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Ejercicio 19: Simplificar la ecuación dada por una
traslación de los ejes coordenados:
a) x^2 - 16y^2 + 8x + 128y = 256
USANDO INVARIANTES Clasificación:
M={{1,0,4},{0,-16,64},{4,64,-256}};
A={{1,0},{0,-16}};
Det[A] =-16
Det[M] = 256
Det[A] = -16 < 0  tipo hiperbólico.
Det[M] = 256 ≠ 0  hipérbola real.
Det[A - L IdentityMatrix[2]]
Solve[%==0]
Comprobamos nuevamente que se trata de una hipérbola pues:
L1*L2 < 0.
El cálculo de los autovalores podemos hacerlo directamente
empleando el comando Eigenvalues
-16 + 15 L + L2
{{ L = - 16} , { L = 1}}
Eigenvalues[A]
L3=Det[M]/Det[A]
y como L3 < 0 -> hipérbola real.
{ -16, 1}
L3 = - 16
Reducción a la forma canónica
Podemos tomar L1 > 0 y L2 < 0,
entonces la ecuación es,
L1x^2 +L2y^2 +L3 = 0,
es decir:
forma reducida: x2 - 16y2 = 16
forma canónica: x2/16 – y2 = 1
La ausencia del término en xy en x^2 - 16y^2 + 8x + 128y = 256,
nos indica que la cónica está trasladada y la ecuación se
transforma en:
L1 x^2 - L2 y^2 = c donde c = D'^2/(4 L1) + E'^2/(4 L2) - F
c= 8^2/(4*1) + 128^2/(4*(-16)) - (-256)
c = 16
c > 0 -> que se trata de una hipérbola real cuya
ecuación reducida por traslación de ejes es:
x‘2 - 16y‘2 = 16
como ya vimos. Y con ecuación canónica x2/16 – y2 = 1
El eje principal o focal es el eje x', su centro es:
C (-D'/(2A‘); -E'/(2C‘)) = (h, k)
h = -8/2
k = -128/(2*(-16))
h = -4
k = 4
Por lo tanto C(-4, 4); las ecuaciones de los ejes son:
x' = x + D'/(2 L1) e y' = y+ E'/(2 L2)
x'= x+8/(2*1)
y'= y+128/(2*(-16))
x’ = 4 + x
y’ = -4 + y
Graficamos la hipérbola
Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]
h=ImplicitPlot[x^2- 16y^2+8x+128y==256,{x,-25,20},
{y,-5,10},AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity];
y'=ImplicitPlot[x+4==0,{x,-25,20},{y,-5,10},
AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity];
x'=ImplicitPlot[y-4==0,{x,-25,20},{y,-5,10},
AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity];
Show[h,x',y',AxesLabel->{x,y},DisplayFunction->
$DisplayFunction];
-20 -10 10 20
-4
-2
2
4
6
8
10
x’ = x + 4
y’ = y - 4
Ejercicio 20: Por una rotación de ejes coordenados,
transformar la ecuación dada:
b) 5 x^2 + 4xy +5y^2 = 9
USANDO INVARIANTES Clasificación:
M={{5,2,0},{2,5,0},{0,0,-9}};
A={{5,2},{2,5}};
Det[A] = 21 Det[M] = -189
a11 = 5 y a22 = 5
Det[A] = 21 > 0  tipo elíptico.
Det[M] < 0 y a11 + a22 > 0 -> elipse real
Det[A - L IdentityMatrix[2]]
Solve[%==0]
Comprobamos nuevamente que se trata de una elipse pues:
L1*L2 = Det[A] > 0. Los autovalores son ambos de igual signo por lo
tanto podemos tomar L1 <= L2
Como Det[M] = L1*L2*L3 = -189 < 0 -> debe ser L3 < 0 -> elipse
real.-
21 - 10 L + L2
{{ L = 3} , { L = 7}}
Eigenvalues[A]
L3=Det[M]/Det[A]
y como L3 < 0 -> elipse real.
