Μαθηματικά Δ΄ 7. 44. ΄΄Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://xristx.blogspot.gr/
Μαθηματικά Δ΄- Ενότητα 7η - Μάθημα 44ο
:
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Φύλλα εργασιών
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr σελ.1

Αναγωγή στη μονάδα είναι η μέθοδος με την οποία, όταν γνωρίζω την τιμή
μιας ποσότητας, μπορώ να υπολογίσω την τιμή μιας άλλης ποσότητας βρίσκοντας
πρώτα την τιμή της μίας μονάδας.
Όταν θέλουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα στο οποίο ξέρουμε την τιμή μιας ομάδας
πραγμάτων και θέλουμε να βρούμε την τιμή μιας άλλης ομάδας τότε βρίσκουμε
πρώτα την τιμή του ενός και μετά των πολλών που ζητάμε.
Για παράδειγμα, αν ξέρω ότι 10 κιλά γάλα κάνουν 20 ευρώ και θέλω να βρω πόσο
κάνουν τα 15 κιλά τότε βρίσκω πόσο κάνει το ένα κιλό κάνοντας διαίρεση 20 : 10 = 2
ευρώ.
Αφού λοιπόν το ένα κιλό γάλα κάνει 2 ευρώ, τότε τα 15 κιλά γάλα θα κάνουν 15 Χ
2=30 ευρώ.
Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα προβλημάτων που ένας τρόπος να λυθούν είναι με
αναγωγή στη μονάδα. Πιο απλά, σ΄ αυτού του είδους τα
προβλήματα, βρίσκω πρώτα το ένα και μετά τα πολλά που ψάχνω.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1. Αν τα 8 πακέτα μπισκότα κάνουν 20 ευρώ, πόσο κάνουν τα 7
πακέτα;
ΛΥΣΗ
Αφού τα 8 πακέτα κάνουν 20 ευρώ
τότε το ένα κάνει 20 : 8 = 2,5 ευρώ,
άρα τα 7 κάνουν 7 Χ 2,5 = 17,5 ευρώ.
2. Η Μαρία αγόρασε 4 χυμούς πορτοκάλι δίνοντας 6 ευρώ.
Η φίλη της αγόρασε 3 χυμούς. Πόσα ευρώ έδωσε;
ΛΥΣΗ
Αφού οι 4 χυμοί έκαναν 6 ευρώ
τότε ο ένας έκανε 6 : 4 = 1,5 ευρώ
και άρα οι 3 έκαναν 3 Χ 1,5 = 4,5 ευρώ
3/θ Δημοτικό Σχολείο Φολεγάνδρου

3/θ Δημοτικό Σχολείο Φολεγάνδρου

- 133 -
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑ∆Α
 
 
Από τις χρησιμότερες μεθόδους στην επίλυση προβλημάτων! ! !
Την χρησιμοποιούμε όταν γνωρίζουμε την τιμή μιας ποσότητας
και ψάχνουμε να βρούμε την τιμή μιας διαφορετικής ποσότητας
Πχ: Γνωρίζουμε ότι τα 4 μπαλάκια του τένις
κοστίζουν 48 όλα μαζί. Πόσο κοστίζουν 3 μπαλάκια;
Σκέψη Θα πρέπει να βρούμε πόσο κοστίζει το 1 μπαλάκι
Λύση: ……………………………………………………………………
Αφού τα 4 μπαλάκια κοστίζουν 48 
 Το ένα κοστίζει 48 : 4   
48 : 4 = 12, Άρα το 1 κοστίζει 12……
Τώρα που βρήκαμε την τιμή της μονάδας το μόνο που μας
μένει είναι ένας πολλαπλασιασμός: Ζητούμενο XΤιμή Μονάδας
Τα 3 μπαλάκια κοστίζουν 36  3 Χ 12 = 36
      
* Με το ίδιο σκεπτικό, λύσε το παρακάτω πρόβλημα: *
Αν τα 4 μπαλάκια ζυγίζουν 628 γραμμάρια,
Πόσα γραμμάρια ζυγίζουν τα 3 μπαλάκια ; ; ;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Προπονητής Μαθηματικών - proponitismathimatikon.blogspot.com

