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• 2. 2 Exemplos: IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900 Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas. Exemplos: XIII = 13 XIV = 14 XXXIII = 33 XXXIV = 34 As letras "V", "L" e "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado. Exemplos: X = 10 C = 100 M = 1.000 Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela. Exemplos: XIX = 19 LIV = 54 CXXIX = 129 O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos. Exemplos: Testando seus conhecimentos Escreva em que século ocorreram os seguintes fatos históricos a) Descobrimento do Brasil (1500)---------- b) Nascimento de Leonardo da Vinci (1452)------- c) Primeira viagem do homem à lua (1969)----------- d) Grande atentado terrorista aos EUA (2001)---------- Divisibilidade de números naturais Se a e b são naturais, com b≠0, dividir a por b é encontrar dois naturais q e r, satisfazendo as condições a=b.q +r r<b No caso, a é o dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto da divisão, sendo todos naturais. Exemplo: Na divisão de 27 por 4, o quociente é 6 e o resto é 3. Existem regras práticas que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não divisível por outro. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2 ou por 5 Analisar o último algarismo (das unidades) Por 2: final 0,2,4,6 ou 8 Por 5: final 0 ou 5. Exemplos: 34678 tem final 8→é por 2 e não é por 5. 123370 tem final 0→é por 2 e por 5. Divisibilidade por 3 ou 9 Analisar a soma dos valores absolutos dos algarismos Por exemplos 5478 tem a soma dos algarismos 5+4+7+8=24, que é divisível por 3, mas não por 9. 2871 tem a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 3 e por 9.
• 3. 3 Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Divisibilidade por 11 Calcular (soma a dos algarismos de ordem ímpar) menos (soma dos algarismos de ordem par). Se a diferença for múltiplo de 11 (11,22,33,33, etc), o número é divisível por 11. Exemplos: 87549 (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 22-11 = 11. Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 439087 (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 = 10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. Testandoseus conhecimentos 1) A respeito da divisibilidade em N, assinale a alternativa FALSA. a) 251739 não é divisível por 11 b) 82125 é divisível por 15 c) 2325436 é divisível por 2 e por 4, mas não por 8. d) Se um número é divisível por 6 e por 10, então ele é divisível por 60. 2) Dividindo-se um número natural X por 6, obtém-se resto 4. Dos números naturais abaixo, o único que não é divisível por 6 é a) 2X b) X-4 c) X+2 d) 3X
• 4. 4 Números primos e compostos Todo natural n diferente de 0 e 1possui pelo menos dois divisores naturais:1 e n. Eles são chamados divisores triviais de n, caso existam, são chamados divisores próprios. Dado um número natural n tal que n≠0 e n≠1, dizemos que ele é: Primo: se admite apenas os divisores triviais; Composto: se admite pelo menos um divisor próprio 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. Logo, 10 é um número composto. Observações: 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc, até que tenhamos: - ou uma divisão com resto zero (e neste caso o número não é primo), - ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161:  não é par, portanto não é divisível por 2;  1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;  não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;  por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113:  não é par, portanto não é divisível por 2;  1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;  não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;  por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).  por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é  diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. Decomposição em fatores primos Todo número natural composto pode ser escrito, de forma única, como um produto de fatores primos. Tal processo é chamado fatoração ou decomposição em fatores primos. Decomposição do número 24 em um produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3, todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3. De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição em um produto de fatores primos. Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A figura mostra a fatoração do número 630. Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.
