SlideShare a Scribd company logo
1
Caro (a) aluno (a), segue um resumo dos principais tópicos de Matemática da Educação básica. Ao final de
cada tópico deixo um “testando seus conhecimentos”, gostaria que fizesse e não se limite somente aos
exercícios deixados, pesquise e realize outros.
Um abraço, Julio Cordeiro Guimarães
O sistema de numeração
O sistema de numeração que usamos é chamado de indo –arábico. Seus símbolos e regras foram inventados pelo
antigo povo indiano e aperfeiçoados pelos árabes. O matemático árabe do século IX, Al-Khwarizmi, foi um dos
responsáveis pela divulgação desse sistema na Europa. “É do nome dele que vem o nome algarismo”. Do século IX
ao XV, quase ninguém gostava de fazer cálculos com esses algarismos. Isso mudou com a invenção da imprensa e
com a expansão do comércio.
A contagem que utilizamos com agrupamentos de 10 em 10, teve a contribuição dos árabes até nos símbolos 1, 2, 3,
,4, 5,6, ,7, 8 e 9. O zero só foi descoberto mais tarde (século XIII d.c). Esses símbolos são chamados de algarismos e
compõem o sistema de numeração decimal.
Testando seus conhecimentos
1) Henrique escreveu a sequência de números naturais de 1 a 170. Quantos algarismos Henrique escreveu?
2) As letras A, B e C representam algarismos distintos na adição a seguir.
Entre as alternativas abaixo qual delas apresenta respectivamente os algarismos relativos a A, B e C
a) 1,4 e 8
b) 2,3 e 5
c) 4,5 e 6
d) 1,3 e 9
e) 1,6 e 5
Números romanos
No sistema de numeração romano, todo símbolo colocado à direita de outro de valor igual ou maior é somado ao
valor daquele símbolo que está à esquerda. Por exemplo: VIII = 5+1+1+1. Os algarismos romanos são usados
principalmente:
Nos números de capítulos uma obra.
Nas cenas de um teatro.
Nos nomes de papas e imperadores.
Na designação de congressos, olimpíadas, assembleias...
Regras
A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores:
LetrasValores
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.
Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior.
Exemplos:
VI = 6
XXI = 21
LXVII = 67
A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes
subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades.
2
Exemplos:
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900
Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via a letra "I" ou a
"X" até quatro vezes seguidas.
Exemplos:
XIII = 13
XIV = 14
XXXIII = 33
XXXIV = 34
As letras "V", "L" e "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado.
Exemplos:
X = 10
C = 100
M = 1.000
Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela.
Exemplos:
XIX = 19
LIV = 54
CXXIX = 129
O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos.
Exemplos:
Testando seus conhecimentos
Escreva em que século ocorreram os seguintes fatos históricos
a) Descobrimento do Brasil (1500)----------
b) Nascimento de Leonardo da Vinci (1452)-------
c) Primeira viagem do homem à lua (1969)-----------
d) Grande atentado terrorista aos EUA (2001)----------
Divisibilidade de números naturais
Se a e b são naturais, com b≠0, dividir a por b é encontrar dois naturais q e r, satisfazendo as condições
a=b.q +r
r<b
No caso, a é o dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto da divisão, sendo todos naturais. Exemplo: Na
divisão de 27 por 4, o quociente é 6 e o resto é 3.
Existem regras práticas que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não divisível por
outro. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2 ou por 5
Analisar o último algarismo (das unidades)
Por 2: final 0,2,4,6 ou 8
Por 5: final 0 ou 5.
Exemplos:
34678 tem final 8→é por 2 e não é por 5.
123370 tem final 0→é por 2 e por 5.
Divisibilidade por 3 ou 9
Analisar a soma dos valores absolutos dos algarismos
Por exemplos
5478 tem a soma dos algarismos 5+4+7+8=24, que é divisível por 3, mas não por 9.
2871 tem a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 3 e por 9.
3
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da
direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da
direita for divisível por 8.
Exemplos:
7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
Divisibilidade por 11
Calcular (soma a dos algarismos de ordem ímpar) menos (soma dos algarismos de ordem par). Se a diferença for
múltiplo de 11 (11,22,33,33, etc), o número é divisível por 11.
Exemplos:
87549
(soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
(soma das ordens pares) = 4+7 = 11
22-11 = 11. Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
439087
(soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
(soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
= 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo,
para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.
Testandoseus conhecimentos
1) A respeito da divisibilidade em N, assinale a alternativa FALSA.
a) 251739 não é divisível por 11
b) 82125 é divisível por 15
c) 2325436 é divisível por 2 e por 4, mas não por 8.
d) Se um número é divisível por 6 e por 10, então ele é divisível por 60.
2) Dividindo-se um número natural X por 6, obtém-se resto 4. Dos números naturais abaixo, o único que não é divisível
por 6 é
a) 2X
b) X-4
c) X+2
d) 3X
4
Números primos e compostos
Todo natural n diferente de 0 e 1possui pelo menos dois divisores naturais:1 e n. Eles são chamados divisores
triviais de n, caso existam, são chamados divisores próprios.
Dado um número natural n tal que n≠0 e n≠1, dizemos que ele é:
Primo: se admite apenas os divisores triviais;
Composto: se admite pelo menos um divisor próprio
2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. Logo, 10 é um número composto.
Observações:
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc, até que
tenhamos: - ou uma divisão com resto zero (e neste caso o número não é primo), - ou uma divisão com quociente
menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
 não é par, portanto não é divisível por 2;
 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
 não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
 por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
 não é par, portanto não é divisível por 2;
 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
 não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
 por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
 por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é
 diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
Decomposição em fatores primos
Todo número natural composto pode ser escrito, de forma única, como um produto de fatores primos. Tal processo é
chamado fatoração ou decomposição em fatores primos.
Decomposição do número 24 em um produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3, todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é
23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição em um produto de fatores primos.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse
dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até
obter o quociente 1.
A figura mostra a fatoração do número 630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
5
Determinação dos divisores de um número
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por
exemplo, os divisores de 90:
1º) decompomos o número em fatores primos;
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado
de cada fator primo;
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Máximo divisor comum (M.D.C.)
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6.
Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) =
6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos
a abreviação m.d.c.
Alguns exemplos:
m.d.c (6,12) = 6
m.d.c (12,20) = 4
m.d.c (20,24) = 4
m.d.c (12,20,24) = 4
m.d.c (6,12,15) = 3
Cálculo do M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores
primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5
6
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao
menor expoente.
Cálculo do M.D.C. pelo processo das divisões sucessivas
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.
Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
Regra prática:
1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim
sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)
18 / 12 = 1 (com resto 6)
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.
Números primos entre si
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
Propriedade do M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.
Múltiplo de um número natural
Como 24 é divisível por 3, dizemos que 24 é múltiplo de 3.
24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.
Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
Exemplo: os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
Observações importantes:
1) Um número tem infinitos múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural
Mínimo múltiplo comum (M.M.C)
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e
6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo
comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
Cálculo do M.M.C.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e
30:
7
1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada
um elevado ao maior expoente.
Processo da decomposição simultânea
Neste processo, decompomos todos os números ao mesmo tempo, em um dispositivo como mostra a figura ao lado.
O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. A seguir vemos o
cálculo do m.m.c.(15,24,60).
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
Propriedade do M.M.C.
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números
dados
Considere os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15.
Observe:
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.
Testandoseus conhecimentos
1) Tenho três filhos, todos adolescentes. O produto de suas idades é 2652. A soma de suas idades é:
a) 41
b) 42
c) 43
d) 44
2) Sendo m e n naturais não –nulos, o número a=9𝑚
. 2𝑛
possui 20 divisores naturais. Determine o número a.
8
3) Três congressos X,Y e Z são realizados na mesma época do ano. O congresso X ocorre a cada 6 anos; Y, a cada
15 anos; Z, a cada 10 anos. Em 1996, os três congressos foram realizados. Em que anos, no século XXI, os três
eventos ocorrerão simultaneamente?
4) Possuo três peças de tecido medindo 60m, 48m e 32m. Desejo recortá-las em pedaços de mesmo comprimento,
do maior tamanho possível, sem que haja perda de tecido. Quantos serão os pedaços obtidos e qual será a medida
de cada pedaço?
5) Se a festa de Natal de um certo ano fosse comemorada num domingo, em que dia da semana se festejaria o Natal
quatro anos depois?
Números fracionários
Chamamos de frações ou números fracionários os números que representam uma ou mais partes de uma figura
(ou de uma quantidade) que foi dividida em partes iguais. O símbolo
𝑎
𝑏
significa a:b, sendo a e b números naturais e
b≠0; onde a é o numerador e b o denominador.
Termos de uma fração:
A figura ao lado, por exemplo, representa a fração
2
5
2 → numerador: indica quantas partes foram tomadas;
5→denominador: indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.
Testando seus conhecimentos
Escreva a fração que representa
a) Oito lápis numa caixa com 12 lápis.
b) Nove horas em um dia.
c) Seis dias em uma quinzena.
d) Dez meninas numa turma de trinta pessoas.
Como se lê uma fração?
Para fazer a leitura de uma fração, lemos o numerador e, em seguida, o nome de cada parte de acordo com o
denominador.
- Se o denominador for menor que 10, cada parte recebe um nome específico.
-Se o denominador for múltiplo de 10,100,1000, ..., cada parte recebe o nome de décimos, centésimos, milésimos...
respectivamente.
- Se o denominador for maior que 10 e não for múltiplo de dez, cada parte terá o nome do denominador
acompanhado da palavra avos.
um meio dois quintos
um terço quatro sétimos
um quarto sete oitavos
um quinto quinze nonos
9
um sexto um décimo
um sétimo um centésimo
um oitavo um milésimo
um nono oito milésimos
Testandoseus conhecimentos
a) A avó de Carminha lhe propôs o seguinte desafio: se você acertar os cálculos para determinar a quantia em
dinheiro que tenho na minha bolsa, ele será seu. Só lhe digo que
5
8
desse dinheiro são R$ 36,00.
b) Afonso já fez
3
5
do percurso de sua viagem. Sabendo que ele já rodou 240 quilômetros, qual é a distância total
que ele percorrerá nessa viagem?
Classificação das frações
As frações recebem nomes especiais de acordo com suas características. Veja como nomeamos essas frações.
Frações próprias: são frações que indicam apenas partes do inteiro, portanto representam números menores que
1. Em toda fração própria, o numerador é menor que o denominador. Exemplos
5
6
,
1
2
𝑒
7
12
Frações impróprias: são frações que indicam partes iguais ou maiores que o inteiro, portanto representam
números, iguais ou maiores que 1. Em toda fração imprópria, o numerador é maior ou igual ao denominador.
Exemplos:
5
4
,
3
2
,
10
3
Frações aparentes: são frações impróprias que indicam inteiros, portanto representam números naturais. Em toda
fração aparente, o numerador é múltiplo do denominador. Exemplos
5
5
,
8
4
𝑒
21
7
Frações equivalentes: Duas ou mais frações que representam a mesma parte de um mesmo inteiro são chamadas
de frações equivalentes. Equivalente quer dizer de igual valor. Exemplos:
2
3
,=
4
6
=
6
9
=
8
12
. Multiplicando ou dividindo os
termos de uma fração por um mesmo valor, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração data.
Testandoseus conhecimentos
1)Classifique as frações seguintes em próprias, impróprias ou aparentes
10
2)Numere a 2 coluna de acordo com a fração equivalente na 1 coluna.
Simplificação de frações
Simplificar uma fração significa obter uma outra equivalente à dada com números menores em seus termos. Observe
como simplificamos a fração
𝟐𝟒
𝟑𝟐
até obter uma fração em que o numerador e o denominador são primos entre si,
isto é, o máximo divisor comum deles é o número 1.
𝟐𝟒
𝟑𝟐
=
𝟏𝟐
𝟏𝟔
=
𝟔
𝟖
=
𝟑
𝟒
. Dizemos que a fração
𝟑
𝟒
é irredutível, pois não pode ser mais simplificada. O único divisor comum entre
3 e 4 é 1, pois o m.d.c ( 3,4) =1.
2)
11
Frações decimais
Chama –se fração decimal toda fração em que o denominador é uma potência de 10 com expoente natural não –
nulo.
Transformação de uma fração em decimal em número decimal
Exemplos
3
10
= 0,3 → lê –se: três décimos.
49
100
= 0,49 → lê-se: quarenta e nove centésimos.
1349
1000 = 1,349 → lê –se um inteiro e trezentos e quarenta e nove milésimos.
343
10
= 34,3 → lê –se trinta e quatro inteiros e três décimos.
Para transformarmos uma fração decimal em número decimal, basta escrevermos o numerador e, da direita para a
esquerda, contarmos tantos algarismos quantos forem os zeros do denominador e colocarmos a vírgula. Se for
necessário, acrescentamos zeros.
Transformação de um número decimal em fração decimal
Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escrevemos no numerador o número dado,
desconsiderando a vírgula e, no denominador, o número 1 (um ) seguido de tantos zeros quantas forem as casas
decimais do número dado. Exemplos:
a)1,7 =
17
10
b)0,031 =
31
1000
c) 23,49 =
2349
100
Representação decimal de uma fração qualquer
Para obter a representação decimal de qualquer fração, basta dividir seu numerador pelodenominador. Ou ainda,
podemos multiplicar os termos da fração por um mesmo número até obtermos uma fração decimal (neste caso, o
denominador deve ser divisor de 10)
.Exemplos
4: 5 = 0,8 ,Ou ainda,
4
5
=
4𝑥2
5𝑥2
=
8
10
= 0,8
Dízimas periódicas
A representação decimal de algumas frações são números decimais não-exatos. Esses números são chamados
dízimas periódicas.
Uma dízima periódica é simples quando possui a parte decimal formada apenas pelo período, isto é, pelo número
que se repete infinitamente.
Uma dízima periódica é composta quando apresenta na parte decimal um ou mais algarismos antes do período. Esse
algarismo ou grupo de algarismos recebe o nome de parte não periódica ou antiperíodo.
Dízimas periódicas simples
Nas dízimas periódicas simples, o período apresenta-se logo após a vírgula. Veja os exemplos:
(Período: 5) ou 5
̅
(Período: 3)→ ou5
̅
(Período: 12) ou 5
̅
12
Dízimas periódicas compostas
Nas dízimas periódicas compostas, entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Exemplos:
Período: 2
antiperíodo: 0
Período: 4
antiperíodo: 15
Período: 2
Parte não periódica: 1 (antiperíodo
Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração
de geratriz da dízima periódica.
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves
quantos forem os algarismos do período. Exemplos:
Dízima Composta
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma
𝑛
𝑑
, onde:
n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da
parte não periódica.
Exemplos:
Aplicando seus conhecimentos:
Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas:
a) 2,666...
b) 3,4848...
c) 1,7555...
d) 0,052121...
e) 0,35444...
f) -2,5424242...
g) 0,0044444.....
13
Adição e subtraçãode números fracionários
Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
- Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores
iguais ao m.m.c. dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .
Obtendo o m.m.c. dos denominadores temos m.m.c. (5,2) = 10.
(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o m.m.c para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que
já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso
Multiplicação e divisão de números fracionários
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por
denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é
mostrado no exemplo abaixo:
Números inversos
Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, dizemos que cada um deles é o inverso do outro. Assim, o
inverso de
2
3
é
3
2
, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, (
2
3
)
−1
=
3
2
Números mistos
Observe as expressões 1 +
1
3
= 1
1
3
, lê –se um inteiro e três quartos.
14
Potenciação
O que é potenciação?
Seja a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado:
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16
Denominamos:
Base: o número que se repete.
Expoente: o número de fatores iguais.
Potência: o resultado da operação.
A operação efetuada é denominada potenciação.
Exemplos:
54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
43 = 4 . 4 . 4 = 64
Leitura
Observe alguns exemplos:
3² (lê-se três elevado ao quadrado ou o quadrado de três”)
2³ (lê-se “dois elevado ao cubo ou o cubo de dois”)
(lê-se “sete elevado à quarta potência ou a quarta potência de sete”)
(lê-se “seis elevado à quinta potência ou a quinta potência de seis”)
Observação:
Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais. Por exemplo, os
números 4, 36 e 100 são quadrados perfeitos, pois 2² = 4, 6² = 36 e 10² = 100
Propriedades da potenciação
1 – Expoente zero
Sempre que o expoente de uma potência for zero, com a base diferente de zero, o resultado dessa potência será
igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:
a0 = 1
2 – Expoente unitário
Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado
dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo apertencente ao conjunto dos
números reais.
a1 = a
3 – Produto de potências de mesma base
O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será
igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas
potências.
Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto
dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:an∙am = an + m
Para verificar isso, observe o exemplo:a4·a2 = a·a·a·a·a·a = a6 = a4 + 2
4 – Divisão de potências de mesma base
Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os
expoentes das potências que estão sendo divididas.
Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao
conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos: an:am = an – m
Para verificar isso, observe o exemplo:a9:a7 = a9 – 7 = a2
Isso acontece porque:𝑎9
:𝑎7
=
𝑎9
𝑎7
=
𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎
𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎
= 𝑎. 𝑎 = 𝑎2
15
5 – Potência de potência
Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e
conservamos a base.
Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos
números naturais, teremos:
(an)m = an·m
6 – Potência cuja base é uma divisão ou um produto
Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e
b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números
naturais, teremos:(a·b)n = an·bn
Se a base for uma divisão, teremos:(a:b)n = an:bn
Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração.
7 – Expoentes negativos
Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também
seja invertida.
Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos:
8 – Potências com expoente racional
Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado
a m. Assim, matematicamente, teremos:
Testandoseus conhecimentos
1 - Resolva as potências abaixo:
2 - Simplifique:
16
Radiciação
O que é radiciação?
Já sabemos que 6² = 36. Aprenderemos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao
quadrado equivale a 36.
, pois 6 elevados ao quadrado é 36.
Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação.
Outros exemplos:
, pois 2³ = 8.
, pois .
Sendo assim:
Notação
Leitura
(lê-se “raiz quadrada de 81”)
(lê-se “raiz cúbica de 64”)
(lê-se “raiz quarta de 16”)
Observação:
Na indicação de raiz quadrada, podemos omitir o índice 2. Por exemplo, .
Raízes de índice par
Quando elevamos um número positivo ou um número negativo a um expoente par, o resultado sempre é um número
positivo.
Exemplo:
(-4)² = (-4)(-4) = 16
e
(+4)² = (+4)(+4) = 16
Porém, como em matemática o resultado de uma operação deve ser único, fica definido que:
Genericamente:
Qualquer raiz de índice par de um número positivo é o número positivo que elevado ao expoente correspondente a
esse índice equivale ao número dado.
Observação:
Não existe raiz real de um número negativo se o índice for par.
Exemplo:
não existe, pois não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê - 4.
Raízes de índice ímpar
Quando o índice de uma raiz é ímpar e o radicando é positivo, a raiz é positiva.
Quando o índice de uma raíz é ímpar e o radicando é negativo, a raiz é negativa.
Exemplos:
17
Potência com expoente fracionário
Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não-nulo, temos que:
Exemplos
Propriedades dos radicais
Justificativa:
Exemplo:
Justificativa:
Exemplo:
Justificativa: Escrevendo em forma de potência com expoente fracionário:
Exemplo:
Potenciação e radiciação de números fracionários
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o
numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao
numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
18
Aplicando seus conhecimentos:
1) Calcule o valor de cada expressão numéricas
2) O valor de da expressão abaixo é:
3) O valor da expressão abaixo é:
4) Simplifique a expressão E=30
− (
1
3
−
1
6
)
−2
: (640,5
− 80,666 …)−
1
2
5) O valor da expressão (−1,3131 … + 1,202020 … [
3−
6
5
1−
6
5
] − 32)é:
a)-2
b)−
2
3
c) 0
d)
2
3
e) 2
6) Escreva V (Verdadeiro) e F (Falso):
a) ( ) 9000 = 9.104
b) ( ) 0,00012 = 1,2.10−3
c) ( ) 0,0000001 = 1.10−8
d) ( ) 12.103
= 12000
e) ( ) 1.10−2
= 0,01
f) ( ) 43.10−5
= 0,00043
g) ( ) 3,9.10−3
= 0,039
h) ( ) 1,3.10−2
= 0,013
19
Medidas de superfície
As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do
cotidiano:
Qual a área desta sala?
Qual a área desse apartamento?
Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir esta piscina?
Qual a área dessa quadra de futebol de salão?
Qual a área pintada dessa parede?
Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
Metro quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente
à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
O dam2, o hm2 e km2 sao utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados
para pequenas superfícies.
Exemplos
1) Leia a seguinte medida: 12,56m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
12, 56
Lê-se "12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados". Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de
área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 78, 30
Lê-se "178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados" .
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 91 70
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Medidas agrárias
As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal
unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária
hectare (ha) are (a) centiare (ca)
Equivalência
de valor
100a 1a 0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
20
Transformação de unidades
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de
superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
Observe as seguintes transformações:
 transformar 2,36 m2 em mm2.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2
 transformar 580,2 dam2 em km2.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km2
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2)
2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2)
3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2)
4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)
Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas.
Medidas de volume
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e
altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.
Metro cúbico
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao
espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001
m3
Leitura das medidas de volume
A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar,
porém, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com
zero(s). Exemplos:
 Leia a seguinte medida: 75,84m3
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
75, 840
Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".
 Leia a medida: 0,0064dm3
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
0, 006 400
Lê-se "6400 centímetros cúbicos".
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de
volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
21
Observe a seguinte transformação:
 Transformar 2,45 m3 para dm3.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000 = 2.450 dm3
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,132 km3 em hm3
2) Transforme 180 hm3 em km3
3) Transforme 1 dm3 em dam3
4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3
Medidas de capacidade
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente. Afinal, quando enchemos este recipiente, o
líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1l = 1dm3
Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilolitro Hectolitro decalitro Litro decilitro centilitro mililitro
Kl Hl dal L dl cl ml
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações:
1l = 1dm3
1ml = 1cm3
1kl = 1m3
Leitura das medidas de capacidade
 Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal
Kl Hl Dal l dl cl ml
2, 4 7 8
Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de
capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
 transformar 3,19 l para ml.
Kl Hl dal l dl cl ml
Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).
3,19 x 1.000 = 3.190 ml
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 7,15 kl em dl
2) Transforme 6,5 hl em l
3) Transforme 90,6 ml em l
4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl
Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas.
Medidas de massa
Observe a distinção entre os conceitos de massa e peso:
22
 Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou
fora dela.
 Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o
local em que o corpo se encontra.
Por exemplo: a massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na
terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade
lunar.
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo
masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal
de massa.
Múltiplos e submúltiplos do grama
Múltiplos
Unidade
principal
Submúltiplos
quilograma Hectograma decagrama Grama decigrama centigrama miligrama
Kg Hg dag G dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
Leitura das medidas de massa
A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:
 Leia a seguinte medida: 83,731 hg.
kg hg Dag g dg cg mg
8 3, 7 3 1
Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".
 Leia a medida: 0,043g.
kg hg dag g dg cg mg
0, 0 4 3
Lê-se " 43 miligramas".
Relações importantes
Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade. Assim, para a água
pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:
1 kg <=> 1dm3 <=> 1L
São válidas também as relações:
1m3 <=> 1 Kl <=> 1t
1cm3 <=> 1ml <=> 1g
Observação:
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:
1 arroba = 15 kg
1 tonelada (t) = 1.000 kg
1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg
Transformação de unidades
Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe as seguintes transformações:
 Transforme 4,627 kg em dag.
kg hg dag g dg cg mg
Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
4,627 x 100 = 462,7
Ou seja:
4,627 kg = 462,7 dag
Observação: em algumas situações você pode encontrar os termos "peso bruto" e "peso líquido", que significam:
23
Peso bruto: peso do produto com a embalagem.
Peso líquido: peso somente do produto.
Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas.
Medidas de tempo
É comum em nosso dia a dia ouvirmos perguntas do tipo:
 Qual a duração dessa partida de futebol?
 Qual o tempo dessa viagem?
 Qual a duração desse curso?
 Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol
sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
Múltiplos e submúltiplos do segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
Minutos hora dia
Min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
 décimo de segundo
 centésimo de segundo
 milésimo de segundo
Cuidado: nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min, pois o sistema de medidas de tempo não é
decimal. Observe:
Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas.
Medidas de Comprimento
Sistema Métrico Decimal
Desde a antiguidade, os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias
unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio, ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as
