SlideShare a Scribd company logo
第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」
の悲劇
市東 亘
西南学院大学 経済学部
July 31, 2019
講義ノート: https://courses.wshito.com/semi2/2019-bayes-AI
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 1 / 25
概観
概観
テキスト「Python で体験するベイズ推論」pp.63–74
例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇
▶ 分析の背後にある統計モデルを理解する.
▶ PyMC3 による実装方法を学ぶ.
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 2 / 25
分析の目的
分析の目的
目的
▶ 外気温が与えられた時の O リングの破損確率を推定したい.
▶ 標本データは 23 回のフライトデータから得られた外気温(華氏)と O
リング不良の有無.https://git.io/vXknD
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 3 / 25
分析の目的
説明したい事象と確率分布
▶ カンニングのケース
カンニング総数 ⇒ 2 項分布
▶ チャレンジャーのケース
個別の O リングが破損するか否か ⇒ ベルヌーイ分布
▶ ベルヌーイ分布
確率 p で 1 を,確率 1 − p で 0 をとる離散確率分布.
f(x) = px(1 − p)1−x for x = 1 or 0
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 4 / 25
分析の目的
統計モデルの構築
与えられるデータ
温度 O リング破損
統計モデルの構築
この確率は外気温に依存すると考えられる.
ロジスティック関数
ロジスティック関数の形状は分からない
のでαとβも推定すべきパラメータとなる
ti Di
Di ∼ Bernoulli(p)
Di ∼ Bernoulli(p(ti))
p(ti) =
1
1 + e−(βti+α)
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 5 / 25
分析の目的
統計モデルの構築
与えられるデータ
温度 O リング破損
統計モデルの構築
この確率は外気温に依存すると考えられる.
ロジスティック関数
ロジスティック関数の形状は分からない
のでαとβも推定すべきパラメータとなる
ti Di
Di ∼ Bernoulli(p)
Di ∼ Bernoulli(p(ti))
f(p|Di) ∝ f(Di|p)f(p)
f(α, β|Di, ti) ∝f(Di, ti|α, β)f(α, β)
=f(Di, ti|α, β)f(α)f(β) αとβは独立
p(ti) =
1
1 + e−(βti+α)
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 6 / 25
分析の目的
なぜロジスティック関数なのか?
▶ Di ∼ Bernoulli(p(ti)) の p は 0 から 1 の値をとる確率.
▶ 温度 ti を 0 から 1 の値にマッピングする関数が必要.
⇒ シグモイド曲線
6 4 2 0 2 4 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 7 / 25
分析の目的
ロジスティック曲線
温度が高い方が破損確率が高いケース
p =
1
1 + e−(βti+α)
β = 1, α = 0
6 4 2 0 2 4 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 8 / 25
分析の目的
ロジスティック曲線
温度が低い方が破損確率が高いケース
p =
1
1 + e−(βti+α)
β = −1, α = 0
6 4 2 0 2 4 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 9 / 25
分析の目的
ロジスティック曲線
水平方向のシフト
p =
1
1 + e−(βti+α)
β = −1, α = 50
40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 10 / 25
分析の目的
ロジスティック曲線
変曲点の移動
p =
1
1 + e−(βx+α)
β = −0.93, α = 50
40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 11 / 25
分析の目的
統計モデル再掲
与えられるデータ
温度 O リング破損
統計モデルの構築
この確率は外気温に依存すると考えられる.
ロジスティック関数
ロジスティック関数の形状は分からない
のでαとβも推定すべきパラメータとなる
ti Di
Di ∼ Bernoulli(p)
Di ∼ Bernoulli(p(ti))
f(p|Di) ∝ f(Di|p)f(p)
f(α, β|Di, ti) ∝f(Di, ti|α, β)f(α, β)
=f(Di, ti|α, β)f(α)f(β) αとβは独立
p(ti) =
1
1 + e−(βti+α)
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 12 / 25
分析の目的
統計モデル
f(α, β|Di, ti) ∝ f(Di, ti|α, β)f(α)f(β)
▶ f(Di, ti|α, β): Di ∼ Bernoulli(p(ti))
where p(ti) = 1/(1 + e−(βti+α))
▶ f(α): α ∼ N(0, 1000), µ = 0, σ2 = 1000
▶ f(β): β ∼ N(0, 1000), µ = 0, σ2 = 1000
▶ Precision: τ = 1/σ2 = 1/1000 = 0.001
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 13 / 25
分析の目的
PyMC3 による実装
コード 1 データの読み込み
1 import numpy as np
2
3 # データは, Date,Temperature,Damage Incident のフォーマット.欠損値は NA が記されている
4 data = np.genfromtxt("challenger_data.csv", skip_header=1,
5 usecols=[1,2], missing_values="NA", delimiter=",")
6 data = data[~np.isnan(data[:, 1])]
7 data.shape
Out[1]: (23, 2)
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 14 / 25
分析の目的
PyMC3 による実装
コード 2 モデル: チャレンジャー号の悲劇
1 import numpy as np
2 import pymc3 as pm
3
4 temperature = data[:, 0] # 外気温
5 D = data[:, 1] # 破損の有無
6
7 with pm.Model() as model:
8 beta = pm.Normal("beta", mu=0, tau=0.001, testval=0) # βの事前分布
9 alpha = pm.Normal("alpha", mu=0, tau=0.001, testval=0) # αの事前分布
10 # ロジスティック関数
11 p = pm.Deterministic("p", 1.0/(1. + np.exp(-beta*temperature - alpha)))
12 D = pm.Bernoulli("D", p=p, observed=D) # 尤度
13
14 start = pm.find_MAP()
15 trace = pm.sample(60000, start=start) # 初期値を指定して MCMC を開始