• 5. 5 Determinação dos divisores de um número Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 1º) decompomos o número em fatores primos; 2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Máximo divisor comum (M.D.C.) Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Alguns exemplos: m.d.c (6,12) = 6 m.d.c (12,20) = 4 m.d.c (20,24) = 4 m.d.c (12,20,24) = 4 m.d.c (6,12,15) = 3 Cálculo do M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5
• 6. 6 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. Cálculo do M.D.C. pelo processo das divisões sucessivas Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. Números primos entre si Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. Propriedade do M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Múltiplo de um número natural Como 24 é divisível por 3, dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural Mínimo múltiplo comum (M.M.C) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. Cálculo do M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
• 9. 9 um sexto um décimo um sétimo um centésimo um oitavo um milésimo um nono oito milésimos Testandoseus conhecimentos a) A avó de Carminha lhe propôs o seguinte desafio: se você acertar os cálculos para determinar a quantia em dinheiro que tenho na minha bolsa, ele será seu. Só lhe digo que 5 8 desse dinheiro são R$36,00. b) Afonso já fez 3 5 do percurso de sua viagem. Sabendo que ele já rodou 240 quilômetros, qual é a distância total que ele percorrerá nessa viagem? Classificação das frações As frações recebem nomes especiais de acordo com suas características. Veja como nomeamos essas frações. Frações próprias: são frações que indicam apenas partes do inteiro, portanto representam números menores que 1. Em toda fração própria, o numerador é menor que o denominador. Exemplos 5 6 , 1 2 𝑒 7 12 Frações impróprias: são frações que indicam partes iguais ou maiores que o inteiro, portanto representam números, iguais ou maiores que 1. Em toda fração imprópria, o numerador é maior ou igual ao denominador. Exemplos: 5 4 , 3 2 , 10 3 Frações aparentes: são frações impróprias que indicam inteiros, portanto representam números naturais. Em toda fração aparente, o numerador é múltiplo do denominador. Exemplos 5 5 , 8 4 𝑒 21 7 Frações equivalentes: Duas ou mais frações que representam a mesma parte de um mesmo inteiro são chamadas de frações equivalentes. Equivalente quer dizer de igual valor. Exemplos: 2 3 ,= 4 6 = 6 9 = 8 12 . Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um mesmo valor, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração data. Testandoseus conhecimentos 1)Classifique as frações seguintes em próprias, impróprias ou aparentes • 10. 10 2)Numere a 2 coluna de acordo com a fração equivalente na 1 coluna. Simplificação de frações Simplificar uma fração significa obter uma outra equivalente à dada com números menores em seus termos. Observe como simplificamos a fração 𝟐𝟒 𝟑𝟐 até obter uma fração em que o numerador e o denominador são primos entre si, isto é, o máximo divisor comum deles é o número 1. 𝟐𝟒 𝟑𝟐 = 𝟏𝟐 𝟏𝟔 = 𝟔 𝟖 = 𝟑 𝟒 . Dizemos que a fração 𝟑 𝟒 é irredutível, pois não pode ser mais simplificada. O único divisor comum entre 3 e 4 é 1, pois o m.d.c ( 3,4) =1. 2) • 11. 11 Frações decimais Chama –se fração decimal toda fração em que o denominador é uma potência de 10 com expoente natural não – nulo. Transformação de uma fração em decimal em número decimal Exemplos 3 10 = 0,3 → lê –se: três décimos. 49 100 = 0,49 → lê-se: quarenta e nove centésimos. 1349 1000 = 1,349 → lê –se um inteiro e trezentos e quarenta e nove milésimos. 343 10 = 34,3 → lê –se trinta e quatro inteiros e três décimos. Para transformarmos uma fração decimal em número decimal, basta escrevermos o numerador e, da direita para a esquerda, contarmos tantos algarismos quantos forem os zeros do denominador e colocarmos a vírgula. Se for necessário, acrescentamos zeros. Transformação de um número decimal em fração decimal Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escrevemos no numerador o número dado, desconsiderando a vírgula e, no denominador, o número 1 (um ) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Exemplos: a)1,7 = 17 10 b)0,031 = 31 1000 c) 23,49 = 2349 100 Representação decimal de uma fração qualquer Para obter a representação decimal de qualquer fração, basta dividir seu numerador pelodenominador. Ou ainda, podemos multiplicar os termos da fração por um mesmo número até obtermos uma fração decimal (neste caso, o denominador deve ser divisor de 10) .Exemplos 4: 5 = 0,8 ,Ou ainda, 4 5 = 4𝑥2 5𝑥2 = 8 10 = 0,8 Dízimas periódicas A representação decimal de algumas frações são números decimais não-exatos. Esses números são chamados dízimas periódicas. Uma dízima periódica é simples quando possui a parte decimal formada apenas pelo período, isto é, pelo número que se repete infinitamente. Uma dízima periódica é composta quando apresenta na parte decimal um ou mais algarismos antes do período. Esse algarismo ou grupo de algarismos recebe o nome de parte não periódica ou antiperíodo. Dízimas periódicas simples Nas dízimas periódicas simples, o período apresenta-se logo após a vírgula. Veja os exemplos: (Período: 5) ou 5 ̅ (Período: 3)→ ou5 ̅ (Período: 12) ou 5 ̅ • 12. 12 Dízimas periódicas compostas Nas dízimas periódicas compostas, entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Exemplos: Período: 2 antiperíodo: 0 Período: 4 antiperíodo: 15 Período: 2 Parte não periódica: 1 (antiperíodo Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: Dízima Composta A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma 𝑛 𝑑 , onde: n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: Aplicando seus conhecimentos: Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas: a) 2,666... b) 3,4848... c) 1,7555... d) 0,052121... e) 0,35444... f) -2,5424242... g) 0,0044444..... • 13. 13 Adição e subtraçãode números fracionários Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. - Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos: 2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao m.m.c. dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações . Obtendo o m.m.c. dos denominadores temos m.m.c. (5,2) = 10. (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 Resumindo: utilizamos o m.m.c para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: Números inversos Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, dizemos que cada um deles é o inverso do outro. Assim, o inverso de 2 3 é 3 2 , 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, ( 2 3 ) −1 = 3 2 Números mistos Observe as expressões 1 + 1 3 = 1 1 3 , lê –se um inteiro e três quartos. • 14. 