negociações com tantas medidas diferentes.
Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da
revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema
único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro
seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No
Brasil, o metro foi adotado oficialmente em 1928.
Múltiplos e submúltiplos do metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes
são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
24
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Km Hm dam m Dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas
distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m
angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, sendo utilizadas em
países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m
Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Leitura das medidas de comprimento
A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos:
Leia a seguinte medida: 15,048 m.
Sequência prática:
1º) Escrever o quadro de unidades:
Km hm dam m dm cm mm
2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.
Km hm dam m dm cm mm
1 5, 0 4 8
3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal
acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.
15 metros e 48 milímetros
Outros exemplos:
6,07 km ( lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros")
82,107 dam (lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros")
0,003 m (lê-se "três milímetros")
Transformação de Unidades
Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe as seguintes transformações:
 Transforme 16,584hm em m.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
16,584 x 100 = 1.658,4
Ou seja:
16,584hm = 1.658,4m
 Transforme 1,463 dam em cm.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).
1,463 x 1.000 = 1,463
Ou seja:
1,463dam = 1.463cm.
 Transforme 176,9m em dam.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.
25
176,9 : 10 = 17,69
u seja:
176,9m = 17,69dam
 Transforme 978m em km.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.
978 : 1.000 = 0,978
Ou seja:
978m = 0,978km.
Observação: para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente
transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.
Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas.
Testando seus conhecimentos
1) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam
obtidas em metros:
a) A distância entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas mediadas a e b em metros, obtém-se respectivamente
a) 0,23 e 0,16.
b) 2,3 e 1,6.
c) 23 e 16.
d) 230 e 160.
e) 2 300 e 1 600.
2) Quantos cm3 existem em 10 litros ?
a) 10
b) 100
c) 1000
e) 10000
3) Determine o valor em centímetros de 0,375 dam.
a) 3,75 dm
b) 0,0375 dm
c) 3750 dm
4) Foram construídos dois reservatórios de agua. A razão entre os volumes inteiros do primeiro e do segundo é de 2
para 5, e a soma desses volumes e 14 m3. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois
reservatórios, em litros, é igual a:
a) 8000
b) 6000
c) 4000
d) 6500
e) 9000
26
5) Um reservatório, inicialmente vazio, com capacidade para 8000 litros, recebe agua a razão de 1600cm3 por
segundo. O tempo decorrido para que ele fique totalmente cheio e de?
a) 1 h 20 min 40 s
b) 1 h 31min 30 s
c) 1 h 22 min
d) 1h 22 min 30 s
e) 1 h 23 min
Razões
O que é uma razão?
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para
compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:
(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).
Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de
corrida.
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero
o quociente ou a:b.
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em
que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:
 Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).
 Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).
Observações:
1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.
2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais
contrários. Exemplos:
A razão entre 1 e -8 é .
A razão entre é .
27
Termos de uma razão
Observe a razão:
(lê-se "a está para b" ou "a para b").
Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente.
Veja o exemplo:
3:5 =
Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.
Razões inversas
Considere as razões .
Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .
Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.
Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.
Exemplo:
são razões inversas, pois .
Perceba que, nas razões inversas, o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.
Observações:
1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.
2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. Exemplo:
O inverso de .
Razões equivalentes
Dada uma razão entre dois números:
Obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número
racional (diferente de zero),
Exemplos:
são razões equivalentes.
São razões equivalentes.
Razões entre grandezasda mesma espécie
Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que expressam as medidas
dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplos:
1) Calcular a razão entre a altura de duas crianças, sabendo que a primeira possui uma altura h1= 1,20m e a segunda
possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:
2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de
vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.
Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .
28
Razões entre grandezas de espécies diferentes
Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas
dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas.
Exemplos:
1) Consumo médio:
 Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível.
Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão?
Solução:
Razão =
Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro")
Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.
2) Velocidade média:
 Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que
significa essa razão?
Solução:
Razão =
Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora")
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.
3) Densidade demográfica:
 O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694
km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?
Solução:
Razão =
Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado")
Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.
4) Densidade absoluta ou massa específica:
 Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse
corpo. O que significa essa razão?
 Solução:
Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3
Razão =
Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico")
Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.
Testando seus conhecimentos
1) Numa escola estudam 270 meninos e 180 meninos. A razão entre o número de meninas??
2) Um atleta masculino salta uma distância de 8,10m, enquanto que uma feminina salta 6,60m. Qual a razão entre o
salto feminino pelo salto do masculino?
3) Dois terrenos quadrados têm, respectivamente 10m e 0,20cm de lado. Qual a razão da área do primeiro pelo
perímetro do segundo terreno?
4) Divida o número 240 em partes inversamente proporcionais a:
a) 1 e 1
b) 1 e 2
c) 2 e 3
d) 2 e 4
e) 5 e 3
f) 5 e 7
g) 120 e 120
29
5) Um arame e cortado em duas partes, na razão 3 para 2, Com cada parte se forma um quadrado. Qual a razão
entre o perímetro do quadrado maior e o perímetro do quadrado menor?
a) 9 para 4
b) 3 para 2
c) 5 para 3
d) 5 para 2
e) 12 pra 5
6) Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres e de 2 :3 e entre o número de mulheres e
crianças e 8:1. A razão entre o número de adultos e crianças é:
a) 5:1
b) 16:1
c) 12:1
d) 40:1
e) 13:1
7) Se um relógio com defeito atrasa 2 minutos por dia, quantos dias se passara para o atraso ser de 1 hora?
a) 60
b) 50
c) 30
d) 20
e) 15
Expressões algébricas
Expressões algébricas são um conjunto de operações matemáticas básicas aplicadas a números conhecidos e a
números desconhecidos. Para representar esses números desconhecidos, são utilizadas letras. É mais comum
utilizar as letras x e y, mas isso não significa que elas são as únicas. Em alguns casos, são utilizadas letras do
alfabeto grego e até símbolos diversos.
Observe os exemplos de expressões algébricas abaixo:
1) 12x2 + 16y + 4ab
2) x + y
3) 4 + 7a
Todas essas expressões possuem letras representando números e números sendo somados e multiplicados.
Igualdade
Toda expressão algébrica que possuir uma igualdade em sua composição será chamada de equação. Observe
alguns exemplos:
1) x + 2 = 7
2) 12x2 + 16y + 4ab = 7
3) 1:x = 3
A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma equação. É a igualdade que relaciona uma operação
matemática aplicada em alguns números com o seu resultado. Portanto, a igualdade é peça fundamental ao procurar
os resultados de uma equação.
Equação do primeiro grau com uma incógnita
É uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi criada para ajudar as pessoas a encontrarem
soluções para problemas nos quais um número não é conhecido. Sabendo que a soma de dois números
consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível encontrar esses dois números por meio de equações.
Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o significado da definição dada acima.
Por exemplo: Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x?
Ora, sabemos que x é um número que, subtraído por 14, tem 8 como resultado. Observe que é possível pensar em
um resultado “de cabeça” ou pensar em uma estratégia para resolver essa equação. A estratégia pode ser obtida da
seguinte maneira: Se x é um número que, subtraído de 14, resulta em 8, então, para encontrar x, basta somar 14
com 8. Desse modo, podemos escrever a seguinte linha de raciocínio:
x – 14 = 8
x = 8 + 14
x = 22
Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado.
Grau de uma equação
30
O grau de uma equação está relacionado com a quantidade de incógnitas que ela possui. Dizemos que uma
equação é de grau 1 quando o maior expoente das suas incógnitas é 1. Uma equação possui grau 2 quando o maior
expoente das suas incógnitas é 2 e assim por diante. O grau também pode ser dado pelo produto
de incógnitas diferentes. Por exemplo: a equação xy + 2 = y é uma equação de grau 2 porque possui um produto
entre duas incógnitas de expoente 1.
O grau de uma equação determina quantas soluções a equação possui. Desse modo, uma equação de grau 1
possui apenas 1 resultado (um valor possível para a incógnita); uma equação de grau 2 possui dois resultados e
assim sucessivamente.
O conjunto Universo ( U) de uma equação é o conjunto de todos os valores que podem ser atribuídos à incógnita da
equação.
Solução de equações
Uma das estratégias de resolução de uma equação faz uso do pensamento acima. Repare que, observando as duas
equações (x – 14 = 8 e x = 8 + 14), é possível imaginar que o número 14 trocou de lado da igualdade com um efeito
colateral: trocou o seu sinal de negativo para positivo. Essa é uma das regras para solução de equações que estão
listadas a seguir:
Regra 1 – Do lado direito da igualdade, só permanecem números que não possuem incógnita; do lado esquerdo,
apenas números que possuem;
Regra 2 – Para trocar números de lado, possuindo ou não incógnita, é necessário trocar o sinal deles;
Regra 3 – Feitos os passos 1 e 2, realize os cálculos que forem possíveis. Lembre-se de que os números que
possuem incógnita podem ser somados se a incógnita for a mesma. Para isso, some apenas o número que as
acompanha.
Regra 4 – Ao final, deve-se isolar a incógnita. Para isso, o número que a acompanha deverá ser passado para o lado
direito da equação dividindo os seus componentes.
Regra 5 – Se for necessário trocar de lado um número que está no denominador de uma fração, ele deverá passar
para o outro lado multiplicando.
Exemplos
1) Qual o valor de x na equação 4x + 4 = 2x – 8?
Solução: Seguindo a primeira e segunda regras, obteremos a seguinte linha de raciocínio:
4x + 4 = 2x – 8
4x – 2x = – 8 – 4
Agora, realize a terceira regra para obter:
2x = – 12
Por fim, realize a regra 4:
2x = – 12
x = –12
2
x = – 6
Portanto, o valor de x é – 6.
2) Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, quais são esses dois números?
Solução: Observe que os números são desconhecidos, mas são consecutivos. Ser consecutivo significa que o
segundo é uma unidade maior que o primeiro. Por exemplo, 1 e 2 são consecutivos porque 2 é uma unidade maior
que 1. Se os números consecutivos são desconhecidos, representaremos eles por uma letra (no caso x) e
somaremos 1 ao primeiro para obter o segundo. Além disso, sabendo que a soma entre os dois tem 11 como
resultado, podemos escrever:
x + (x + 1) = 11
x + x + 1 = 11
Pelas regras 1 e 2, obtenha:
x + x = 11 – 1
Pela regra 3, observe o resultado:
2x = 10
Utilizando a regra 4, obtenha:
2x = 10
x = 10
2
x = 5
Testando seus conhecimentos
1) Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo da
idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento.
31
2) Resolva as equações abaixo:
a) x - 3 = 9
b) 4x - 9 = 1 - 2x
c) x + 5=20 - 4x
d) 9x - 4x + 10 = 7x – 30
2) Resolva os problemas de equações de 1 grau.
a)A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos.
b)Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas
motos há no estacionamento?
c)A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos.
Proporções
O que é uma proporção?
Exemplo: Rogerão e Claudinho passeiam com seus cachorros. A massa de Rogerão é de 120kg, e de seu cão, 40kg.
Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é
uma proporção. Assim:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção
quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º.
Assim:
ou a:b=c:d
(lê-se "a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
b e c os meios da proporção.
a e d os extremos da proporção.
Exemplo:
Dada a proporção , temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
Produto dos meios = 4.30 = 120
Produto dos extremos = 3.40 = 120
32
Produto dos meios = 9.20 = 180
Produto dos extremos = 4.45 = 180
Produto dos meios = 8.45 = 360
Produto dos extremos = 5.72 = 360
De modo geral, temos que:
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicações da propriedade fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:
 Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 120
x = 24
Logo, o valor de x é 24.
 Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19
x =
Logo, o valor de x é .
 Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Solução:
(aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 8 . 35
5x = 280
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
Exemplo:
 Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal,
quantos metros cúbicos de água salgada são necessários ?
Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água
salgada a ser determinada e armamos a proporção:
33
Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.
(aplicando a propriedade fundamental)
1 . 2 = 0,04 . x
0,04x = 2
x = 50 m3
Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.
Quarta proporcional
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um
número x tal que:
Exemplo:
 Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.
Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
(aplicando a propriedade fundamental)
8 . x = 12 . 6
8 . x = 72
x = 9
Logo, a quarta proporcional é 9.
Proporção contínua
Considere a seguinte proporção: .
Observe que os seus meios são iguais, sendo por isso denominada proporção contínua. Assim:
Proporção contínua é toda à proporção que apresenta os meios iguais.
De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:
Terceira proporcional
Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal
que:
Exemplo:
 Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.
Solução:
Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:
(aplicando a propriedade fundamental)
20 . x = 10 . 10
20x = 100
x = 5
Logo, a terceira proporcional é 5.
34
Média geométrica ou média proporcional
Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média
proporcional entre a e c. Exemplo:
 Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.
Solução:
5 . 20 = b . b
100 = b2
b2 = 100
b =
b = 10
Logo, a média geométrica positiva é 10.
Propriedades das proporções
 1ª propriedade
 Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois
últimos está para o 4º (ou 3º).
 Demonstração:
Considere as proporções:
 e
Adicionando 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:
Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos:
Exemplo:
 Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
Solução:
Assim:
x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.
Logo, x=36 e y=48.
2ª propriedade
Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos
dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração:
Considere as proporções:
35
e
Subtraindo 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:
Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos
(Mult. os 2 membros por -1)
Exemplo:
 Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
Solução:
Pela 2ª propriedade, temos que:
x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.
Logo, x=30 e y=12.
3ª propriedade:
Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente
está para o seu consequente.
Demonstração:
Considere a proporção:
Permutando os meios, temos:
Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
Permutando os meios, finalmente obtemos:
4ª propriedade:
Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada
antecedente está para o seu consequente.
Demonstração:
Considere a proporção:
36
Permutando os meios, temos:
Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
Permutando os meios, finalmente obtemos:
Exemplo:
 Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .
Solução:
Pela 4ª propriedade, temos que:
5ª propriedade:
Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de
cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
Demonstração:
Considere a proporção:
Multiplicando os dois membros por , temos:
Assim:
Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:
Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
é uma proporção múltipla.
Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:
37
Grandezas proporcionais
O que é grandeza?
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas
aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza sao: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o
tempo, o custo e a produção.
É comum ao nosso dia a dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:
 Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa
prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
 Em um forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a
produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.
Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:
Tempo (minutos) Produção (Kg)
5 100
10 200
15 300
20 400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe
que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5 min --> 100Kg
10 min --> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5 min --> 100Kg
15 min --> 300Kg
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª
grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores
correspondentes da outra grandeza.
Grandezas inversamente proporcionais
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade
constante, obtendo assim um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo:
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
38
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe
que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 m/s --> 200s
10 m/s --> 100s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.
5 m/s --> 200s
20 m/s --> 50s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª
grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores
correspondentes da outra grandeza.
Testando seus conhecimentos
1)
2
2)
3)
39
4)
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as
grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue
produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a
área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos
afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.
Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
40
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a
velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais.
Assim, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo
a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que, aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem
(aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de
horas de serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x
Observe que, diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras
são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
41
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais.
Exemplos
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para
descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que, aumentando o número de
horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta
para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação é diretamente
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das
outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por
4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação
é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das
outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
42
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a
altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes
para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente
proporcionais, como mostrado abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Testando seus conhecimentos
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h.
Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos.
Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?
6) Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos caminhões iguais a esse
seriam necessários?
7) A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e
tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos?
8) Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em
média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá
diariamente cada uma delas em média?
9) Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas horas por dia deve trabalhar
esse pintor para que ele possa pintar 6.000 telhas em 4 dias?
10) Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras.
Quantas pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos cada?
43
11) Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. Quantas caixas serão
carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia?
12) Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus
fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus?
13) Sabendo que os números a, 12 e 15 são diretamente proporcionais aos números 28, b e 20, determine os
números a e b.
14) Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada na vertical em relação ao chão e projetou uma sombra de 53
cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
15) Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem
usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco?
16) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras
produziriam 2000 desses panfletos?
17) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles
durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria
suficiente para quantos dias?
18) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais
legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha.
Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.
19) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos
quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?
Porcentagem
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre
tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00.
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00.
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos à seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos
44
 Calcular 10% de 300.
 Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Testando seus conhecimentos
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas.
Quantos gols de falta esse jogador fez?
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro
obtida?
Fator de Multiplicação
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20,
e assim por diante. Veja outros exemplos na tabela abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00.
No caso de haver um decréscimo, teremos:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja exemplos na tabela abaixo:
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
Testando seus conhecimentos
1)Em certo trimestre, as cadernetas de poupança renderam 2,1% de correção monetária. Paulo deixou R$ 1000,00
depositados durante os três meses. Quanto Paulo resgatou?
2) Em um colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Quantos alunos têm esse colégio?
45
3)Ricardo comprou um terreno e, por ter pagado à vista, ganhou 15% de desconto, fazendo uma economia de R$
2.250,00. Determine o preço do terreno
4)
Área das figuras planas
Retângulo
Quadrado
Triângulo
Triângulo equilátero
Paralelogramo
46
Trapézio
Losango
Polígonos
A palavra "polígono" vem da palavra grega "polúgonos", que significa ter muitos lados ou ângulos. Na geometria,
polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada.
Classificação dos polígonos
Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Se usarmos o número de ângulos
ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura:
NÚMERO DE LADOS
(OU ÂNGULOS)
NOME DO POLÍGONO
EM FUNÇÃO DO
NÚMERO DE ÂNGULOS
EM FUNÇÃO DO
NÚMERO DE LADOS
3 Triângulo Trilátero
4 quadrângulo Quadrilátero
5 Pentágono pentalátero
6 Hexágono hexalátero
7 Heptágono heptalátero
8 Octógono octolátero
9 Eneágono enealátero
10 Decágono decalátero
11 undecágono undecalátero
12 dodecágono dodecalátero
15 pentadecágono pentadecalátero
20 icoságono icosalátero
Perímetro de um polígono
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.
Perímetro do retângulo
O perímetro de um retângulo é calculado da seguinte forma:
b - base ou comprimento
h - altura ou largura
Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)
Perímetro dos polígonos regulares
47
Triângulo equilátero Quadrado
P = l+ l + l
P = 3 · l
P = l + l + l+ l
P = 4 · l
Pentágono Hexágono
P = l + l + l + l + l
P = 5 · l
P = l + l + l + l + l + l
P = 6 · l
l - medida do lado do polígono regular
P - perímetro do polígono regular
Para um polígono de n lados, temos:
P = n · l
Comprimento da circunferência
Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: cada volta completa deste pneu corresponde na
horizontal a quantos centímetros?
 Envolva a roda com um barbante.
 Marque o início e o fim desta volta no barbante.
 Estique-o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.
Medindo essa dimensão, você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o
seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental.
Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:
Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor
aproximadamente igual a 3,14.
Assim:
O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra
grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.
48
Logo:
Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir
com auxílio da fórmula o comprimento da roda obtido experimentalmente.
C = 2 r C = 2. 3,14 · 20 C = 125,6 cm
Testando seus conhecimentos
5)
6)
49
7)
8)
9)
Propriedades operatórias dos radicais
Radical de um produto
Justificativa:
Exemplo:
Radical de um quociente
Justificativa:
Exemplo:
Mudança de índice
Justificativa:
Exemplo:
50
Simplificação de radicais
Confira a seguir alguns exemplos de simplificação de radicais, com base nas propriedades operatórias do item
anterior:
Radicais semelhantes
Radicais semelhantes sao aqueles que têm o mesmo índice e o mesmo radicando.
Exemplos:
Adição e subtração de radicais
1º caso: Radicais semelhantes
Fazemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica. Exemplos:
2º caso: Radicais semelhantes após simplificação
Depois de obter radicais semelhantes, procedemos como no 1º caso.
3º caso: Os radicais não são semelhantes
Extraímos as raízes e efetuamos as operações.
Multiplicação e divisão de radicais
1º caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operações entre os radicandos.
2º caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Primeiramente os reduzimos ao mesmo índice e depois efetuamos as operações.
Multiplicação e divisão de radicais
1º caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operação entre os radicandos.
2º caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Primeiramente os reduzimos ao mesmo índice e depois efetuamos as operações.
51
Radical de um radical
Para obter a raiz de uma raiz, devemos conservar o radicando e multiplicar os índices.
Veja a justificativa dessa propriedade através de um exemplo:
Outros exemplos:
Racionalização de denominadores
Considere a fração , cujo denominador é um número irracional.
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:
Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional,
equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão
com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador
sem radical.
Principais casos de racionalização
1º caso: O denominador é um radical de índice 2. Exemplo:
é o fator racionalizante de , pois = a
2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, ou a soma (ou diferença) de dois termos.
Neste caso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fraçao por um termo conveniente, para que
desapareça o radical que se encontra no denominador. Exemplo:
A seguir, os principais fatores racionalizantes, de acordo com o tipo do denominador.
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
Veja outro exemplo:
52
Testando seus conhecimentos
1) Se então, X está compreendido entre:
2)
3)
4)
5) Fábio efetuou a operação 3
2
2  qual o resultado que Fábio encontrou?
a) 3,1
b) 4,5
c) 5,1
d) 6,2
e) 7,0
6) Qual é o valor de ?
27
0
16
25 3
16