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 15 / 25
分析の目的
生成サンプルの視覚化
pm.traceplot(trace["alpha"])
pm.traceplot(trace["beta"])
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 16 / 25
分析の目的
破損発生確率の視覚化
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 17 / 25
分析の目的
破損発生確率の視覚化
コード 3 破損発生確率の視覚化コード
1 temperature = data[:, 0]
2 D = data[:, 1]
3
4 # t は 50x1.p は 100000 x 50
5 t = np.linspace(temperature.min()-5, temperature.max()+5, 50)[:, None]
6 p = logistic(t.T, beta=trace["beta"][:, None], alpha=trace["alpha"][:, None])
7
8 mean_p = p.mean(axis=0)
9
10 fig, ax = plt.subplots(figsize=(12.5, 4))
11 ax.grid(True)
12 ax.plot(t, mean_p, lw=3, label="破損の平均事後確率")
13 ax.plot(t, p[100, :], ls="--", label="事後分布からのサンプル")
14 ax.plot(t, p[180, :], ls="--", label="事後分布からのサンプル")
15 ax.scatter(x=temperature, y=D, s=50, color="k", alpha=0.5)
16
17 ax.legend(loc="lower left")
18 ax.set_title("破損発生確率の事後期待値と 2 つのサンプリング値", fontsize=18)
19 ax.set_ylabel("確率", fontsize=16)
20 ax.set_xlabel("外気温", fontsize=16)
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 18 / 25
分析の目的
破損発生確率の視覚化コード解説
▶ 5 行目: グラフを 50 個の点を接続して描くために,外気温の最小値か
ら最大値まで 50 個の均等な値を変数 t に用意.
▶ 6 行目: MCMC で生成した 100000 個の α と β のサンプルデータ毎
に,50 個の t の値に対応した確率 p の値を計算する.p は
100000 × 50 の配列.
▶ 7 行目: 100000 個の確率データの平均を計算.
▶ 13–14 行目: 100000 個のサンプルデータからインデックス番号 100 と
180 の p の値をそれぞれ点線でプロット.
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 19 / 25
分析の目的
破損発生確率の 95%信用区間
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 20 / 25
分析の目的
破損発生確率の 95%信用区間
コード 4 破損発生確率の 95%信用区間コード
1 from scipy.stats.mstats import mquantiles
2
3 qs = mquantiles(p, [0.025, 0.975], axis=0)
4 fig, ax = plt.subplots(figsize=(12.5, 4))
5 ax.grid(True)
6
7 ax.fill_between(t[:, 0], *qs, alpha=0.7, color="#7A68A6") # 第1引数は 1 次元でなけれ
8 ax.plot(t, qs[0], label="95%信用区間", color="#7A68A6", alpha=0.7) # 信用区間下側境界
9 ax.plot(t, qs[1], color="#7A68A6", alpha=0.7) # 信用区間上側境界線
10 ax.plot(t, mean_p, lw=1, ls="--", color="k", label="破損の平均事後確率")
11 ax.scatter(x=temperature, y=D, s=50, color="k", alpha=0.5)
12
13 ax.legend(loc="lower left")
14 ax.set_xlim(t.min(), t.max())
15 ax.set_title("破損発生確率の事後期待値と 95%信用区間", fontsize=18)
16 ax.set_ylabel("確率", fontsize=16)
17 ax.set_xlabel("外気温", fontsize=16)
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 21 / 25
分析の目的
破損発生確率の 95%信用区間コード解説
▶ mquantiles() は指定された割合にデータを分割し,その境界になる
データの値を返す関数.
▶ 3 行目: 引数 p は 100000 × 50 の配列.axis=0 はデータ p を列方向
に見ていく.したがって,50 の列ごとに 100000 個のサンプリング
データから 2.5%と 97.5%に入るデータの境界値(2 × 50 の配列)を
返す.
▶ 7 行目: fill_between() の引数のアスタリスクは配列のアンパッキン
グを表す.つまり 2 × 50 の配列が,50 個の要素を持つ 2 つの配列と
して渡される.
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 22 / 25
分析の目的
事故当時の外気温における破損確率
チャレンジャー号が打ち上げ失敗した日の気温華氏 31 度で,O リングが破
損する確率を推定してみる.
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 23 / 25
分析の目的
破損発生確率の 95%信用区間
コード 5 破損発生確率の 95%信用区間コード
1 fig, ax = plt.subplots(figsize=(12.5, 2.5))
2 ax.grid(True)
3
4 # 華氏 31 度の時の事後確率サンプルデータを計算
5 prob_31 = logistic(31, beta=trace["beta"][:, None],
6 alpha=trace["alpha"][:, None])
7 # 1000 分割のヒストグラム.確率 0.001 ごとに頻度集計
8 ax.hist(prob_31, bins=1000, density=True, histtype="stepfilled")
9 ax.set_xlim([0.990, 1])
10 ax.set_ylabel("密度")
11 ax.set_xlabel("O リングで破損が起こる確率")
12 ax.set_title("外気温が華氏 31 度のときの破損が発生確率の事後分布")
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 24 / 25
分析の目的
事故当時の外気温における破損確率コード解説
▶ 5 行目: 100000 個の α と β のサンプルデータを利用して,事故があっ
た日の気温華氏 31 度における O リング破損の事後確率のサンプル
データを生成.
▶ 8 行目: この 100000 個の事後確率サンプルデータを 1000 個の区間に
分割し,その頻度からヒストグラムを作成.確率 0 から 1 まで 1000 分
割すると 0.001 毎にグラフが描かれる.
▶ 9 行目: ヒストグラムは 0.990 から 1 までのデータのみ描画.
市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 25 / 25