14 Potenciação O que é potenciação? Seja a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado: 2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16 Denominamos: Base: o número que se repete. Expoente: o número de fatores iguais. Potência: o resultado da operação. A operação efetuada é denominada potenciação. Exemplos: 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625 43 = 4 . 4 . 4 = 64 Leitura Observe alguns exemplos: 3² (lê-se três elevado ao quadrado ou o quadrado de três”) 2³ (lê-se “dois elevado ao cubo ou o cubo de dois”) (lê-se “sete elevado à quarta potência ou a quarta potência de sete”) (lê-se “seis elevado à quinta potência ou a quinta potência de seis”) Observação: Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais. Por exemplo, os números 4, 36 e 100 são quadrados perfeitos, pois 2² = 4, 6² = 36 e 10² = 100 Propriedades da potenciação 1 – Expoente zero Sempre que o expoente de uma potência for zero, com a base diferente de zero, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0: a0 = 1 2 – Expoente unitário Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo apertencente ao conjunto dos números reais. a1 = a 3 – Produto de potências de mesma base O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências. Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:an∙am = an + m Para verificar isso, observe o exemplo:a4·a2 = a·a·a·a·a·a = a6 = a4 + 2 4 – Divisão de potências de mesma base Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas. Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos: an:am = an – m Para verificar isso, observe o exemplo:a9:a7 = a9 – 7 = a2 Isso acontece porque:𝑎9 :𝑎7 = 𝑎9 𝑎7 = 𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎 𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎.𝑎 = 𝑎. 𝑎 = 𝑎2 • 15. 15 5 – Potência de potência Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base. Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos: (an)m = an·m 6 – Potência cuja base é uma divisão ou um produto Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números naturais, teremos:(a·b)n = an·bn Se a base for uma divisão, teremos:(a:b)n = an:bn Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração. 7 – Expoentes negativos Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida. Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos: 8 – Potências com expoente racional Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos: Testandoseus conhecimentos 1 - Resolva as potências abaixo: 2 - Simplifique: • 16. 16 Radiciação O que é radiciação? Já sabemos que 6² = 36. Aprenderemos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao quadrado equivale a 36. , pois 6 elevados ao quadrado é 36. Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação. Outros exemplos: , pois 2³ = 8. , pois . Sendo assim: Notação Leitura (lê-se “raiz quadrada de 81”) (lê-se “raiz cúbica de 64”) (lê-se “raiz quarta de 16”) Observação: Na indicação de raiz quadrada, podemos omitir o índice 2. Por exemplo, . Raízes de índice par Quando elevamos um número positivo ou um número negativo a um expoente par, o resultado sempre é um número positivo. Exemplo: (-4)² = (-4)(-4) = 16 e (+4)² = (+4)(+4) = 16 Porém, como em matemática o resultado de uma operação deve ser único, fica definido que: Genericamente: Qualquer raiz de índice par de um número positivo é o número positivo que elevado ao expoente correspondente a esse índice equivale ao número dado. Observação: Não existe raiz real de um número negativo se o índice for par. Exemplo: não existe, pois não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê - 4. Raízes de índice ímpar Quando o índice de uma raiz é ímpar e o radicando é positivo, a raiz é positiva. Quando o índice de uma raíz é ímpar e o radicando é negativo, a raiz é negativa. Exemplos: • 17. 17 Potência com expoente fracionário Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não-nulo, temos que: Exemplos Propriedades dos radicais Justificativa: Exemplo: Justificativa: Exemplo: Justificativa: Escrevendo em forma de potência com expoente fracionário: Exemplo: Potenciação e radiciação de números fracionários Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo: • 18. 18 Aplicando seus conhecimentos: 1) Calcule o valor de cada expressão numéricas 2) O valor de da expressão abaixo é: 3) O valor da expressão abaixo é: 4) Simplifique a expressão E=30 − ( 1 3 − 1 6 ) −2 : (640,5 − 80,666 …)− 1 2 5) O valor da expressão (−1,3131 … + 1,202020 … [ 3− 6 5 1− 6 5 ] − 32)é: a)-2 b)− 2 3 c) 0 d) 2 3 e) 2 6) Escreva V (Verdadeiro) e F (Falso): a) ( ) 9000 = 9.104 b) ( ) 0,00012 = 1,2.10−3 c) ( ) 0,0000001 = 1.10−8 d) ( ) 12.103 = 12000 e) ( ) 1.10−2 = 0,01 f) ( ) 43.10−5 = 0,00043 g) ( ) 3,9.10−3 = 0,039 h) ( ) 1,3.10−2 = 0,013 • 19. 19 Medidas de superfície As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: Qual a área desta sala? Qual a área desse apartamento? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir esta piscina? Qual a área dessa quadra de futebol de salão? Qual a área pintada dessa parede? Superfície e área Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2 O dam2, o hm2 e km2 sao utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies. Exemplos 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 12, 56 Lê-se "12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados". Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 78, 30 Lê-se "178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados" . 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 91 70 Lê-se 9.170 decímetros quadrados. Medidas agrárias As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). Unidade agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca) Equivalência de valor 100a 1a 0,01a Lembre-se: 1 ha = 1hm2 1a = 1 dam2 1ca = 1m2 • 20. 20 Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: Observe as seguintes transformações:  transformar 2,36 m2 em mm2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100). 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2  transformar 580,2 dam2 em km2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100). 