- 134 -
* Η ομάδα προπόνησης τένις είναι 5 άτομα.
Γι αυτό αγόρασα 5 ρακέτες και ξόδεψα συνολικά 560 €.
Όμως λίγο πριν την έναρξη των προπονήσεων προστέθηκαν
άλλα 3 άτομα και έπρεπε να αγοράσω άλλες 3 ρακέτες.
Πόσο θα μου κοστίσουν οι 3 ρακέτες?
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
* Έχουμε 2 τραπέζια μπιλιάρδο που θα τους αλλάξουμε την
τσόχα (το ύφασμα). Το πρώτο έχει εμβαδό 12 τ.μ. (δηλαδή
χρειαστήκαμε 12 τ.μ. ύφασμα) και μας κόστισε συνολικά 876€
Αν το άλλο έχει εμβαδό 14 τ.μ. πόσο θα κοστίσει το ύφασμα;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
* Αν ξέρουμε ότι το άθροισμα των τριών από τις τέσσερις...
...................................................................................
Η συνέχεια στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;)
* * * * * * * * * * * * *
* Αγόρασα το οικολογικό μου αυτοκίνητό με 12...........................
..............................................................................................................
Η συνέχεια στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;)
* * * * * * * * * * * * *

Α Ν Α Γ Ω Γ Η Σ Τ Η Μ Ο Ν Α ∆ Α
ΧΡΥΣΟΥΛΑ ΠΑΓΚΑΛΟΥ
Όταν έχουµε να λύσουµε ένα πρόβληµα στο οποίο µας δίνεται
η τιµή των πολλών µονάδων και ζητούµε την τιµή και πάλι
άλλων πολλών µονάδων, ακολουθούµε τη µέθοδο αναγωγής
στη µονάδα.
Σύµφωνα µε αυτήν τη µέθοδο βρίσκουµε πρώτα την τιµή της
µιας µονάδας και µετά βρίσκουµε την τιµή των πολλών
µονάδων που είναι και το ζητούµενο του προβλήµατος που
έχουµε να επιλύσουµε.
π.χ. Τα 8 τετράδια κοστίζουν 16 ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα 25
τετράδια;
Σκέψη: Πρέπει να βρω πρώτα την τιµή του ενός τετραδίου, οπότε
κάνω την πράξη της διαίρεσης, (αφού γνωρίζω την τιµή των
πολλών µονάδων και ψάχνω την τιµή της µιας µονάδας) και µετά
θα βρω την τιµή και των 25 τετραδίων κάνοντας πολλαπλασιασµό,
αφού θα γνωρίζω την τιµή του ενός τετραδίου και θα ψάχνω την
τιµή των πολλών.
Εποµένως θα εφαρµόσω τη µέθοδο αναγωγής στη µονάδα.
Λύση: 16 : 8 = 2 Άρα το ένα τετράδιο κοστίζει 2 ευρώ
25 x 2 = 50 Άρα τα 25 τετράδια κοστίζουν 50 ευρώ
Απάντηση: Τα 25 τετράδια κοστίζουν 50 ευρώ.
Σηµείωση: Εάν σε ένα πρόβληµα µας δίνεται η τιµή ενός
µέρους µιας µονάδας και µας ζητείται η τιµή των πολλών και
πάλι βρίσκουµε την τιµή της µιας ολόκληρης µονάδας και
µετά βρίσκουµε την τιµή των πολλών.
π.χ. Το 1 τέταρτο του κιλού γραβιέρας Κρήτης κοστίζει 3 ευρώ.
Πόσο κοστίζουν τα 5 κιλά;
Σε αυτήν την περίπτωση για να βρούµε την τιµή του ενός κιλού,
αντί της διαίρεσης, πολλαπλασιάζουµε την τιµή του ενός τετάρτου
του κιλού, δηλαδή τα 3 ευρώ µε το 4 για να βρούµε το 1 κιλό πόσο

κοστίζει ( 3 x 4 = 12) και στη συνέχεια βρίσκουµε την τιµή των
πολλών µονάδων, δηλαδή 5 x 12 = 60 ευρώ.
ΑΣΚΗΣΗ: Λύνω τα παρακάτω προβλήµατα µε αναγωγή στη
µονάδα:
1. Μια παρέα από παιδιά αγοράζουν 5 χάρτες της Ελλάδας και
πληρώνουν 55 ευρώ. Πόσο θα πληρώσουν για τους χάρτες της ∆΄
τάξης που έχει 25 παιδιά;
Λ Υ Σ Η
Α Π Α Ν Τ Η Σ Η:………………………………………………………………………
2. Με µισό κιλό αλεύρι φτιάχνουµε 45 κουραµπιέδες. Πόσους
κουραµπιέδες µπορούµε να φτιάξουµε µε 3 κιλά αλεύρι;
Λ Υ Σ Η
Α Π Α Ν Τ Η Σ Η:………………………………………………………………………