More Related Content

More from Wataru Shito

演習II.第1章 ベイズ推論の考え方 Part 1.講義ノート
演習II.第1章 ベイズ推論の考え方 Part 1.講義ノート演習II.第1章 ベイズ推論の考え方 Part 1.講義ノート
演習II.第1章 ベイズ推論の考え方 Part 1.講義ノート
Wataru Shito
 
マクロ経済学I 「第8章 総需要・総供給分析(AD-AS分析)」
マクロ経済学I 「第8章 総需要・総供給分析(AD-AS分析)」マクロ経済学I 「第8章 総需要・総供給分析(AD-AS分析)」
マクロ経済学I 「第8章 総需要・総供給分析(AD-AS分析)」
Wataru Shito
 
経済数学II 「第9章 最適化(Optimization)」
経済数学II 「第9章 最適化(Optimization)」経済数学II 「第9章 最適化(Optimization)」
経済数学II 「第9章 最適化(Optimization)」
Wataru Shito
 
マクロ経済学I 「第10章 総需要 II.IS-LM分析とAD曲線」
マクロ経済学I 「第10章 総需要 II.IS-LM分析とAD曲線」マクロ経済学I 「第10章 総需要 II.IS-LM分析とAD曲線」
マクロ経済学I 「第10章 総需要 II.IS-LM分析とAD曲線」
Wataru Shito
 
第9回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(3)
第9回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(3)第9回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(3)
第9回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(3)
Wataru Shito
 