{ 3,7}
L3 = -9
Reducción a la forma canónica
La ecuación es
L1 x"^2 + L2 y"^2 = - L3
es decir:
forma reducida: 3x2 + 7y2 = 9
forma canónica: x2/3 – y2 /(9/7)= 1
Obtención de la ecuación reducida después de
la rotación:
Como en esta ecuación el término en xy es distinto de
cero, nos indica que la cónica está girada. Tratemos
de encontrar los nuevos ejes de manera que el término
4xy desaparezca, para ello determinemos las bases de
los eigenespacios
5 x^2 + 4xy +5y^2 = 9
n=(A - L IdentityMatrix[2])/.L->3
{{2,2},{2,2}}
Solve[n.{{x},{y}}=={0,0}] {{x  - y}}
Entonces el autovalor correspondiente a L1 = 3 es v1 = (1, -1)
Para L1 = 3
{1,-1}/Sqrt[1^2+(-1)^2]
Hallamos el versor v1 / | v1 |
El versor es: (1/Sqrt[2])*(1,-1) = (1/ 2 , -1/ 2).
n=(A - L IdentityMatrix[2])/.L->7
{{ - 2, 2 } , { 2, - 2 }}
Solve[n.{{x},{y}}=={0,0}] {{x  y}}
Entonces el autovalor correspondiente a L2 = 7 es v2 = (1, 1)
Para L2 = 7
{1,1}/Sqrt[1^2+(-1)^2]
Hallamos el versor v2 / | v2 |
El versor es: (1/Sqrt[2])*(1,1) = (1/ 2 , 1/ 2)
De acuerdo con lo calculado la matriz C que tiene como
columnas los versores es:
matrizC=(1/Sqrt[2])*{{1,1},{-1,1}}
{{1/ 2 , -1/ 2}, {1/ 2 , 1/ 2}}
Cuyo determinante es Det[matrizC] = 1
lo que nos indica que la transformación es una rotación, por el
teorema de los ejes principales
{x,y}.{{3,0},{0,7}}.{{x},{y}}==9
{ 3 x2 + 7 y2 = 9}
Que es la ecuación reducida
3 x2 + 7 y2 = 9
como ya vimos. Y la ecuación canónica
x2 / 3 + y2 /(9/7) = 1
El eje focal es el eje x', tiene la dirección de v1, en tanto que el
eje menor tendrá la de v2.
a2 = 3  que a = Sqrt[3]; y b2 = 9/7  que b = 3/Sqrt[7]
Graficamos la elipse
elipse=ImplicitPlot[5x^2+4x y + 5y^2-9==0,
{x,-2,2}, {y,-2,2},AxesOrigin->{0,0},
DisplayFunction->Identity];
eje1=ListPlot[{{0,0},{2,-2}}, PlotJoined->True,
DisplayFunction-> Identity];
eje2=ListPlot[{{0,0},{2,2}}, PlotJoined->True,
DisplayFunction->Identity];
Show[elipse,eje1,eje2,AxesOrigin->{0,0},
AxesLabel->{x,y},PlotRange->{{-2,2}, {-2,2}},
DisplayFunction->$DisplayFunction];
-2 -1 1 2
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
y
v2
v1
y’
x’
Ejercicio 21: Por transformación de coordenadas, simplificar
la siguiente ecuación dada:
c) x^2 - 2xy +y^2 – 10x – 6y = 9
USANDO INVARIANTES Clasificación:
M={{1,-1,-5},{-1,1,-3},{-5,-3,9}};
A={{1,-1},{-1,1}}; Det[A] = 0
Det[M] = -64
Det[A] = 0 -> tipo parabólico;
Det[M] ≠ 0 -> parábola real.
Reducción a la forma canónica
Los autovalores L1 = 0 y L2 = 2 corresponde ecuación de tipo
parabólico. Det[M] ≠ 0 entonces la ecuación canónica es de la
forma: L2 y"^2 + 2 a'23 x = 0
y a'23 es: a'23 = ± Sqrt[-Det[M] / t]
y t = L1 + L2
a'23= ± Sqrt[-Det[M]/(0+2)] = ± 4 Sqrt[2]
la ecuación es: 2y^2 + 2*4Sqrt[2]x = 0
simplificando: forma reducida: y^2 ± 4 Sqrt[2] x =0
forma canónica: y^2 = ±4 Sqrt[2] x
Obtención de la ecuación reducida después de la
rotación:
M={{1,-1,-5},{-1,1,-3},{-5,-3,9}};
Det[M] =
A={{1,-1},{-1,1}};
Det[A] =
Eigensystem[A]
- 64
0
{{0,2},{{1,1},{-1,1}}}
Det[A] = 0 -> tipo parabólico;
Det[M] ≠ 0 -> parábola real.
