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Sistema de ecuaciones 1

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Sistema de ecuaciones 1

  1. 1. Sistemas de ecuaciones lineales Profesora Srta. Yanira Castro Lizana
  2. 2. La tercera parte de los ahorros de Juan es $115.Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior seexpresa como sigue: 1 x = 115 3Esta igualdad es una ecuación lineal . Las ecuaciones se usan paraexpresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos,astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo: 1 v = 2+ t, 2expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil 1 con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m 2por segundo cuadrado.
  3. 3. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma a1x1 + a2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an xn = b en donde x1, x 2 , ..., x n son variables;a1, a2 , ..., an son constantes llamadas los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación.Ejemplo Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas1 de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas. ¿Cuántas tiene cada uno?Solución Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por tanto: x + 2 ( x + 2 ) = 103 3 x + 4 = 103 99 x= = 33 3
  4. 4. Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces: x+y es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor. x−y es la velocidad de la lancha con la corriente en contra. Por lo que: { x + y = 100 x − y = 70 ………(*) Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales km km Resolviendo el sistema (*) se obtiene: x = 85 , y = 15 h h
  5. 5. • En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, se dividen en dos grupos: métodos analíticos  y método gráfico .• Los métodos analíticos , que iremos viendo uno a uno, son tres: • sustitución, igualación y reducción.• Por contra, el método gráfico  (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.
  6. 6. ¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales? Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol- viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.Método por sustitución Este método se resume así:1 Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones..2 La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por. su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.3 El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación. obtenida en el paso 1.
  7. 7. • Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.
  8. 8. Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema { x + y = 100 x − y = 70 ….(*) ….(**)Solución 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene: y = 100 − x 2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se tiene: x − ( 100 − x ) = 70 2 x − 100 = 70 170 x= = 85 2 3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y y = 100 − 85 = 15
  9. 9. Un ejemplo de un sistema lineal de dosecuaciones con dos incógnitas puede ser:• x + y = 10•x-y=2• Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y)  que cumplan a la vez  las
  10. 10. • Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para resolver un problema de este tipo:
  11. 11. • Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices más que gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo?
  12. 12. Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, peroSergio tiene el doble de euros que Ana.¿Cuánto dinero tiene cada uno?.• Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:• x + y = 600• y = 2x
  13. 13. Resuelve el sistema de ecuacionespor el método de sustitución .a) 4x + y = 0 -4x + y = -8
  14. 14. b) 5x - 2y = -1 7x + 4y = 53
  15. 15. c) 2x + 6y = -16 -2x - 13y = 37
  16. 16. 2 x + y = 61)  3x − y = 4
  17. 17. Método por igualación Este método se resume así: 1 De cada ecuación se despeja la misma variable. . 2 Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la . ecuación que resulta. 3 El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las . ecuaciones obtenida en el paso 1.Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces
  18. 18. t–1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan.Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/tse tiene que:  d 60 =    90 = t d O sea: { 60t − d = 0 90t − d = 90  t −1Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene: 90t − 90 = 60t 30t = 90 90 t= =3 30Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación 60t − d = 0 se obtieneque d = 180.
  19. 19. TIPOS DE SISTEMASPodemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales segúnsu número de soluciones de la siguiente forma:Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistemaSistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema sonrectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y portanto no hay soluciónSistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes.Tienen todos los puntos en común,y por tanto todos ellos son solución
  20. 20. ¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tengauna, ninguna o infinitas soluciones? Una solución: Los coeficientes de x e y  de las dos ecuaciones no son proporcionales              Ejemplo:  
  21. 21. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son       Ejemplo: 
  22. 22. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el términoindependiente de una ecuación, son proporcionales a los de laotra              Ejemplo: 
  23. 23. Método por determinantes Si los coeficientes de las variables t y d del sistema { 60t − d = 0 90t − d = 90 se arreglan así  60 −1  90 −1   se obtiene una matriz . El determinante de una matriz a b  se denota así: a b , c d  c d   y se define como sigue: a b = ad − bc c d Y la resolución por determinantes de un sistema obtiene así: { ax + by = m cx + dy = n se m b a m n d c n x= , y= . a b a b c d c d
  24. 24. Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema { x − 2y = 3 3 x + 2y = 1 3 −2Solución x= 1 2 = ( 3 ) ( 2) − ( 1) ( −2 ) = 8 =1 1 −2 ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 ) 8 3 2 13 y= 3 1 = ( 1) ( 1) − ( 3 ) ( 3 ) = −8 = −1 1 −2 ( 1) ( 2 ) − ( 3 ) ( −2 ) 8 3 2Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema { x − 3y = 1 x + 4y = 8 1 −3 1 1 8 4 28 18 7Solución x= = = 4, y= = =1 1 −3 7 1 −3 7 1 4 1 4
  25. 25. Método gráfico La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico: Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema { x − y = −1 2x − y = 1Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe: y = x +1 y = 2x − 1 x 0 –1 x 0 2 y 1 0 y –1 3
  26. 26. Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tablaen el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas paradeterminar la solución. Observe: y 3 (2, 3) 1 –1 0 2 x –1 El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que songráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es: x = 2, y =3
  27. 27. Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema.Ejemplo 8 El sistema { x − 3y = 1 x + 4y = 8 tiene solución única. Observe: y x + 4y = 8 2 (4, 1) 1 0 1 2 4 x x − 3y = 1
  28. 28. Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente , y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta.  y  x − = 1Ejemplo El sistema  2 tiene infinidad de soluciones. Observe:10  2x − y = 2  y y x− =1 2 0 1 x -2 2x − y = 2
  29. 29. Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible , y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.  y  x − = 1Ejemplo El sistema  2 no tiene solución. Observe:11  2x − y = 3  y y x− =1 2 1 0 x -2 2x − y = 3 -3
  30. 30. Fin

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