第8回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(2)
第8回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(2)第8回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(2)
第8回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(2)
Wataru Shito
 
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
Wataru Shito
 
マクロ経済学I 「第9章 総需要 I」
マクロ経済学I 「第9章 総需要 I」マクロ経済学I 「第9章 総需要 I」
マクロ経済学I 「第9章 総需要 I」
Wataru Shito
 
経済数学II 「第11章 選択変数が2個以上の場合の最適化」
経済数学II 「第11章 選択変数が2個以上の場合の最適化」経済数学II 「第11章 選択変数が2個以上の場合の最適化」
経済数学II 「第11章 選択変数が2個以上の場合の最適化」
Wataru Shito
 
マクロ経済学I 「第6章 開放経済の長期分析」
マクロ経済学I 「第6章 開放経済の長期分析」マクロ経済学I 「第6章 開放経済の長期分析」
マクロ経済学I 「第6章 開放経済の長期分析」
Wataru Shito
 
経済数学II 「第8章 一般関数型モデルの比較静学」
経済数学II 「第8章 一般関数型モデルの比較静学」経済数学II 「第8章 一般関数型モデルの比較静学」
経済数学II 「第8章 一般関数型モデルの比較静学」
Wataru Shito
 
マクロ経済学I 「第4,5章 貨幣とインフレーション」
マクロ経済学I 「第4,5章 貨幣とインフレーション」マクロ経済学I 「第4,5章 貨幣とインフレーション」
マクロ経済学I 「第4,5章 貨幣とインフレーション」
Wataru Shito
 
マクロ経済学I 「第3章 長期閉鎖経済モデル」
マクロ経済学I 「第3章 長期閉鎖経済モデル」マクロ経済学I 「第3章 長期閉鎖経済モデル」
マクロ経済学I 「第3章 長期閉鎖経済モデル」
Wataru Shito
 
経済数学II 「第7章 微分法とその比較静学への応用」
経済数学II 「第7章 微分法とその比較静学への応用」経済数学II 「第7章 微分法とその比較静学への応用」
経済数学II 「第7章 微分法とその比較静学への応用」
Wataru Shito
 
経済数学II 「第6章 比較静学と導関数の概念」
経済数学II 「第6章 比較静学と導関数の概念」経済数学II 「第6章 比較静学と導関数の概念」
経済数学II 「第6章 比較静学と導関数の概念」
Wataru Shito
 
マクロ経済学I 「マクロ経済分析の基礎知識」
マクロ経済学I 「マクロ経済分析の基礎知識」マクロ経済学I 「マクロ経済分析の基礎知識」
マクロ経済学I 「マクロ経済分析の基礎知識」
Wataru Shito
 
経済数学II 「第5章 線型モデルと行列代数 II」
経済数学II 「第5章 線型モデルと行列代数 II」経済数学II 「第5章 線型モデルと行列代数 II」
経済数学II 「第5章 線型モデルと行列代数 II」
Wataru Shito
 
マクロ経済学I 「第2章 マクロ経済学のデータ」
マクロ経済学I 「第2章 マクロ経済学のデータ」マクロ経済学I 「第2章 マクロ経済学のデータ」
マクロ経済学I 「第2章 マクロ経済学のデータ」
Wataru Shito
 
経済数学II 「第3章 経済学における均衡分析」
経済数学II 「第3章 経済学における均衡分析」経済数学II 「第3章 経済学における均衡分析」
経済数学II 「第3章 経済学における均衡分析」
Wataru Shito
 
経済数学II 「第4章 線型モデルと行列代数」
経済数学II 「第4章 線型モデルと行列代数」経済数学II 「第4章 線型モデルと行列代数」
経済数学II 「第4章 線型モデルと行列代数」
Wataru Shito
 

More from Wataru Shito (20)

演習II.第1章 ベイズ推論の考え方 Part 1.講義ノート
演習II.第1章 ベイズ推論の考え方 Part 1.講義ノート演習II.第1章 ベイズ推論の考え方 Part 1.講義ノート
演習II.第1章 ベイズ推論の考え方 Part 1.講義ノート
 
マクロ経済学I 「第8章 総需要・総供給分析(AD-AS分析)」
マクロ経済学I 「第8章 総需要・総供給分析(AD-AS分析)」マクロ経済学I 「第8章 総需要・総供給分析(AD-AS分析)」
マクロ経済学I 「第8章 総需要・総供給分析(AD-AS分析)」
 
経済数学II 「第9章 最適化(Optimization)」
経済数学II 「第9章 最適化(Optimization)」経済数学II 「第9章 最適化(Optimization)」
経済数学II 「第9章 最適化(Optimization)」
 
マクロ経済学I 「第10章 総需要 II.IS-LM分析とAD曲線」
マクロ経済学I 「第10章 総需要 II.IS-LM分析とAD曲線」マクロ経済学I 「第10章 総需要 II.IS-LM分析とAD曲線」
マクロ経済学I 「第10章 総需要 II.IS-LM分析とAD曲線」
 
第9回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(3)
第9回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(3)第9回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(3)
第9回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(3)
 
第8回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(2)
第8回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(2)第8回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(2)
第8回 大規模データを用いたデータフレーム操作実習(2)
 
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
 
マクロ経済学I 「第9章 総需要 I」
マクロ経済学I 「第9章 総需要 I」マクロ経済学I 「第9章 総需要 I」
マクロ経済学I 「第9章 総需要 I」
 
経済数学II 「第11章 選択変数が2個以上の場合の最適化」
経済数学II 「第11章 選択変数が2個以上の場合の最適化」経済数学II 「第11章 選択変数が2個以上の場合の最適化」
経済数学II 「第11章 選択変数が2個以上の場合の最適化」
 
マクロ経済学I 「第6章 開放経済の長期分析」
マクロ経済学I 「第6章 開放経済の長期分析」マクロ経済学I 「第6章 開放経済の長期分析」
マクロ経済学I 「第6章 開放経済の長期分析」
 
経済数学II 「第8章 一般関数型モデルの比較静学」
経済数学II 「第8章 一般関数型モデルの比較静学」経済数学II 「第8章 一般関数型モデルの比較静学」
経済数学II 「第8章 一般関数型モデルの比較静学」
 
マクロ経済学I 「第4,5章 貨幣とインフレーション」
マクロ経済学I 「第4,5章 貨幣とインフレーション」マクロ経済学I 「第4,5章 貨幣とインフレーション」
マクロ経済学I 「第4,5章 貨幣とインフレーション」
 
マクロ経済学I 「第3章 長期閉鎖経済モデル」
マクロ経済学I 「第3章 長期閉鎖経済モデル」マクロ経済学I 「第3章 長期閉鎖経済モデル」
マクロ経済学I 「第3章 長期閉鎖経済モデル」
 
経済数学II 「第7章 微分法とその比較静学への応用」
経済数学II 「第7章 微分法とその比較静学への応用」経済数学II 「第7章 微分法とその比較静学への応用」
経済数学II 「第7章 微分法とその比較静学への応用」
 
経済数学II 「第6章 比較静学と導関数の概念」
経済数学II 「第6章 比較静学と導関数の概念」経済数学II 「第6章 比較静学と導関数の概念」
経済数学II 「第6章 比較静学と導関数の概念」
 
マクロ経済学I 「マクロ経済分析の基礎知識」
マクロ経済学I 「マクロ経済分析の基礎知識」マクロ経済学I 「マクロ経済分析の基礎知識」
マクロ経済学I 「マクロ経済分析の基礎知識」
 
経済数学II 「第5章 線型モデルと行列代数 II」
経済数学II 「第5章 線型モデルと行列代数 II」経済数学II 「第5章 線型モデルと行列代数 II」
経済数学II 「第5章 線型モデルと行列代数 II」
 
マクロ経済学I 「第2章 マクロ経済学のデータ」
マクロ経済学I 「第2章 マクロ経済学のデータ」マクロ経済学I 「第2章 マクロ経済学のデータ」
マクロ経済学I 「第2章 マクロ経済学のデータ」
 
経済数学II 「第3章 経済学における均衡分析」
経済数学II 「第3章 経済学における均衡分析」経済数学II 「第3章 経済学における均衡分析」
経済数学II 「第3章 経済学における均衡分析」
 
経済数学II 「第4章 線型モデルと行列代数」
経済数学II 「第4章 線型モデルと行列代数」経済数学II 「第4章 線型モデルと行列代数」
経済数学II 「第4章 線型モデルと行列代数」
 

2019年 演習II.第2章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