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Medidas de volume Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 m3 Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar, porém, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos:  Leia a seguinte medida: 75,84m3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 75, 840 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".  Leia a medida: 0,0064dm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 0, 006 400 Lê-se "6400 centímetros cúbicos". Transformação de unidades Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. • 21. 21 Observe a seguinte transformação:  Transformar 2,45 m3 para dm3. km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000. 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,132 km3 em hm3 2) Transforme 180 hm3 em km3 3) Transforme 1 dm3 em dam3 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 Medidas de capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente. Afinal, quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 1l = 1dm3 Múltiplos e submúltiplos do litro Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilolitro Hectolitro decalitro Litro decilitro centilitro mililitro Kl Hl dal L dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Relações: 1l = 1dm3 1ml = 1cm3 1kl = 1m3 Leitura das medidas de capacidade  Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal Kl Hl Dal l dl cl ml 2, 4 7 8 Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". Transformação de unidades Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação:  transformar 3,19 l para ml. Kl Hl dal l dl cl ml Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10). 3,19 x 1.000 = 3.190 ml Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 7,15 kl em dl 2) Transforme 6,5 hl em l 3) Transforme 90,6 ml em l 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Medidas de massa Observe a distinção entre os conceitos de massa e peso: • 22. 22  Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.  Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: a massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar. Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC. Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa. Múltiplos e submúltiplos do grama Múltiplos Unidade principal Submúltiplos quilograma Hectograma decagrama Grama decigrama centigrama miligrama Kg Hg dag G dg cg mg 1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg Leitura das medidas de massa A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:  Leia a seguinte medida: 83,731 hg. kg hg Dag g dg cg mg 8 3, 7 3 1 Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".  Leia a medida: 0,043g. kg hg dag g dg cg mg 0, 0 4 3 Lê-se " 43 miligramas". Relações importantes Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade. Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência: 1 kg <=> 1dm3 <=> 1L São válidas também as relações: 1m3 <=> 1 Kl <=> 1t 1cm3 <=> 1ml <=> 1g Observação: Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais: 1 arroba = 15 kg 1 tonelada (t) = 1.000 kg 1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg Transformação de unidades Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe as seguintes transformações:  Transforme 4,627 kg em dag. kg hg dag g dg cg mg Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 4,627 x 100 = 462,7 Ou seja: 4,627 kg = 462,7 dag Observação: em algumas situações você pode encontrar os termos "peso bruto" e "peso líquido", que significam: • 23. 23 Peso bruto: peso do produto com a embalagem. Peso líquido: peso somente do produto. Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Medidas de tempo É comum em nosso dia a dia ouvirmos perguntas do tipo:  Qual a duração dessa partida de futebol?  Qual o tempo dessa viagem?  Qual a duração desse curso?  Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo. A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. Segundo O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio. As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal. Múltiplos e submúltiplos do segundo Quadro de unidades Múltiplos Minutos hora dia Min h d 60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s São submúltiplos do segundo:  décimo de segundo  centésimo de segundo  milésimo de segundo Cuidado: nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe: Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Medidas de Comprimento Sistema Métrico Decimal Desde a antiguidade, os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio, ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. Metro A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil, o metro foi adotado oficialmente em 1928. Múltiplos e submúltiplos do metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos • 24. 24 quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Km Hm dam m Dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5 · 1012 km O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, sendo utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: Pé = 30,48 cm Polegada = 2,54 cm Jarda = 91,44 cm Milha terrestre = 1.609 m Milha marítima = 1.852 m Observe que: 1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés Leitura das medidas de comprimento A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. Sequência prática: 1º) Escrever o quadro de unidades: Km hm dam m dm cm mm 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva. Km hm dam m dm cm mm 1 5, 0 4 8 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. 15 metros e 48 milímetros Outros exemplos: 6,07 km ( lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros") 82,107 dam (lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros") 0,003 m (lê-se "três milímetros") Transformação de Unidades Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe as seguintes transformações:  Transforme 16,584hm em m. km hm dam m dm cm mm Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja: 16,584hm = 1.658,4m  Transforme 1,463 dam em cm. km hm dam m dm cm mm Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10). 1,463 x 1.000 = 1,463 Ou seja: 1,463dam = 1.463cm.  Transforme 176,9m em dam. km hm dam m dm cm mm Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10. • 25. 25 176,9 : 10 = 17,69 u seja: 176,9m = 17,69dam  Transforme 978m em km. km hm dam m dm cm mm Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000. 