Η Δύα έθαλε 60 ιεπηά θνύληα ηηο 3 πξώηεο εκέξεο ηεο εβδνκάδαο. Πόζα
ιεπηά ζα θάλεη θνύληα θαη ηηο 5 εκέξεο ηεο εβδνκάδαο;
Ση μέξσ από ην πξόβιεκα 3 εκέξεο = 60 ιεπηά
Ση ζα βξώ πόζα ιεπηά θάλεη θνύληα ε Δύα ηελ εκέξα
Ση ςάρλσ λα βξώ 5 εκέξεο = ; ιεπηά
= 1 = ............
= 24 = ......
΢ην εμάγσλν όιεο νη πιεπξέο είλαη ίζεο. Οη 2 πιεπξέο καδί έρνπλ κήθνο
16 εθαηνζηά. Πόζε είλαη ε πεξίκεηξνο ηνπ εμαγώλνπ;
Ο θύξηνο ζηελ θξεπεξί αγόξαζε ηε Γεπηέξα κηζό θηιό κεξέληα θαη
πιήξσζε 8,50 επξώ. Σελ επόκελε Γεπηέξα αγόξαζε 5 θηιά κεξέληα.
Πόζα επξώ πιήξσζε;
Όηαλ μέξσ πόζν θάλεη κηα πνζόηεηα θαη ςάρλσ λα
βξώ πόζν θάλεη κηα άιιε πνζόηεηα βξίζθσ πξώηα
πόζν θάλεη ην 1 θάλσ δειαδή αναγυγή ζηη μονάδα
eva-edu

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑ∆Α
Αναγωγή στη µονάδα σηµαίνει πως για να λύσουµε ένα πρόβληµα θα πρέπει να βρούµε πρώτα την
τιµή της µιας µονάδας.
Π.χ. Ένας ελαιοπαραγωγός έβαλε σε 4 δοχεία 68 κιλά λάδι. Πόσα κιλά λάδι θα βάλει σε 7 ίδια
δοχεία;
Πρώτα πρέπει να γράψουµε το πρόβληµα ως εξής για να έχουµε καλύτερη εικόνα του.
4 δοχεία 68 κιλά
1 δοχείο Χ κιλά
7 δοχεία Χ κιλά
Θα βρούµε πρώτα πόσα κιλά λάδι χωράει το 1 δοχείο. Πρέπει να σκεφτούµε χρησιµοποιώντας τη
λογική µας, και τις λέξεις περισσότερο ή λιγότερο.
Αφού τα 4 δοχεία χωράνε 68 κιλά λάδι, το 1 δοχείο θα χωράει λιγότερο
Άρα για να βρω το 1 θα κάνω διαίρεση.
68 : 4 = 17 κιλά
Με τον ίδιο τρόπο σκέψης θα βρω πόσο λάδι χωράνε τα 7 δοχεία.
Αφού το 1 δοχείο χωράει 17 κιλά λάδι, τα 7 δοχεία θα χωράνε περισσότερα
Άρα για να βρω τα 7 θα κάνω πολλαπλασιασµό.
17 . 7 = 119
ΠΡΟΣΟΧΗ
Υπάρχουν προβλήµατα που για να βρούµε την τιµή της 1 µονάδας θα πρέπει να κάνουµε
πολλαπλασιασµό.
Π.χ. οι 5 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 10 ηµέρες. Σε πόσες µέρες θα τελειώσουν το έργο οι 15
εργάτες;
5 εργάτες 12 ηµέρες
1 εργάτης Χ ηµέρες
15 εργάτες Χ ηµέρες
Σκέφτοµαι πάντα µε τη λογική µου, χρησιµοποιώντας το λιγότερο ή το περισσότερο.
Αν οι 5 εργάτες χρειάζονται 12 ηµέρες για να τελειώσουν το έργο, ο 1 εργάτης θα χρειαστεί
περισσότερες µέρες. Άρα θα κάνω πολλαπλασιασµό.