y
53
a) 0
b) 1
c) 2
d)4
e) 5
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados
matemáticos. Fórmula do teorema de Pitágoras
Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo
retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado
recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.
Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.
O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:
Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.
Demonstração do teorema de Pitágoras
Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere
um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:
O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD.
AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2
O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH.
AEFGH = a2
Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:
O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:
54
ATriângulo = b·c
2
O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja
que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra
somente o quadrado EFGH, então:
AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo
Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:
a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc
2
a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc
a2 = b2 + c2
Outra demonstração...
N
55
Exemplos
1) Determine o valor de x no triângulo a seguir.
Resolução:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte:
132 = 122 + x2
Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos:
x2 = 25
x =5
Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30
cm.
Resolução:
Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:
56
Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que:
202 = c2 + c2
2c2 = 400
c2 = 200
Testando seus conhecimentos
1) (PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do
triângulo?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
2). (Enem)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do
corrimão é igual a:
a) 1,9m
b) 2,1m
c) 2,0m
d) 1,8m
e) 2,2m
57
3) Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra
extremidade dista 2,4m da base do muro. A altura desse muro é:
a) 2,3 m
b) 3,0 m
c) 3,2 m
d) 3,3 m
4) A figura a seguir mostra uma antena retransmissora de rádio de 72m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de
aços que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30m do pé da antena. A quantidade (em metros)
aproximada de cabo que será gasta para sustentar a antena é:
a) 234
b) 156
c) 102
d) 306
5)Uma empresa de iluminação necessita esticar um cabo de energia provisório do topo de um edifício, cujo formato é
um retângulo, a um determinado ponto do solo distante a 6 metros, como ilustra a figura a seguir. O comprimento
desse cabo de energia, em metros, será de:
a) 28
b)14
c)12
d) 10
e) 8
6)Determine os catetos de um triangulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60°.
a) 3√3 e 3
b) 2√3 e 3
c) 3√3 e √3
d) 2√3 e √3
e) √3 e 3
Teorema de Tales
58
O Teorema de Talesé uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e
transversais.
O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por
isso, recebe esse nome.
O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. A partir disso, ele
conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na sombra que ela projetava.
Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos de razão e proporção, que
até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias.
Enunciado
O enunciado do Teorema de Tales é expresso pela sentença:
“a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos proporcionais.”
Exemplo
Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo:
Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u
são: A, B e C; e na reta v, os pontos: M, N e O. Logo, de acordo com o Teorema de Tales:
Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.
Teorema de Talesnos Triângulos
O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se
aplica o teorema:
De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É
representado da seguinte forma:
59
Δ ABC ~ Δ AED
Testando seus conhecimentos
2)
60
3)
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Lei dos senos e Lei dos cossenos
LEI DOS SENOS
Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer.
Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei.
Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB.
No triângulo ACH, temos que:
No triângulo BCH, temos que:
De (I) e (II), obtemos:
Assim, podemos concluir que:
Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos.
A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para qualquer
triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado.
Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos.
61
Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo:
Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos:
Sabemos que sen 120o = sen 60o. Assim, teremos:
Testando seus conhecimentos
1) (Mackenzie – SP) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala 1:10000, como na figura. Das alternativas, a
que melhor se aproxima de distância entre as ilhas A e B é:
a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km
2)No triângulo a seguir, determine a medida do lado AC, tendo em vista as medidas presentes nele. (Use √2 = 1,4 e
√3 = 1,7).
62
a) 8,2 cm
b) 12,2 cm
c) 14 cm
d) 17 cm
e) 17,2 cm
3)No triângulo a seguir, qual é a medida do segmento AC, destacada pela letra x, dado que essas medidas estão em
centímetros?
a) 2 cm
b) 2√3 cm
c) 3√2 cm
d) 3√3 cm
e) 4√2 cm
4)Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para
calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos
𝐶𝐵
̂𝐴 = 57° e 𝐴𝐶
̂𝐵 = 59°. Sabendo que 𝐵𝐶
̅̅̅̅ = 30𝑚, calcule, em metros, a distância 𝐴𝐵
̅̅̅̅. (Dados: s𝑒𝑛 59° ≅
0,87 𝑒 𝑠𝑒𝑛 64° ≅ 0,90).
Lei dos cossenos
A lei dos cossenos permite encontrar o valor da medida de um lado de um triângulo qualquer se a medida dos outros
lados e o ângulo por eles formado forem conhecidos.
63
Conheça a lei dos cossenos, uma propriedade trigonométrica que pode ser aplicada em qualquer triângulo
Algumas das propriedades trigonométricas que estudamos são válidas apenas para triângulos retângulos, mas
existem propriedades que podem ser aplicadas em quaisquer triângulos, tais como a lei dos senos e a lei dos
cossenos, sobre a qual falaremos mais detalhadamente.
A lei dos cossenos pode ser aplicada a qualquer triângulo. No triângulo acutângulo a seguir, vamos traçar sua altura
(h), isto é, uma reta saindo do vértice A que forma um ângulo de 90° com o lado BC:
Ao traçar a altura de um triângulo acutângulo, transformamos esse triângulo em dois triângulos retângulos.
Para facilitar a análise desse triângulo, identificamos como b o lado oposto ao vértice B, c como o lado oposto ao
vértice C, e como o lado oposto ao vértice A foi dividido em duas partes, chamamos o segmento BD como m e o
segmento DC como a – m. Entre as propriedades trigonométricas conhecidas, podemos aplicar o Teorema de
Pitágoras no triângulo ABD:
c² = m² + h² → h² = c² – m²
Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, agora para o triângulo ADC, teremos:
b² = h² + (a – m)²
Substituindo nessa equação o valor encontrado anteriormente para h², teremos:
b² = h² + (a – m)²
b² = c² – m² + (a – m)²
b² = c² – m² + a² – 2am + m²
b² = c² + a² – 2am
Mas a medida do comprimento do lado m pode ser dada através de:
cos = m → m = c . cos
c
Substituindo o valor encontrado para m na fórmula anterior, teremos:
b² = c² + a² – 2am
b² = c² + a² – 2ac.cos
Essa equação encontrada é o que chamamos de “Lei dos Cossenos”. Analogamente ao que foi feito, podemos
escrever outras duas equações que compõem também a lei dos cossenos:
64
c² = a² + b² – 2ab.cos
a² = b² + c² – 2bc.cos Â
Podemos então definir que, em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos
quadrados das medidasdos outros dois lados menos o dobro do produto das medidasdesses lados pelo
cosseno do ângulo formado por esses lados. A lei dos cossenos pode ser também aplicada a triângulos
retângulos e obtusângulos.
Nos casos em que não podemos aplicar a lei dos senos, temos o recurso da lei dos cossenos. Ela nos permite trabalhar
com a medida de dois segmentos e a medida de um ângulo. Dessa forma, se dado um triângulo ABC de lados medindo
a, b e c, temos:
a² = b² + c² - 2 * b * c * cos A
b² = a² + c² - 2 * a * c * cos B
c² = a² + b² - 2 * a * b * cos C
Exemplo 2
Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir:
x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º
x² = 36 + 64 – 96 * 1/2
x² = 100 – 48
x² = 52
√x² = √52
x = 2√13
Exemplo 3
Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Determine a medida do terceiro
lado.
De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma, aplicamos a fórmula da
lei dos cossenos da seguinte maneira:
x² = (6√3)² + 8² - 2 * 6√3 * 8 * cos 30º
x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2
x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2
x² = 172 – 48 * 3
x² = 172 – 144
x² = 28
x = 2√7 cm
Vejamos a resolução de um exemplo:
Considere um triângulo que possui dois lados de medidas 10 e 12 cm. O encontro desses lados forma um
ângulo de 60°. Qual é o valor da medida do terceiro lado do triângulo?
Para iniciar a resolução desse problema, vamos fazer um esboço do triângulo descrito:
Esboço do triângulo descrito no exemplo 1
Seja a = 12, b = x, c = 10 , = 60°, aplicando a lei dos cossenos, teremos:
65
b² = c² + a² – 2ac.cos
x² = 10² + 12² – 2.12.10.cos 60°
x² = 100 + 144 – 240.½
x² = 244 – 120
x² = 124
x = √124
x = 2√31 cm
x ≈ 11,13 cm
Portanto, o terceiro lado do triângulo mede aproximadamente 11,13 cm.
Razões trigonométricas
O Seno, Cosseno e a Tangente são funções trigonométricas obtidas através das razões entre as medidas dos lados
dos triângulos retângulos – triângulos que possuem um ângulo reto, ângulo que mede 90°.
As funções seno, cosseno e a tangente são obtidas através das razões entre a hipotenusa e os catetos adjacente e
oposto do triângulo retângulo.
Seno
O seno é uma função trigonométrica periódica limitada obtida através da razão entre o cateto oposto e a hipotenusa no
triângulo retângulo.
Esta razão entre os lados do triângulo é dado pela fórmula:
Cosseno
O cosseno é uma função trigonométrica periódica limitada obtidas através da razão entre o cateto adjacente e a
hipotenusa do triângulo retângulo.
Esta razão entre os lados do triângulo é dado pela fórmula:
Tangente
A tangente é uma função trigonométrica periódica ilimitada obtida através da razão entre o cateto oposto e o cateto
adjacente no triângulo retângulo.
Esta razão entre os lados do triângulo é dado pela fórmula:
Tabela Trigonométrica e Ângulos Notáveis
A tabela trigonométrica contém os valores para cada ângulo de 0° a 90° do triângulo retângulo.
Alguns ângulos são utilizados com muita frequência em questões envolvendo essas funções trigonométricas. Os
ângulos de 30°, 45° e 60° são conhecidos como ângulos notáveis. Os valores para o seno, cosseno e a tangente
desses ângulos estão na tabela a seguir:
Considere o triângulo retângulo abaixo:
66
Cálculo do Seno:
Para calcular o seno, utilizamos a seguinte fórmula:
Então:
Seno(θ) = 2⁄10 = 0,2
Cálculo do Cosseno:
Para calcular o cosseno, utilizamos a seguinte fórmula:
Então:
cosseno(θ) = 5⁄10 = 0,5
Cálculo da Tangente:
Para calcular a tangente, utilizamos a seguinte fórmula:
Então:
tangente(θ) = 2⁄5 = 0,4
Calcule o valor de x do triângulo abaixo:
Observando o triângulo, temos um ângulo de 30°. A medida x que queremos encontrar é o cateto oposto ao ângulo de
30°.
Dessa forma, a razão trigonométrica mais adequada que envolve o cateto oposto e a hipotenusa é o seno.
Então:
Seno(30) = x/6 ⇒ 1/2 = x/6 ⇒ x = 1/2 . 6 ⇒ x = 3
Na tabela trigonométrica o seno de 30 é 1/2.
Testando seus conhecimentos
1)Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a
altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral
Apostila revisão geral

