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PROBABILIDADES
APRENDIZAJES ESPERADOS • Definir el concepto de probabilidad • Resolver problemas que involucren probabilidad   “clásica” ...
Contenidos1. Probabilidades  1.1 Definición  1.2 Espacio muestral  1.3 Evento o suceso2. Probabilidad clásica3. Propiedade...
4. Probabilidad total5. Probabilidad compuesta
1. Probabilidades1.1 Definición    El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en    la comunicación entre las...
Intuitivamente podemos observar que cuanto más probablees que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará máspróximo ...
1.2 Espacio muestral (E) o (Ω ):    Es el conjunto formado por todos los resultados    posibles de un experimento.    Si u...
1.3 Evento o Suceso   Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral,   asociado a un experimento aleatorio.   Ejempl...
2. Probabilidad clásica  La probabilidad de un evento A: P(A), es un NÚMERO, que mide el grado de certeza  en el que un ev...
Por lo tanto:   Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6)   Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5)   Entonces:      ...
Ejemplo 1 : En la gran final del concurso por TV, la concursante elige un sobre.        Solución:  EA = La concursante  el...
3. Propiedades 3.1 Tipos de sucesosProbabilidad de un suceso contrario (A):La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “...
Ejemplo:Si La probabilidad de que llueva es 2   , ¿cuál es la probabilidadde que NO llueva?                   5Solución:  ...
Probabilidad de un suceso seguro: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá:                 P(A) = 1   Eje...
Probabilidad de un suceso imposible: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá:                         ...
4. Probabilidad total Eventos excluyentesCorresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B,siendo ésto...
EVENTOS NO EXCLUYENTES:     Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir juntos.     Es decir la ocurrencia de u...
Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo sonpares, se estarían considerando como casos favorablesdos veces.Por lo t...
5. Probabilidad compuesta  Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A y el  suceso B, siendo éstos dependient...
Ejemplo:¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado seobtengan dos números pares?Solución:Casos posibles: ...
Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde       a la Probabilidad Condicionada. Corresponde a la probabili...
Los resultados de una encuesta sobre la actitud política de 334      personas es el siguiente:                      HOMBRE...
.Esta probabilidad es la que llamamos Probabilidad condicionada del suceso Brespecto al suceso A.Dicho de otro modo, la pr...
Ejemplo: De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras,se extraen sucesivamente 2 bolas. Calcular la probabilidad de l...
Concepto de sucesos independientes.Definición: Dos sucesos A y B se dicen independientes siEjemplo: Consideremos el experi...
En un colegio hay 60 alumnos de Bachillerato.De ellos 40 estudian inglés, 24 estudian francés y 12 los dos idiomas.Se elig...
Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y ...
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Probabilidad