5 . 12 = 60 ηµέρες.
Συνεχίζω. Αν ο 1 εργάτης χρειάζεται 60 ηµέρες για να τελειώσει το έργο, οι 15 εργάτες θα
χρειαστούν λιγότερο. Άρα θα κάνω διαίρεση.
60 : 12 = 5 ηµέρες
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1. Ένα αυτοκίνητο σε 3 ώρες διανύει µια απόσταση 270 χιλιοµέτρων. Πόσα χιλιόµετρα θα
διανύσει 7 ώρες;
2. Το 1
2
1
κουτί µέλι κοστίζει 12 €. Πόσο κοστίζουν τα 5
2
1
κουτιά µέλι;
3. Μια βρύση όταν βγάζει 2 κυβικά µέτρα νερό, γεµίζει µια δεξαµενή σε 8 ώρες. Αν βγάζει 4
κυβικά µέτρα σε πόσες ώρες θα γεµίσει τη δεξαµενή;
4. σε µια κατασκήνωση 120 µαθητές έχουν τροφή για 20 ηµέρες. Αν οι µαθητές ήταν 80,
πόσες µέρες θα περνούσαν µε τα ίδια τρόφιµα;
5. Ένας εργολάβος για να τελειώσει ένα έργο σε 24 ηµέρες, χρειάζεται 8 εργάτες. Αν έπρεπε
να τελειώσει σε 16 ηµέρες πόσους εργάτες έπρεπε να έχει;
Ζάρκος ∆ηµήτρης - Μίσσιου Γεωργία

ΟΝΟΜΑ: ………………………………………………………………………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………………….
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
1. Μια ποδοσφαιρική οµάδα χρειάζεται 85€ 2. Με µισό κιλό αλεύρι η µητέρα φτιάχνει
για να αγοράσει 5 φανέλες. Πόσο κοστί- 40 κουλουράκια. Πόσα κουλουράκια
ζουν οι 11 φανέλες; µπορεί να φτιάξει µε 2 κιλά αλεύρι;
(να λυθεί µε αναγωγή στη µονάδα) (να λυθεί µε αναγωγή στη µονάδα)
3. Η Μάρθα αγόρασε από το ζαχαροπλαστείο 4. Ο Νίκος απάντησε σωστά στις 19 ερωτήσεις
ένα τέταρτο (
4
1
) του κιλού παγωτίνια και του τεστ Αγγλικών και πήρε 76 µονάδες.
έδωσε 3€. Πόσα € θα δώσει η Ισµήνη που Η Λένα απάντησε σωστά και στις 25 ερωτή-
θέλει ν’ αγοράσει 2 κιλά παγωτίνια; σεις του ίδιου τεστ. Πόσες µονάδες πήρε
(να λυθεί µε αναγωγή στη µονάδα) Λένα; (να λυθεί µε αναγωγή στη µονάδα)
5. Ο ιδιοκτήτης ενός ξενοδοχείου εισέπραξε 1.184 € απ’ την ενοικίαση 16 δίκλινων δωµατίων .
Αν το ξενοδοχείο έχει 4 ορόφους και κάθε όροφος έχει 34 δίκλινα δωµάτια, πόσα χρήµατα
θα εισπράξει ο ξενοδόχος απ’ την ενοικίαση όλων των δωµατίων;
(προσπαθώ να βρω και να γράψω τα ενδιάµεσα ερωτήµατα και λύνω το πρόβληµα)
6. Ένας τραγουδιστής από µια συναυλία στην Πάτρα είχε έσοδα 86.675 € και από µια άλλη στα
Γιάννενα είχε έσοδα 76.025 €. Η τιµή του εισιτηρίου ήταν και στις δυο συναυλίες 25€.
Σε ποια από τις δυο συναυλίες είχε περισσότερα άτοµα και πόσα;
(προσπαθώ να βρω και να γράψω τα ενδιάµεσα ερωτήµατα και λύνω το πρόβληµα)
Γιάννης Μαυροζούµης

ONOMA:……………………………………………….
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗ ΜΟΝΑ∆Α
1. Μια βιοτεχνία πλεχτών υπολογίζει ότι για 18 πουλόβερ χρειάζεται 36 κ. νήµα .Πόσα κιλά νήµα χρειάζεται
για 75 πουλόβερ;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:……………………………………………………………………………………..
2. Ένας εργάτης για 16 ηµεροµίσθια πήρε 1200 € .Για να πάρει 1875 € πόσες µέρες πρέπει να εργαστεί;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:……………………………………………………………………………………..
3. Για 12 µ. µεταξωτό ύφασµα πληρώσαµε 720 €. Για 11 µ . µεταξωτό ύφασµα πόσο θα πληρώσουµε;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:……………………………………………………………………………………..
Γ
Α
Γ
Α
Γ
Α