More Related Content

Similar to Apostila revisão geral

Easy maths
Easy mathsEasy maths
Easy maths
Senthil Kanth
 
1 numbers
1   numbers1   numbers
1 numbers
prabhatgandu
 
1 chap
1 chap1 chap
1 chap
1 chap1 chap
Y7 m280115workw ithnumb1
Y7 m280115workw ithnumb1Y7 m280115workw ithnumb1
Y7 m280115workw ithnumb1
3SNEducation
 
1.numbers
1.numbers1.numbers
1.numbers
Akhilesh Sharma
 
Real numbers
Real numbersReal numbers
Real numbers
Supriya Anand
 
Números Reales
Números Reales Números Reales
Números Reales
DargelisGomez1
 
Números reales y Plano numérico
Números reales y Plano numérico Números reales y Plano numérico
Números reales y Plano numérico
SarayAlvarez6
 
Introduction to Prime Numbers
Introduction to Prime NumbersIntroduction to Prime Numbers
Introduction to Prime Numbers
Luke Dunn
 
นำเสนอจำนวนจริงเพิ่มเติม
นำเสนอจำนวนจริงเพิ่มเติมนำเสนอจำนวนจริงเพิ่มเติม
นำเสนอจำนวนจริงเพิ่มเติม
Nittaya Noinan
 
Numero reales CO-0407
Numero reales CO-0407Numero reales CO-0407
Numero reales CO-0407
YarimarVargas2
 
1-Introduction-to-Maths.pdf
1-Introduction-to-Maths.pdf1-Introduction-to-Maths.pdf
1-Introduction-to-Maths.pdf
lordivinaPelegrino
 
9+&+10+English+_+Class+09+CBSE+2020+_Formula+Cheat+Sheet+_+Number+System+&+Po...
9+&+10+English+_+Class+09+CBSE+2020+_Formula+Cheat+Sheet+_+Number+System+&+Po...9+&+10+English+_+Class+09+CBSE+2020+_Formula+Cheat+Sheet+_+Number+System+&+Po...
9+&+10+English+_+Class+09+CBSE+2020+_Formula+Cheat+Sheet+_+Number+System+&+Po...
ghghghg3
 
Number system.pdf
Number system.pdfNumber system.pdf
Number system.pdf
DeepuGuna
 
Unidad 2 numeros_reales_y_plano_numerico
Unidad 2 numeros_reales_y_plano_numericoUnidad 2 numeros_reales_y_plano_numerico
Unidad 2 numeros_reales_y_plano_numerico
Arianny Cuevas
 
CMO-olympiad-book-for-Class-3.pdf
CMO-olympiad-book-for-Class-3.pdfCMO-olympiad-book-for-Class-3.pdf
CMO-olympiad-book-for-Class-3.pdf
PabitraMandal23
 
Matematicas unidad 2
Matematicas unidad 2Matematicas unidad 2
Matematicas unidad 2
AndreaFreitez
 
PPT- rational and irrational numbers.ppt
PPT- rational and irrational numbers.pptPPT- rational and irrational numbers.ppt
PPT- rational and irrational numbers.ppt
ssusere252741
 
Presentación de Matemática Modulo II
Presentación de Matemática Modulo IIPresentación de Matemática Modulo II
Presentación de Matemática Modulo II
CristianPintoSantafe
 

Similar to Apostila revisão geral (20)

Easy maths
Easy mathsEasy maths
Easy maths
 
1 numbers
1   numbers1   numbers
1 numbers
 
1 chap
1 chap1 chap
1 chap
 
1 chap
1 chap1 chap
1 chap
 
Y7 m280115workw ithnumb1
Y7 m280115workw ithnumb1Y7 m280115workw ithnumb1
Y7 m280115workw ithnumb1
 
1.numbers
1.numbers1.numbers
1.numbers
 
Real numbers
Real numbersReal numbers
Real numbers
 
Números Reales
Números Reales Números Reales
Números Reales
 
Números reales y Plano numérico
Números reales y Plano numérico Números reales y Plano numérico
Números reales y Plano numérico
 
Introduction to Prime Numbers
Introduction to Prime NumbersIntroduction to Prime Numbers
Introduction to Prime Numbers
 
นำเสนอจำนวนจริงเพิ่มเติม
นำเสนอจำนวนจริงเพิ่มเติมนำเสนอจำนวนจริงเพิ่มเติม
นำเสนอจำนวนจริงเพิ่มเติม
 
Numero reales CO-0407
Numero reales CO-0407Numero reales CO-0407
Numero reales CO-0407
 
1-Introduction-to-Maths.pdf
1-Introduction-to-Maths.pdf1-Introduction-to-Maths.pdf
1-Introduction-to-Maths.pdf
 
9+&+10+English+_+Class+09+CBSE+2020+_Formula+Cheat+Sheet+_+Number+System+&+Po...
9+&+10+English+_+Class+09+CBSE+2020+_Formula+Cheat+Sheet+_+Number+System+&+Po...9+&+10+English+_+Class+09+CBSE+2020+_Formula+Cheat+Sheet+_+Number+System+&+Po...
9+&+10+English+_+Class+09+CBSE+2020+_Formula+Cheat+Sheet+_+Number+System+&+Po...
 
Number system.pdf
Number system.pdfNumber system.pdf
Number system.pdf
 
Unidad 2 numeros_reales_y_plano_numerico
Unidad 2 numeros_reales_y_plano_numericoUnidad 2 numeros_reales_y_plano_numerico
Unidad 2 numeros_reales_y_plano_numerico
 
CMO-olympiad-book-for-Class-3.pdf
CMO-olympiad-book-for-Class-3.pdfCMO-olympiad-book-for-Class-3.pdf
CMO-olympiad-book-for-Class-3.pdf
 
Matematicas unidad 2
Matematicas unidad 2Matematicas unidad 2
Matematicas unidad 2
 
PPT- rational and irrational numbers.ppt
PPT- rational and irrational numbers.pptPPT- rational and irrational numbers.ppt
PPT- rational and irrational numbers.ppt
 
Presentación de Matemática Modulo II
Presentación de Matemática Modulo IIPresentación de Matemática Modulo II
Presentación de Matemática Modulo II
 

More from Salomao Lucio Dos Santos

Antropologia da religião 3
Antropologia da religião 3Antropologia da religião 3
Antropologia da religião 3
Salomao Lucio Dos Santos
 
Antropologia da religião 4 mito, rito, magia,
Antropologia da religião 4 mito, rito, magia,Antropologia da religião 4 mito, rito, magia,
Antropologia da religião 4 mito, rito, magia,
Salomao Lucio Dos Santos
 
Antropologia da religião 2
Antropologia da religião 2Antropologia da religião 2
Antropologia da religião 2
Salomao Lucio Dos Santos
 
Antropologia da religião
Antropologia da religiãoAntropologia da religião
Antropologia da religião
Salomao Lucio Dos Santos
 
Antropologia da religião 5 - antropologia no brasil
Antropologia da religião 5 - antropologia no brasilAntropologia da religião 5 - antropologia no brasil
Antropologia da religião 5 - antropologia no brasil
Salomao Lucio Dos Santos
 
Antropologia e cultura olhares e discursos sobre os brasileiros
Antropologia e cultura  olhares e discursos sobre os brasileirosAntropologia e cultura  olhares e discursos sobre os brasileiros
Antropologia e cultura olhares e discursos sobre os brasileiros
Salomao Lucio Dos Santos
 
Antropologia e cultura
Antropologia e culturaAntropologia e cultura
Antropologia e cultura
Salomao Lucio Dos Santos
 
As scolas de antropologia
As scolas de antropologiaAs scolas de antropologia
As scolas de antropologia
Salomao Lucio Dos Santos
 
Atropologia e cultura pricila farfan barroso
Atropologia e cultura   pricila farfan barrosoAtropologia e cultura   pricila farfan barroso
Atropologia e cultura pricila farfan barroso
Salomao Lucio Dos Santos
 
Castro celso evolucionismo-cultural
Castro celso evolucionismo-culturalCastro celso evolucionismo-cultural
Castro celso evolucionismo-cultural
Salomao Lucio Dos Santos
 
Cultura e identidade brasileiras
Cultura e identidade brasileirasCultura e identidade brasileiras
Cultura e identidade brasileiras
Salomao Lucio Dos Santos
 
Estudos culturais e antropologicos
Estudos culturais e antropologicosEstudos culturais e antropologicos
Estudos culturais e antropologicos
Salomao Lucio Dos Santos
 
Antropologia cultura
Antropologia   culturaAntropologia   cultura
Antropologia cultura
Salomao Lucio Dos Santos
 
Antropologia da religião​​​​​​​,
Antropologia da religião​​​​​​​,Antropologia da religião​​​​​​​,
Antropologia da religião​​​​​​​,
Salomao Lucio Dos Santos
 
Resumo cinematica e dinâmica para alunos
Resumo cinematica e dinâmica para alunosResumo cinematica e dinâmica para alunos
Resumo cinematica e dinâmica para alunos
Salomao Lucio Dos Santos
 
Dinãmica
DinãmicaDinãmica

More from Salomao Lucio Dos Santos (16)

Antropologia da religião 3
Antropologia da religião 3Antropologia da religião 3
Antropologia da religião 3
 