Determinamos la matriz C y obtenemos las direcciones
de los ejes del nuevo sistema de referencia
v1=(1/Sqrt[2])*{1,1};
v2=(1/Sqrt[2])*{-1,1};
matrizC=Transpose[{v1,v2}]
{{1/Sqrt[2], -1/Sqrt[2]},{1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]}}
Det[matrizC] = 1
Aplicamos el teorema de los ejes principales:
{x,y}.{{0,0},{0,2}}.{{x},{y}}+{-10,-6}.matrizC.{{x},{y}}+9
{9 – 8 Sqrt[2] x + 2 Sqrt[2] y + 2 y2}
Como F≠ 0 podemos escribir la ecuación:
L2 ( y' + E'/(2*L2))^2 + D'( x' + F/D' - E'^2/(4*L2*D‘)) = 0
la traslación es: x" = x' + F/D' - E'^2/(4*L2*D‘)
y" = y' + E'/(2*L2)
lo que nos permite escribir: y"^2 = - (D'/ L2) x"
-(D'/ L2)= -(-8Sqrt[2])/2 = 4 Sqrt[2]
Entonces la ecuación es: y"^2 = 4 Sqrt[2] x"
parábola=ImplicitPlot[x^2-2x y+y^2-10x-6y+9==0,{x,-5,10}
,{y,-5,10},AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity];
eje1=ListPlot[{{-5,-5},{8,8}}, PlotJoined->True,
DisplayFunction->Identity];
eje2=ListPlot[{{5,-5},{-8,8}}, PlotJoined->True,
DisplayFunction->Identity];
Show[parábola,eje1,eje2,AxesOrigin->{0,0},
AxesLabel->{x,y},PlotRange->{{-5,15},{-5,15}},
DisplayFunction->$DisplayFunction];
-5 5 10 15
x
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
12.5
15
y
v1
v2
x’
y’
y”
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algebra lineal - ecuación general de segundo grado en dos variables

  • 1.
  • 2. Ejercicio 19: Simplificar la ecuación dada por una traslación de los ejes coordenados: a) x^2 - 16y^2 + 8x + 128y = 256 USANDO INVARIANTES Clasificación: M={{1,0,4},{0,-16,64},{4,64,-256}}; A={{1,0},{0,-16}}; Det[A] =-16 Det[M] = 256 Det[A] = -16 < 0  tipo hiperbólico. Det[M] = 256 ≠ 0  hipérbola real.
  • 3. Det[A - L IdentityMatrix[2]] Solve[%==0] Comprobamos nuevamente que se trata de una hipérbola pues: L1*L2 < 0. El cálculo de los autovalores podemos hacerlo directamente empleando el comando Eigenvalues -16 + 15 L + L2 {{ L = - 16} , { L = 1}} Eigenvalues[A] L3=Det[M]/Det[A] y como L3 < 0 -> hipérbola real. { -16, 1} L3 = - 16
  • 4. Reducción a la forma canónica Podemos tomar L1 > 0 y L2 < 0, entonces la ecuación es, L1x^2 +L2y^2 +L3 = 0, es decir: forma reducida: x2 - 16y2 = 16 forma canónica: x2/16 – y2 = 1
  • 5. La ausencia del término en xy en x^2 - 16y^2 + 8x + 128y = 256, nos indica que la cónica está trasladada y la ecuación se transforma en: L1 x^2 - L2 y^2 = c donde c = D'^2/(4 L1) + E'^2/(4 L2) - F c= 8^2/(4*1) + 128^2/(4*(-16)) - (-256) c = 16 c > 0 -> que se trata de una hipérbola real cuya ecuación reducida por traslación de ejes es: x‘2 - 16y‘2 = 16 como ya vimos. Y con ecuación canónica x2/16 – y2 = 1
  • 6. El eje principal o focal es el eje x', su centro es: C (-D'/(2A‘); -E'/(2C‘)) = (h, k) h = -8/2 k = -128/(2*(-16)) h = -4 k = 4 Por lo tanto C(-4, 4); las ecuaciones de los ejes son: x' = x + D'/(2 L1) e y' = y+ E'/(2 L2) x'= x+8/(2*1) y'= y+128/(2*(-16)) x’ = 4 + x y’ = -4 + y