978 : 1.000 = 0,978 Ou seja: 978m = 0,978km. Observação: para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações. Dica: use o nosso conversor on-line para fazer a conversão entre diversas medidas. Testando seus conhecimentos 1) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) A distância entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto. Ao optar pelas mediadas a e b em metros, obtém-se respectivamente a) 0,23 e 0,16. b) 2,3 e 1,6. c) 23 e 16. d) 230 e 160. e) 2 300 e 1 600. 2) Quantos cm3 existem em 10 litros ? a) 10 b) 100 c) 1000 e) 10000 3) Determine o valor em centímetros de 0,375 dam. a) 3,75 dm b) 0,0375 dm c) 3750 dm 4) Foram construídos dois reservatórios de agua. A razão entre os volumes inteiros do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes e 14 m3. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é igual a: a) 8000 b) 6000 c) 4000 d) 6500 e) 9000 • 26. 26 5) Um reservatório, inicialmente vazio, com capacidade para 8000 litros, recebe agua a razão de 1600cm3 por segundo. O tempo decorrido para que ele fique totalmente cheio e de? a) 1 h 20 min 40 s b) 1 h 31min 30 s c) 1 h 22 min d) 1h 22 min 30 s e) 1 h 23 min Razões O que é uma razão? Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida. Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero o quociente ou a:b. A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:  Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).  Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). Observações: 1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos: A razão entre 1 e -8 é . A razão entre é . • 27. 27 Termos de uma razão Observe a razão: (lê-se "a está para b" ou "a para b"). Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo: 3:5 = Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5. Razões inversas Considere as razões . Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, . Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas. Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1. Exemplo: são razões inversas, pois . Perceba que, nas razões inversas, o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa. Observações: 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. Exemplo: O inverso de . Razões equivalentes Dada uma razão entre dois números: Obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero), Exemplos: são razões equivalentes. São razões equivalentes. Razões entre grandezasda mesma espécie Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. Exemplos: 1) Calcular a razão entre a altura de duas crianças, sabendo que a primeira possui uma altura h1= 1,20m e a segunda possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por: 2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2. Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: . • 28. 28 Razões entre grandezas de espécies diferentes Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas. Exemplos: 1) Consumo médio:  Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução: Razão = Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro") Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km. 2) Velocidade média:  Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão? Solução: Razão = Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora") Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km. 3) Densidade demográfica:  O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão? Solução: Razão = Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado") Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes. 4) Densidade absoluta ou massa específica:  Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?  Solução: Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3 Razão = Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico") Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g. Testando seus conhecimentos 1) Numa escola estudam 270 meninos e 180 meninos. A razão entre o número de meninas?? 2) Um atleta masculino salta uma distância de 8,10m, enquanto que uma feminina salta 6,60m. Qual a razão entre o salto feminino pelo salto do masculino? 3) Dois terrenos quadrados têm, respectivamente 10m e 0,20cm de lado. Qual a razão da área do primeiro pelo perímetro do segundo terreno? 4) Divida o número 240 em partes inversamente proporcionais a: a) 1 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 2 e 4 e) 5 e 3 f) 5 e 7 g) 120 e 120 • 29. 29 5) Um arame e cortado em duas partes, na razão 3 para 2, Com cada parte se forma um quadrado. Qual a razão entre o perímetro do quadrado maior e o perímetro do quadrado menor? a) 9 para 4 b) 3 para 2 c) 5 para 3 d) 5 para 2 e) 12 pra 5 6) Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres e de 2 :3 e entre o número de mulheres e crianças e 8:1. A razão entre o número de adultos e crianças é: a) 5:1 b) 16:1 c) 12:1 d) 40:1 e) 13:1 7) Se um relógio com defeito atrasa 2 minutos por dia, quantos dias se passara para o atraso ser de 1 hora? a) 60 b) 50 c) 30 d) 20 e) 15 Expressões algébricas Expressões algébricas são um conjunto de operações matemáticas básicas aplicadas a números conhecidos e a números desconhecidos. Para representar esses números desconhecidos, são utilizadas letras. É mais comum utilizar as letras x e y, mas isso não significa que elas são as únicas. Em alguns casos, são utilizadas letras do alfabeto grego e até símbolos diversos. Observe os exemplos de expressões algébricas abaixo: 1) 12x2 + 16y + 4ab 2) x + y 3) 4 + 7a Todas essas expressões possuem letras representando números e números sendo somados e multiplicados. Igualdade Toda expressão algébrica que possuir uma igualdade em sua composição será chamada de equação. Observe alguns exemplos: 1) x + 2 = 7 2) 12x2 + 16y + 4ab = 7 3) 1:x = 3 A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma equação. É a igualdade que relaciona uma operação matemática aplicada em alguns números com o seu resultado. Portanto, a igualdade é peça fundamental ao procurar os resultados de uma equação. Equação do primeiro grau com uma incógnita É uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi criada para ajudar as pessoas a encontrarem soluções para problemas nos quais um número não é conhecido. Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível encontrar esses dois números por meio de equações. Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o significado da definição dada acima. Por exemplo: Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x? Ora, sabemos que x é um número que, subtraído por 14, tem 8 como resultado. Observe que é possível pensar em um resultado “de cabeça” ou pensar em uma estratégia para resolver essa equação. A estratégia pode ser obtida da seguinte maneira: Se x é um número que, subtraído de 14, resulta em 8, então, para encontrar x, basta somar 14 com 8. Desse modo, podemos escrever a seguinte linha de raciocínio: x – 14 = 8 x = 8 + 14 x = 22 Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado. Grau de uma equação • 30. 30 O grau de uma equação está relacionado com a quantidade de incógnitas que ela possui. Dizemos que uma equação é de grau 1 quando o maior expoente das suas incógnitas é 1. Uma equação possui grau 2 quando o maior expoente das suas incógnitas é 2 e assim por diante. O grau também pode ser dado pelo produto de incógnitas diferentes. Por exemplo: a equação xy + 2 = y é uma equação de grau 2 porque possui um produto entre duas incógnitas de expoente 1. O grau de uma equação determina quantas soluções a equação possui. Desse modo, uma equação de grau 1 possui apenas 1 resultado (um valor possível para a incógnita); uma equação de grau 2 possui dois resultados e assim sucessivamente. O conjunto Universo ( U) de uma equação é o conjunto de todos os valores que podem ser atribuídos à incógnita da equação. Solução de equações Uma das estratégias de resolução de uma equação faz uso do pensamento acima. Repare que, observando as duas equações (x – 14 = 8 e x = 8 + 14), é possível imaginar que o número 14 trocou de lado da igualdade com um efeito colateral: trocou o seu sinal de negativo para positivo. Essa é uma das regras para solução de equações que estão listadas a seguir: Regra 1 – Do lado direito da igualdade, só permanecem números que não possuem incógnita; do lado esquerdo, apenas números que possuem; Regra 2 – Para trocar números de lado, possuindo ou não incógnita, é necessário trocar o sinal deles; Regra 3 – Feitos os passos 1 e 2, realize os cálculos que forem possíveis. Lembre-se de que os números que possuem incógnita podem ser somados se a incógnita for a mesma. Para isso, some apenas o número que as acompanha. Regra 4 – Ao final, deve-se isolar a incógnita. Para isso, o número que a acompanha deverá ser passado para o lado direito da equação dividindo os seus componentes. Regra 5 – Se for necessário trocar de lado um número que está no denominador de uma fração, ele deverá passar para o outro lado multiplicando. Exemplos 1) Qual o valor de x na equação 4x + 4 = 2x – 8? Solução: Seguindo a primeira e segunda regras, obteremos a seguinte linha de raciocínio: 4x + 4 = 2x – 8 4x – 2x = – 8 – 4 Agora, realize a terceira regra para obter: 2x = – 12 Por fim, realize a regra 4: 2x = – 12 x = –12 2 x = – 6 Portanto, o valor de x é – 6. 2) Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, quais são esses dois números? Solução: Observe que os números são desconhecidos, mas são consecutivos. Ser consecutivo significa que o segundo é uma unidade maior que o primeiro. Por exemplo, 1 e 2 são consecutivos porque 2 é uma unidade maior que 1. Se os números consecutivos são desconhecidos, representaremos eles por uma letra (no caso x) e somaremos 1 ao primeiro para obter o segundo. Além disso, sabendo que a soma entre os dois tem 11 como resultado, podemos escrever: x + (x + 1) = 11 x + x + 1 = 11 Pelas regras 1 e 2, obtenha: x + x = 11 – 1 Pela regra 3, observe o resultado: 2x = 10 Utilizando a regra 4, obtenha: 2x = 10 x = 10 2 x = 5 Testando seus conhecimentos 1) Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento. • 31. 31 2) Resolva as equações abaixo: a) x - 3 = 9 b) 4x - 9 = 1 - 2x c) x + 5=20 - 4x d) 9x - 4x + 10 = 7x – 30 2) Resolva os problemas de equações de 1 grau. a)A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos. b)Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento? c)A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos. Proporções O que é uma proporção? Exemplo: Rogerão e Claudinho passeiam com seus cachorros. A massa de Rogerão é de 120kg, e de seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim: Proporção é uma igualdade entre duas razões. Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção. Exemplo: Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 Propriedade fundamental das proporções Observe as seguintes proporções: Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120 • 32. 32 Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180 Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360 De modo geral, temos que: Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Aplicações da propriedade fundamental Determinação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos:  Determine o valor de x na proporção: Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120 x = 24 Logo, o valor de x é 24.  Determine o valor de x na proporção: Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19 x = Logo, o valor de x é .  Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução: (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 8 . 35 5x = 280 x = 56 Logo, o valor de x é 56. Exemplo:  Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários ? Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção: • 33. 33 Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3. (aplicando a propriedade fundamental) 1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2 x = 50 m3 Logo, são necessários 50 m3 de água salgada. Quarta proporcional Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que: Exemplo:  Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6. Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção: (aplicando a propriedade fundamental) 8 . x = 12 . 6 8 . x = 72 x = 9 Logo, a quarta proporcional é 9. Proporção contínua Considere a seguinte proporção: . Observe que os seus meios são iguais, sendo por isso denominada proporção contínua. Assim: Proporção contínua é toda à proporção que apresenta os meios iguais. De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por: Terceira proporcional Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que: Exemplo:  Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. Solução: Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção: (aplicando a propriedade fundamental) 20 . x = 10 . 