Antropologia da religião 4 mito, rito, magia,
Antropologia da religião 4 mito, rito, magia,Antropologia da religião 4 mito, rito, magia,
Antropologia da religião 4 mito, rito, magia,
 
Antropologia da religião 2
Antropologia da religião 2Antropologia da religião 2
Antropologia da religião 2
 
Antropologia da religião
Antropologia da religiãoAntropologia da religião
Antropologia da religião
 
Antropologia da religião 5 - antropologia no brasil
Antropologia da religião 5 - antropologia no brasilAntropologia da religião 5 - antropologia no brasil
Antropologia da religião 5 - antropologia no brasil
 
Antropologia e cultura olhares e discursos sobre os brasileiros
Antropologia e cultura  olhares e discursos sobre os brasileirosAntropologia e cultura  olhares e discursos sobre os brasileiros
Antropologia e cultura olhares e discursos sobre os brasileiros
 
Antropologia e cultura
Antropologia e culturaAntropologia e cultura
Antropologia e cultura
 
As scolas de antropologia
As scolas de antropologiaAs scolas de antropologia
As scolas de antropologia
 
Atropologia e cultura pricila farfan barroso
Atropologia e cultura   pricila farfan barrosoAtropologia e cultura   pricila farfan barroso
Atropologia e cultura pricila farfan barroso
 
Castro celso evolucionismo-cultural
Castro celso evolucionismo-culturalCastro celso evolucionismo-cultural
Castro celso evolucionismo-cultural
 
Cultura e identidade brasileiras
Cultura e identidade brasileirasCultura e identidade brasileiras
Cultura e identidade brasileiras
 
Estudos culturais e antropologicos
Estudos culturais e antropologicosEstudos culturais e antropologicos
Estudos culturais e antropologicos
 
Antropologia cultura
Antropologia   culturaAntropologia   cultura
Antropologia cultura
 
Antropologia da religião​​​​​​​,
Antropologia da religião​​​​​​​,Antropologia da religião​​​​​​​,
Antropologia da religião​​​​​​​,
 
Resumo cinematica e dinâmica para alunos
Resumo cinematica e dinâmica para alunosResumo cinematica e dinâmica para alunos
Resumo cinematica e dinâmica para alunos
 
Dinãmica
DinãmicaDinãmica
Dinãmica
 

Recently uploaded

International Conference on NLP, Artificial Intelligence, Machine Learning an...
International Conference on NLP, Artificial Intelligence, Machine Learning an...International Conference on NLP, Artificial Intelligence, Machine Learning an...
International Conference on NLP, Artificial Intelligence, Machine Learning an...
gerogepatton
 
Computational Engineering IITH Presentation
Computational Engineering IITH PresentationComputational Engineering IITH Presentation
Computational Engineering IITH Presentation
co23btech11018
 
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part III
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part IIIRecycled Concrete Aggregate in Construction Part III
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part III
Aditya Rajan Patra
 
CSM Cloud Service Management Presentarion
CSM Cloud Service Management PresentarionCSM Cloud Service Management Presentarion
CSM Cloud Service Management Presentarion
rpskprasana
 
A SYSTEMATIC RISK ASSESSMENT APPROACH FOR SECURING THE SMART IRRIGATION SYSTEMS
A SYSTEMATIC RISK ASSESSMENT APPROACH FOR SECURING THE SMART IRRIGATION SYSTEMSA SYSTEMATIC RISK ASSESSMENT APPROACH FOR SECURING THE SMART IRRIGATION SYSTEMS
A SYSTEMATIC RISK ASSESSMENT APPROACH FOR SECURING THE SMART IRRIGATION SYSTEMS
IJNSA Journal
 
官方认证美国密歇根州立大学毕业证学位证书原版一模一样
官方认证美国密歇根州立大学毕业证学位证书原版一模一样官方认证美国密歇根州立大学毕业证学位证书原版一模一样
官方认证美国密歇根州立大学毕业证学位证书原版一模一样
171ticu
 
Redefining brain tumor segmentation: a cutting-edge convolutional neural netw...
Redefining brain tumor segmentation: a cutting-edge convolutional neural netw...Redefining brain tumor segmentation: a cutting-edge convolutional neural netw...
Redefining brain tumor segmentation: a cutting-edge convolutional neural netw...
IJECEIAES
 
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part II
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part IIRecycled Concrete Aggregate in Construction Part II
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part II
Aditya Rajan Patra
 
Modelagem de um CSTR com reação endotermica.pdf
Modelagem de um CSTR com reação endotermica.pdfModelagem de um CSTR com reação endotermica.pdf
Modelagem de um CSTR com reação endotermica.pdf
camseq
 
BPV-GUI-01-Guide-for-ASME-Review-Teams-(General)-10-10-2023.pdf
BPV-GUI-01-Guide-for-ASME-Review-Teams-(General)-10-10-2023.pdfBPV-GUI-01-Guide-for-ASME-Review-Teams-(General)-10-10-2023.pdf
BPV-GUI-01-Guide-for-ASME-Review-Teams-(General)-10-10-2023.pdf
MIGUELANGEL966976
 
DEEP LEARNING FOR SMART GRID INTRUSION DETECTION: A HYBRID CNN-LSTM-BASED MODEL
DEEP LEARNING FOR SMART GRID INTRUSION DETECTION: A HYBRID CNN-LSTM-BASED MODELDEEP LEARNING FOR SMART GRID INTRUSION DETECTION: A HYBRID CNN-LSTM-BASED MODEL
DEEP LEARNING FOR SMART GRID INTRUSION DETECTION: A HYBRID CNN-LSTM-BASED MODEL
gerogepatton
 
CHINA’S GEO-ECONOMIC OUTREACH IN CENTRAL ASIAN COUNTRIES AND FUTURE PROSPECT
CHINA’S GEO-ECONOMIC OUTREACH IN CENTRAL ASIAN COUNTRIES AND FUTURE PROSPECTCHINA’S GEO-ECONOMIC OUTREACH IN CENTRAL ASIAN COUNTRIES AND FUTURE PROSPECT
CHINA’S GEO-ECONOMIC OUTREACH IN CENTRAL ASIAN COUNTRIES AND FUTURE PROSPECT
jpsjournal1
 
Embedded machine learning-based road conditions and driving behavior monitoring
Embedded machine learning-based road conditions and driving behavior monitoringEmbedded machine learning-based road conditions and driving behavior monitoring
Embedded machine learning-based road conditions and driving behavior monitoring
IJECEIAES
 
KuberTENes Birthday Bash Guadalajara - K8sGPT first impressions
KuberTENes Birthday Bash Guadalajara - K8sGPT first impressionsKuberTENes Birthday Bash Guadalajara - K8sGPT first impressions
KuberTENes Birthday Bash Guadalajara - K8sGPT first impressions
Victor Morales
 
ML Based Model for NIDS MSc Updated Presentation.v2.pptx
ML Based Model for NIDS MSc Updated Presentation.v2.pptxML Based Model for NIDS MSc Updated Presentation.v2.pptx
ML Based Model for NIDS MSc Updated Presentation.v2.pptx
JamalHussainArman
 
Unit-III-ELECTROCHEMICAL STORAGE DEVICES.ppt
Unit-III-ELECTROCHEMICAL STORAGE DEVICES.pptUnit-III-ELECTROCHEMICAL STORAGE DEVICES.ppt
Unit-III-ELECTROCHEMICAL STORAGE DEVICES.ppt
KrishnaveniKrishnara1
 
Electric vehicle and photovoltaic advanced roles in enhancing the financial p...
Electric vehicle and photovoltaic advanced roles in enhancing the financial p...Electric vehicle and photovoltaic advanced roles in enhancing the financial p...
Electric vehicle and photovoltaic advanced roles in enhancing the financial p...
IJECEIAES
 
The Python for beginners. This is an advance computer language.
The Python for beginners. This is an advance computer language.The Python for beginners. This is an advance computer language.
The Python for beginners. This is an advance computer language.
sachin chaurasia
 
Iron and Steel Technology Roadmap - Towards more sustainable steelmaking.pdf
Iron and Steel Technology Roadmap - Towards more sustainable steelmaking.pdfIron and Steel Technology Roadmap - Towards more sustainable steelmaking.pdf
Iron and Steel Technology Roadmap - Towards more sustainable steelmaking.pdf
RadiNasr
 
ACEP Magazine edition 4th launched on 05.06.2024
ACEP Magazine edition 4th launched on 05.06.2024ACEP Magazine edition 4th launched on 05.06.2024
ACEP Magazine edition 4th launched on 05.06.2024
Rahul
 

Recently uploaded (20)

International Conference on NLP, Artificial Intelligence, Machine Learning an...
International Conference on NLP, Artificial Intelligence, Machine Learning an...International Conference on NLP, Artificial Intelligence, Machine Learning an...
International Conference on NLP, Artificial Intelligence, Machine Learning an...
 
Computational Engineering IITH Presentation
Computational Engineering IITH PresentationComputational Engineering IITH Presentation
Computational Engineering IITH Presentation
 
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part III
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part IIIRecycled Concrete Aggregate in Construction Part III
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part III
 
CSM Cloud Service Management Presentarion
CSM Cloud Service Management PresentarionCSM Cloud Service Management Presentarion
CSM Cloud Service Management Presentarion
 
A SYSTEMATIC RISK ASSESSMENT APPROACH FOR SECURING THE SMART IRRIGATION SYSTEMS
A SYSTEMATIC RISK ASSESSMENT APPROACH FOR SECURING THE SMART IRRIGATION SYSTEMSA SYSTEMATIC RISK ASSESSMENT APPROACH FOR SECURING THE SMART IRRIGATION SYSTEMS
A SYSTEMATIC RISK ASSESSMENT APPROACH FOR SECURING THE SMART IRRIGATION SYSTEMS
 
官方认证美国密歇根州立大学毕业证学位证书原版一模一样
官方认证美国密歇根州立大学毕业证学位证书原版一模一样官方认证美国密歇根州立大学毕业证学位证书原版一模一样
官方认证美国密歇根州立大学毕业证学位证书原版一模一样
 
Redefining brain tumor segmentation: a cutting-edge convolutional neural netw...
Redefining brain tumor segmentation: a cutting-edge convolutional neural netw...Redefining brain tumor segmentation: a cutting-edge convolutional neural netw...
Redefining brain tumor segmentation: a cutting-edge convolutional neural netw...
 
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part II
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part IIRecycled Concrete Aggregate in Construction Part II
Recycled Concrete Aggregate in Construction Part II
 
Modelagem de um CSTR com reação endotermica.pdf
Modelagem de um CSTR com reação endotermica.pdfModelagem de um CSTR com reação endotermica.pdf
Modelagem de um CSTR com reação endotermica.pdf
 
BPV-GUI-01-Guide-for-ASME-Review-Teams-(General)-10-10-2023.pdf
BPV-GUI-01-Guide-for-ASME-Review-Teams-(General)-10-10-2023.pdfBPV-GUI-01-Guide-for-ASME-Review-Teams-(General)-10-10-2023.pdf
BPV-GUI-01-Guide-for-ASME-Review-Teams-(General)-10-10-2023.pdf
 
DEEP LEARNING FOR SMART GRID INTRUSION DETECTION: A HYBRID CNN-LSTM-BASED MODEL
DEEP LEARNING FOR SMART GRID INTRUSION DETECTION: A HYBRID CNN-LSTM-BASED MODELDEEP LEARNING FOR SMART GRID INTRUSION DETECTION: A HYBRID CNN-LSTM-BASED MODEL
DEEP LEARNING FOR SMART GRID INTRUSION DETECTION: A HYBRID CNN-LSTM-BASED MODEL
 
CHINA’S GEO-ECONOMIC OUTREACH IN CENTRAL ASIAN COUNTRIES AND FUTURE PROSPECT
CHINA’S GEO-ECONOMIC OUTREACH IN CENTRAL ASIAN COUNTRIES AND FUTURE PROSPECTCHINA’S GEO-ECONOMIC OUTREACH IN CENTRAL ASIAN COUNTRIES AND FUTURE PROSPECT
CHINA’S GEO-ECONOMIC OUTREACH IN CENTRAL ASIAN COUNTRIES AND FUTURE PROSPECT
 
Embedded machine learning-based road conditions and driving behavior monitoring
Embedded machine learning-based road conditions and driving behavior monitoringEmbedded machine learning-based road conditions and driving behavior monitoring
Embedded machine learning-based road conditions and driving behavior monitoring
 
KuberTENes Birthday Bash Guadalajara - K8sGPT first impressions
KuberTENes Birthday Bash Guadalajara - K8sGPT first impressionsKuberTENes Birthday Bash Guadalajara - K8sGPT first impressions
KuberTENes Birthday Bash Guadalajara - K8sGPT first impressions
 
ML Based Model for NIDS MSc Updated Presentation.v2.pptx
ML Based Model for NIDS MSc Updated Presentation.v2.pptxML Based Model for NIDS MSc Updated Presentation.v2.pptx
ML Based Model for NIDS MSc Updated Presentation.v2.pptx
 
Unit-III-ELECTROCHEMICAL STORAGE DEVICES.ppt
Unit-III-ELECTROCHEMICAL STORAGE DEVICES.pptUnit-III-ELECTROCHEMICAL STORAGE DEVICES.ppt
Unit-III-ELECTROCHEMICAL STORAGE DEVICES.ppt
 
Electric vehicle and photovoltaic advanced roles in enhancing the financial p...
Electric vehicle and photovoltaic advanced roles in enhancing the financial p...Electric vehicle and photovoltaic advanced roles in enhancing the financial p...
Electric vehicle and photovoltaic advanced roles in enhancing the financial p...
 
The Python for beginners. This is an advance computer language.
The Python for beginners. This is an advance computer language.The Python for beginners. This is an advance computer language.
The Python for beginners. This is an advance computer language.
 
Iron and Steel Technology Roadmap - Towards more sustainable steelmaking.pdf
Iron and Steel Technology Roadmap - Towards more sustainable steelmaking.pdfIron and Steel Technology Roadmap - Towards more sustainable steelmaking.pdf
Iron and Steel Technology Roadmap - Towards more sustainable steelmaking.pdf
 
ACEP Magazine edition 4th launched on 05.06.2024
ACEP Magazine edition 4th launched on 05.06.2024ACEP Magazine edition 4th launched on 05.06.2024
ACEP Magazine edition 4th launched on 05.06.2024
 