  • 7. Graficamos la hipérbola Needs["Graphics`ImplicitPlot`"] h=ImplicitPlot[x^2- 16y^2+8x+128y==256,{x,-25,20}, {y,-5,10},AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity]; y'=ImplicitPlot[x+4==0,{x,-25,20},{y,-5,10}, AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity]; x'=ImplicitPlot[y-4==0,{x,-25,20},{y,-5,10}, AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity]; Show[h,x',y',AxesLabel->{x,y},DisplayFunction-> $DisplayFunction];
  • 8. -20 -10 10 20 -4 -2 2 4 6 8 10 x’ = x + 4 y’ = y - 4
  • 9. Ejercicio 20: Por una rotación de ejes coordenados, transformar la ecuación dada: b) 5 x^2 + 4xy +5y^2 = 9 USANDO INVARIANTES Clasificación: M={{5,2,0},{2,5,0},{0,0,-9}}; A={{5,2},{2,5}}; Det[A] = 21 Det[M] = -189 a11 = 5 y a22 = 5 Det[A] = 21 > 0  tipo elíptico. Det[M] < 0 y a11 + a22 > 0 -> elipse real
  • 10. Det[A - L IdentityMatrix[2]] Solve[%==0] Comprobamos nuevamente que se trata de una elipse pues: L1*L2 = Det[A] > 0. Los autovalores son ambos de igual signo por lo tanto podemos tomar L1 <= L2 Como Det[M] = L1*L2*L3 = -189 < 0 -> debe ser L3 < 0 -> elipse real.- 21 - 10 L + L2 {{ L = 3} , { L = 7}} Eigenvalues[A] L3=Det[M]/Det[A] y como L3 < 0 -> elipse real. { 3,7} L3 = -9
  • 11. Reducción a la forma canónica La ecuación es L1 x"^2 + L2 y"^2 = - L3 es decir: forma reducida: 3x2 + 7y2 = 9 forma canónica: x2/3 – y2 /(9/7)= 1
  • 12. Obtención de la ecuación reducida después de la rotación: Como en esta ecuación el término en xy es distinto de cero, nos indica que la cónica está girada. Tratemos de encontrar los nuevos ejes de manera que el término 4xy desaparezca, para ello determinemos las bases de los eigenespacios 5 x^2 + 4xy +5y^2 = 9
  • 13. n=(A - L IdentityMatrix[2])/.L->3 {{2,2},{2,2}} Solve[n.{{x},{y}}=={0,0}] {{x  - y}} Entonces el autovalor correspondiente a L1 = 3 es v1 = (1, -1) Para L1 = 3 {1,-1}/Sqrt[1^2+(-1)^2] Hallamos el versor v1 / | v1 | El versor es: (1/Sqrt[2])*(1,-1) = (1/ 2 , -1/ 2).
  • 14. n=(A - L IdentityMatrix[2])/.L->7 {{ - 2, 2 } , { 2, - 2 }} Solve[n.{{x},{y}}=={0,0}] {{x  y}} Entonces el autovalor correspondiente a L2 = 7 es v2 = (1, 1) Para L2 = 7 {1,1}/Sqrt[1^2+(-1)^2] Hallamos el versor v2 / | v2 | El versor es: (1/Sqrt[2])*(1,1) = (1/ 2 , 1/ 2)
  • 15. De acuerdo con lo calculado la matriz C que tiene como columnas los versores es: matrizC=(1/Sqrt[2])*{{1,1},{-1,1}} {{1/ 2 , -1/ 2}, {1/ 2 , 1/ 2}} Cuyo determinante es Det[matrizC] = 1 lo que nos indica que la transformación es una rotación, por el teorema de los ejes principales {x,y}.{{3,0},{0,7}}.{{x},{y}}==9 { 3 x2 + 7 y2 = 9}
  • 16. Que es la ecuación reducida 3 x2 + 7 y2 = 9 como ya vimos. Y la ecuación canónica x2 / 3 + y2 /(9/7) = 1 El eje focal es el eje x', tiene la dirección de v1, en tanto que el eje menor tendrá la de v2. a2 = 3  que a = Sqrt[3]; y b2 = 9/7  que b = 3/Sqrt[7] Graficamos la elipse
