 350 12,500 = 2.8 cm. Como la estructura tiene una resistencia lateral de sólo 𝑉 𝑦=165 ton, le corresponde un factor de reducción de 𝑅𝜇 = 𝑉𝑚á𝑥 𝑒𝑙𝑎 𝑉𝑦 = 350 165 = 2.12 La resistencia real de la estructura por unidad de masa (espectro aceleración 𝑆𝑎𝑦) es 𝑆𝑎𝑦 = 𝑽𝒚 𝒎 = 𝟏𝟔𝟓 𝟓𝟎𝟎/𝒈 =0.33g Ubicando en el espectro este valor para T = 0.4 seg, vemos que la ductilidad demandada será un valor entre 3 y 5; interpolado, obtenemos un valor aproximado de 𝜇 = 3.6. Como el desplazamiento de fluencia es 𝑋𝑦 = 𝑉𝑦 𝐾 = 165 12,500 =1.32 cm, el desplazamiento máximo esperado será de 𝑋𝑚á𝑥 𝑖𝑛𝑒 = 𝜇 𝑋𝑦 𝑋𝑚á𝑥 𝑖𝑛𝑒 = 3.6 x 1.32 = 4.8 cm.
  • 121. usando espectros inelásticos de demanda Respuesta espectral inelástica
  • 122. Respuesta espectral inelástica usando espectros inelásticos de demanda Existen procedimientos para estimar la demanda inelástica empleando el espectro de capacidad estructural junto a un juego de curvas espectrales de ductilidad constante en formato de demanda (𝑆𝑑 - 𝑆𝑎𝑦). La figura 11 muestra las curvas de demanda correspondientes al juego de ductilidades = 1, 3, 4, 5 y 6 junto al espectro de capacidad de una estructura. En el espectro de capacidad, a cada desplazamiento lateral corresponde una ductilidad que la estructura debe desarrollar; usando círculos (“•”), se han resaltado los puntos de la esta curva correspondientes a ductilidades de 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Las intersecciones de la curva de capacidad con las curvas de demanda se muestran resaltados con un aspa (“x”). Como se nota fácilmente, los valores de ductilidad de las curvas no corresponden a los valores de ductilidad en el espectro de capacidad.
  • 123. Respuesta espectral inelástica usando espectros inelásticos de demanda Figura 11 Respuesta inelástica usando espectros de demanda y capacidad Siguiendo el espectro de capacidad de izquierda a derecha vemos que, conforme crece el desplazamiento lateral crece la ductilidad que tendría que desarrollar la estructura (puntos en “•”). En cambio, si nos fijamos en las intercepciones del espectro de capacidad con las curvas de demanda (puntos en “x” ), vemos que, de izquierda a derecha la ductilidad de cada curva decrece. El desplazamiento de respuesta se debe encontrar en la intersección del espectro de capacidad con una curva de demanda cuyo valor de ductilidad sea igual al valor que la estructura debe desarrollar para tal desplazamiento de respuesta. La figura 11.b muestra el procedimiento para encontrar la respuesta. Se construyen curvas ductilidad- desplazamiento correspondientes a la capacidad estructural (“•”) y a la demanda (“x”); la ductilidad y desplazamiento espectral buscados corresponden a la intersección de estas curvas. Cuando se trata de edificios de varios pisos, el desplazamiento del nivel más alto se obtiene luego como X =( 𝐿 𝑚∗) 𝑆𝑑. ( b )
  • 124. usando espectros de amortiguamiento variable Respuesta espectral inelástica
  • 125. Respuesta espectral inelástica usando espectros de amortiguamiento variable Existen aproximaciones que permiten estimar la respuesta inelástica de una estructura empleando un modelo elástico de mayor periodo y amortiguamiento que la estructura. El incremento en el periodo intenta estimar la pérdida de rigidez de la estructura durante un movimiento severo; el incremento del amortiguamiento trata de representar la disipación de energía histerética mediante energía de amortiguamiento. A mayores incursiones inelásticas, el periodo del modelo elástico y el amortiguamiento equivalente crecen. Debido al incremento del amortiguamiento equivalente, la demanda elástica equivalente decrece. Esto permite establecer, para cada nivel de desplazamiento lateral de la estructura inelástica, un amortiguamiento equivalente y, luego, una demanda elástica reducida. De este modo, es posible construir una curva denominada espectro de amortiguamiento variable (EDAV) en formato de demanda. El uso conjunto del espectro de capacidad de la estructura y el espectro de amortiguamiento variable permiten estimar la respuesta estructural inelástica.
