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14.05.25 大阪PRML読書会 第2章 2.3.3-2.3.6 (pp.88-100)

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大阪PRML読書会のサポート用資料です。
本を読むのが中心のため、詳細はあえてスライドに書いていません。

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14.05.25 大阪PRML読書会 第2章 2.3.3-2.3.6 (pp.88-100)

  1. 1. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 PRML 第 2 章 2.3.3-2.3.6 (pp.88-100) 藤原 由来 (@sky_y) May 25, 2014 1/19
  2. 2. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 今回の内容 第 2 章 確率分布 • 2.1 二値変数 • 2.2 多値変数 • 2.3 ガウス分布 • 2.3.1 条件付きガウス分布 • 2.3.2 周辺ガウス分布 • 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 • 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 • 2.3.5 逐次推定 • 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 2/19
  3. 3. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 3/19
  4. 4. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 前提と問題 前提 • あるガウス周辺分布 p(x) • 平均が x の線形関数で、共分散は x と独立であるようなガウ ス条件付き分布 p(y|x) 問題 • 周辺分布 p(y) と条件付き分布 p(x|y) を求める 4/19
  5. 5. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 (2.102) の準備 p(x) = N(x|µ, Λ−1 ) = 1 2πD/2 1 |Λ−1 |1/2 exp { − 1 2 (x − µ)T Λ(x − µ) } p(y|x) = N(y|Ax + b, L−1 ) = 1 2πD/2 1 |L−1|1/2 exp { − 1 2 (x − Ax − b)T L(x − Ax − b) } 5/19
  6. 6. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 (2.102) ln p(z) = ln p(x) + ln p(y|x) = − 1 2 (x − µ)T Λ(x − µ) − 1 2 (y − Ax − b)T L(y − Ax − b) + const. = − 1 2 { xT Λx − µT Λx − xT Λµ + µT Λµ } − 1 2 {yT Ly − xT AT Ly − bT Ly − yT LAx + xT AT LAx + bT LAx − yT Lb + xT AT Lb + bT Lb} + const. 6/19
  7. 7. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 7/19
  8. 8. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 2 次形式の微分 ∂ ∂x xT Ax = (A + AT )x (1) A が対称の場合 ∂ ∂x xT Ax = 2Ax (2) 8/19
  9. 9. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 2.3.5 逐次推定 9/19
  10. 10. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 図 2.10 θ z θ f(θ) 10/19
  11. 11. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 図 2.11 µML z p(z|µ) µ 11/19
  12. 12. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 12/19
  13. 13. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 問題設定 1: 分散が既知のとき、平均を推定する問題 問題設定 • 既知の分散 σ2 • 与えられた N 個の観測値集合 x = {x1, ..., xN } このとき、平均 µ をベイズ推論によって推定したい。 13/19
  14. 14. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 演習 2.38 (2.139) の右辺を計算し、(2.140) を得る問題。 ポイント: • 指数部分を次の形に整理する(平方完成): − 1 2 1 σ2 N { µ2 − 2µN µ + const. } • (2.143) より N∑ n=1 xn = NµML • (おまけ)以下のようにすると分かりやすくなるかも: N∑ n=1 x2 n = x2 14/19
  15. 15. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 図 2.12 N = 0 N = 1 N = 2 N = 10 −1 0 1 0 5 15/19
  16. 16. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 問題設定 2: 平均が既知のとき、精度(分散)を推定する問題 問題設定 • 既知の平均 µ • 与えられた N 個の観測値集合 x = {x1, ..., xN } このとき、精度 λ = 1/σ2 をベイズ推論によって推定したい。 16/19
  17. 17. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 図 2.13 λ a = 0.1 b = 0.1 0 1 2 0 1 2 λ a = 1 b = 1 0 1 2 0 1 2 λ a = 4 b = 6 0 1 2 0 1 2 17/19
  18. 18. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 演習 2.41 ポイント: • Gam(λ|a, b) を λ で積分する • t = bλ とおく 18/19
  19. 19. 2.3.3 ガウス変数に対するベイズの定理 2.3.4 ガウス分布の最尤推定 2.3.5 逐次推定 2.3.6 ガウス分布に対するベイズ推論 演習 2.42 ポイント: • t = bλ とおく • ガンマ関数の定義を利用する: Γ(a) = ∫ ∞ 0 λa−1 exp(−λ)dλ • ガンマ関数の性質: Γ(a + 1) = aΓ(a) 19/19

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