Apostila revisão geral

  • 1. 1 Caro (a) aluno (a), segue um resumo dos principais tópicos de Matemática da Educação básica. Ao final de cada tópico deixo um “testando seus conhecimentos”, gostaria que fizesse e não se limite somente aos exercícios deixados, pesquise e realize outros. Um abraço, Julio Cordeiro Guimarães O sistema de numeração O sistema de numeração que usamos é chamado de indo –arábico. Seus símbolos e regras foram inventados pelo antigo povo indiano e aperfeiçoados pelos árabes. O matemático árabe do século IX, Al-Khwarizmi, foi um dos responsáveis pela divulgação desse sistema na Europa. “É do nome dele que vem o nome algarismo”. Do século IX ao XV, quase ninguém gostava de fazer cálculos com esses algarismos. Isso mudou com a invenção da imprensa e com a expansão do comércio. A contagem que utilizamos com agrupamentos de 10 em 10, teve a contribuição dos árabes até nos símbolos 1, 2, 3, ,4, 5,6, ,7, 8 e 9. O zero só foi descoberto mais tarde (século XIII d.c). Esses símbolos são chamados de algarismos e compõem o sistema de numeração decimal. Testando seus conhecimentos 1) Henrique escreveu a sequência de números naturais de 1 a 170. Quantos algarismos Henrique escreveu? 2) As letras A, B e C representam algarismos distintos na adição a seguir. Entre as alternativas abaixo qual delas apresenta respectivamente os algarismos relativos a A, B e C a) 1,4 e 8 b) 2,3 e 5 c) 4,5 e 6 d) 1,3 e 9 e) 1,6 e 5 Números romanos No sistema de numeração romano, todo símbolo colocado à direita de outro de valor igual ou maior é somado ao valor daquele símbolo que está à esquerda. Por exemplo: VIII = 5+1+1+1. Os algarismos romanos são usados principalmente: Nos números de capítulos uma obra. Nas cenas de um teatro. Nos nomes de papas e imperadores. Na designação de congressos, olimpíadas, assembleias... Regras A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores: LetrasValores I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66. Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior. Exemplos: VI = 6 XXI = 21 LXVII = 67 A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades.
  • 2. 2 Exemplos: IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900 Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas. Exemplos: XIII = 13 XIV = 14 XXXIII = 33 XXXIV = 34 As letras "V", "L" e "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado. Exemplos: X = 10 C = 100 M = 1.000 Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela. Exemplos: XIX = 19 LIV = 54 CXXIX = 129 O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos. Exemplos: Testando seus conhecimentos Escreva em que século ocorreram os seguintes fatos históricos a) Descobrimento do Brasil (1500)---------- b) Nascimento de Leonardo da Vinci (1452)------- c) Primeira viagem do homem à lua (1969)----------- d) Grande atentado terrorista aos EUA (2001)---------- Divisibilidade de números naturais Se a e b são naturais, com b≠0, dividir a por b é encontrar dois naturais q e r, satisfazendo as condições a=b.q +r r<b No caso, a é o dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto da divisão, sendo todos naturais. Exemplo: Na divisão de 27 por 4, o quociente é 6 e o resto é 3. Existem regras práticas que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não divisível por outro. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2 ou por 5 Analisar o último algarismo (das unidades) Por 2: final 0,2,4,6 ou 8 Por 5: final 0 ou 5. Exemplos: 34678 tem final 8→é por 2 e não é por 5. 123370 tem final 0→é por 2 e por 5. Divisibilidade por 3 ou 9 Analisar a soma dos valores absolutos dos algarismos Por exemplos 5478 tem a soma dos algarismos 5+4+7+8=24, que é divisível por 3, mas não por 9. 2871 tem a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 3 e por 9.
  • 3. 3 Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Divisibilidade por 11 Calcular (soma a dos algarismos de ordem ímpar) menos (soma dos algarismos de ordem par). Se a diferença for múltiplo de 11 (11,22,33,33, etc), o número é divisível por 11. Exemplos: 87549 (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 22-11 = 11. Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 439087 (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 = 10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. Testandoseus conhecimentos 1) A respeito da divisibilidade em N, assinale a alternativa FALSA. a) 251739 não é divisível por 11 b) 82125 é divisível por 15 c) 2325436 é divisível por 2 e por 4, mas não por 8. d) Se um número é divisível por 6 e por 10, então ele é divisível por 60. 2) Dividindo-se um número natural X por 6, obtém-se resto 4. Dos números naturais abaixo, o único que não é divisível por 6 é a) 2X b) X-4 c) X+2 d) 3X
  • 4. 4 Números primos e compostos Todo natural n diferente de 0 e 1possui pelo menos dois divisores naturais:1 e n. Eles são chamados divisores triviais de n, caso existam, são chamados divisores próprios. Dado um número natural n tal que n≠0 e n≠1, dizemos que ele é: Primo: se admite apenas os divisores triviais; Composto: se admite pelo menos um divisor próprio 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. Logo, 10 é um número composto. Observações: 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc, até que tenhamos: - ou uma divisão com resto zero (e neste caso o número não é primo), - ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161:  não é par, portanto não é divisível por 2;  1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;  não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;  por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113:  não é par, portanto não é divisível por 2;  1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;  não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;  por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).  por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é  diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. Decomposição em fatores primos Todo número natural composto pode ser escrito, de forma única, como um produto de fatores primos. Tal processo é chamado fatoração ou decomposição em fatores primos. Decomposição do número 24 em um produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3, todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3. De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição em um produto de fatores primos. Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A figura mostra a fatoração do número 630. Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.
  • 5. 5 Determinação dos divisores de um número Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 1º) decompomos o número em fatores primos; 2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Máximo divisor comum (M.D.C.) Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Alguns exemplos: m.d.c (6,12) = 6 m.d.c (12,20) = 4 m.d.c (20,24) = 4 m.d.c (12,20,24) = 4 m.d.c (6,12,15) = 3 Cálculo do M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5
  • 6. 6 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. Cálculo do M.D.C. pelo processo das divisões sucessivas Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. Números primos entre si Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. Propriedade do M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Múltiplo de um número natural Como 24 é divisível por 3, dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural Mínimo múltiplo comum (M.M.C) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. Cálculo do M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
  • 7. 7 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. Processo da decomposição simultânea Neste processo, decompomos todos os números ao mesmo tempo, em um dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. A seguir vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60). Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 Propriedade do M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados Considere os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. Testandoseus conhecimentos 1) Tenho três filhos, todos adolescentes. O produto de suas idades é 2652. A soma de suas idades é: a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 2) Sendo m e n naturais não –nulos, o número a=9𝑚 . 2𝑛 possui 20 divisores naturais. Determine o número a.
  • 8. 8 3) Três congressos X,Y e Z são realizados na mesma época do ano. O congresso X ocorre a cada 6 anos; Y, a cada 15 anos; Z, a cada 10 anos. Em 1996, os três congressos foram realizados. Em que anos, no século XXI, os três eventos ocorrerão simultaneamente? 4) Possuo três peças de tecido medindo 60m, 48m e 32m. Desejo recortá-las em pedaços de mesmo comprimento, do maior tamanho possível, sem que haja perda de tecido. Quantos serão os pedaços obtidos e qual será a medida de cada pedaço? 5) Se a festa de Natal de um certo ano fosse comemorada num domingo, em que dia da semana se festejaria o Natal quatro anos depois? Números fracionários Chamamos de frações ou números fracionários os números que representam uma ou mais partes de uma figura (ou de uma quantidade) que foi dividida em partes iguais. O símbolo 𝑎 𝑏 significa a:b, sendo a e b números naturais e b≠0; onde a é o numerador e b o denominador. Termos de uma fração: A figura ao lado, por exemplo, representa a fração 2 5 2 → numerador: indica quantas partes foram tomadas; 5→denominador: indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. Testando seus conhecimentos Escreva a fração que representa a) Oito lápis numa caixa com 12 lápis. b) Nove horas em um dia. c) Seis dias em uma quinzena. d) Dez meninas numa turma de trinta pessoas. Como se lê uma fração? Para fazer a leitura de uma fração, lemos o numerador e, em seguida, o nome de cada parte de acordo com o denominador. - Se o denominador for menor que 10, cada parte recebe um nome específico. -Se o denominador for múltiplo de 10,100,1000, ..., cada parte recebe o nome de décimos, centésimos, milésimos... respectivamente. - Se o denominador for maior que 10 e não for múltiplo de dez, cada parte terá o nome do denominador acompanhado da palavra avos. um meio dois quintos um terço quatro sétimos um quarto sete oitavos um quinto quinze nonos
  • 9. 9 um sexto um décimo um sétimo um centésimo um oitavo um milésimo um nono oito milésimos Testandoseus conhecimentos a) A avó de Carminha lhe propôs o seguinte desafio: se você acertar os cálculos para determinar a quantia em dinheiro que tenho na minha bolsa, ele será seu. Só lhe digo que 5 8 desse dinheiro são R$ 36,00. b) Afonso já fez 3 5 do percurso de sua viagem. Sabendo que ele já rodou 240 quilômetros, qual é a distância total que ele percorrerá nessa viagem? Classificação das frações As frações recebem nomes especiais de acordo com suas características. Veja como nomeamos essas frações. Frações próprias: são frações que indicam apenas partes do inteiro, portanto representam números menores que 1. Em toda fração própria, o numerador é menor que o denominador. Exemplos 5 6 , 1 2 𝑒 7 12 Frações impróprias: são frações que indicam partes iguais ou maiores que o inteiro, portanto representam números, iguais ou maiores que 1. Em toda fração imprópria, o numerador é maior ou igual ao denominador. Exemplos: 5 4 , 3 2 , 10 3 Frações aparentes: são frações impróprias que indicam inteiros, portanto representam números naturais. Em toda fração aparente, o numerador é múltiplo do denominador. Exemplos 5 5 , 8 4 𝑒 21 7 Frações equivalentes: Duas ou mais frações que representam a mesma parte de um mesmo inteiro são chamadas de frações equivalentes. Equivalente quer dizer de igual valor. Exemplos: 2 3 ,= 4 6 = 6 9 = 8 12 . Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um mesmo valor, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração data. Testandoseus conhecimentos 1)Classifique as frações seguintes em próprias, impróprias ou aparentes
  • 10. 10 2)Numere a 2 coluna de acordo com a fração equivalente na 1 coluna. Simplificação de frações Simplificar uma fração significa obter uma outra equivalente à dada com números menores em seus termos. Observe como simplificamos a fração 𝟐𝟒 𝟑𝟐 até obter uma fração em que o numerador e o denominador são primos entre si, isto é, o máximo divisor comum deles é o número 1. 𝟐𝟒 𝟑𝟐 = 𝟏𝟐 𝟏𝟔 = 𝟔 𝟖 = 𝟑 𝟒 . Dizemos que a fração 𝟑 𝟒 é irredutível, pois não pode ser mais simplificada. O único divisor comum entre 3 e 4 é 1, pois o m.d.c ( 3,4) =1. 2)
  • 11. 11 Frações decimais Chama –se fração decimal toda fração em que o denominador é uma potência de 10 com expoente natural não – nulo. Transformação de uma fração em decimal em número decimal Exemplos 3 10 = 0,3 → lê –se: três décimos. 49 100 = 0,49 → lê-se: quarenta e nove centésimos. 1349 1000 = 1,349 → lê –se um inteiro e trezentos e quarenta e nove milésimos. 343 10 = 34,3 → lê –se trinta e quatro inteiros e três décimos. Para transformarmos uma fração decimal em número decimal, basta escrevermos o numerador e, da direita para a esquerda, contarmos tantos algarismos quantos forem os zeros do denominador e colocarmos a vírgula. Se for necessário, acrescentamos zeros. Transformação de um número decimal em fração decimal Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escrevemos no numerador o número dado, desconsiderando a vírgula e, no denominador, o número 1 (um ) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Exemplos: a)1,7 = 17 10 b)0,031 = 31 1000 c) 23,49 = 2349 100 Representação decimal de uma fração qualquer Para obter a representação decimal de qualquer fração, basta dividir seu numerador pelodenominador. Ou ainda, podemos multiplicar os termos da fração por um mesmo número até obtermos uma fração decimal (neste caso, o denominador deve ser divisor de 10) .Exemplos 4: 5 = 0,8 ,Ou ainda, 4 5 = 4𝑥2 5𝑥2 = 8 10 = 0,8 Dízimas periódicas A representação decimal de algumas frações são números decimais não-exatos. Esses números são chamados dízimas periódicas. Uma dízima periódica é simples quando possui a parte decimal formada apenas pelo período, isto é, pelo número que se repete infinitamente. Uma dízima periódica é composta quando apresenta na parte decimal um ou mais algarismos antes do período. Esse algarismo ou grupo de algarismos recebe o nome de parte não periódica ou antiperíodo. Dízimas periódicas simples Nas dízimas periódicas simples, o período apresenta-se logo após a vírgula. Veja os exemplos: (Período: 5) ou 5 ̅ (Período: 3)→ ou5 ̅ (Período: 12) ou 5 ̅
  • 12. 12 Dízimas periódicas compostas Nas dízimas periódicas compostas, entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Exemplos: Período: 2 antiperíodo: 0 Período: 4 antiperíodo: 15 Período: 2 Parte não periódica: 1 (antiperíodo Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: Dízima Composta A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma 𝑛 𝑑 , onde: n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: Aplicando seus conhecimentos: Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas: a) 2,666... b) 3,4848... c) 1,7555... d) 0,052121... e) 0,35444... f) -2,5424242... g) 0,0044444.....
  • 13. 13 Adição e subtraçãode números fracionários Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. - Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos: 2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao m.m.c. dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações . Obtendo o m.m.c. dos denominadores temos m.m.c. (5,2) = 10. (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 Resumindo: utilizamos o m.m.c para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: Números inversos Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, dizemos que cada um deles é o inverso do outro. Assim, o inverso de 2 3 é 3 2 , 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, ( 2 3 ) −1 = 3 2 Números mistos Observe as expressões 1 + 1 3 = 1 1 3 , lê –se um inteiro e três quartos.
  • 14. 14 Potenciação O que é potenciação? Seja a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado: 2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16 Denominamos: Base: o número que se repete. Expoente: o número de fatores iguais. Potência: o resultado da operação. A operação efetuada é denominada potenciação. Exemplos: 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625 43 = 4 . 4 . 4 = 64 Leitura Observe alguns exemplos: 3² (lê-se três elevado ao quadrado ou o quadrado de três”) 2³ (lê-se “dois elevado ao cubo ou o cubo de dois”) (lê-se “sete elevado à quarta potência ou a quarta potência de sete”) (lê-se “seis elevado à quinta potência ou a quinta potência de seis”) Observação: Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais. Por exemplo, os números 4, 36 e 100 são quadrados perfeitos, pois 2² = 4, 6² = 36 e 10² = 100 Propriedades da potenciação 1 – Expoente zero Sempre que o expoente de uma potência for zero, com a base diferente de zero, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0: a0 = 1 2 – Expoente unitário Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo apertencente ao conjunto dos números reais. a1 = a 3 – Produto de potências de mesma base O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências. Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:an∙am = an + m Para verificar isso, observe o exemplo:a4·a2 = a·a·a·a·a·a = a6 = a4 + 2 4 – Divisão de potências de mesma base Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas. Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos: an:am = an – m Para verificar isso, observe o exemplo:a9:a7 = a9 – 7 = a2 Isso acontece porque:𝑎9 :𝑎7 = 𝑎9 𝑎7 = 𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎 𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎 = 𝑎. 𝑎 = 𝑎2
  • 15. 15 5 – Potência de potência Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base. Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos: (an)m = an·m 6 – Potência cuja base é uma divisão ou um produto Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números naturais, teremos:(a·b)n = an·bn Se a base for uma divisão, teremos:(a:b)n = an:bn Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração. 7 – Expoentes negativos Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida. Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos: 8 – Potências com expoente racional Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos: Testandoseus conhecimentos 1 - Resolva as potências abaixo: 2 - Simplifique:
  • 16. 16 Radiciação O que é radiciação? Já sabemos que 6² = 36. Aprenderemos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao quadrado equivale a 36. , pois 6 elevados ao quadrado é 36. Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação. Outros exemplos: , pois 2³ = 8. , pois . Sendo assim: Notação Leitura (lê-se “raiz quadrada de 81”) (lê-se “raiz cúbica de 64”) (lê-se “raiz quarta de 16”) Observação: Na indicação de raiz quadrada, podemos omitir o índice 2. Por exemplo, . Raízes de índice par Quando elevamos um número positivo ou um número negativo a um expoente par, o resultado sempre é um número positivo. Exemplo: (-4)² = (-4)(-4) = 16 e (+4)² = (+4)(+4) = 16 Porém, como em matemática o resultado de uma operação deve ser único, fica definido que: Genericamente: Qualquer raiz de índice par de um número positivo é o número positivo que elevado ao expoente correspondente a esse índice equivale ao número dado. Observação: Não existe raiz real de um número negativo se o índice for par. Exemplo: não existe, pois não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê - 4. Raízes de índice ímpar Quando o índice de uma raiz é ímpar e o radicando é positivo, a raiz é positiva. Quando o índice de uma raíz é ímpar e o radicando é negativo, a raiz é negativa. Exemplos:
  • 17. 17 Potência com expoente fracionário Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não-nulo, temos que: Exemplos Propriedades dos radicais Justificativa: Exemplo: Justificativa: Exemplo: Justificativa: Escrevendo em forma de potência com expoente fracionário: Exemplo: Potenciação e radiciação de números fracionários Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
  • 18. 18 Aplicando seus conhecimentos: 1) Calcule o valor de cada expressão numéricas 2) O valor de da expressão abaixo é: 3) O valor da expressão abaixo é: 4) Simplifique a expressão E=30 − ( 1 3 − 1 6 ) −2 : (640,5 − 80,666 …)− 1 2 5) O valor da expressão (−1,3131 … + 1,202020 … [ 3− 6 5 1− 6 5 ] − 32)é: a)-2 b)− 2 3 c) 0 d) 2 3 e) 2 6) Escreva V (Verdadeiro) e F (Falso): a) ( ) 9000 = 9.104 b) ( ) 0,00012 = 1,2.10−3 c) ( ) 0,0000001 = 1.10−8 d) ( ) 12.103 = 12000 e) ( ) 1.10−2 = 0,01 f) ( ) 43.10−5 = 0,00043 g) ( ) 3,9.10−3 = 0,039 h) ( ) 1,3.10−2 = 0,013