4. Ένας γεωργός από χωράφι 72 στρεµµάτων έβγαλε 32400 κ. σιτάρι .Πόσα κιλά σιτάρι θα βγάλει από 80
στρέµµατα;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:……………………………………………………………………………………..
5. Ένα αυτοκίνητο σε 5 ώρες διανύει µια απόσταση 600 χµ. .Με την ίδια σταθερή ταχύτητα σε πόσες ώρες θα
διανύσει απόσταση 720 χµ.;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:……………………………………………………………………………………..
ΑΝΘΙΜΟΥ ΣΟΦΙΑ
Γ
Α
Γ
Α
ΛΟΙΠΟΝ
ΤΑ
ΚΑΤΑΦΕΡΑΜΕ!!!

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 (ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΘΕΜΑ)
(ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ)
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ
Τώρα μάλιστα!
«Κινέζικα» μου
μοιάζουν οι τίτλοι!
Τι είναι «αναγωγή
στη μονάδα»;
Στο πρόβλημα, για να βρεις τα χρήματα που έδωσε ο κύριος Αντώνης θα
έπρεπε να ξέρεις την τιμή του ενός κιλού, η οποία όμως δε δίνεται.
Επομένως, αυτό που πρέπει να βρεις πρώτα είναι η τιμή του ενός κιλού.
Έπειτα μπορείς να υπολογίσεις τα χρήματα του κύριου Αντώνη. Αυτή τη
διαδικασία στα μαθηματικά τη λέμε «αναγωγή στη μονάδα»
Μη σε προβληματίζουν οι λέξεις. Η «αναγωγή στη μονάδα» είναι
απλά μία μέθοδος να λύνουμε προβλήματα.
Τη χρησιμοποιούμε για να λύσουμε προβλήματα στα οποία
ξέρουμε την τιμή μιας ποσότητας και ψάχνουμε να βρούμε την
τιμή μιας άλλης, μεγαλύτερης ή μικρότερης.
Ξέρεις πως για να βρούμε τα «πολλά» πρέπει να ξέρουμε το
«ένα». Τι γίνεται όμως όταν ψάχνω τα «πολλά», δεν ξέρω το
«ένα», αλλά ξέρω «μερικά»;
Σ’ αυτή την περίπτωση είναι λογικό, πριν βρω τα «πολλά», να
βρω πρώτα το «ένα». Αυτό σημαίνει «αναγωγή στη μονάδα».
Παράδειγμα προβλήματος που λύνεται με «αναγωγή στη μονάδα»
Ο κύριος Αλέξης αγόρασε 8 κιλά πορτοκάλια και πλήρωσε 6 €. Από το ίδιο
μανάβικο αγόρασε 14 κιλά πορτοκάλια και ο κύριος Αντώνης. Πόσα
χρήματα πλήρωσε ο κύριος Αντώνης;
(σκέφτομαι και λύνω ταυτόχρονα)
Τα 8 κιλά πορτοκάλια κοστίζουν 6 €
Το 1 κιλό πορτοκάλια κοστίζει 6 : 8 = 0,75 €
Άρα, τα 14 κιλά πορτοκάλια κοστίζουν 14 • 0,75 = 10,50 €
Παύλος Κώτσης
www.stintaxi.com