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Probabilidad

  1. 1. PROBABILIDADES
  2. 2. APRENDIZAJES ESPERADOS • Definir el concepto de probabilidad • Resolver problemas que involucren probabilidad “clásica” , total o condicionada. • Aplicar las propiedades de las probabilidades en la resolución de problemas.
  3. 3. Contenidos1. Probabilidades 1.1 Definición 1.2 Espacio muestral 1.3 Evento o suceso2. Probabilidad clásica3. Propiedades 3.1 Tipos de sucesos • Sucesos contrarios • Suceso seguro • Suceso imposible
  4. 4. 4. Probabilidad total5. Probabilidad compuesta
  5. 5. 1. Probabilidades1.1 Definición El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicación entre las personas. Por ejemplo: 1) El paciente tiene un 50% de probabilidad de sobrevivir a una operación determinada. 2) Los alumnos del colegio Leonardo Da Vinci School tienen un 95% de probabilidades de ingresar a la universidad. En los ejemplos, se da la “medida” de la ocurrencia de un evento que es incierto (sobrevivir a la operación, o ingresar a la universidad), y ésta se expresa mediante un número entre 0 y 1, o en porcentaje.
  6. 6. Intuitivamente podemos observar que cuanto más probablees que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará máspróximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más seaproximará a “0”.De aquí se deduce que un hecho o evento que NO puedeocurrir tendrá probabilidad cero y uno cuya probabilidad essegura tendrá probabilidad uno.Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
  7. 7. 1.2 Espacio muestral (E) o (Ω ): Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Si un conjunto “A” tiene “m” elementos y un conjunto “B” tiene “n” elementos, entonces existen m·n elementos. Ejemplo: En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados posibles se determina por el principio multiplicativo: 1 moneda 2 posibilidades 2 monedas 2·2 = 4 posibilidades 3 monedas 2·2·2 = 8 posibilidades n monedas 2·2·2·2···2= 2n posibilidades
  8. 8. 1.3 Evento o Suceso Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio. Ejemplo: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? Solución: El espacio muestral (E) corresponde a: CC – CS – SC – SS (2 • 2 = 4 elementos) El suceso o evento pedido es que sean dos caras, entonces: CC (1 elemento)
  9. 9. 2. Probabilidad clásica La probabilidad de un evento A: P(A), es un NÚMERO, que mide el grado de certeza en el que un evento A ocurre, y se obtiene con la formula conocida como REGLA DE LAPLACE: Casos favorables P(A) = Casos posibles Ejemplo1:¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo? Solución:El espacio muestral E, está dado por:E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir,6 casos posibles. Sea A, el evento o suceso: A: que salga un número primo, entonces se tiene que: A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables.
  10. 10. Por lo tanto: Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6) Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5) Entonces: 3 1 P(A) = = 6 2Ejemplo2: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras?Casos posibles: 4Casos favorables (2 caras): 1Entonces:P(2 caras) = 1 4
  11. 11. Ejemplo 1 : En la gran final del concurso por TV, la concursante elige un sobre. Solución: EA = La concursante elige un sobre Ω = {sobre A, sobre B} A = elegir el sobre A (para ganar el auto) P(A)=1/2 B = elegir el sobre B (para ganar la casa) P(B)=1/2
  12. 12. 3. Propiedades 3.1 Tipos de sucesosProbabilidad de un suceso contrario (A):La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidadde un suceso contrario”, se obtiene a través de: P(A) = 1 - P(A) E A A
  13. 13. Ejemplo:Si La probabilidad de que llueva es 2 , ¿cuál es la probabilidadde que NO llueva? 5Solución: P(no llueva) = 1 - P(llueva) P(no llueva) = 1 - 2 5 P(no llueva) = 3 5
  14. 14. Probabilidad de un suceso seguro: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá: P(A) = 1 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1 (6 de 6). Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6) P(natural) = 6 =1 6
  15. 15. Probabilidad de un suceso imposible: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá: P(A) = 0 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6). Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 0 P(mayor que 6) = 0 =0 6
  16. 16. 4. Probabilidad total Eventos excluyentesCorresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B,siendo éstos mutuamente excluyentes (NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS ): P(A B) = P(A) + P(B) Ejemplo: Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara o sello? Solución: P(cara) = 1 y P(sello) = 1 2 2 P(cara) ó P(sello) = P(cara) U P(sello) = P(cara) + P(sello) = 1 + 1 2 2 =1
  17. 17. EVENTOS NO EXCLUYENTES: Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno no excluye la ocurrencia del otro. En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) U Ejemplo:Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menorque 5 ó un número par?Solución: Casos posibles 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables (menor que 5): 4 (1,2,3,4) ⇒ P (menor que 5) = 4 6 Casos favorables (número par): 3 (2,4,6) ⇒ P (número par) = 3 6
  18. 18. Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo sonpares, se estarían considerando como casos favorablesdos veces.Por lo tanto:La probabilidad de que salga un número menor que 5 ó unnúmero par, al lanzar un dado se expresa como:P (< 5) ó P(par) = P(<5) U P(par) – P(<5 par) U = P(< 5) + P(par) – P(<5 y par) = 4 + 3 - 2 6 6 6 5 = 6
  19. 19. 5. Probabilidad compuesta Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B, siendo éstos dependientes o independientes. En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente, A y B. Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que: U A B P( A B ) = P(A) · P(B) U
  20. 20. Ejemplo:¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado seobtengan dos números pares?Solución:Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)Casos favorables: 3 (2,4,6)Entonces: P(dos pares) = P(par) y P(par) = P(par) · P(par) = 3 3 · 6 6 1 = 4
  21. 21. Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde a la Probabilidad Condicionada. Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. P(A B) U P (B/A) = P(A) Ejemplo1: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4 sabiendo que ha salido par? Solución: B: Sacar 4 P (B/A) = 1 A: Número par = { 2,4,6 } 3
  22. 22. Los resultados de una encuesta sobre la actitud política de 334 personas es el siguiente: HOMBRES MUJERES TOTAL DERECHA 145 42 187 IZQUIERDA 51 96 147 TOTAL 196 138 334Sea A:’ser hombre’ y B:’ser de derechas’Se elige una persona al azar, ¿Cual es la probabilidad de que sea de derechassabiendo que es hombre?. Evidentemente la probabilidad pedida es: 145 196 pues hay 196 varones de los cuales 145 son de derechas.
  23. 23. .Esta probabilidad es la que llamamos Probabilidad condicionada del suceso Brespecto al suceso A.Dicho de otro modo, la probabilidad condicionada de un suceso B respecto de otro Aes la probabilidad del suceso B sabiendo que previamente ha ocurrido el suceso A. Definición: Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y lo denotamos por P ( B / A) , al cociente: P ( A / B) Análogamente se define De lo anterior se deducen claramente las relaciones siguientes: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ×P ( B / A ) P ( A ∩ B ) = P ( B ) ×P ( A / B )
  24. 24. Ejemplo: De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras,se extraen sucesivamente 2 bolas. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:Que las dos sean negrasQue las dos sean rojasQue la segunda sea roja sabiendo que la primera fue negra.
  25. 25. Concepto de sucesos independientes.Definición: Dos sucesos A y B se dicen independientes siEjemplo: Consideremos el experimento de extraer cartas de una baraja.¿Cuál es la probabilidad de extraer dos reyes?a) sin devolver la 1ª carta.b) Con devolución Sol. a) :”conseguir rey en la 1ª extracción” :”conseguir rey en la 2ª extracción” b)
  26. 26. En un colegio hay 60 alumnos de Bachillerato.De ellos 40 estudian inglés, 24 estudian francés y 12 los dos idiomas.Se elige al azar un alumno. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Estudia al menos un idioma. b) No estudia inglés o estudia francés. c) Estudia francés sabiendo que también estudia inglés. d) Estudia francés sabiendo que estudia algún idioma. e) Estudia inglés sabiendo que no estudia francés.
  27. 27. Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? Solución:Primera extracción Segunda extracción (Sin reposición)Casos posibles: 30 Casos posibles: 29Casos favorables: 12 Casos favorables: 11 Entonces: P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca) = P(blanca) · P(blanca) = 12 11 · 30 29
  28. 28. Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, desde la página 159 a la 165.

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