10 20x = 100 x = 5 Logo, a terceira proporcional é 5. • 34. 34 Média geométrica ou média proporcional Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:  Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. Solução: 5 . 20 = b . b 100 = b2 b2 = 100 b = b = 10 Logo, a média geométrica positiva é 10. Propriedades das proporções  1ª propriedade  Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).  Demonstração: Considere as proporções:  e Adicionando 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos: Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos: Exemplo:  Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84. Solução: Assim: x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36. Logo, x=36 e y=48. 2ª propriedade Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Demonstração: Considere as proporções: • 35. 35 e Subtraindo 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos: Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos (Mult. os 2 membros por -1) Exemplo:  Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção . Solução: Pela 2ª propriedade, temos que: x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. Logo, x=30 e y=12. 3ª propriedade: Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Demonstração: Considere a proporção: Permutando os meios, temos: Aplicando a 1ª propriedade, obtemos: Permutando os meios, finalmente obtemos: 4ª propriedade: Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Demonstração: Considere a proporção: • 36. 36 Permutando os meios, temos: Aplicando a 2ª propriedade, obtemos: Permutando os meios, finalmente obtemos: Exemplo:  Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção . Solução: Pela 4ª propriedade, temos que: 5ª propriedade: Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente. Demonstração: Considere a proporção: Multiplicando os dois membros por , temos: Assim: Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo: Proporção múltipla Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim: é uma proporção múltipla. Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever: • 37. 37 Grandezas proporcionais O que é grandeza? Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza sao: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia a dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:  Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.  Em um forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção. Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) 5 100 10 200 15 300 20 400 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min --> 100Kg 10 min --> 200Kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min --> 100Kg 15 min --> 300Kg Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante, obtendo assim um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo: Velocidade (m/s) Tempo (s) 5 200 8 125 10 100 16 62,5 20 50 • 38. 38 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s --> 200s 10 m/s --> 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s --> 200s 20 m/s --> 50s Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Testando seus conhecimentos 1) 2 2) 3) • 39. 39 4) Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: • 40. 40 Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x Observe que, aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x Observe que, diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
• 41. 41 Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que, aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação, temos: Logo, serão necessários 25 caminhões. 2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16 Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
• 43. 43 11) Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia? 12) Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus? 13) Sabendo que os números a, 12 e 15 são diretamente proporcionais aos números 28, b e 20, determine os números a e b. 14) Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada na vertical em relação ao chão e projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura? 15) Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco? 16) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 17) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? 18) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas. 19) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura? Porcentagem É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00. O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00. Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos à seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos
• 44. 44  Calcular 10% de 300.  Calcular 25% de 200kg. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. Testando seus conhecimentos 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Fator de Multiplicação Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja outros exemplos na tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00. No caso de haver um decréscimo, teremos: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja exemplos na tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 Testando seus conhecimentos 1)Em certo trimestre, as cadernetas de poupança renderam 2,1% de correção monetária. Paulo deixou R$1000,00 depositados durante os três meses. Quanto Paulo resgatou? 2) Em um colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Quantos alunos têm esse colégio? • 45. 45 3)Ricardo comprou um terreno e, por ter pagado à vista, ganhou 15% de desconto, fazendo uma economia de R$ 2.250,00. Determine o preço do terreno 4) Área das figuras planas Retângulo Quadrado Triângulo Triângulo equilátero Paralelogramo
• 47. 47 Triângulo equilátero Quadrado P = l+ l + l P = 3 · l P = l + l + l+ l P = 4 · l Pentágono Hexágono P = l + l + l + l + l P = 5 · l P = l + l + l + l + l + l P = 6 · l l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular Para um polígono de n lados, temos: P = n · l Comprimento da circunferência Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?  Envolva a roda com um barbante.  Marque o início e o fim desta volta no barbante.  Estique-o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda. Medindo essa dimensão, você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental. Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. Assim: O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.