Σε τέτοιου είδους προβλήματα πρέπει να είσαι πολύ προσεκτικός στις
πράξεις και ειδικά στην τοποθέτηση των αριθμών.
Φυσικά, μπορείς να επιλέξεις να λύνεις τα προβλήματα αυτά και με
κάθετες πράξεις.
Ωραία! Εύκολο ήταν. Έτσι κι
αλλιώς, με αυτόν τον τρόπο
έλυνα παρόμοια προβλήματα.
Τώρα έμαθα και το όνομα αυτού
του τρόπου.
Η «αναγωγή στη δεκαδική
κλασματική μονάδα» είναι κάτι
παρόμοιο;
Ακριβώς. Η διαφορά εδώ είναι ότι μιλάμε για
δεκαδικά κλάσματα (ή δεκαδικούς αριθμούς
που μετατρέπουμε σε δεκαδικά κλάσματα).
Μιλάμε δηλαδή για μέρη μιας ποσότητας
Χρησιμοποιούμε εδώ την «αναγωγή στη
μονάδα» για να λύσουμε προβλήματα στα
οποία ξέρουμε ένα μέρος μιας ποσότητας και
ψάχνουμε να βρούμε ένα άλλο μέρος ή και
ολόκληρη την ποσότητα.
Στα του ραφιού χωράνε 16 cd
Στο του ραφιού χωράνε 16 : 4 = 4 cd
Άρα, Στα του ραφιού (σε όλο το ράφι) χωράνε 10 • 4 = 40 cd
Η Μαρίνα τοποθετεί σε ένα ράφι τα μουσικά cd που έχει. Στα
του ραφιού έχει βάλει 16 cd. Πόσα cd χωράει το ράφι;
4
10
4
10
1
10
10
10

Ψιψινέλ! Άσε τα μαθηματικά για τα παιδιά και στρώσου στη δουλειά. Κάπου εδώ
γύρω σίγουρα υπάρχουν στρουμφάκια και μάλιστα ολόκληρα και όχι ένα τέταρτο ή
τέσσερα δέκατα από αυτά. Εμπρός, μύρισε… Δε θα μου γλιτώσουν. Θα τα βρω τα
απαίσια στρουμφάκια και τότε…. Χα, χα, χα………..
Τη μέθοδο της «αναγωγής στη δεκαδική κλασματική μονάδα» μπορείς να
την εφαρμόσεις με τον ίδιο τρόπο και σε οποιαδήποτε άλλη κλασματική
μονάδα.
Δες το επόμενο παράδειγμα:
Στα του δοχείου χωράνε 12 κιλά λάδι
Στο του δοχείου χωράνε 12 : 3 = 4 κιλά λάδι
Άρα, Στα του δοχείου (σε όλο το δοχείο) χωράνε 4 • 4 = 16 κιλά
λάδι
Τα ενός δοχείου με λάδι ζυγίζουν 12 κιλά. Πόσο ζυγίζει το
δοχείο όταν είναι γεμάτο με λάδι;
3
4
3
4
1
4
4
4

http://taniamanesi.blogspot.gr/

Ενότητα 44
Ευνίκη Τοκατλή

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ
1. Ένα εργοστάσιο χυμών και αναψυκτικών παρασκευάζει 120 μπουκάλια
με χυμό πορτοκαλιού από 360 κιλά περίπου ζουμερά πορτοκάλια. Πόσα
κιλά πορτοκάλια θα χρειαστεί για να παρασκευάσει 450 ίδια μπουκάλια
χυμού;
Λ Υ Σ Η
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ……………………………………………………………………………………………………
2. Ένας ωρομίσθιος υπάλληλος καταστήματος πληρώθηκε για 8 ώρες,
έκτακτης δουλειάς στις γιορτές, 48 ευρώ. Πόσα χρήματα θα έπαιρνε
εάν εργαζόταν με τα ίδια χρήματα 192 ώρες;
Λ Υ Σ Η
ΧΡΥΣΟΥΛΑ ΠΑΓΚΑΛΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ……………………………………………………………………………………………………
3. Σε ένα καφεκοπτείο το μισό κιλό καφέ στοιχίζει 7 ευρώ. Πόσο
κοστίζουν τα 25 κιλά από τον ίδιο καφέ;
Λ Υ Σ H
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ……………………………………………………………………………………………………
4. Ένα αυτοκίνητο έχει διανύσει σε 4 ώρες 280 χιλιόμετρα. Πόσα
χιλιόμετρα θα έχει διανύσει σε 12 ώρες, αν συνεχίσει να έχει σταθερά
την ίδια ταχύτητα που είχε μέχρι τώρα;
Λ Υ Σ Η
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ……………………………………………………………………………………………………
Τελικά δεν
ήταν και
τόσο
δύσκολα! ε; ΧΡΥΣΟΥΛΑ ΠΑΓΚΑΛΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε΄ ΤΑΞΗΣ ΑΡ. ΦΥΛ. 5
Αναγωγή στη μονάδα
Όνομα: _________________________________
Η «αναγωγή στη μονάδα» είναι μία μέθοδος που τη χρησιμοποιούμε για να λύσουμε προβλήματα
στα οποία ξέρουμε την τιμή μιας ποσότητας και ψάχνουμε να βρούμε την τιμή μιας
άλλης, μεγαλύτερης ή μικρότερης ποσότητας.
π.χ. Τα 8 τετράδια κοστίζουν 16 ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα 25 τετράδια;
Λύση:
Τα 8 τετράδια κοστίζουν 16 ευρώ.
Το 1 τετράδιο κοστίζει 16:8=2 ευρώ.
Τα 25 τετράδια κοστίζουν 25Χ2=50 ευρώ.
Προβλήματα
1. Αν τα 8 πακέτα μπισκότα κάνουν 20 ευρώ, πόσο κάνουν τα 7 πακέτα;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
2. Η Μαρία πήγε στο σούπερ μάρκετ και αγόρασε 4 χυμούς πορτοκάλι δίνοντας 6 ευρώ. Η
φίλη της αγόρασε 3 χυμούς. Πόσα ευρώ έδωσε;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
3. Ένα εργοστάσιο χυμών και αναψυκτικών παρασκευάζει 120 μπουκάλια με χυμό
πορτοκαλιού από 360 κιλά πορτοκάλια. Πόσα κιλά πορτοκάλια θα χρειαστεί για να
παρασκευάσει 450 ίδια μπουκάλια χυμού;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
4. Ένας ωρομίσθιος υπάλληλος καταστήματος πληρώθηκε για 8 ώρες, έκτακτης δουλειάς
στις γιορτές, 48 ευρώ. Πόσα χρήματα θα έπαιρνε εάν εργαζόταν με τα ίδια χρήματα 192
ώρες;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________