  • 17. elipse=ImplicitPlot[5x^2+4x y + 5y^2-9==0, {x,-2,2}, {y,-2,2},AxesOrigin->{0,0}, DisplayFunction->Identity]; eje1=ListPlot[{{0,0},{2,-2}}, PlotJoined->True, DisplayFunction-> Identity]; eje2=ListPlot[{{0,0},{2,2}}, PlotJoined->True, DisplayFunction->Identity]; Show[elipse,eje1,eje2,AxesOrigin->{0,0}, AxesLabel->{x,y},PlotRange->{{-2,2}, {-2,2}}, DisplayFunction->$DisplayFunction];
  • 18. -2 -1 1 2 x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 y v2 v1 y’ x’
  • 19. Ejercicio 21: Por transformación de coordenadas, simplificar la siguiente ecuación dada: c) x^2 - 2xy +y^2 – 10x – 6y = 9 USANDO INVARIANTES Clasificación: M={{1,-1,-5},{-1,1,-3},{-5,-3,9}}; A={{1,-1},{-1,1}}; Det[A] = 0 Det[M] = -64 Det[A] = 0 -> tipo parabólico; Det[M] ≠ 0 -> parábola real.
  • 20. Reducción a la forma canónica Los autovalores L1 = 0 y L2 = 2 corresponde ecuación de tipo parabólico. Det[M] ≠ 0 entonces la ecuación canónica es de la forma: L2 y"^2 + 2 a'23 x = 0 y a'23 es: a'23 = ± Sqrt[-Det[M] / t] y t = L1 + L2 a'23= ± Sqrt[-Det[M]/(0+2)] = ± 4 Sqrt[2] la ecuación es: 2y^2 + 2*4Sqrt[2]x = 0 simplificando: forma reducida: y^2 ± 4 Sqrt[2] x =0 forma canónica: y^2 = ±4 Sqrt[2] x
  • 21. Obtención de la ecuación reducida después de la rotación: M={{1,-1,-5},{-1,1,-3},{-5,-3,9}}; Det[M] = A={{1,-1},{-1,1}}; Det[A] = Eigensystem[A] - 64 0 {{0,2},{{1,1},{-1,1}}} Det[A] = 0 -> tipo parabólico; Det[M] ≠ 0 -> parábola real.
  • 22. Determinamos la matriz C y obtenemos las direcciones de los ejes del nuevo sistema de referencia v1=(1/Sqrt[2])*{1,1}; v2=(1/Sqrt[2])*{-1,1}; matrizC=Transpose[{v1,v2}] {{1/Sqrt[2], -1/Sqrt[2]},{1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]}} Det[matrizC] = 1
  • 23. Aplicamos el teorema de los ejes principales: {x,y}.{{0,0},{0,2}}.{{x},{y}}+{-10,-6}.matrizC.{{x},{y}}+9 {9 – 8 Sqrt[2] x + 2 Sqrt[2] y + 2 y2} Como F≠ 0 podemos escribir la ecuación: L2 ( y' + E'/(2*L2))^2 + D'( x' + F/D' - E'^2/(4*L2*D‘)) = 0 la traslación es: x" = x' + F/D' - E'^2/(4*L2*D‘) y" = y' + E'/(2*L2) lo que nos permite escribir: y"^2 = - (D'/ L2) x" -(D'/ L2)= -(-8Sqrt[2])/2 = 4 Sqrt[2] Entonces la ecuación es: y"^2 = 4 Sqrt[2] x"
  • 24. parábola=ImplicitPlot[x^2-2x y+y^2-10x-6y+9==0,{x,-5,10} ,{y,-5,10},AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity]; eje1=ListPlot[{{-5,-5},{8,8}}, PlotJoined->True, DisplayFunction->Identity]; eje2=ListPlot[{{5,-5},{-8,8}}, PlotJoined->True, DisplayFunction->Identity]; Show[parábola,eje1,eje2,AxesOrigin->{0,0}, AxesLabel->{x,y},PlotRange->{{-5,15},{-5,15}}, DisplayFunction->$DisplayFunction];
  • 25. -5 5 10 15 x -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5 15 y v1 v2 x’ y’ y” x”