• 48. 48 Logo: Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da roda obtido experimentalmente. C = 2 r C = 2. 3,14 · 20 C = 125,6 cm Testando seus conhecimentos 5) 6)
• 49. 49 7) 8) 9) Propriedades operatórias dos radicais Radical de um produto Justificativa: Exemplo: Radical de um quociente Justificativa: Exemplo: Mudança de índice Justificativa: Exemplo:
• 52. 52 Testando seus conhecimentos 1) Se então, X está compreendido entre: 2) 3) 4) 5) Fábio efetuou a operação 3 2 2  qual o resultado que Fábio encontrou? a) 3,1 b) 4,5 c) 5,1 d) 6,2 e) 7,0 6) Qual é o valor de ? 27 0 16 25 3 16     y
• 54. 54 ATriângulo = b·c 2 O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então: AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter: a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc 2 a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc a2 = b2 + c2 Outra demonstração... N
• 55. 55 Exemplos 1) Determine o valor de x no triângulo a seguir. Resolução: Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte: 132 = 122 + x2 Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos: x2 = 25 x =5 Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm. Resolução: Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:
• 56. 56 Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que: 202 = c2 + c2 2c2 = 400 c2 = 200 Testando seus conhecimentos 1) (PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 2). (Enem) Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: a) 1,9m b) 2,1m c) 2,0m d) 1,8m e) 2,2m
• 57. 57 3) Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro. A altura desse muro é: a) 2,3 m b) 3,0 m c) 3,2 m d) 3,3 m 4) A figura a seguir mostra uma antena retransmissora de rádio de 72m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aços que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30m do pé da antena. A quantidade (em metros) aproximada de cabo que será gasta para sustentar a antena é: a) 234 b) 156 c) 102 d) 306 5)Uma empresa de iluminação necessita esticar um cabo de energia provisório do topo de um edifício, cujo formato é um retângulo, a um determinado ponto do solo distante a 6 metros, como ilustra a figura a seguir. O comprimento desse cabo de energia, em metros, será de: a) 28 b)14 c)12 d) 10 e) 8 6)Determine os catetos de um triangulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60°. a) 3√3 e 3 b) 2√3 e 3 c) 3√3 e √3 d) 2√3 e √3 e) √3 e 3 Teorema de Tales
• 58. 58 O Teorema de Talesé uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais. O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome. O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. A partir disso, ele conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na sombra que ela projetava. Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos de razão e proporção, que até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias. Enunciado O enunciado do Teorema de Tales é expresso pela sentença: “a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos proporcionais.” Exemplo Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo: Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: M, N e O. Logo, de acordo com o Teorema de Tales: Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF. Teorema de Talesnos Triângulos O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se aplica o teorema: De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da seguinte forma:
• 59. 59 Δ ABC ~ Δ AED Testando seus conhecimentos 2)
• 60. 60 3) Razões trigonométricas no triângulo retângulo Lei dos senos e Lei dos cossenos LEI DOS SENOS Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer. Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei. Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB. No triângulo ACH, temos que: No triângulo BCH, temos que: De (I) e (II), obtemos: Assim, podemos concluir que: Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos. A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para qualquer triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado. Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos.
• 61. 61 Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo: Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos: Sabemos que sen 120o = sen 60o. Assim, teremos: Testando seus conhecimentos 1) (Mackenzie – SP) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala 1:10000, como na figura. Das alternativas, a que melhor se aproxima de distância entre as ilhas A e B é: a) 2,3 km b) 2,1 km c) 1,9 km d) 1,4 km e) 1,7 km 2)No triângulo a seguir, determine a medida do lado AC, tendo em vista as medidas presentes nele. (Use √2 = 1,4 e √3 = 1,7).
• 62. 62 a) 8,2 cm b) 12,2 cm c) 14 cm d) 17 cm e) 17,2 cm 3)No triângulo a seguir, qual é a medida do segmento AC, destacada pela letra x, dado que essas medidas estão em centímetros? a) 2 cm b) 2√3 cm c) 3√2 cm d) 3√3 cm e) 4√2 cm 4)Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos 𝐶𝐵 ̂𝐴 = 57° e 𝐴𝐶 ̂𝐵 = 59°. Sabendo que 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = 30𝑚, calcule, em metros, a distância 𝐴𝐵 ̅̅̅̅. (Dados: s𝑒𝑛 59° ≅ 0,87 𝑒 𝑠𝑒𝑛 64° ≅ 0,90). Lei dos cossenos A lei dos cossenos permite encontrar o valor da medida de um lado de um triângulo qualquer se a medida dos outros lados e o ângulo por eles formado forem conhecidos.