5. Σε ένα καφεκοπτείο το μισό κιλό καφέ στοιχίζει 7 ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα 25 κιλά από
τον ίδιο καφέ;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
6. Ένα αυτοκίνητο έχει διανύσει σε 4 ώρες 280 χιλιόμετρα. Πόσα χιλιόμετρα θα έχει
διανύσει σε 12 ώρες, αν συνεχίσει να έχει σταθερά την ίδια ταχύτητα που είχε μέχρι τώρα;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
7. Για 7 γυναικεία φορέματα χρειάζονται 21 μέτρα ύφασμα. Για 12 όμοια φορέματα πόσα μέτρα
ύφασμα χρειάζονται;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
8. Μια ποδοσφαιρική ομάδα χρειάζεται 85€ για να αγοράσει 5 φανέλες. Πόσο κοστίζουν οι 11
φανέλες;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
9. Με μισό κιλό αλεύρι η μητέρα φτιάχνει 40 κουλουράκια. Πόσα κουλουράκια μπορεί να
φτιάξει με 2 κιλά αλεύρι;
Λύση: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________

273
273
44. Ìáèáßíù ãéá ôçí áíáãùãÞ óôç ìïíÜäá
ÁðÜíôçóç óôçí
Üóêçóç 1
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 12
×ñçóéìïðïéïýìå ôç ìÝèïäï ôçò áíáãùãÞò óôç ìïíÜäá üôáí Ý÷ïõìå ìéá ðëçñïöïñßá ãéá ìéá
ðïóüôçôá êáé èÝëïõìå íá âñïýìå ôçí ßäéá ðëçñïöïñßá ãéá ìéá Üëëç ðïóüôçôá.
Ðåñßìåôñïò åîáãþíïõ = 72åê.
Üóêçóç 2
×ñçóéìïðïéïýìå ôç ìÝèïäï ôçò áíáãùãÞò óôç ìïíÜäá üôáí Ý÷ïõìå ìéá ðëçñïöïñßá ãéá ìéá
ðïóüôçôá êáé èÝëïõìå íá âñïýìå ôçí ßäéá ðëçñïöïñßá ãéá ìéá Üëëç ðïóüôçôá.
Ç ôéìÞ ãéá 1ê. êñüêïõ åßíáé: 15.120:18 = 840
ïðüôå óõìðëçñþíåôáé åýêïëá ï ðßíáêáò, áöïý:
• 840 ÷ 2 = 1.680
• 250ãñáì. =
1
4
ôïõ êéëïý: 1840 210€
4
⋅ =