  • 19. 19 Medidas de superfície As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: Qual a área desta sala? Qual a área desse apartamento? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir esta piscina? Qual a área dessa quadra de futebol de salão? Qual a área pintada dessa parede? Superfície e área Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2 O dam2, o hm2 e km2 sao utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies. Exemplos 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 12, 56 Lê-se "12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados". Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 78, 30 Lê-se "178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados" . 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 91 70 Lê-se 9.170 decímetros quadrados. Medidas agrárias As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). Unidade agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca) Equivalência de valor 100a 1a 0,01a Lembre-se: 1 ha = 1hm2 1a = 1 dam2 1ca = 1m2
  • 20. 20 Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: Observe as seguintes transformações:  transformar 2,36 m2 em mm2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100). 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2  transformar 580,2 dam2 em km2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100). 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Medidas de volume Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 m3 Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar, porém, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos:  Leia a seguinte medida: 75,84m3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 75, 840 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".  Leia a medida: 0,0064dm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 0, 006 400 Lê-se "6400 centímetros cúbicos". Transformação de unidades Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
  • 21. 21 Observe a seguinte transformação:  Transformar 2,45 m3 para dm3. km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000. 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,132 km3 em hm3 2) Transforme 180 hm3 em km3 3) Transforme 1 dm3 em dam3 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 Medidas de capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente. Afinal, quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 1l = 1dm3 Múltiplos e submúltiplos do litro Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilolitro Hectolitro decalitro Litro decilitro centilitro mililitro Kl Hl dal L dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Relações: 1l = 1dm3 1ml = 1cm3 1kl = 1m3 Leitura das medidas de capacidade  Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal Kl Hl Dal l dl cl ml 2, 4 7 8 Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". Transformação de unidades Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação:  transformar 3,19 l para ml. Kl Hl dal l dl cl ml Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10). 3,19 x 1.000 = 3.190 ml Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 7,15 kl em dl 2) Transforme 6,5 hl em l 3) Transforme 90,6 ml em l 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Medidas de massa Observe a distinção entre os conceitos de massa e peso:
  • 22. 22  Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.  Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: a massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar. Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC. Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa. Múltiplos e submúltiplos do grama Múltiplos Unidade principal Submúltiplos quilograma Hectograma decagrama Grama decigrama centigrama miligrama Kg Hg dag G dg cg mg 1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg Leitura das medidas de massa A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:  Leia a seguinte medida: 83,731 hg. kg hg Dag g dg cg mg 8 3, 7 3 1 Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".  Leia a medida: 0,043g. kg hg dag g dg cg mg 0, 0 4 3 Lê-se " 43 miligramas". Relações importantes Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade. Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência: 1 kg <=> 1dm3 <=> 1L São válidas também as relações: 1m3 <=> 1 Kl <=> 1t 1cm3 <=> 1ml <=> 1g Observação: Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais: 1 arroba = 15 kg 1 tonelada (t) = 1.000 kg 1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg Transformação de unidades Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe as seguintes transformações:  Transforme 4,627 kg em dag. kg hg dag g dg cg mg Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 4,627 x 100 = 462,7 Ou seja: 4,627 kg = 462,7 dag Observação: em algumas situações você pode encontrar os termos "peso bruto" e "peso líquido", que significam:
  • 23. 23 Peso bruto: peso do produto com a embalagem. Peso líquido: peso somente do produto. Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Medidas de tempo É comum em nosso dia a dia ouvirmos perguntas do tipo:  Qual a duração dessa partida de futebol?  Qual o tempo dessa viagem?  Qual a duração desse curso?  Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo. A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. Segundo O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio. As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal. Múltiplos e submúltiplos do segundo Quadro de unidades Múltiplos Minutos hora dia Min h d 60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s São submúltiplos do segundo:  décimo de segundo  centésimo de segundo  milésimo de segundo Cuidado: nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe: Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Medidas de Comprimento Sistema Métrico Decimal Desde a antiguidade, os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio, ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. Metro A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil, o metro foi adotado oficialmente em 1928. Múltiplos e submúltiplos do metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
  • 24. 24 quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Km Hm dam m Dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5 · 1012 km O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, sendo utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: Pé = 30,48 cm Polegada = 2,54 cm Jarda = 91,44 cm Milha terrestre = 1.609 m Milha marítima = 1.852 m Observe que: 1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés Leitura das medidas de comprimento A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. Sequência prática: 1º) Escrever o quadro de unidades: Km hm dam m dm cm mm 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva. Km hm dam m dm cm mm 1 5, 0 4 8 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. 15 metros e 48 milímetros Outros exemplos: 6,07 km ( lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros") 82,107 dam (lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros") 0,003 m (lê-se "três milímetros") Transformação de Unidades Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe as seguintes transformações:  Transforme 16,584hm em m. km hm dam m dm cm mm Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja: 16,584hm = 1.658,4m  Transforme 1,463 dam em cm. km hm dam m dm cm mm Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10). 1,463 x 1.000 = 1,463 Ou seja: 1,463dam = 1.463cm.  Transforme 176,9m em dam. km hm dam m dm cm mm Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.
  • 25. 25 176,9 : 10 = 17,69 u seja: 176,9m = 17,69dam  Transforme 978m em km. km hm dam m dm cm mm Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000. 978 : 1.000 = 0,978 Ou seja: 978m = 0,978km. Observação: para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações. Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Testando seus conhecimentos 1) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) A distância entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto. Ao optar pelas mediadas a e b em metros, obtém-se respectivamente a) 0,23 e 0,16. b) 2,3 e 1,6. c) 23 e 16. d) 230 e 160. e) 2 300 e 1 600. 2) Quantos cm3 existem em 10 litros ? a) 10 b) 100 c) 1000 e) 10000 3) Determine o valor em centímetros de 0,375 dam. a) 3,75 dm b) 0,0375 dm c) 3750 dm 4) Foram construídos dois reservatórios de agua. A razão entre os volumes inteiros do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes e 14 m3. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é igual a: a) 8000 b) 6000 c) 4000 d) 6500 e) 9000
  • 26. 26 5) Um reservatório, inicialmente vazio, com capacidade para 8000 litros, recebe agua a razão de 1600cm3 por segundo. O tempo decorrido para que ele fique totalmente cheio e de? a) 1 h 20 min 40 s b) 1 h 31min 30 s c) 1 h 22 min d) 1h 22 min 30 s e) 1 h 23 min Razões O que é uma razão? Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida. Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero o quociente ou a:b. A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:  Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).  Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). Observações: 1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos: A razão entre 1 e -8 é . A razão entre é .
  • 27. 27 Termos de uma razão Observe a razão: (lê-se "a está para b" ou "a para b"). Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo: 3:5 = Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5. Razões inversas Considere as razões . Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, . Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas. Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1. Exemplo: são razões inversas, pois . Perceba que, nas razões inversas, o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa. Observações: 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. Exemplo: O inverso de . Razões equivalentes Dada uma razão entre dois números: Obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero), Exemplos: são razões equivalentes. São razões equivalentes. Razões entre grandezasda mesma espécie Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. Exemplos: 1) Calcular a razão entre a altura de duas crianças, sabendo que a primeira possui uma altura h1= 1,20m e a segunda possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por: 2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2. Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .
  • 28. 28 Razões entre grandezas de espécies diferentes Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas. Exemplos: 1) Consumo médio:  Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução: Razão = Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro") Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km. 2) Velocidade média:  Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão? Solução: Razão = Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora") Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km. 3) Densidade demográfica:  O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão? Solução: Razão = Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado") Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes. 4) Densidade absoluta ou massa específica:  Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?  Solução: Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3 Razão = Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico") Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g. Testando seus conhecimentos 1) Numa escola estudam 270 meninos e 180 meninos. A razão entre o número de meninas?? 2) Um atleta masculino salta uma distância de 8,10m, enquanto que uma feminina salta 6,60m. Qual a razão entre o salto feminino pelo salto do masculino? 3) Dois terrenos quadrados têm, respectivamente 10m e 0,20cm de lado. Qual a razão da área do primeiro pelo perímetro do segundo terreno? 4) Divida o número 240 em partes inversamente proporcionais a: a) 1 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 2 e 4 e) 5 e 3 f) 5 e 7 g) 120 e 120
  • 29. 29 5) Um arame e cortado em duas partes, na razão 3 para 2, Com cada parte se forma um quadrado. Qual a razão entre o perímetro do quadrado maior e o perímetro do quadrado menor? a) 9 para 4 b) 3 para 2 c) 5 para 3 d) 5 para 2 e) 12 pra 5 6) Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres e de 2 :3 e entre o número de mulheres e crianças e 8:1. A razão entre o número de adultos e crianças é: a) 5:1 b) 16:1 c) 12:1 d) 40:1 e) 13:1 7) Se um relógio com defeito atrasa 2 minutos por dia, quantos dias se passara para o atraso ser de 1 hora? a) 60 b) 50 c) 30 d) 20 e) 15 Expressões algébricas Expressões algébricas são um conjunto de operações matemáticas básicas aplicadas a números conhecidos e a números desconhecidos. Para representar esses números desconhecidos, são utilizadas letras. É mais comum utilizar as letras x e y, mas isso não significa que elas são as únicas. Em alguns casos, são utilizadas letras do alfabeto grego e até símbolos diversos. Observe os exemplos de expressões algébricas abaixo: 1) 12x2 + 16y + 4ab 2) x + y 3) 4 + 7a Todas essas expressões possuem letras representando números e números sendo somados e multiplicados. Igualdade Toda expressão algébrica que possuir uma igualdade em sua composição será chamada de equação. Observe alguns exemplos: 1) x + 2 = 7 2) 12x2 + 16y + 4ab = 7 3) 1:x = 3 A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma equação. É a igualdade que relaciona uma operação matemática aplicada em alguns números com o seu resultado. Portanto, a igualdade é peça fundamental ao procurar os resultados de uma equação. Equação do primeiro grau com uma incógnita É uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi criada para ajudar as pessoas a encontrarem soluções para problemas nos quais um número não é conhecido. Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível encontrar esses dois números por meio de equações. Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o significado da definição dada acima. Por exemplo: Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x? Ora, sabemos que x é um número que, subtraído por 14, tem 8 como resultado. Observe que é possível pensar em um resultado “de cabeça” ou pensar em uma estratégia para resolver essa equação. A estratégia pode ser obtida da seguinte maneira: Se x é um número que, subtraído de 14, resulta em 8, então, para encontrar x, basta somar 14 com 8. Desse modo, podemos escrever a seguinte linha de raciocínio: x – 14 = 8 x = 8 + 14 x = 22 Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado. Grau de uma equação
  • 30. 30 O grau de uma equação está relacionado com a quantidade de incógnitas que ela possui. Dizemos que uma equação é de grau 1 quando o maior expoente das suas incógnitas é 1. Uma equação possui grau 2 quando o maior expoente das suas incógnitas é 2 e assim por diante. O grau também pode ser dado pelo produto de incógnitas diferentes. Por exemplo: a equação xy + 2 = y é uma equação de grau 2 porque possui um produto entre duas incógnitas de expoente 1. O grau de uma equação determina quantas soluções a equação possui. Desse modo, uma equação de grau 1 possui apenas 1 resultado (um valor possível para a incógnita); uma equação de grau 2 possui dois resultados e assim sucessivamente. O conjunto Universo ( U) de uma equação é o conjunto de todos os valores que podem ser atribuídos à incógnita da equação. Solução de equações Uma das estratégias de resolução de uma equação faz uso do pensamento acima. Repare que, observando as duas equações (x – 14 = 8 e x = 8 + 14), é possível imaginar que o número 14 trocou de lado da igualdade com um efeito colateral: trocou o seu sinal de negativo para positivo. Essa é uma das regras para solução de equações que estão listadas a seguir: Regra 1 – Do lado direito da igualdade, só permanecem números que não possuem incógnita; do lado esquerdo, apenas números que possuem; Regra 2 – Para trocar números de lado, possuindo ou não incógnita, é necessário trocar o sinal deles; Regra 3 – Feitos os passos 1 e 2, realize os cálculos que forem possíveis. Lembre-se de que os números que possuem incógnita podem ser somados se a incógnita for a mesma. Para isso, some apenas o número que as acompanha. Regra 4 – Ao final, deve-se isolar a incógnita. Para isso, o número que a acompanha deverá ser passado para o lado direito da equação dividindo os seus componentes. Regra 5 – Se for necessário trocar de lado um número que está no denominador de uma fração, ele deverá passar para o outro lado multiplicando. Exemplos 1) Qual o valor de x na equação 4x + 4 = 2x – 8? Solução: Seguindo a primeira e segunda regras, obteremos a seguinte linha de raciocínio: 4x + 4 = 2x – 8 4x – 2x = – 8 – 4 Agora, realize a terceira regra para obter: 2x = – 12 Por fim, realize a regra 4: 2x = – 12 x = –12 2 x = – 6 Portanto, o valor de x é – 6. 2) Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, quais são esses dois números? Solução: Observe que os números são desconhecidos, mas são consecutivos. Ser consecutivo significa que o segundo é uma unidade maior que o primeiro. Por exemplo, 1 e 2 são consecutivos porque 2 é uma unidade maior que 1. Se os números consecutivos são desconhecidos, representaremos eles por uma letra (no caso x) e somaremos 1 ao primeiro para obter o segundo. Além disso, sabendo que a soma entre os dois tem 11 como resultado, podemos escrever: x + (x + 1) = 11 x + x + 1 = 11 Pelas regras 1 e 2, obtenha: x + x = 11 – 1 Pela regra 3, observe o resultado: 2x = 10 Utilizando a regra 4, obtenha: 2x = 10 x = 10 2 x = 5 Testando seus conhecimentos 1) Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento.
  • 31. 31 2) Resolva as equações abaixo: a) x - 3 = 9 b) 4x - 9 = 1 - 2x c) x + 5=20 - 4x d) 9x - 4x + 10 = 7x – 30 2) Resolva os problemas de equações de 1 grau. a)A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos. b)Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento? c)A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos. Proporções O que é uma proporção? Exemplo: Rogerão e Claudinho passeiam com seus cachorros. A massa de Rogerão é de 120kg, e de seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim: Proporção é uma igualdade entre duas razões. Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção. Exemplo: Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 Propriedade fundamental das proporções Observe as seguintes proporções: Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120
  • 32. 32 Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180 Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360 De modo geral, temos que: Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Aplicações da propriedade fundamental Determinação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos:  Determine o valor de x na proporção: Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120 x = 24 Logo, o valor de x é 24.  Determine o valor de x na proporção: Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19 x = Logo, o valor de x é .  Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução: (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 8 . 35 5x = 280 x = 56 Logo, o valor de x é 56. Exemplo:  Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários ? Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
  • 33. 33 Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3. (aplicando a propriedade fundamental) 1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2 x = 50 m3 Logo, são necessários 50 m3 de água salgada. Quarta proporcional Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que: Exemplo:  Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6. Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção: (aplicando a propriedade fundamental) 8 . x = 12 . 6 8 . x = 72 x = 9 Logo, a quarta proporcional é 9. Proporção contínua Considere a seguinte proporção: . Observe que os seus meios são iguais, sendo por isso denominada proporção contínua. Assim: Proporção contínua é toda à proporção que apresenta os meios iguais. De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por: Terceira proporcional Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que: Exemplo:  Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. Solução: Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção: (aplicando a propriedade fundamental) 20 . x = 10 . 10 20x = 100 x = 5 Logo, a terceira proporcional é 5.
  • 34. 34 Média geométrica ou média proporcional Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:  Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. Solução: 5 . 20 = b . b 100 = b2 b2 = 100 b = b = 10 Logo, a média geométrica positiva é 10. Propriedades das proporções  1ª propriedade  Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).  Demonstração: Considere as proporções:  e Adicionando 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos: Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos: Exemplo:  Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84. Solução: Assim: x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36. Logo, x=36 e y=48. 2ª propriedade Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Demonstração: Considere as proporções:
  • 35. 35 e Subtraindo 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos: Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos (Mult. os 2 membros por -1) Exemplo:  Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção . Solução: Pela 2ª propriedade, temos que: x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. Logo, x=30 e y=12. 3ª propriedade: Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Demonstração: Considere a proporção: Permutando os meios, temos: Aplicando a 1ª propriedade, obtemos: Permutando os meios, finalmente obtemos: 4ª propriedade: Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Demonstração: Considere a proporção:
  • 36. 36 Permutando os meios, temos: Aplicando a 2ª propriedade, obtemos: Permutando os meios, finalmente obtemos: Exemplo:  Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção . Solução: Pela 4ª propriedade, temos que: 5ª propriedade: Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente. Demonstração: Considere a proporção: Multiplicando os dois membros por , temos: Assim: Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo: Proporção múltipla Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim: é uma proporção múltipla. Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:
  • 37. 37 Grandezas proporcionais O que é grandeza? Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza sao: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia a dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:  Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.  Em um forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção. Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) 5 100 10 200 15 300 20 400 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min --> 100Kg 10 min --> 200Kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min --> 100Kg 15 min --> 300Kg Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante, obtendo assim um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo: Velocidade (m/s) Tempo (s) 5 200 8 125 10 100 16 62,5 20 50
  • 38. 38 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s --> 200s 10 m/s --> 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s --> 200s 20 m/s --> 50s Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Testando seus conhecimentos 1) 2 2) 3)
  • 39. 39 4) Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
  • 40. 40 Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x Observe que, aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x Observe que, diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
  • 41. 41 Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que, aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação, temos: Logo, serão necessários 25 caminhões. 2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16 Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
  • 42. 42 Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostrado abaixo: Montando a proporção e resolvendo a equação, temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. Testando seus conhecimentos 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? 6) Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos caminhões iguais a esse seriam necessários? 7) A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos? 8) Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? 9) Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas horas por dia deve trabalhar esse pintor para que ele possa pintar 6.000 telhas em 4 dias? 10) Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos cada?
  • 43. 43 11) Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia? 12) Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus? 13) Sabendo que os números a, 12 e 15 são diretamente proporcionais aos números 28, b e 20, determine os números a e b. 14) Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada na vertical em relação ao chão e projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura? 15) Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco? 16) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 17) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? 18) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas. 19) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura? Porcentagem É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00. O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00. Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos à seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos
  • 44. 44  Calcular 10% de 300.  Calcular 25% de 200kg. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. Testando seus conhecimentos 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Fator de Multiplicação Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja outros exemplos na tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00. No caso de haver um decréscimo, teremos: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja exemplos na tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 Testando seus conhecimentos 1)Em certo trimestre, as cadernetas de poupança renderam 2,1% de correção monetária. Paulo deixou R$ 1000,00 depositados durante os três meses. Quanto Paulo resgatou? 2) Em um colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Quantos alunos têm esse colégio?
  • 45. 45 3)Ricardo comprou um terreno e, por ter pagado à vista, ganhou 15% de desconto, fazendo uma economia de R$ 2.250,00. Determine o preço do terreno 4) Área das figuras planas Retângulo Quadrado Triângulo Triângulo equilátero Paralelogramo
  • 46. 46 Trapézio Losango Polígonos A palavra "polígono" vem da palavra grega "polúgonos", que significa ter muitos lados ou ângulos. Na geometria, polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada. Classificação dos polígonos Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Se usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura: NÚMERO DE LADOS (OU ÂNGULOS) NOME DO POLÍGONO EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE ÂNGULOS EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE LADOS 3 Triângulo Trilátero 4 quadrângulo Quadrilátero 5 Pentágono pentalátero 6 Hexágono hexalátero 7 Heptágono heptalátero 8 Octógono octolátero 9 Eneágono enealátero 10 Decágono decalátero 11 undecágono undecalátero 12 dodecágono dodecalátero 15 pentadecágono pentadecalátero 20 icoságono icosalátero Perímetro de um polígono Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. Perímetro do retângulo O perímetro de um retângulo é calculado da seguinte forma: b - base ou comprimento h - altura ou largura Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h) Perímetro dos polígonos regulares
  • 47. 47 Triângulo equilátero Quadrado P = l+ l + l P = 3 · l P = l + l + l+ l P = 4 · l Pentágono Hexágono P = l + l + l + l + l P = 5 · l P = l + l + l + l + l + l P = 6 · l l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular Para um polígono de n lados, temos: P = n · l Comprimento da circunferência Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?  Envolva a roda com um barbante.  Marque o início e o fim desta volta no barbante.  Estique-o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda. Medindo essa dimensão, você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental. Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. Assim: O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.
  • 48. 48 Logo: Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da roda obtido experimentalmente. C = 2 r C = 2. 3,14 · 20 C = 125,6 cm Testando seus conhecimentos 5) 6)
  • 49. 49 7) 8) 9) Propriedades operatórias dos radicais Radical de um produto Justificativa: Exemplo: Radical de um quociente Justificativa: Exemplo: Mudança de índice Justificativa: Exemplo:
  • 50. 50 Simplificação de radicais Confira a seguir alguns exemplos de simplificação de radicais, com base nas propriedades operatórias do item anterior: Radicais semelhantes Radicais semelhantes sao aqueles que têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Exemplos: Adição e subtração de radicais 1º caso: Radicais semelhantes Fazemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica. Exemplos: 2º caso: Radicais semelhantes após simplificação Depois de obter radicais semelhantes, procedemos como no 1º caso. 3º caso: Os radicais não são semelhantes Extraímos as raízes e efetuamos as operações. Multiplicação e divisão de radicais 1º caso: Os radicais têm o mesmo índice Efetuamos a operações entre os radicandos. 2º caso: Os radicais não têm o mesmo índice Primeiramente os reduzimos ao mesmo índice e depois efetuamos as operações. Multiplicação e divisão de radicais 1º caso: Os radicais têm o mesmo índice Efetuamos a operação entre os radicandos. 2º caso: Os radicais não têm o mesmo índice Primeiramente os reduzimos ao mesmo índice e depois efetuamos as operações.
  • 51. 51 Radical de um radical Para obter a raiz de uma raiz, devemos conservar o radicando e multiplicar os índices. Veja a justificativa dessa propriedade através de um exemplo: Outros exemplos: Racionalização de denominadores Considere a fração , cujo denominador é um número irracional. Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente: Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores. A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador. Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. Principais casos de racionalização 1º caso: O denominador é um radical de índice 2. Exemplo: é o fator racionalizante de , pois = a 2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, ou a soma (ou diferença) de dois termos. Neste caso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fraçao por um termo conveniente, para que desapareça o radical que se encontra no denominador. Exemplo: A seguir, os principais fatores racionalizantes, de acordo com o tipo do denominador. é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de Veja outro exemplo:
  • 52. 52 Testando seus conhecimentos 1) Se então, X está compreendido entre: 2) 3) 4) 5) Fábio efetuou a operação 3 2 2  qual o resultado que Fábio encontrou? a) 3,1 b) 4,5 c) 5,1 d) 6,2 e) 7,0 6) Qual é o valor de ? 27 0 16 25 3 16     y
  • 53. 53 a) 0 b) 1 c) 2 d)4 e) 5 Teorema de Pitágoras O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Fórmula do teorema de Pitágoras Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a. Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c. O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir: Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Demonstração do teorema de Pitágoras Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura: O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD. AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2 O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH. AEFGH = a2 Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes: O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:
  • 54. 54 ATriângulo = b·c 2 O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então: AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter: a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc 2 a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc a2 = b2 + c2 Outra demonstração... N
  • 55. 55 Exemplos 1) Determine o valor de x no triângulo a seguir. Resolução: Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte: 132 = 122 + x2 Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos: x2 = 25 x =5 Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm. Resolução: Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:
  • 56. 56 Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que: 202 = c2 + c2 2c2 = 400 c2 = 200 Testando seus conhecimentos 1) (PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 2). (Enem) Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: a) 1,9m b) 2,1m c) 2,0m d) 1,8m e) 2,2m
  • 57. 57 3) Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro. A altura desse muro é: a) 2,3 m b) 3,0 m c) 3,2 m d) 3,3 m 4) A figura a seguir mostra uma antena retransmissora de rádio de 72m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aços que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30m do pé da antena. A quantidade (em metros) aproximada de cabo que será gasta para sustentar a antena é: a) 234 b) 156 c) 102 d) 306 5)Uma empresa de iluminação necessita esticar um cabo de energia provisório do topo de um edifício, cujo formato é um retângulo, a um determinado ponto do solo distante a 6 metros, como ilustra a figura a seguir. O comprimento desse cabo de energia, em metros, será de: a) 28 b)14 c)12 d) 10 e) 8 6)Determine os catetos de um triangulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60°. a) 3√3 e 3 b) 2√3 e 3 c) 3√3 e √3 d) 2√3 e √3 e) √3 e 3 Teorema de Tales
  • 58. 58 O Teorema de Talesé uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais. O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome. O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. A partir disso, ele conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na sombra que ela projetava. Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos de razão e proporção, que até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias. Enunciado O enunciado do Teorema de Tales é expresso pela sentença: “a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos proporcionais.” Exemplo Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo: Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: M, N e O. Logo, de acordo com o Teorema de Tales: Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF. Teorema de Talesnos Triângulos O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se aplica o teorema: De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da seguinte forma:
  • 59. 59 Δ ABC ~ Δ AED Testando seus conhecimentos 2)
  • 60. 60 3) Razões trigonométricas no triângulo retângulo Lei dos senos e Lei dos cossenos LEI DOS SENOS Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer. Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei. Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB. No triângulo ACH, temos que: No triângulo BCH, temos que: De (I) e (II), obtemos: Assim, podemos concluir que: Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos. A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para qualquer triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado. Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos.
  • 61. 61 Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo: Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos: Sabemos que sen 120o = sen 60o. Assim, teremos: Testando seus conhecimentos 1) (Mackenzie – SP) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala 1:10000, como na figura. Das alternativas, a que melhor se aproxima de distância entre as ilhas A e B é: a) 2,3 km b) 2,1 km c) 1,9 km d) 1,4 km e) 1,7 km 2)No triângulo a seguir, determine a medida do lado AC, tendo em vista as medidas presentes nele. (Use √2 = 1,4 e √3 = 1,7).
  • 62. 62 a) 8,2 cm b) 12,2 cm c) 14 cm d) 17 cm e) 17,2 cm 3)No triângulo a seguir, qual é a medida do segmento AC, destacada pela letra x, dado que essas medidas estão em centímetros? a) 2 cm b) 2√3 cm c) 3√2 cm d) 3√3 cm e) 4√2 cm 4)Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos 𝐶𝐵 ̂𝐴 = 57° e 𝐴𝐶 ̂𝐵 = 59°. Sabendo que 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = 30𝑚, calcule, em metros, a distância 𝐴𝐵 ̅̅̅̅. (Dados: s𝑒𝑛 59° ≅ 0,87 𝑒 𝑠𝑒𝑛 64° ≅ 0,90). Lei dos cossenos A lei dos cossenos permite encontrar o valor da medida de um lado de um triângulo qualquer se a medida dos outros lados e o ângulo por eles formado forem conhecidos.
  • 63. 63 Conheça a lei dos cossenos, uma propriedade trigonométrica que pode ser aplicada em qualquer triângulo Algumas das propriedades trigonométricas que estudamos são válidas apenas para triângulos retângulos, mas existem propriedades que podem ser aplicadas em quaisquer triângulos, tais como a lei dos senos e a lei dos cossenos, sobre a qual falaremos mais detalhadamente. A lei dos cossenos pode ser aplicada a qualquer triângulo. No triângulo acutângulo a seguir, vamos traçar sua altura (h), isto é, uma reta saindo do vértice A que forma um ângulo de 90° com o lado BC: Ao traçar a altura de um triângulo acutângulo, transformamos esse triângulo em dois triângulos retângulos. Para facilitar a análise desse triângulo, identificamos como b o lado oposto ao vértice B, c como o lado oposto ao vértice C, e como o lado oposto ao vértice A foi dividido em duas partes, chamamos o segmento BD como m e o segmento DC como a – m. Entre as propriedades trigonométricas conhecidas, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD: c² = m² + h² → h² = c² – m² Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, agora para o triângulo ADC, teremos: b² = h² + (a – m)² Substituindo nessa equação o valor encontrado anteriormente para h², teremos: b² = h² + (a – m)² b² = c² – m² + (a – m)² b² = c² – m² + a² – 2am + m² b² = c² + a² – 2am Mas a medida do comprimento do lado m pode ser dada através de: cos = m → m = c . cos c Substituindo o valor encontrado para m na fórmula anterior, teremos: b² = c² + a² – 2am b² = c² + a² – 2ac.cos Essa equação encontrada é o que chamamos de “Lei dos Cossenos”. Analogamente ao que foi feito, podemos escrever outras duas equações que compõem também a lei dos cossenos:
  • 64. 64 c² = a² + b² – 2ab.cos a² = b² + c² – 2bc.cos  Podemos então definir que, em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidasdos outros dois lados menos o dobro do produto das medidasdesses lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. A lei dos cossenos pode ser também aplicada a triângulos retângulos e obtusângulos. Nos casos em que não podemos aplicar a lei dos senos, temos o recurso da lei dos cossenos. Ela nos permite trabalhar com a medida de dois segmentos e a medida de um ângulo. Dessa forma, se dado um triângulo ABC de lados medindo a, b e c, temos: a² = b² + c² - 2 * b * c * cos A b² = a² + c² - 2 * a * c * cos B c² = a² + b² - 2 * a * b * cos C Exemplo 2 Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir: x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º x² = 36 + 64 – 96 * 1/2 x² = 100 – 48 x² = 52 √x² = √52 x = 2√13 Exemplo 3 Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Determine a medida do terceiro lado. De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma, aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira: x² = (6√3)² + 8² - 2 * 6√3 * 8 * cos 30º x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2 x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2 x² = 172 – 48 * 3 x² = 172 – 144 x² = 28 x = 2√7 cm Vejamos a resolução de um exemplo: Considere um triângulo que possui dois lados de medidas 10 e 12 cm. O encontro desses lados forma um ângulo de 60°. Qual é o valor da medida do terceiro lado do triângulo? Para iniciar a resolução desse problema, vamos fazer um esboço do triângulo descrito: Esboço do triângulo descrito no exemplo 1 Seja a = 12, b = x, c = 10 , = 60°, aplicando a lei dos cossenos, teremos:
  • 65. 65 b² = c² + a² – 2ac.cos x² = 10² + 12² – 2.12.10.cos 60° x² = 100 + 144 – 240.½ x² = 244 – 120 x² = 124 x = √124 x = 2√31 cm x ≈ 11,13 cm Portanto, o terceiro lado do triângulo mede aproximadamente 11,13 cm. Razões trigonométricas O Seno, Cosseno e a Tangente são funções trigonométricas obtidas através das razões entre as medidas dos lados dos triângulos retângulos – triângulos que possuem um ângulo reto, ângulo que mede 90°. As funções seno, cosseno e a tangente são obtidas através das razões entre a hipotenusa e os catetos adjacente e oposto do triângulo retângulo. Seno O seno é uma função trigonométrica periódica limitada obtida através da razão entre o cateto oposto e a hipotenusa no triângulo retângulo. Esta razão entre os lados do triângulo é dado pela fórmula: Cosseno O cosseno é uma função trigonométrica periódica limitada obtidas através da razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa do triângulo retângulo. Esta razão entre os lados do triângulo é dado pela fórmula: Tangente A tangente é uma função trigonométrica periódica ilimitada obtida através da razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente no triângulo retângulo. Esta razão entre os lados do triângulo é dado pela fórmula: Tabela Trigonométrica e Ângulos Notáveis A tabela trigonométrica contém os valores para cada ângulo de 0° a 90° do triângulo retângulo. Alguns ângulos são utilizados com muita frequência em questões envolvendo essas funções trigonométricas. Os ângulos de 30°, 45° e 60° são conhecidos como ângulos notáveis. Os valores para o seno, cosseno e a tangente desses ângulos estão na tabela a seguir: Considere o triângulo retângulo abaixo:
  • 66. 66 Cálculo do Seno: Para calcular o seno, utilizamos a seguinte fórmula: Então: Seno(θ) = 2⁄10 = 0,2 Cálculo do Cosseno: Para calcular o cosseno, utilizamos a seguinte fórmula: Então: cosseno(θ) = 5⁄10 = 0,5 Cálculo da Tangente: Para calcular a tangente, utilizamos a seguinte fórmula: Então: tangente(θ) = 2⁄5 = 0,4 Calcule o valor de x do triângulo abaixo: Observando o triângulo, temos um ângulo de 30°. A medida x que queremos encontrar é o cateto oposto ao ângulo de 30°. Dessa forma, a razão trigonométrica mais adequada que envolve o cateto oposto e a hipotenusa é o seno. Então: Seno(30) = x/6 ⇒ 1/2 = x/6 ⇒ x = 1/2 . 6 ⇒ x = 3 Na tabela trigonométrica o seno de 30 é 1/2. Testando seus conhecimentos 1)Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a: