Operaciones básicas de vectores

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Operaciones básicas de vectores

  1. 1.  Escalares: quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) y una unidad  Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg.  de la flecha.  Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza... W L WL MA 0 WL RC L 0 RC Re sp. L/2 L/2 + 2 2 A B C
  2. 2. Vectores Se caracterizan por:  Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud del vector. Es la parte escalar.  Dirección: es la recta que contiene el vector.  Sentido: indicado por la punta de la flecha.  Punto de aplicación: origen
  3. 3.  Sobre cada eje se toma como unidad y de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1): j k  i sobre el eje x x i  j sobre el eje y z  k sobre el eje z
  4. 4.  ˆ r xi yˆ zk ˆ j  Un ejemplo importante de un r x2 y2 z2 vector tridimensional es el vector de posición de una partícula con coordenadas z (x,y,z). (x,y,z)  • Se acostumbra a denominar r por r  y esta definido y como un vector que va desde el origen del sistema de coordenadas hasta el x lugar donde se encuentra la partícula.
  5. 5. v=x·i+y·j  En dos dimensiones v=x·i+y·j+z·k  En tres dimensiones
  6. 6. El valor absoluto o magnitud de un vector es su longitud, su tamaño.  Si el vector es A, su magnitud se representa como  A ó A
  7. 7. Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1   a es unitario si a 1 A los vectores unitarios los denotaremos con un acento circunflejo ó "gorrito": aˆ
  8. 8. Vector Cero Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0   a es cero si a 0  Lo denotaremos como 0
  9. 9. FUERZA RESULTANTE: es una fuerza única cuyo efecto es el mismo que el de un conjunto de fuerzas concurrentes coplanares. Es la suma de dos o mas vectores  Métodos para resolver problemas usando vectores:  Método gráfico = se dibujan vectores a escala y su dirección se determina usando un transportador.  Método matemático = proceso mediante el cual se suman vectores usando trigonometría.
  10. 10. Para otros tipos de vectores es más intuitivo dibujarlos rabo con rabo. Cuando hacemos este tipo de dibujo, se forma un paralelograma y la suma de los vectores es una de las diagonales del paralelograma. El dibujo aquí también es una prueba de la ley comutativa de la suma de vectores, o sea, →A + →B = →B + →A.  b   a b   a b  a
  11. 11. Resta de Vectores Geométricamente Aquí hemos dibujado el rabo de B en la cabeza de A y hemos calculado A - B como A + (-B) poniendo el rabo de (-B) en la cabeza de A. Aquí nos fijamos que el vector que obtuvimos arriba (A – B) es igual a un vector que va de la cabeza de B a la cabeza de A, o sea, es la otra diagonal del paralelograma!! Con el paralelograma podemos calcular la suma y también la resta de dos vectores.
  12. 12.  El producto del escalar por el vector a es  a  Es un vector cuya longitud es a,  tiene la misma dirección que a ,  y el sentido es el de a si >0  y el inverso que a si 0   a a
  13. 13. Si llamamos al ángulo que hacen los vectores   a y b, se define el producto escalar (interno ó punto) como     a b a b cos ab cos  a  b
  14. 14. Producto escalar o producto punto ver como Lo podemos       a b a cos b b cos a Es la proyección de uno de los dos en el otro, por la magnitud de ese otro  a  b
  15. 15.       a b a cos b b cos a Es la proyección de uno de los dos en el otro, por la magnitud de ese otro a  a  p b p cos p a cos a
  16. 16.     1) Si a 1, entonces a b b cos que es la   proyección de b en la dirección de a     2 2) Si a b entonces =0 cos 1 y se tiene a a a a2     3) El producto escalar es conmutativo a b b a 4) El producto escalar es distributivo respecto a la suma        a b c a b a c
  17. 17.     Si el producto escalar, a b a b cos , de dos vectores es cero, entonces 1) Al menos uno de los dos es cero ó 2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales), es decir, 90 / 2 ó 70 3 / 2 Si dos vectores son ortogonales, entonces su producto escalar es cero
  18. 18.     a b a b sin   a b   b a
  19. 19. Si llamamos al ángulo que hacen los vectores   a y b, se define el producto vectorial o cruz, de la siguiente manera:     1) a b a b sin 2) Su dirección es perpendicular al plano formado   por los vectores a y b 3) El sentido del vector está definido por el avance   de un tornillo que va de a a b (por la regla de la mano derecha)
  20. 20.     a b a b sin     a b a b sin es el área de este paralelogramo   a b   a b   b  a  b a
  21. 21. 1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:     a b b a 2) El producto vectorial es distributivo respecto a la suma        a b c a b a c    3) Para todo vector a a 0
  22. 22. Si el producto vectorial de dos vectores     a b a b sin es cero, entonces 1) Al menos uno de los dos es cero ó 2) Los vectores son paralelos   es decir, 0 0 ó 180 Si dos vectores son paralelos, entonces su producto vectorial es cero
  23. 23. Z kˆ ˆj Y iˆ X
  24. 24. Denotaremos como ˆ j ˆ i , ˆ, k los vectores unitarios a lo largo de los ejes X , Y,Z Así un punto P estará representado por el vector  ˆ ˆ ˆ r xi yj zk
  25. 25. Los vectores i ˆ 0 ˆ j base cartesianos j ˆ ˆ k 0 son ortogonales entre si ˆ ˆ k i 0 Los vectores iˆˆ i 1 base cartesianos ˆ j ˆ 1 j son unitarios ˆ ˆ k k 1
  26. 26. Los vectores base cartesianos constituyen, además, una base "derecha": j ˆ iˆ ˆ k Z ˆ j ˆ k iˆ ˆ k ˆ j Y ˆ k iˆ ˆ j iˆ X
  27. 27. Z  P x, y, z ˆ k r z ˆ j Y iˆ x y  ˆ ˆ ˆ r xi yj zk X
  28. 28.  FuerSon fuerzas que actúan en el mismo plano y, por lo mismo pueden identificarse completamente con sus coordenadas. F N F F f a  FUERZAS CONCURRENTES: Son fuerzas que W intersectan en un punto común o tienen el mismo punto de aplicación.

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