  • 126. La figura muestra la curva de capacidad de una estructura en la cual, para distintos valores del desplazamiento lateral, se asocia un periodo efectivo, un amortiguamiento equivalente y un valor del espectro elástico reducido por amortiguamiento. La curva que une los nuevos valores espectrales reducidos por ductilidad (EDAV) se intersecta con la curva de capacidad de la estructura para encontrar la respuesta espectral (𝑆𝑑) y luego el desplazamiento del techo por medio de factor de participación ( 𝐿 𝑀∗) Respuesta espectral inelástica usando espectros de amortiguamiento variable Determinación de la respuesta espectral usando el espectro de capacidad de la estructura y un espectro de amortiguamiento variable (EDAV)
  • 127. Respuesta usando espectros elásticos y factores de ajuste
  • 128. Este método permite estimar el desplazamiento máximo de un edificio bajo solicitaciones sísmicas representadas por espectros elásticos. El desplazamiento del nivel superior, , se obtiene usando el desplazamiento espectral correspondiente al periodo fundamental, junto a factores que permiten el paso hacia el edificio como sistema de varios grados de libertad y en régimen inelástico. La figura muestra el procedimiento general. Respuesta espectral inelástica usando espectros elásticos y factores de ajuste x ( 𝑳 𝑴∗) x 𝑪𝑹 x 𝑪𝑫 x 𝑪𝑷−𝑨 Respuesta inelástica espectral usando factores de ajuste
  • 129. El factor ( 𝑳 𝑴∗) es propio de cada edificio y permite pasar del oscilador de un grado de libertad hacia el sistema de varios grados de libertad en régimen elástico. Cuando el modo fundamental tiene fuerte importancia en la respuesta del edificio, (como cuando la masa participante es 80 % o más de la masa total), el cálculo de ( 𝑳 𝑴∗) puede hacerse usando la forma de vibración fundamental. Es posible también emplear formas asociadas a sistemas de cargas o desplazamientos preestablecidos. Respuesta espectral inelástica usando espectros elásticos y factores de ajuste Para edificios de un piso el valor de 𝑳 𝑴∗ es 1, para edificios bajos (4 ó 7 pisos) el valor es cercano a 1.3 y para edificios altos (12 o más pisos) pueden usarse valores cercanos a 1.4. El factor CR incorpora el efecto del comportamiento inelástico estable, sin degradación; sus valores corresponden al cociente entre el desplazamiento máximo de un modelo bilineal y el correspondiente desplazamiento de un modelo elástico. Se conoce que para osciladores de periodo largo, el desplazamiento máximo que se obtienen con un modelo bilineal es similar al correspondiente valor obtenido con un modelo elástico; en cambio para osciladores de periodo corto, el valor del desplazamiento de un modelo bilineal es mayor al de un modelo elástico. Por tanto para estructuras de periodo largo se asume CR = 1 y para estructuras de periodo corto, mediante ajustes estadísticos se obtienen funciones que dependen tanto del factor de reducción de fuerza sísmica como del propio periodo estructural en relación al periodo del suelo.
  • 130. El factor 𝐶𝑅 incorpora el efecto del comportamiento inelástico estable, sin degradación; sus valores corresponden al cociente entre el desplazamiento máximo de un modelo bilineal y el correspondiente desplazamiento de un modelo elástico. Se conoce que para osciladores de periodo largo, el desplazamiento máximo que se obtienen con un modelo bilineal es similar al correspondiente valor obtenido con un modelo elástico; en cambio para osciladores de periodo corto, el valor del desplazamiento de un modelo bilineal es mayor al de un modelo elástico. Por tanto para estructuras de periodo largo se asume 𝐶𝑅 = 1 y para estructuras de periodo corto, mediante ajustes estadísticos se obtienen funciones que dependen tanto del factor de reducción de fuerza sísmica como del propio periodo estructural en relación al periodo del suelo. Respuesta espectral inelástica usando espectros elásticos y factores de ajuste Durante sismos severos la rigidez y resistencia lateral de algunas estructuras pueden reducirse considerablemente dependiendo de las características del propio sistema estructural y del nivel de desplazamiento lateral que la estructura alcance. El factor 𝐶𝐷 intenta tomar en cuenta tanto la forma de la curva fuerza desplazamiento como su variación durante el movimiento, en relación a los resultados de modelos bilineales. Para estructuras diseñadas y construidas con requerimientos moderados y especiales de ductilidad se sugiere 𝐶𝐷 = 1; para estructuras sin consideraciones especiales de ductilidad puede usarse 𝐶𝐷 = 1.3 ó 1.5 según el nivel de desplazamiento que se alcance en la curva de capacidad.
  • 131. Respuesta Pseudo espectral Inelástica – E.030 Respuesta espectral inelástica
  • 132. Respuesta Inelástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral Inelástica – E.030 Pseudo Aceleración Espectral Inelástica - E.030 𝑇𝑃 𝑇𝐿 C=2.5 ( 𝑇𝑃 𝑇 ) 𝑇𝑃 < T < 𝑇𝐿 C=2.5 ( 𝑇𝑃𝑇𝐿 𝑇2 ) T > 𝑇𝐿 C=2.5 T < 𝑇𝑃 T 𝑃𝑆𝑎𝐻 𝑃𝑆𝑎𝐻 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅 𝑔 Para cada una de las direcciones horizontales
  • 133. Para la direcciones vertical 𝑇𝑃 𝑇𝐿 C=2.5 ( 𝑇𝑃 𝑇 ) 𝑇𝑃 < T < 𝑇𝐿 C=2.5 ( 𝑇𝑃𝑇𝐿 𝑇2 ) T > 𝑇𝐿 C=2.5 0.2𝑇𝑃 < T < 𝑇𝑃 T 𝑃𝑆𝑎𝑉 0.2𝑇𝑃 C= 1 + 7.5 ( 𝑇𝑃 𝑇 ) T < 0.2𝑇𝑃 1 Respuesta Inelástica de Estructuras: Respuesta Pseudo espectral Inelástica – E.030 Pseudo Aceleración Espectral Inelástica - E.030 𝑃𝑆𝑎𝑉 = 2 3 ( 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅 ) 𝑔
  • 134. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Dinámico Modal Espectral Modos de Vibración Los modos de vibración podrán determinarse por un procedimiento de análisis que considere apropiadamente las características de rigidez y la distribución de las masas. En cada dirección se considerarán aquellos modos de vibración cuya suma de masas efectivas sea por lo menos el 90 % de la masa total, pero deberá tomarse en cuenta por lo menos los tres primeros modos predominantes en la dirección de análisis. La masa efectiva correspondiente al modo de vibración i equivale a: 𝐿𝑖 2 𝑚𝑖 ∗ Aceleración Espectral Para cada una de las direcciones horizontales analizadas se utilizará un espectro inelástico de pseudo aceleraciones definido por: 𝑆𝑎 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅 g
  • 135. Aceleración Espectral NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Dinámico Modal Espectral 𝑆𝑎𝑥 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅𝑥 g Sismo en dirección del eje x 𝑆𝑎 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅 g 𝑆𝑎𝑦 = 𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅𝑦 g Sismo en dirección del eje y 𝑋𝑆𝑥(𝑡)
  • 136. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Análisis Dinámico Modal Espectral Fuerza Cortante Mínima Para cada una de las direcciones consideradas en el análisis, la fuerza cortante en el primer entrepiso del edificio no podrá ser menor que el 80 % del 𝑉𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 para estructuras regulares, ni menor que el 90 % del 𝑉𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 para estructuras irregulares. Si fuera necesario incrementar el cortante para cumplir los mínimos señalados, se deberán escalar proporcionalmente todos los otros resultados obtenidos, excepto los desplazamientos.
  • 137. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Requisitos de Rigidez, Resistencia y Ductilidad Determinación de Desplazamientos Laterales Para estructuras regulares, los desplazamientos laterales se calcularán multiplicando por 0,75 R los resultados obtenidos del análisis lineal y elástico con las solicitaciones sísmicas reducidas. Para estructuras irregulares, los desplazamientos laterales se calcularán multiplicando por 0,85 R los resultados obtenidos del análisis lineal elástico. Para el cálculo de los desplazamientos laterales no se considerarán los valores mínimos de C/R indicados en el numeral 28.2
  • 138. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Requisitos de Rigidez, Resistencia y Ductilidad Desplazamientos Laterales Relativos Admisibles El máximo desplazamiento relativo de entrepiso, calculado según el articulo 31, no deberá exceder la fracción de la altura de entrepiso (distorsión) que se indica en la Tabla N° 11.
  • 139. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Requisitos de Rigidez, Resistencia y Ductilidad Separación entre Edificios (s) Toda estructura debe estar separada de las estructuras vecinas, desde el nivel del terreno natural, una distancia mínima s para evitar el contacto durante un movimiento sísmico. Esta distancia no será menor que los 2/3 de la suma de los desplazamientos máximos de los edificios adyacentes ni menor que: s = 0,006 h ≥ 0,03 m Donde h es la altura medida desde el nivel del terreno natural hasta el nivel considerado para evaluar s.
  • 140. NORMA TÉCNICA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” Requisitos de Rigidez, Resistencia y Ductilidad Separación entre Edificios (s) El edificio se retirará de los límites de propiedad adyacentes a otros lotes edificables, o con edificaciones, distancias no menores de 2/3 del desplazamiento máximo calculado según el Articulo 33 ni menores que s/2 si la edificación existente cuenta con una junta sísmica reglamentaria. En caso de que no exista la junta sísmica reglamentaria, el edificio deberá separarse de la edificación existente el valor de s/2 que le corresponde más el valor s/2 de la estructura vecina. 𝑆 = 𝑆𝐿1 + 𝑆𝐿2
  • 141. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO
  • 142. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO Mientras mas compleja es la estructura, mas difícil resulta predecir su comportamiento sísmico. Por esta razón, es aconsejable que la estructuración sea lo mas simple y limpia posible, de manera que la idealización necesaria para su análisis sísmico se acerque lo mas posible a la estructura real. Los principales criterios que es necesario tomar en cuenta para lograr una estructura sismo-resistente, son: 1) Simplicidad y simetría 2) Resistencia y ductilidad 3) Hiperestaticidad y monolitismo 4) Uniformidad y continuidad de la estructura 5) Rigidez lateral 6) Diafragma rígido 7) Elementos no estructurales 8) Cimentación 9) Diseño en concreto armado
  • 143. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 1) Simplicidad y simetría La experiencia ha demostrado repetidamente que las estructuras simples se comportan mejor durante los sismos. Hay dos razones principales para que esto sea así: – Primero, nuestra habilidad para predecir el comportamiento sísmico de una estructura es marcadamente mayor para las estructuras simples que para las complejas; – Segundo, nuestra habilidad para idealizar los elementos estructurales es mayor para las estructuras simples que para las complicadas. Cuando las estructuras son complejas existen dificultades en el modelo a realizar, haciéndose simplificaciones que no permiten asegurar la similitud del modelo y el comportamiento real.
  • 144. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 1) Simplicidad y simetría La simetría de la estructura en dos direcciones es deseable por las mismas razones; la falta de simetría produce efectos torsionales que son difíciles de evaluar y pueden ser muy destructivos. Las fuerzas de sismo se podrán idealizar actuando en el centro de masas de cada piso, mientras las fuerzas que absorben los elementos estarán ubicadas en el centro de rigidez; si no existe coincidencia entre el centro de masas y el centro de rigidez el movimiento sísmico no solo ocasionará un movimiento de traslación, sino adicionalmente un giro en la planta estructural (torsión), la cual hace incrementar los esfuerzos debidos al sismo.
  • 145. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 2) Resistencia y ductilidad Las estructuras deben tener resistencia sísmica adecuada en todas las direcciones. El sistema de resistencia sísmica debe existir por lo menos en dos direcciones ortogonales o aproximadamente ortogonales, de tal manera que se garantice la estabilidad tanto de la estructura como un todo, como de cada uno de sus elementos. La característica fundamental de la solicitación sísmica es su eventualidad. Ello se traduce en que un determinado nivel de esfuerzos se produce en la estructura durante un corto tiempo. Por esta razón, las fuerzas de sismo se establecen para valores intermedios de la solicitación, confiriendo a la estructura una resistencia inferior a la máxima necesaria, debiendo complementarse el saldo otorgándole una adecuada ductilidad. Esto requiere preparar a la estructura para ingresar en una etapa plástica, sin que se llegue a la falla.
  • 146. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 2) Resistencia y ductilidad
  • 147. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 2) Resistencia y ductilidad Los criterios de ductilidad deben también extenderse al dimensionamiento por corte, ya que en el concreto armado la falla por corte es de naturaleza frágil. Para lograr este objetivo, debe verificarse en el caso de una viga, que la suma de los momentos flectores extremos divididos por la luz sea menor que la capacidad resistente al corte de la viga; y en general, para cualquier elemento, que la resistencia proporcionada por corte sea mayor que la resistencia proporcionada por flexión. Al diseñar una estructura de concreto armado, debe garantizarse que la falla se produzca por f1uencia del acero y no por compresión del concreto.
  • 148. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 3) Hiperestaticidad y monolitismo Como concepto general de diseño sismo-resistente, debe indicarse la conveniencia de que las estructuras tengan una disposición hiperestática. Ello logra una mayor capacidad resistente, al permitir que, por producción de rótulas plásticas, se disipe en mejor forma la energía sísmica y, por otra parte, al aumentar la capacidad resistente se otorga a la estructura un mayor grado de seguridad. En el diseño de estructuras donde el sistema de resistencia sísmica no sea hiperestático, es necesario tener en cuenta el efecto adverso que implicaría la falla de uno de los elementos o conexiones en la estabilidad de la estructura.
  • 149. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 4) Uniformidad y continuidad de la estructura
  • 150. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 4) Uniformidad y continuidad de la estructura Irregularidad piso blando
  • 151. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 5) Rigidez lateral Para que una estructura pueda resistir fuerzas horizontales sin tener deformaciones importantes, será necesario proveerla de elementos estructurales que aporten rigidez lateral en sus direcciones principales. Las deformaciones importantes durante un sismo, ocasionan mayor efecto de pánico en los usuarios de la estructura, mayores daños en los elementos no estructurales y en general mayores efectos perjudiciales, habiéndose comprobado un mejor comportamiento en estructuras rígidas que en estructuras flexibles. Buscar que además de tener una adecuada rigidez lateral, exista rigidez torsional en la estructura.
  • 152. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 6) Diafragma rígido
  • 153. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 7) Elementos no estructurales En algunos casos la tabiquería puede presentar efectos nocivos en la estructura; así tenemos por ejemplo el caso de tabiquería colocada en forma asimétrica en planta, o tabiquería que produce columnas cortas (ventanas altas). En estos casos debe corregirse estos defectos mediante la independización de los tabiques o mediante la inclusión de otros elementos de concreto armado que anulen los efectos mencionados. Si la estructura está conformada básicamente por pórticos, con abundancia de tabiquería, esta no se podrá despreciar en el análisis, pues su rigidez será apreciable, obteniéndose una rigidez del conjunto tabiquería-pórticos muy diferente a la de los pórticos solamente. En estos casos se deberá realizar el análisis usando modelos estructurales que incluyan la tabiquería.
  • 154. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 8) Cimentación La regla básica respecto a la resistencia sísmica de la cimentación es que se debe obtener una acción integral de la misma durante un sismo; además de las cargas verticales que actúan, los siguiente factores deberán considerarse respecto al diseño de la cimentación: a) Transmisión del cortante basal de la estructura al suelo. b) Provisión para los momentos de volteo. c) Posibilidad de movimientos diferenciales de los elementos de la cimentación. d) Licuefacción del subsuelo. Cuando una estructura está cimentada sobre dos tipos diferentes de suelos los cuidados deben ser mayores para obtener una acción integral. Mientras menos rígidos sean los terrenos de cimentación es mayor la importancia de considerar la posibilidad de giro de la cimentación, el cual afecta desde la determinación del período de vibración, el coeficiente sísmico, la distribución de fuerzas entre placas y pórticos y la distribución de esfuerzos en altura (distintos pisos) hasta los diseños de los diferentes elementos estructurales.
  • 155. CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN EN EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO 9) Diseño en concreto armado Las consideraciones mas importantes para el diseño sismo-resistente son: a) En el diseño por flexión buscar la falla por tracción evitando la falla por compresión, limitando la cuantía de acero a valores que proporcionen ductilidad adecuada. b) En un elemento sometido a flexión y cortante, dar más capacidad por cortante buscando evitar la falla por cortante. Esta es frágil mientras que la falla por flexión es dúctil. c) En un elemento comprimido o en zonas donde existen compresiones importantes (máximo momento) confinar al concreto con refuerzo de acero transversal; ejerciendo éste por reacción, una presión de confinamiento, la cual evita el desprendimiento del núcleo aumentando la capacidad de deformación en la etapa plástica (ductilidad) si el refuerzo y su confinamiento son adecuados.