274
274
Ìáèáßíù ãéá ôçí áíáãùãÞ óôç ìïíÜäá
Üóêçóç 3
Ôï 1
2
ôïõ êéëïý êïóôßæåé 6,50
Ôï 1 êéëü êïóôßæåé 13
Ôá 3 êéëÜ → 3 ÷ 13 = 39
Ìå ôç ìÝèïäï áíáãùãÞò óôç ìïíÜäá âñßóêïõìå ðüóï êïóôßæåé ôï 1 ê. öÝôáò
êáé Ýðåéôá õðïëïãßæïõìå ðüóá ðëÞñùóå ï ðáôÝñáò ôïõ Óáë ãéá ôá 3 ê. öÝôáò
ðïõ áãüñáóå.
¢óêçóç 1
Ï Êþóôáò áãüñáóå áðü ôïí êñåïðþëç 200 ãñáìì. êéìÜ êáé ðëÞñùóå 80ë. Áí áãüñáæå 3 êéëÜ
êéìÜ, ðüóá ÷ñÞìáôá èá Ýäéíå;
Ìå ôç ìÝèïäï ôçò áíáãùãÞò óôç ìïíÜäá, âñßóêù ðüóï êïóôßæåé ôï 1 êéëü êéìÜ.
Ôá 200 ãñáìì. êéìÜ êïóôßæïõí 80ë., Üñá ôá 1000ãñáìì., äçëáäÞ ôï 1 êéëü êéìÜ, êïóôßæåé:
80 ÷ 5 = 400 ë. Þ 4
Ôá 3 êéëÜ óôïé÷ßæïõí: 3 ÷ 4 = 12
Ëýóç

275
275
i
Üóêçóç 4
Ôï 1
4
ôïõ êéëïý êïóôßæåé 75ëåðôÜ
Ôï 1 êéëü êïóôßæåé: 4 ÷ 75 = 300ëåðôÜ Þ 3
Ôá 2 êéëÜ êïóôßæïõí: 2 ÷ 3 = 6
Ìå ôç ìÝèïäï áíáãùãÞò óôç ìïíÜäá âñßóêïõìå ðüóï êïóôßæåé ôï 1 êéëü
áíèüôõñï êáé Ýðåéôá õðïëïãßæïõìå ðüóï êïóôßæïõí ôá 2 êéëÜ.
¢óêçóç 2
Ðáñáôçñþ êáé óõìðëçñþíù: • Áí = 0,5 ôüôå = ............
• Áí = 3 ôüôå = ............
• Áí = 0,5 ôüôå = ...............
• Áí = 3 ôüôå = ...............
Ëýóç
4 ÷ 0,5 = 2
3 ÷ 2 = 6

276
276
1,25 1,25
1,25 1,25
4 ÷ 1,25 = 5
8 8
8 8
4 ÷ 8 = 32
(áöïý 24:3 = 8)
8 8
8
1,25
20 20
2020
20
20
20 20
60
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,50,5
0,5
3
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
1
Üóêçóç 5

Αναγωγή στη μονάδα!
http://rimadoclass.webnode.gr

Πρόβλημα
• Ο πατέρας αγόρασε ένα αυτοκίνητο που
κόστιζε συνολικά 11.250€
• Έδωσε τα 7 του ποσού έως τώρα!
15
α) Πόσα € έδωσε ως τώρα;
β) Πόσα του έμειναν να δώσει;

Έχουμε γνωστά :
τα 11.250€ και
τα 7
15

11.250€ =15 κουτιά

Θα προσπαθήσουμε να βρούμε
πόσο είναι το κάθε κουτάκι!

11.250:15=750€
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750

Έχει πληρώσει 7 από 15!
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750

…άρα
7Χ750= 5.250€
Τόσα έδωσε ο
πατέρας έως
τώρα!
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750

750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
Έμειναν να πληρώσει
τα 8 άρα:
8Χ750=6.000€

Έτσι τελειώσαμε!
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
• 5250 έδωσε!
• 6000 έχει να δώσει
ακόμα!
5250+6000=11.250€

ή…
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
750 750 750 750 750
11.250€ που κοστίζει
όλο
βγάζω τα 5.250€
μένουν= 6000€
11.250
- 5.250
6.000€
6
.0
0
0
6
.0
0
0
5
.2
5
0
5
.2
5
0

Μαθηματικά Δ΄ 7. 44. ΄΄Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα΄΄

Μαθηματικά Δ΄ 7. 44. ΄΄Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα΄΄

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Μαθηματικά Δ΄ 7. 44. ΄΄Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα΄΄

More from Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Δ΄ 7. 44. ΄΄Μαθαίνω για την αναγωγή στη μονάδα΄΄